第二章一元二次函数、方程和不等式单元测试卷-2025-2026学年高一上学期数学湘教版必修第一册

湘教版高中数学必修第一册 第2章《一元二次函数、方程和不等式》测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1、已知非零实数a，b满足a<b，则下列命题成立的是(　　) A．a2<b2 B．ab2<a2b C.< D.< 2、下列命题为真命题的是(　　) A．若a>b，则ac2>bc2 B．若a<b<0，则a2<ab<b2 C．若c>a>b>0，则< D．若a>b>c>0，则> 3、已知－3<a<－2,3<b<4，则的取值范围为(　　) A．(1,3) B. C. D. 4、不等式≥0的解集为(　　) A.[－2，1] B.(－2，1] C.(－∞，－2)∪(1，＋∞) D.(－∞，－2]∪(1，＋∞) 5、下列命题为真命题的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6、若a，b，c∈R，a＞b，则下列不等式恒成立的是( ) A．＜ B．a2＞b2 C．＞ D．a|c|＞b|c| 7、不等式－2x2＋x＋3＜0的解集为(　　) A. B. C.(－∞，－1)∪ D.∪(1，＋∞) 8、“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的充要条件是(　　) A．m> B．m< C．m<1 D．m>1 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9、已知a，b，c，，则下列命题为假命题的是（ ) A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10、设，，则（ ） A. “”“” B. “”“” C. “”“” D. “”“” 11、已知均为实数，则下列命题正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若则 D．若则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12、设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是________. 13、已知函数，若对任意恒成立，则实数a的取值范围是________． 14、若0<a<b，且a＋b＝1，则将a，b，，2ab，a2＋b2从小到大排列为________________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15、（13分）设a>b>0，试比较与的大小． 16、（15分）求下列不等式的解集： (1)－x2＋8x－3>0； (2) ≤0  17、（15分）(1)解关于实数的不等式：． (2)解关于实数的不等式：． 18、（17分）解关于x的不等式：x2－(a＋a2)x＋a3＞0(a∈R). 19、（17分）已知关于的不等式的解集为或. （1）求、的值； （2）当，且满足时，有恒成立，求实数范围. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $湘教版高中数学必修第一册 第2章《一元二次函数、方程和不等式》测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1、已知非零实数a，b满足a<b，则下列命题成立的是(　　) A．a2<b2 B．ab2<a2b C.< D.< 【答案】C 【解析】若a<b<0，则a2>b2，故A不成立； 若则a2b<ab2，故B不成立； 若a＝1，b＝2，则＝2，＝，>，故D不成立，由不等式的性质知，C正确． 2、下列命题为真命题的是(　　) A．若a>b，则ac2>bc2 B．若a<b<0，则a2<ab<b2 C．若c>a>b>0，则< D．若a>b>c>0，则> 【答案】D 【解析】对于A选项，当c＝0时，显然不成立，故A选项为假命题； 对于B选项，当a＝－3，b＝－2时，满足a<b<0，但不满足a2<ab<b2，故B选项为假命题； 对于C选项，当c＝3，a＝2，b＝1时，＝>＝，故C选项为假命题； 对于D选项，由于a>b>c>0，所以－＝＝＝>0，即>，故D选项为真命题． 3、已知－3<a<－2,3<b<4，则的取值范围为(　　) A．(1,3) B. C. D. 【答案】　A 【解析】因为－3<a<－2，所以a2∈(4,9)，而3<b<4，故的取值范围为(1,3)． 4、不等式≥0的解集为(　　) A.[－2，1] B.(－2，1] C.(－∞，－2)∪(1，＋∞) D.(－∞，－2]∪(1，＋∞) 【答案】B 【解析】　原不等式化为即解得－2＜x≤1. 5、下列命题为真命题的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解析】：对于A选项，当时，不等式不成立，故是假命题； 对于B选项，当时，不满足，故为假命题； 对于C选项，当时，，不满足，故为假命题. 对于D选项，由于，所以，即，故为真命题.故选：D. 6、若a，b，c∈R，a＞b，则下列不等式恒成立的是( ) A．＜ B．a2＞b2 C．＞ D．a|c|＞b|c| 【答案】C 【解析】由题意可知， 若a＞0＞b，则＞，故选项A错误；若a＝1，b＝－2，则a2＜b2，故选项B错误；因为a＞b，且＞0，所以＞，故选项C正确；若c＝1，则选项D错误；综上，答案选C． 7、不等式－2x2＋x＋3＜0的解集为(　　) A. B. C.(－∞，－1)∪ D.∪(1，＋∞) 【答案】　C 【解析】　－2x2＋x＋3＜0可化为2x2－x－3＞0，即(x＋1)(2x－3)＞0，∴x＜－1或x＞. 8、“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的充要条件是(　　) A．m> B．m< C．m<1 D．m>1 【答案】：A 【解析】∵不等式x2－x＋m>0在R上恒成立，∴Δ＝(－1)2－4m<0，解得m>， 又∵m>，∴Δ＝1－4m<0，∴“m>”是“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的充要条件．故选A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9、已知a，b，c，，则下列命题为假命题的是（ ) A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【解析】对于A，取，此时，故A错误； 对于B，由时，利用不等式的性质，不等式两边乘以同一个正数，不等号方向不变，可知，故B正确； 对于C，，，当时，，故错误； 对于D，由不等式的性质，两边同时减一个数，不等号方向不变，故D正确； 故选：BD 10、设，，则（ ） A. “”“” B. “”“” C. “”“” D. “”“” 【答案】BCD 【解析】A：当时，不成立，故错误； B：由，则成立，故正确； C：且，即，则，故恒成立，故正确； D：当时，，当时，，故正确； 故选：BCD 11、已知均为实数，则下列命题正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若则 D．若则 【答案】BC 【解析】若，，则，故A错； 若，，则，化简得，故B对； 若，则，又，则，故C对； 若，，，，则，，，故D错； 故选：BC． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12、设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是________. 【答案】[5，10] 【解析】方法一　设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n为待定系数)，则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)， 即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b. 于是得解得∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1). 又∵1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4.∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10. 13、已知函数，若对任意恒成立，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【解析】∵时，恒成立，即恒成立． 即当时， 恒成立．而在上单调递减， ∴，故．∴实数的取值范围是 14、若0<a<b，且a＋b＝1，则将a，b，，2ab，a2＋b2从小到大排列为________________． 【答案】　a<2ab<<a2＋b2<b 【解析】　方法一　令a＝，b＝，则2ab＝，a2＋b2＝＋＝，故a<2ab<<a2＋b2<b. 方法二　∵0<a<b且a＋b＝1，∴a<<b<1，∴2b>1且2a<1，∴a<2b·a＝2a(1－a)＝－2a2＋2a ＝－22＋<，即a<2ab<.又a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab>1－＝， 即a2＋b2>.∵<b<1，∴(a2＋b2)－b＝[(1－b)2＋b2]－b＝2b2－3b＋1＝(2b－1)(b－1)<0， 即a2＋b2<b，综上可知a<2ab<<a2＋b2<b 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15、（13分）设a>b>0，试比较与的大小． 解法一(作差法)： －＝＝． 因为a>b>0，所以a＋b>0，a－b>0，2ab>0．所以>0，所以>． 解法二(作商法)： 因为a>b>0，所以>0，>0． 所以＝＝＝1＋>1．所以>． 16、（15分）求下列不等式的解集： (1)－x2＋8x－3>0；(2) ≤0  【答案】（1）（2）. 【解析】(1)因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52>0， 所以方程－x2＋8x－3＝0有两个不相等的实根x1＝4－，x2＝4＋. 又二次函数y＝－x2＋8x－3的图象开口向下， 所以原不等式的解集为{x|4－<x<4＋}. （2）方法一:≤0等价于①或② 解①得-<x≤1,解②得x∈⌀,所以原不等式的解集为. 方法二:不等式≤0⇔ 所以由二次不等式知所以-<x≤1.所以原不等式的解集为. 17、（15分）(1)解关于实数的不等式： ． (2)解关于实数的不等式：． 【解析】（1）由得，∴， 1 当时，的解集为， 2 当时，的解集为， ③当时，的解集为． （2）对方程 ，当即时 不等式的解集为 当即或时 的根为 不等式的解集为 18、 （17分）解关于x的不等式：x2－(a＋a2)x＋a3＞0(a∈R). 【解析】　将不等式x2－(a＋a2)x＋a3＞0变形为 (x－a)(x－a2)＞0. 当a＜0时，a＜a2，∴原不等式的解集为{x|x＜a或x＞a2}； 当a＝0时，a＝a2＝0，∴原不等式的解集为{x|x≠0}； 当0＜a＜1时，a＞a2，∴原不等式的解集为{x|x＜a2或x＞a}； 当a＝1时，a＝a2＝1，∴原不等式的解集为{x|x≠1}； 当a＞1时，a＜a2，∴原不等式的解集为{x|x＜a或x＞a2}. 综上所述，当a＜0或a＞1时，原不等式的解集为{x|x＜a或x＞a2}； 当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≠0}； 当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|x＜a2或x＞a}； 当a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠1}. 19、（17分）已知关于的不等式的解集为或. （1）求、的值； （2）当，且满足时，有恒成立，求实数范围. 【解析】（1）因为不等式的解集为或. 所以，关于的方程有两个实根分别为，，且有， 所以得； （2）由（1）知，不等式恒成立，则， ， 当且仅当时，取等号， 所以：，即，即. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $