4.1指数讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

§4.1 指数 目录 题型1：根式的化简 3 题型2：化简求值 5 题型3：有附加条件的求值问题与综合计算 9 【强化训练】 12 1. n次方根的定义与性质 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且. (1) 当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时,的次方根用符号表示. (2) 当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成. (3) 负数没有偶次方根. (4) 0的任意次方根都是0，记作. 2. 根式的定义与性质 式子叫做根式，其中叫做根指数，叫做被开方数． 根据次方根的意义可得： ①（且）. ② 3. 分数指数幂 我们规定，正数的正分数指数幂的意义是； 正数的负分数指数幂的意义是 ＝; 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. 注意：分数指数幂不可理解为个相乘，它是根式的一种新的写法. 4. 有理数指数幂的运算性质 整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数，均有下面的运算性质: (1) ； (2) ； (3) . 有理数指数幂除上述运算性质之外，还有如下性质： ①； ②. 5. 无理数指数幂及其运算性质 一般地，无理数指数幂(，为无理数)是一个确定的实数.这样，我们就将指数幂中指数的取值范围从整数逐步拓展到了实数,实数指数幂是一个确定的实数. 整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，即对于任意实数，均有下面的运算性质： (1) ； (2) ； (3) . 题型1：根式的化简 方法提炼 (1) 在进行幂和根式的化简时，先将根式化成幂的形式，并化小数指数幂为分数指数幂，再利用幂的运算性质进行化简、求值、计算.根式的运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. (2) 对于形如的双重根式，当满足时，时，有，即． 【例1.1.】 式子的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】根式的化简求值 【分析】根据根式的性质运算即可得解. 【详解】， 故选：A 【例1.2.】 设，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】根式的化简求值 【分析】根据根式、指数的运算求得正确答案. 【详解】． 故选：A． 【例1.3.】 设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】根式的化简求值 【分析】利用指数运算公式直接计算. 【详解】， 故选：C. 【例1.4.】 若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】根式的化简求值 【分析】结合根式的性质化简求解即可. 【详解】因为， 所以，即，解得， 当时，即， 满足. 所以实数的取值范围是． 故答案为：. 题型2：化简求值 方法提炼 指数幂运算的常用技巧 (1) 有括号先算括号里的,无括号先进行指数运算。 (2) 负指数幂化为正指数幂的倒数。 (3) 底数是小数,一般要先化成分数;底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示,便于用指数幂的运算性质。 (4) 指数幂的变换技巧 已知幂 目标指数 变换技巧 差： 除： 和： 乘： 倒数： 换元、乘方：令，则 积： 乘方： (5) 常用的乘法公式 ①完全平方公式：； ②平方差公式：； ③立方差公式：； ④立方和公式：； ⑤完全立方公式：，. 【例2.1.】 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根式的化简求值、指数幂的化简、求值 【分析】由根式和指数的运算法则计算即可. 【详解】. 故选：C. 【例2.2.】 计算 【答案】2 【难度】0.94 【知识点】根式的化简求值、指数幂的化简、求值 【分析】利用指数幂的运算性质即可得出结果. 【详解】. 故答案为：2 【例2.3.】 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】指数幂的运算 【分析】根据合并同类同底数幂的乘法法则计算求解即可． 【详解】原式． 故答案为：． 【例2.4.】 求值：. 【答案】38 【难度】0.85 【知识点】指数幂的运算、分数指数幂与根式的互化、指数幂的化简、求值 【分析】根据根式与指数幂的互化，结合指数幂的运算性质即可求解. 【详解】原式 . 【例2.5.】 已知，则关于的表达式 ． 【答案】4 【难度】0.65 【知识点】指数幂的运算、分数指数幂与根式的互化、指数幂的化简、求值 【分析】将根式转化为分数指数幂，结合指数幂运算性质计算即可. 【详解】原式， 故答案为：4. 【例2.6.】 已知，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】分数指数幂与根式的互化、指数幂的化简、求值 【详解】因为，所以．因为，则，所以，因此． 【例2.7.】 方程的解为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值 【分析】根据指数幂的化简计算即可. 【详解】 ． 故答案为：. 【例2.8.】 （1）计算：； （2）若代数式的值与字母x的取值无关，求代数式的值. 【答案】（1）；（2） 【难度】0.85 【知识点】指数幂的化简、求值、数与式 【分析】（1）根据指数幂直接计算即可； （2）由代数式的值与字母x的取值无关，则对应次幂系数为0，可得，然后代入计算即可. 【详解】（1）原式. （2） . ∵上式的值与字母x的取值无关，∴，，∴. ∴原式 将代入上式可得原式. 题型3：有附加条件的求值问题与综合计算 方法提炼 (1) 解决条件求值问题的一般方法 ①对于条件求值问题,一般先化简代数式,再将字母的取值代入求值。 ②有时字母的取值不知道或不易求出,这时可将所求代数式适当地变形,构造出与已知条件相同或相似的结构,从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值。利用“整体代入法”求值时常用的变形公式如下： a. ； b. ； c. ； d. ④。 ③有时适当地选用换元法,能使公式的使用更清晰,过程更简洁。 (2) 对于指数幂等式的证明问题,常常是将指数幂化为同底,利用指数幂相等的规律进行证明。解决此类问题的关键是通过指数运算进行等价代换,以及利用参数找到已知与结论的联系,这样才能使问题迅速得到解决。 【例3.1.】 若，则（    ） A．11 B．14 C．30 D．45 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】指数幂的运算 【分析】根据给定条件，利用指数运算法则计算得解. 【详解】由，得. 故选：D 【例3.2.】 若，则的值为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】指数幂的运算 【分析】利用完全平方公式以及开平方，可得答案. 【详解】由，则. 故答案为：. 【例3.3.】 （多选）已知，下列各式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】指数幂的化简、求值 【分析】根据题目条件，结合完全平方公式、立方和公式逐项判断可得答案. 【详解】A.，故A正确； B.，故B错误； C.由可知，故， 因为，所以，故C正确； D.因为， 又，所以原式，故D正确． 故选：ACD. 【例3.4.】 若，则 ． 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值 【分析】先由立方差公式化简，再代入已知计算. 【详解】已知，则， 将所求式进行化简，， 则． 故答案为：. 【例3.5.】 （1）已知，且，求的值． （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）6 【难度】0.85 【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值 【分析】（1）由及计算可得； （2）由及计算可得. 【详解】（1）由题意可知， ， ， ． （2）， ， . 【例3.6.】 对于正整数和非零实数，有，求的值． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值 【分析】由得，从而，可求的值. 【详解】，且为非零实数，． 同理可得，即． 又为正整数，且由题意可知， ． ． 【强化训练】 1. 下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】根式的化简求值、指数幂的运算、分数指数幂与根式的互化 【分析】根据根式与指数幂的运算及特殊值法验证即可得答案. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，当时，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：D. 2. 已知，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】根式的化简求值 【分析】根据根式的性质化简求值即可. 【详解】因为，所以. 故选：B. 3. （   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】指数幂的化简、求值 【分析】根据指数幂运算求解即可. 【详解】． 故选：D. 4. 已知，将表示成分数指数幂的形式，其结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】分数指数幂与根式的互化、指数幂的化简、求值 【分析】由根式与有理数指数幂的关系及指数幂的运算性质化简，即可得. 【详解】由于，则； 故选：B 5. （多选）下列运算（化简）中正确的有（ ）． A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】指数幂的化简、求值 【分析】根据分数指数幂的运算法则，对四个选项分别计算、求值，从而得解． 【详解】对于A：，故A正确； 对于B：，故B正确； 对于C： ，故C错误； 对于D： ，故D正确； 故选：ABD. 6. 计算： . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根式的化简求值、指数幂的化简、求值 【分析】由指数幂、根式的运算性质化简求值. 【详解】. 故答案为： 7. (1)计算：； (2)已知，求； (3)若，且，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.94 【知识点】指数幂的运算、分数指数幂与根式的互化、指数幂的化简、求值 【分析】（1）（2）（3）利用指数幂的运算法则以及根式分数指数幂的互化解答，化简过程中一定要注意等价性，特别注意开偶次方根时被开方数非负． 【详解】（1）． （2），所以． （3）当，时，． 8. （1）求值： （2）化简：； （3）已知，求的值. 【答案】（1）（2）（3） 【难度】0.65 【知识点】根式的化简求值、指数幂的运算、分数指数幂与根式的互化、指数幂的化简、求值 【分析】（1）转化为指数式，利用指数幂的运算即可求解； （2）将根式转化为分数指数幂，利用指数幂的运算即可求解； （3）利用求和，代入即可求解. 【详解】 （1） ； （2），∴， （3）由，得，， 所以. 9. （1）化简求值：. （2）已知，求的值. 参考公式：立方和公式：；立方差公式： 【答案】（1）7；（2）65 【难度】0.4 【知识点】根式的化简求值、指数幂的化简、求值 【分析】（1）根据指数的运算法则计算即可； （2）配凑立方和公式求解. 【详解】（1）原式. （2）因为，所以，所以， 所以. 10. （1）计算：； （2）已知，，求的值； （3）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【难度】0.65 【知识点】根式的化简求值、指数幂的运算、指数幂的化简、求值 【分析】（1）由根式与指数关系及有理数指数幂的运算性质化简求值； （2）将目标式化为，再代入求值； （3）由已知及指数幂运算得、，代入目标式求值. 【详解】（1）原式； （2）由，， 则； （3）由于，则， 所以，， 所以. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $§4.1指数 目录 题型1：根式的化简 3 题型2：化简求值 4 题型3：有附加条件的求值问题与综合计算 6 【强化训练】 8 1 1.n次方根的定义与性质 一般地，如果x”=a,那么x叫做a的n次方根，其中n>1,且neN 1)当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.这时，a的n次 方根用符号a表示 (②)当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数这时，正数a的正的n次 方根用符号a表示，负的n次方根用符号a表示.正的n次方根与负的n次方根可以 合并写成±√a(a>0) (3)负数没有偶次方根. (4)0的任意次方根都是0，记作6=0 2.根式的定义与性质 式子a叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数 根据n次方根的意义可得： ①(Wa)"=a(n>1且n∈N) ②√a ,n为奇数 a,n为偶数 3.分数指数幂 我们规定，正数的正分数指数幂的意义是an=刊am(a>0,m,neN',n>1); 正数的负分数指数幂的意义是。：=1-1 (a>0,m,neN',n>1)g 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 注意：分数指数幂α”不可理解为m个Q相乘，它是根式的一种新的写法 4.有理数指数幂的运算性质 整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数”，S，均有下面的 运算性质 (1)a·a°=a+s(a>0,r,s∈Q); (2)(a)°=a(a>0,r,seQ): (3)(ab)y=ab'(a>0,b>0,reQ) 有理数指数幂除上述运算性质之外，还有如下性质： 2 ①a'÷a=a-(a>0,r,s∈Q);( ②(y=aa>0.b>0,r∈⑨ 5.无理数指数幂及其运算性质 一般地，无理数指数幂a(a>0,a为无理数)是一个确定的实数.这样，我们就将指数幂 a(a>0)中指数x的取值范围从整数逐步拓展到了实数，实数指数幂是一个确定的实数 整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，即对于任意实数”，S,均有下面的运算性质： (1)a'·a°=a+s(a>0,r,S∈R)； (2)(a)'=a(a>0,r,s∈R); (3)(ab)'=a'b'(a>0,b>0,r∈R) 题型1：根式的化简 方法提炼 1)在进行幂和根式的化简时，先将根式化成幂的形式，并化小数指数幂为分数指数幂，再 利用幂的运算性质进行化简、求值、计算根式的运算结果不能同时含有根号和分数指 数，也不能既有分母又含有负指数 (②)对于形如Vp±2V9(p>0,9>0)的双重根式，当满足a>b>0时，p+g=a,pg=b时， 有Vp±2G=a+(万±2a-i,即Vp±2G=a±b(a>b). 【例1.1.】式子（π-4）2+3-π)3的值为() A.7-2π B.2π-7 C.-1 D.1 【例1.2.】设a>0,则aa的分数指数幂形式为() A.d B.as C. D.a 【例1.3】设a>0,则a2.aVa=() A.all B.a2 C.a 1 D.a30 【例1.4.】若a2-4a+4=2-a,则实数a的取值范围是一 3 题型2：化简求值 方法提炼 指数幂运算的常用技巧 (I)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算。 (②)负指数幂化为正指数幂的倒数。 (3)底数是小数，一般要先化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的 形式表示，便于用指数幂的运算性质。 (④)指数幂的变换技巧 已知幂 目标指数 变换技巧 a 差：k-1 除： =a a 和：k+1 乘：a·a2=a+2 a 倒数： k 换元、乘方：令a=t,则a=t 积：3水 乘方：(a=a (⑤)常用的乘法公式 ①完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2; ②平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b); ③立方差公式：a3-b3=(a-b)a2+ab+b2）: ④立方和公式：a3+b3=(a+b)a2-ab+b2）: ⑤完全立方公式：(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,(a-b=a3-3a2b+3ab2-b3 【例2.1.】-8)2+π-44-0.53=（) A.16-π B.刀 C.-π D.-π-8 【2】计第(-)+025分°- 【例23.】6a62.(3a6)÷(4a6=_ 4 【2115+片- 11)2 3 -2x6y2 【例2.5.】已知x>0,y>0,则关于x,y的表达式 Vxy3 【例26】已知a>0,b>8,则5-b证 12 0+b +V4-4b3+b3= aa 2x+2 【例2.7.】方程81x32 的解为 【28】0D计常：--5+得)， (2)若代数式(4x2-mx-3y+4)-(8x2-x+2y-3)的值与字母x的取值无关，求代数式 (-m2+2mn-n2）-2(mn-3m2）+32n2-mn)的值 5 题型3：有附加条件的求值直问题与综合计算 方法提炼 ()解决条件求值问题的一般方法 ①对于条件求值问题，一般先化简代数式，再将字母的取值代入求值。 ②有时字母的取值不知道或不易求出，这时可将所求代数式适当地变形，构造出与己知条件相 同或相似的结构，从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值。利用“整体代入法”求 值时常用的变形公式如下： aa-6cj-{--回66j: -j-bo月 1)2 11 =a±2a2b2+b; ③有时适当地选用换元法，能使公式的使用更清晰，过程更简洁。 (②)对于指数幂等式的证明问题，常常是将指数幂化为同底，利用指数幂相等的规律进行证 明。解决此类问题的关键是通过指数运算进行等价代换，以及利用参数找到己知与结论 的联系，这样才能使问题迅速得到解决。 【例3.1.】若10°=3,10=5，则102a+b=（) A.11 B.14 C.30 D.45 【例32】若x+x=3,则x-x的值为 【例3.3.】（多选）已知a5+a5=3,下列各式正确的是() A.a25+a25=7 B.a35+a35=24 C.ata D.a25Va5+1 a=25 6 【例34】若”=3，则-a a"-a-x 【例3.5】(1)已知0<x<1,且x+x-6,求2-x2的值. x+x- (2)已知+a=aeR,求+a+l的值. a+a1+1 【例3.6.】对于正整数a,b,ca≤b≤c和非零实数x,y,z,0,有 g=b=c=70,=++,求a,hc的值 x y z 7 【强化训练】 1.下列等式成立的是() A.=-派x≠0) B.-3=3 C.R+少=(x+y月 D.丽=5 2.已知a<1,则Va-12+a=() A.-1 B.1 C.2a-1 D.1-2a 39x27i-() A.3 B.2 C. a 4.已知a>0,将 Va.原 表示成分数指数幂的形式，其结果是() A.al B.a C.a D.i 5.(多选)下列运算（化简）中正确的有()· B.(xy°4y）=4x c[-]-+++3-25 D.2a〔oo列-w 6计第：-16+贸+2-F= 8 7.(1)计算： -0.125)3+1-2)°： 2已知a+a=6(a>0,求-a; 何若0>0，且g产5+1，果代数式号招的值， 8.(1)求值：0.0273 (2)化简： ava+-2a+a(a>1): (3)已知r-x=2,求x+ 产+的值 9 9.(1)化简求值： 2-3 (2)已知+a-3,求g+a+3的值 a+a1-2 参考公式：立方和公式：a3+b3=(a+b)a2-ab+b2);立方差公式： a3-b3=(a-b)a2+ab+b2） 0可那-5小5- (2)已知25”=4,25=7，求25“的值： a2+a2+3 (3)已知a-a-1,求的值. a2-a2 10