5.1.2等式的性质（题型专练）数学人教版2024七年级上册

5.1.2 等式的性质 题型一 根据等式的性质，判断式子变形的正误 1．（2025七年级上·全国·专题练习）下列各式运用等式的基本性质变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题考查等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 利用等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、若，则，选项说法正确，符合题意； B、若，则，选项说法错误，不符合题意； C、若，则，选项说法错误，不符合题意； D、若，则，选项说法错误，不符合题意； 故选：A． 2．（25-26七年级上·海南·开学考试）（，为非自然数），根据等式的性质，下面的等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质逐项判断即可求解，掌握等式的性质是解题的关键． 【详解】解：、因为， 所以， 即，该选项等式成立，不合题意； 、因为， 所以， 即，该选项等式成立，不合题意； 、因为， 所以， 即，该选项等式不成立，符合题意； 、因为， 所以， 即，该选项等式成立，不合题意； 故选：． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列运用等式的性质对等式进行的变形中，不一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题主要考查了等式的性质：性质、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 根据等式的性质解答即可． 【详解】解：A、若，且时，则，故符合题意； B、若，则，不符合题意； C、若，则，不符合题意； D、若，则，不符合题意； 故选：A． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知，则下列式子：①；②；③；④．其中一定成立的有（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】本题考查的是等式的基本性质，熟知等式的基本性质是解答此题的关键． 根据等式的基本性质对四个小题进行逐一分析即可． 【详解】解：①∵，∴，符合题意； ②∵，∴，符合题意； ③∵，∴，不符合题意； ④∵，∴，不符合题意． 故选：A． 5．（24-25七年级上·辽宁盘锦·阶段练习）下列运用等式的性质，变形不正确的是（    ） A．若，则 B．若,则 C．若 ，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题主要考查了等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键：等式两边同时加上或减去同一个数或整式，等式仍然成立；等式两边同时乘以一个数或式子等式仍然成立；等式两边同时除以一个不为零的数字或式子等式仍然成立． 【详解】解：A、若，则，原结论正确，不符合题意； B、若,则，原结论错误，符合题意； C、若 ，则，原结论正确，不符合题意； D、因为 ，所以若，则，原结论正确，不符合题意； 故选：B． 6．（24-25七年级下·陕西西安·开学考试）下列利用等式的基本性质变形，错误的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【分析】本题考查了等式的基本性质，解题的关键是掌握等式的两条基本性质：等式两边同时加（或减）同一个数（或整式），等式仍成立；等式两边同时乘（或除以）同一个不为0的数（或整式），等式仍成立，尤其要注意除法中除数不能为0． 根据等式的性质逐项分析即可． 【详解】解：根据等式的基本性质对各选项分析如下： A.，两边同时除以，得，变形正确，本选项不符合题意； B.，可推出，也可能推出，故变形错误，本选项符合题意； C.，两边同时减去6，得，变形正确，本选项不符合题意； D.，且，两边同时除以，得，变形正确，本选项不符合题意． 故选：B． 7．（24-25七年级上·河北衡水·期末）下列由等式的性质进行的变形，不正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】A 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质逐项判断即可求解，掌握等式的性质是解题的关键． 【详解】解：A、如果，且，那么，故本选项错误，符合题意； B、如果，那么，故本选项正确，不符合题意； C、因为，则如果，那么，故本选项正确，不符合题意； D、如果，那么，故本选项正确，不符合题意； 故选：A 题型二 根据等式的性质，判断方程变形的正误 8．（24-25七年级下·湖北武汉·开学考试）下列方程变形中，正确的是（　　） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次方程的方法，根据等式的性质，逐项判断即可． 【详解】解：A、∵由，得， ∴选项A不符合题意； B、∵由，得， ∴选项B不符合题意； C、∵由，得， ∴选项C符合题意； D、∵由，得， ∴选项D不符合题意． 故选：C． 9．（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）在下列方程的变形中，正确的是（   ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次方程，根据等式的性质判断即可求解，掌握等式的性质是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴移项得，该选项变形错误，不合题意； 、∵， ∴， 即，该选项变形正确，符合题意； 、∵， ∴， 即，该选项变形错误，不合题意； 、∵， ∴， 即， ∴，该选项变形错误，不合题意； 故选：． 10．（24-25七年级下·湖南湘西·开学考试）下列方程变形正确的是（ ） A．由得 B．由得 C．由得 D．由得 【答案】D 【分析】根据等式的性质进行变形判断即可． 本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键． 【详解】解：A、由得，故此选项不符合题意； B、由得，故此选项不符合题意； C、由得，故此选项不符合题意； D、由得，故此选项符合题意； 故选：D 11．（24-25七年级上·全国·随堂练习）下列方程变形错误的是（   ） A．方程移项，得 B．方程两边同时除以，得 C．方程移项，得 D．方程两边同时除以x，得 【答案】D 【分析】本题考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．等式性质1：等式两边加（或减）同一个数或式子，结果仍相等；等式性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等． 根据等式的性质逐项判断，可得答案． 【详解】A、 方程移项，得，A正确： B、方程两边同时除以，得 ，B正确： C、方程移项，得，C正确： D、方程移项得：，即，解得：，不能两边同时除以x，D不正确． 故选：D． 12．（24-25七年级上·江苏南京·期末）下列等式变形正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质逐一分析各选项的变形是否正确． 【详解】解：A. 如果，两边同时加3应得，但选项A中右边变为，不符合等式性质，错误； B. 原式，两边同时加得，即，但选项B中结果为，错误； C. 原式，两边同时除以2得，但选项C中结果为，计算错误； D. 原式，两边同时乘以2得，符合等式两边同乘同一数的性质，正确． 故选：D． 13．（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）下列方程变形正确的是（    ）． A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】C 【分析】本题主要考查了等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键：等式两边同时加上或减去同一个数或整式，等式仍然成立；等式两边同时乘以一个数或式子等式仍然成立；等式两边同时除以一个不为零的数字或式子等式仍然成立． 【详解】解：A、由，得，原式变形错误，不符合题意； B、由，得，原式变形错误，不符合题意； C、由，得，原式变形正确，符合题意； D、由，得，原式变形错误，不符合题意； 故选：C． 14．（24-25七年级下·全国·假期作业）下列方程的变形错误的有（   ） ①由得；②由得；③由得；④由得． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查解方程中的移项和等式的性质，熟练掌握移项及等式的性质是解题的关键，根据移项和等式的性质逐一判断即可得到答案． 【详解】解：①移项得：此项错误， ②移项得：此项错误， ③移项得：此项错误， ④等式两边同进除以得：：此项错误， 综上，四个变形均错误， 故选：D． 题型三 判断等式变形应满足的条件 15．（23-24七年级上·山东日照·阶段练习）由等式能得到，则必须满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了等式的性质，利用等式的基本性质得出时，由等式能得到，即可得出答案，正确把握等式的基本性质是解题关键． 【详解】由等式能得到， ∴，则， 故选：． 16．（23-24七年级上·全国·课堂例题）已知，若根据等式的性质可变形为，则满足的条件是（    ） A． B． C． D．可以是任意数或式子 【答案】C 【分析】根据等式的性质即可得到答案． 【详解】解：当时，根据等式的性质可变形为， 故选：C 【点睛】此题考查了等式的变形，熟练掌握等式的性质是解题的关键． 17．（24-25七年级下·安徽安庆·期中）已知三个实数a，b，c，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式的性质以及整式的性质．根据，可整理得到，，再结合即可得到，． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 故选：C． 18．（2022·安徽宣城·一模）已知数a，b，c满足，则与的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等式的性质，根据等式的性质，得到，等量代换得到，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选B． 19．（25-26七年级上·全国·课后作业）由等式得到等式，应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质，若使等式成立，则需使等号两侧同时乘以的式子不为零即可解得. 【详解】解：∵由等式可得到等式， ， 解得. 故选：B ． 题型四 根据等式的性质填空 20．（25-26七年级上·全国·随堂练习）根据等式的性质填空，并说明依据： （1）如，那么； （2）如果，那么 ； （3）如果，那么； （4）如果，那么． 【答案】（1），根据等式的性质1，等式两边加，结果仍相等 ； （2）5，根据等式的性质1．等式两边减，结果仍相等； （3），根据等式的性质2，等式两边乘，结果仍相等； （4）2，根据等式的性质2，等式两边除以2，结果仍相等； 【分析】本题考查了等式的性质，熟知等式的性质是解决本题的关键． （1）根据等式的性质1，即可解答； （2）根据等式的性质1，即可解答； （3）根据等式的性质2，即可解答； （4）根据等式的性质2，即可解答． 【详解】解：（1）如果，那么，根据等式的性质1，等式两边加，结果仍相等； （2）如果，那么，根据等式的性质1．等式两边减，结果仍相等； （3）如果，那么，根据等式的性质2，等式两边乘，结果仍相等； （4）如果，那么，根据等式的性质2，等式两边除以2，结果仍相等． 21．（24-25七年级上·全国·随堂练习）根据等式的性质填空： （1）若，则 ．       （2）若，则 ． （3）若，则 ．        （4）若，，则 ． 【答案】 0 【分析】本题考查了等式的基本性质，熟练掌握是解此题的关键． （1）根据等式的基本性质解答即可； （2）根据等式的基本性质解答即可； （3）根据等式的基本性质解答即可； （4）根据等式的基本性质解答即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， 故答案为：； （3）∵， ∴， 故答案为：； （4）∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 22．（24-25七年级下·湖北十堰·期末）已知x、y都是整数，利用等式性质，将下列各小题中的等式进行变形，然后填空． （1）如果，那么 ，这就是说，如果两个数的和为0，那么这两个数 ； （2）如果，那么 ，这就是说，如果两个数的积为1，那么这两个数 ； （3）如果，那么 ，，这就是说，如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为 ； （4）如果，那么x ，这就是说，如果两个数互为倒数，那么这两个数的积为 ． 【答案】 互为相反数 互为倒数 【分析】本题考查等式的基本性质及相反数、倒数的概念．需通过变形等式，填入合适的数或关系． （1）根据等式的性质以及相反数的性质即可求解； （2）根据等式的性质以及倒数的定义，即可求解； （3）根据等式的性质以及相反数的性质即可求解； （4）根据等式的性质以及倒数的定义，即可求解． 【详解】（1）如果，那么，这就是说，如果两个数的和为0，那么这两个数互为相反数； 故答案为：， 互为相反数． （2）如果，那么，这就是说，如果两个数的积为1，那么这两个数互为倒数； 故答案为：，互为倒数． （3）如果，那么，这就是说，如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为； 故答案为：，． （4）如果，那么，这就是说，如果两个数互为倒数，那么这两个数的积为． 故答案为：，． 23．（24-25七年级下·全国·假期作业）用适当的式子填空． （1）若，则 ； （2）若，则 ； （3）若，则 ； （4）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键． （）根据等式性质，两边同时加即可； （）根据等式性质，两边同时减即可； （）根据等式性质，两边同时除以即可； （）根据等式性质，两边同时减即可． 【详解】解：（）根据等式性质，两边同时加， ， 故答案为：； （）根据等式性质，两边同时减， ， 故答案为：； （）根据等式性质，两边同时除以， ， 故答案为：； （）根据等式性质，两边同时减， ， ， 故答案为：． 24．（25-26七年级上·全国·课后作业）用适当的数或式子填空，使所得结果仍是等式： (1)如果，那么 ． (2)如果，那么 ． (3)如果，那么 ． (4)如果，那么 ． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为的数（或字母），等式仍成立． （1）（2）分别根据等式的性质判断即可； （3）（4）分别根据等式的性质判断即可； 【详解】（1）解：如果，，根据等式性质，在等式两边都减去； 故填：； （2）如果，那么，根据等式性质，在等式两边都减去； 故填：； （3）如果，那么，根据等式性质，在等式两边都除以； 故填：； （4）如果，那么，根据等式性质，在等式两边都乘以； 故填：． 25．（2024七年级上·全国·专题练习）根据等式的性质填空，并说明依据： (1)如果，那么___________； (2)如果，那么___________； (3)如果，那么___________； (4)如果，那么___________． 【答案】(1)，根据等式的性质1，等式两边加，结果仍相等 (2)5，根据等式的性质1．等式两边减，结果仍相等 (3)，根据等式的性质2，等式两边乘，结果仍相等 (4)2，根据等式的性质2，等式两边除以2，结果仍相等 【分析】本题考查了等式的性质，熟知等式的性质是解决本题的关键． （1）根据等式的性质1，即可解答； （2）根据等式的性质1，即可解答； （3）根据等式的性质2，即可解答； （4）根据等式的性质2，即可解答． 【详解】（1）解：如果，那么，根据等式的性质1，等式两边加，结果仍相等； （2）解：如果，那么，根据等式的性质1．等式两边减，结果仍相等； （3）解：如果，那么，根据等式的性质2，等式两边乘，结果仍相等； （4）解：如果，那么，根据等式的性质2，等式两边除以2，结果仍相等． 题型五 利用等式的性质解方程 26．（2024七年级上·吉林·专题练习）利用等式性质解下列方程 (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，等式的基本性质，解题的关键是掌握等式的基本性质． （1）根据等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立，可得答案； （2）根据等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立，可得答案； （3）根据等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立，可得答案； （4）根据等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立，可得答案． 【详解】（1） 两边加5，得， 解得． （2）， 两边除以，得， 解得． （3） 两边减2，得， ， 两边除以，得， 得． （4）， 两边加2，得， ， 两边除以4，， 解得． 27．（2024七年级上·全国·专题练习）根据等式的性质解方程： (1)①； ② ； ③； (2)①； ② ； ③； (3) 【答案】(1)①；②；③ (2)①；②；③ (3) 【分析】题目主要考查根据等式的性质解方程，熟练掌握等式的性质是解题关键 （1）①根据等式的性质求解即可；②根据等式的性质求解即可；③根据等式的性质求解即可； （2）①根据等式的性质求解即可；②根据等式的性质求解即可；③根据等式的性质求解即可； （3）根据等式的性质求解即可 【详解】（1）① ； 解：两边加2，得， 即； ②； 解：两边减，得， 即； ③； 解：两边加，得， 两边减1，得； （2）①； 解：两边乘2，得； ②， 解：两边除以5，得； ③， 解：两边除以，得； （3）， 解：两边减，得， 两边加8，得， 两边除以2，得 28．（25-26七年级上·江苏泰州·开学考试）解方程． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查解一元一次方程，掌握算理是解决问题的关键． （1）利用除数、被除数、商之间的关系解方程即可； （2）利用等式的性质解方程即可； （3）先化简方程右边的比值，再利用被除数、除数、商之间的关系解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ； （2）， ， ， ； （3）， ， ， ． 29．（23-24七年级上·天津·开学考试）求未知数x的值． (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了根据等式的性质解方程等知识，熟知等式的性质是解题关键﹒ （1）先化简，再根据等式性质两边同乘以即可求解； （2）根据等式性质两边同时加上，两边再同时减去1.6，最后两边同时乘4即可求解； （3）两边同时加上，再两边同时乘以即可求解﹒ 【详解】（1）解： ， ， ； （2）解： ， ， ， ， ， ； （3）解： ， ， ， ﹒ 题型一 利用等式的性质求式子的值 30．（24-25六年级下·山东泰安·期中）若是方程的解，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了方程的解，等式的性质，先把方程的解代入方程得出，再根据等式的性质即可得出． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 31．（24-25七年级上·四川南充·期中）若，则的值可表示为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质，根据题意等式的两边同时加上，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即 故选：B． 32．（24-25七年级下·河南洛阳·期中）整式的值随着x的取值的变化而变化，下表是当取不同的值时对应的整式的值：则关于的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，由，则，再根据由表格中的数据即可解答，掌握等式的性质成为解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 由表格可知，关于的方程的解是， 故答案为：． 33．（24-25七年级上·四川·期中）已知，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，代数式求值，根据题意得出，则，整体代入即可求解． 【详解】解：根据题意得出，则， 故答案为：． 34．（24-25七年级上·全国·假期作业）若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题关键．把等号两边同时除以4得出，等号两边再同时减去即可得答案． 【详解】解：， 等号两边同时除以4得：， 所以， 所以的值是． 35．（22-23七年级下·福建泉州·期末）实数x、y、z且，，，则的值是 ． 【答案】0 【分析】本题考查了等式的性质，有理数的混合运算，解题的关键是得到，．根据已知等式得到，．，从而分别分析各选项． 【详解】解：∵， ∴， 同理：， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：0． 36．（24-25九年级下·贵州贵阳·自主招生），求的值． 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质以及整式的加减，利用整体思想解题是关键．将已知等式前四个式子相加得到新的等式，整理可得，即可求解． 【详解】解：， ， ， ． 37．（2024七年级上·全国·专题练习）已知，利用等式的性质，求： (1)和的值； (2)的值． 【答案】(1)，7 (2)16 【分析】题目主要考查等式的性质及求代数式的值，熟练掌握等式的性质是解题关键． （1）根据题意，得，再由等式的性质求解即可； （2）将原式整理，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 在左右两边同时乘b，得， 在左右两边同时除以，得， 在等式，左右两边同时加3，得，即， 在左右两边同时加b，得； （2）， 由（1）知，， 故原式． 题型二 利用等式的性质解决天平中的问题 38．（2025·甘肃庆阳·三模）用“”“△”“○”表示三种不同的物体，它们的质量分别为a，b，c（a，b，c均为正数），现用天平称了两次，情况如图所示，则能正确表示天平从左到右变化过程的选项为（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【分析】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键：①等式的性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等，即：如果，那么；②等式的性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，即：如果，那么；如果，那么． 根据题意以及左右两图的含义即可直接得出答案． 【详解】解：由题意可知： 左图的含义为：， 右图的含义为：， 能正确表示天平从左到右变化过程的等式变形为： 如果，那么， 故选：C． 39．（24-25七年级上·福建宁德·期末）如图，天平从左到右的变化情况，与下列式子的变形意义相同的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题主要考查等式的基本性质1：等式两边同时加或减同一个数或式子，等式仍然成立；熟练掌握等式的基本性质是解题的关键．结合图形前后变化和等式的基本性质，即可得解； 【详解】由图可知：设立方块为，小球为，圆柱体为， 由左图可知：， 由右图可知： 故选：A 40．（24-25七年级上·山西吕梁·阶段练习）如图，若天平①平衡，则下列选项中，天平一定平衡的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键，根据等式的性质，可得答案． 【详解】解：∵天平①平衡， ∴， ∴，即， ∴天平一定平衡的是C， 故选：C． 41．（23-24七年级上·河北保定·期末）如图，已知相同物体的质量相等，①中天平保持平衡状态，则②中天平（    ） A．能平衡 B．不能平衡，右边比左边低 C．不能平衡，左边比右边低 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查等式的性质．分别将三个图形的质量用字母表示，根据①写出一个等式并利用等式的基本性质2求得两种不同图形的质量关系，再根据等式的基本性质1得到关于天平两边质量的一个等式，从而判断即可． 【详解】解：设□的质量是a，△的质量是b，〇的质量是c． 根据①，得． 根据等式的基本性质2，将两边同时除以2，得； 根据等式的基本性质1，将两边同时加上，得； ∵②中天平左侧的质量为，右侧的质量为， ∴左侧的质量右侧的质量， ∴②中天平能平衡， 故选：A． 42．（24-25七年级上·福建莆田·期末）如图，标有相同字母的物体的质量相同，若的质量为20克，则当的质量为 克时，天平处于平衡． 【答案】10 【分析】本题主要考查了等式的性质，由题意得，，则，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∵的质量为20克， ∴的质量为10克， 故答案为：10． 43．（23-24七年级上·山西吕梁·阶段练习）综合与实践 【问题情境】在综合实践课上，老师让同学们利用天平和一些物品探究等式的基本性质，现有一架天平和一个10克的砝码，如何称出1个乒乓球和1个纸杯的质量？ 【操作探究】下面是“指挥小组”的探究过程； 准备物品：①若干个大小相同的乒乓球（质量相同）；②若干个大小相同的纸杯（质量相同）． 探究过程：设每个乒乓球的质量是x克． 天平左边 天平右边 天平状态 乒乓球的总质量 一次性纸杯的总质量 记录1 8个乒乓球和1个10克的砝码 14个一次性纸杯 平衡 8x ______ 记录2 4个乒乓球 2个一次性纸杯和1个10克的砝码 平衡 4x ______ 【解决问题】 （1）①将表格中的空白部分用含x的式子表示； ②分别求1个乒乓球的质量和1个一次性纸杯的质量． 【拓展设计】 （2）“创新小组”根据“智慧小组”的探究过程提出这样一个问题： 请你设计一个方案，使得乒乓球的个数为一次性纸杯个数的2倍，并填入下表： 天平左边 天平右边 天平状态 记录3 乒乓球______个 一次性纸杯______个+1个10克的砝码 平衡 并利用方程的知识说明理由． 【答案】（1）①；②一个乒乓球的质量为4克，一个一次性纸杯的质量为3克（2）不唯一，算术方法或者方程方法说明都可以，言之有理即可 【分析】此题考查的是等式的性质，列代数式， （1）①由题目中的数量关系可得答案； ②根据题意列出方程，求解可得答案； （2）根据等式的性质可得答案． 【详解】解决问题 解：①根据题意可得：记录一中的一次性纸杯的总质量为：； 记录二中的一次性纸杯的总质量为：， 故答案为：；， ②由题意得：， 解得：， ， 答：一个乒乓球的质量为4克，一个一次性纸杯的质量为3克． 及时迁移 （2）解：将天平左边放置4个乒乓球，天平右边放置2个一次性纸杯和1个10克的砝码，使得天平平衡． 故答案为：4个乒乓球，2个一次性纸杯和1个10克的砝码， 理由：不唯一，算术方法或者方程方法说明都可以，言之有理即可． 故答案为：不唯一，算术方法或者方程方法说明都可以，言之有理即可． 44．（21-22七年级上·四川达州·阶段练习）观察下列两个等式：，，给出定义如下：我们称使等式a+b=ab-1成立的一对有理数a，b为“一中有理数对”，记为（a，b），如：数对（3，2），都是“一中有理数对”． （1）数对（-2，1），中是“一中有理数对”的是 ． （2）若（a，3）是“一中有理数对”，求a的值； （3）若（m，n）是“一中有理数对”，则（-n，-m）是否为“一中有理数对”？请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）不是，理由见解析 【分析】（1）根据：使等式成立的一对有理数，为“一中有理数对”，判断出数对，中是“一中有理数对”的是哪个即可； （2）根据是“一中有理数对”，得到，求解即可； （3）根据是“一中有理数对”，得到，进行判断即可； 【详解】（1） 不是“一中有理数对” 是“一中有理数对”， 故答案为： （2） 是“一中有理数对”， 解得 （3）不是，理由如下， 是“一中有理数对”， ， 不是“一中有理数对”， 【点睛】考查有理数的混合运算，整式的加减，化简求值，等式的性质，读懂题目中“一中有理数对”的定义是解题的关键. 45．（17-18七年级上·全国·课后作业）对于任意有理数，，，，我们规定．例如．若，你能根据等式的性质求出的值吗？ 【答案】 【分析】本题考查了利用等式的性质解一元一次方程，解题的关键是理解新定义的运算．将根据定义的运算转化为方程，然后利用等式的性质进行求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ． 46．（22-23六年级·上海·假期作业）规定，，，，……如果，那么是几？ 【答案】 【分析】将化为：再根据等式的性质进行解答即可． 【详解】解： 由，可得：， 进而得出， 根据等式的性质2得：，将，代入可得： 所以 答：是． 【点睛】本题考查数字规律探究，等式的性质，是一道稍复杂的等量代换，合理运用等式的性质是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.1.2 等式的性质 题型一 根据等式的性质，判断式子变形的正误 1．（2025七年级上·全国·专题练习）下列各式运用等式的基本性质变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（25-26七年级上·海南·开学考试）（，为非自然数），根据等式的性质，下面的等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列运用等式的性质对等式进行的变形中，不一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知，则下列式子：①；②；③；④．其中一定成立的有（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．①③④ 5．（24-25七年级上·辽宁盘锦·阶段练习）下列运用等式的性质，变形不正确的是（    ） A．若，则 B．若,则 C．若 ，则 D．若，则 6．（24-25七年级下·陕西西安·开学考试）下列利用等式的基本性质变形，错误的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 7．（24-25七年级上·河北衡水·期末）下列由等式的性质进行的变形，不正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 题型二 根据等式的性质，判断方程变形的正误 8．（24-25七年级下·湖北武汉·开学考试）下列方程变形中，正确的是（　　） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 9．（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）在下列方程的变形中，正确的是（   ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 10．（24-25七年级下·湖南湘西·开学考试）下列方程变形正确的是（ ） A．由得 B．由得 C．由得 D．由得 11．（24-25七年级上·全国·随堂练习）下列方程变形错误的是（   ） A．方程移项，得 B．方程两边同时除以，得 C．方程移项，得 D．方程两边同时除以x，得 12．（24-25七年级上·江苏南京·期末）下列等式变形正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 13．（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）下列方程变形正确的是（    ）． A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 14．（24-25七年级下·全国·假期作业）下列方程的变形错误的有（   ） ①由得；②由得；③由得；④由得． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型三 判断等式变形应满足的条件 15．（23-24七年级上·山东日照·阶段练习）由等式能得到，则必须满足的条件是（    ） A． B． C． D． 16．（23-24七年级上·全国·课堂例题）已知，若根据等式的性质可变形为，则满足的条件是（    ） A． B． C． D．可以是任意数或式子 17．（24-25七年级下·安徽安庆·期中）已知三个实数a，b，c，满足，则（    ） A． B． C． D． 18．（2022·安徽宣城·一模）已知数a，b，c满足，则与的关系是（   ） A． B． C． D． 19．（25-26七年级上·全国·课后作业）由等式得到等式，应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 题型四 根据等式的性质填空 20．（25-26七年级上·全国·随堂练习）根据等式的性质填空，并说明依据： （1）如，那么； （2）如果，那么 ； （3）如果，那么； （4）如果，那么． 21．（24-25七年级上·全国·随堂练习）根据等式的性质填空： （1）若，则 ．       （2）若，则 ． （3）若，则 ．        （4）若，，则 ． 22．（24-25七年级下·湖北十堰·期末）已知x、y都是整数，利用等式性质，将下列各小题中的等式进行变形，然后填空． （1）如果，那么 ，这就是说，如果两个数的和为0，那么这两个数 ； （2）如果，那么 ，这就是说，如果两个数的积为1，那么这两个数 ； （3）如果，那么 ，，这就是说，如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为 ； （4）如果，那么x ，这就是说，如果两个数互为倒数，那么这两个数的积为 ． 23．（24-25七年级下·全国·假期作业）用适当的式子填空． （1）若，则 ； （2）若，则 ； （3）若，则 ； （4）若，则 ． 24．（25-26七年级上·全国·课后作业）用适当的数或式子填空，使所得结果仍是等式： (1)如果，那么 ． (2)如果，那么 ． (3)如果，那么 ． (4)如果，那么 ． 25．（2024七年级上·全国·专题练习）根据等式的性质填空，并说明依据： (1)如果，那么___________； (2)如果，那么___________； (3)如果，那么___________； (4)如果，那么___________． 题型五 利用等式的性质解方程 26．（2024七年级上·吉林·专题练习）利用等式性质解下列方程 (1)； (2)； (3)； (4). 27．（2024七年级上·全国·专题练习）根据等式的性质解方程： (1)①； ② ； ③； (2)①； ② ； ③； (3) 28．（25-26七年级上·江苏泰州·开学考试）解方程． (1)； (2)； (3)． 29．（23-24七年级上·天津·开学考试）求未知数x的值． (1) (2) (3) 题型一 利用等式的性质求式子的值 30．（24-25六年级下·山东泰安·期中）若是方程的解，则代数式的值是 ． 31．（24-25七年级上·四川南充·期中）若，则的值可表示为( ) A． B． C． D． 32．（24-25七年级下·河南洛阳·期中）整式的值随着x的取值的变化而变化，下表是当取不同的值时对应的整式的值：则关于的方程的解是 ． 33．（24-25七年级上·四川·期中）已知，则代数式的值为 ． 34．（24-25七年级上·全国·假期作业）若，则的值是 ． 35．（22-23七年级下·福建泉州·期末）实数x、y、z且，，，则的值是 ． 36．（24-25九年级下·贵州贵阳·自主招生），求的值． 37．（2024七年级上·全国·专题练习）已知，利用等式的性质，求： (1)和的值； (2)的值． 题型二 利用等式的性质解决天平中的问题 38．（2025·甘肃庆阳·三模）用“”“△”“○”表示三种不同的物体，它们的质量分别为a，b，c（a，b，c均为正数），现用天平称了两次，情况如图所示，则能正确表示天平从左到右变化过程的选项为（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 39．（24-25七年级上·福建宁德·期末）如图，天平从左到右的变化情况，与下列式子的变形意义相同的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 40．（24-25七年级上·山西吕梁·阶段练习）如图，若天平①平衡，则下列选项中，天平一定平衡的是（    ） A．B．C． D． 41．（23-24七年级上·河北保定·期末）如图，已知相同物体的质量相等，①中天平保持平衡状态，则②中天平（    ） A．能平衡 B．不能平衡，右边比左边低 C．不能平衡，左边比右边低 D．无法确定 42．（24-25七年级上·福建莆田·期末）如图，标有相同字母的物体的质量相同，若的质量为20克，则当的质量为 克时，天平处于平衡． 43．（23-24七年级上·山西吕梁·阶段练习）综合与实践 【问题情境】在综合实践课上，老师让同学们利用天平和一些物品探究等式的基本性质，现有一架天平和一个10克的砝码，如何称出1个乒乓球和1个纸杯的质量？ 【操作探究】下面是“指挥小组”的探究过程； 准备物品：①若干个大小相同的乒乓球（质量相同）；②若干个大小相同的纸杯（质量相同）． 探究过程：设每个乒乓球的质量是x克． 天平左边 天平右边 天平状态 乒乓球的总质量 一次性纸杯的总质量 记录1 8个乒乓球和1个10克的砝码 14个一次性纸杯 平衡 8x ______ 记录2 4个乒乓球 2个一次性纸杯和1个10克的砝码 平衡 4x ______ 【解决问题】（1）①将表格中的空白部分用含x的式子表示； ②分别求1个乒乓球的质量和1个一次性纸杯的质量． 【拓展设计】（2）“创新小组”根据“智慧小组”的探究过程提出这样一个问题： 请你设计一个方案，使得乒乓球的个数为一次性纸杯个数的2倍，并填入下表： 天平左边 天平右边 天平状态 记录3 乒乓球______个 一次性纸杯______个+1个10克的砝码 平衡 并利用方程的知识说明理由． 44．（21-22七年级上·四川达州·阶段练习）观察下列两个等式：，，给出定义如下：我们称使等式a+b=ab-1成立的一对有理数a，b为“一中有理数对”，记为（a，b），如：数对（3，2），都是“一中有理数对”． （1）数对（-2，1），中是“一中有理数对”的是 ． （2）若（a，3）是“一中有理数对”，求a的值； （3）若（m，n）是“一中有理数对”，则（-n，-m）是否为“一中有理数对”？请说明理由． 45．（17-18七年级上·全国·课后作业）对于任意有理数，，，，我们规定．例如．若，你能根据等式的性质求出的值吗？ 46．（22-23六年级·上海·假期作业）规定，，，，……如果，那么是几？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $