精品解析：湖北省云学联盟2025-2026学年高二上学期10月考试数学试卷

2027届高二年级10月考试 数学试卷 考试时间：2025年10月9日15:00-17:00 时长：120分钟 试卷满分：150分 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将答题卡上交. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则复数在复平面对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知两单位向量的夹角为，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，是空间中三条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，，则 C. 若，，，，则 D. 若，，，，则 4. 如图，三棱锥中，，，点为的中点，记，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 某圆锥的底面半径与高之比为，其内切球与圆锥的体积之比为（ ） A. B. C. D. 6. 在空间直角坐标系中，经过点，且以为法向量的平面的方程为.若平面的方程化简为，直线的方向向量为，则直线与平面的所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 某校中秋节举行诗歌朗诵比赛，共有6名评委，选手甲得分的平均分和方差分别为84和17，若去掉最高分90和最低分78后，选手甲得分的方差变为（ ） A. 6.5 B. 7.5 C. 8.5 D. 9.5 8. 已知满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，为随机事件，，，则下列结论正确的有（ ） A. 若，为互斥事件，则 B. 若，为互斥事件，则 C 若，相互独立，则 D. 若，相互独立，则 10. 下列说法正确的是（ ） A. 直线：，：的距离为 B. 直线过点，且在轴、轴上截距相等，则直线的方程为 C. “直线与垂直”是“”的必要不充分条件 D. 直线与互相平行，则的值是或 11. 如图，在正方体中，，为棱上的动点，下面说法正确的是（ ） A. 与平面所成角的正弦值的范围为 B. 三棱锥的体积为 C. 若平面平面，则平面截正方体的面积可能为 D. 当是的中点时，三棱锥外接球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若直线垂直平面，则______. 13. 将号码为1，2，3，4的四个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个小球，其号码为，放回后，乙从此袋中再摸出一个小球，其号码为，，，则事件“与夹角为锐角”发生的概率为______. 14. 如图，六面体由两个三棱锥和拼接而成，其中，，，，是的中点，则异面直线与所成的角余弦值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，边上高所在的直线方程为，的平分线所在的直线方程为，若点的坐标为. （1）求点和点的坐标； （2）求的面积与的面积之比. 16. 如图，四棱锥中，底面正方形，平面，且，动点，分别在线段和上运动（不含端点），且. （1）证明：平面. （2）当时，求点到平面的距离. 17. 如图，在中，，，，是的中点，是上靠近的三等分点，与相交于点. （1）求的长； （2）求的余弦值. 18. 为了了解某校高二年级学生的体育成绩（满分100分）选取40名学生参加考核，考核成绩的频率分布直方图如图所示： （1）由频率分布直方图，求出图中的值，并估计考核得分的上四分位数； （2）为了提升同学们的体育成绩，校方准备招聘高水平的教练进行授课.现采用分层抽样的方法（样本量按比例分配），从得分在内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求至少有一人分数不低于80的概率； （3）现有体育成绩在90分以上的甲、乙两名同学要参加文旅部门组织的国庆营考试，已知考试分为两轮，第一轮为笔试，需要考两门学科，每科笔试成绩从高到低依次有，，，，共五个等级，若两科笔试成绩均为，则直接参加国庆营；若一科成绩为，另一科成绩不低于，则要参加第二轮面试，面试通过参加国庆营，否则不能参加.若两人考试互不影响，且甲在每科笔试中取得，，，，五个等级的概率分别是，，，，；乙在每科笔试中取得，，，，五个等级的概率分别是，，，，，甲、乙面试通过的概率都为，求甲、乙能同时参加国庆营的概率. 19. 如图①，点，分别在轴正半轴和轴正半轴上运动，且，以为边向外作使得为等边三角形，是的中点. （1）求的最大值； （2）当点运动到时，将沿折叠至，如图② （i）当时，求平面与平面夹角的余弦值； （ii）当为何值时，直线与平面夹角正弦值为？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高二年级10月考试 数学试卷 考试时间：2025年10月9日15:00-17:00 时长：120分钟 试卷满分：150分 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将答题卡上交. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则复数在复平面对应点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法与乘方运算化简复数，再根据复数的几何意义得结论. 【详解】复数满足，则， 所以复数在复平面对应的点为，位于复平面第二象限. 故选：B. 2. 已知两单位向量的夹角为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，利用数量积的运算即可求解. 【详解】由题意有： ， 所以， 故选：A. 3. 已知，，是空间中三条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，，则 C. 若，，，，则 D. 若，，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间中线面的位置关系即可判断ABC，利用面面垂直的性质定理即可判断D. 【详解】对于A：若，，则或与相交或者异面，故A错误； 对于B：若，，，，当与相交时才可以判断 故B错误； 对于C：若，，，，则或相交，故C错误； 对于D：若，，，，则，故D正确. 故选：D 4. 如图，三棱锥中，，，点为的中点，记，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，根据向量的线性运算与共线定理运算即可. 【详解】连接， 因为点为的中点， 所以 即，. 故选：C. 5. 某圆锥的底面半径与高之比为，其内切球与圆锥的体积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆锥半径与高的关系，利用相似三角形求得内切球半径，进而由体积公式即可求解. 【详解】设圆锥的底面半径为，高为，体积为，内切球的半径为，体积为， 则，所以，所以， 由有，即， 所以，又， 化简整理得：，解得（舍）， 所以， 故选：A. 6. 在空间直角坐标系中，经过点，且以为法向量的平面的方程为.若平面的方程化简为，直线的方向向量为，则直线与平面的所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题设定义得平面的法向量为，结合直线方向向量，求线面角的正弦值. 【详解】由过，可化为， 所以平面的法向量为，而直线的方向向量为， 所以直线与平面的所成角的正弦值. 故选：D 7. 某校中秋节举行诗歌朗诵比赛，共有6名评委，选手甲得分的平均分和方差分别为84和17，若去掉最高分90和最低分78后，选手甲得分的方差变为（ ） A. 6.5 B. 7.5 C. 8.5 D. 9.5 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均数与方差的概念与性质，结合总体与样本之间的方差性质即可得结论. 【详解】不妨记剔除数据的平均数为，方差为，剩余四个得分的平均数为，方差为， 则，，， 由总体数据的方差的性质得，则. 故选：B. 8. 已知满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量数量积的定义结合余弦定理得，再根据余弦定理求解，结合基本不等式即可得最值. 【详解】由，可得， 由余弦定理得，整理得， 则， 当且仅当时取等， 所以的最小值为. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，为随机事件，，，则下列结论正确的有（ ） A. 若，为互斥事件，则 B. 若，为互斥事件，则 C. 若，相互独立，则 D. 若，相互独立，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用互斥事件的概率公式即可判断AB，利用独立事件的概率公式即可判断C，利用独立事件先计算，由即可判断D. 【详解】对于A：若，为互斥事件，所以,故A正确; 对于B：若，互斥事件，则， 所以，故B错误； 对于C：若，相互独立，所以与相互独立， 所以，故C正确； 对于D：若，相互独立，， 所以，故D正确. 故选：ACD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 直线：，：的距离为 B. 直线过点，且在轴、轴上截距相等，则直线的方程为 C. “直线与垂直”是“”的必要不充分条件 D. 直线与互相平行，则的值是或 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A利用两平行线的距离公式即可判断A，对于B分直线不过原点和过原点讨论即可判断， 对于C利用两直线垂直求出即可判断，对于D利用两直线平行求出即可判断. 【详解】对于A：直线：，：的距离为，故A正确； 对于B：当直线不过原点时设直线的方程为，又直线过点，所以，解得， 即，当直线过原点时，设方程为，又直线过点，所以， 所以，故B错误； 对于C：直线与垂直时， 所以或， 所以“直线与垂直”是“”的必要不充分条件，故C正确； 对于D：直线与互相平行，所以，故D错误, 故选：AC. 11. 如图，在正方体中，，为棱上的动点，下面说法正确的是（ ） A. 与平面所成角的正弦值的范围为 B. 三棱锥的体积为 C. 若平面平面，则平面截正方体的面积可能为 D. 当是的中点时，三棱锥外接球的表面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】以点D为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，设，与平面所成角为，求出平面的法向量与夹角的余弦值的绝对值的范围判断A；先证平面，再由已知及正方体结构，应用棱锥体积公式求体积判断B；当平面截该正方体所得截面为正六边形，即过的中点时求截面最大面积判断C；由，设球心的坐标为，利用外接球的性质列方程求出球心坐标，进而得半径判断D. 【详解】如图，以点D为原点建立空间直角坐标系， 则，， 设为平面的法向量， 则，取， 对于A，设，与平面所成角为，则， 则 ， 由，则，则，则， 所以与平面所成角的正弦值的范围为，错误； 对于B，由，平面，平面，则平面， 由，则， 根据已知及正方体的结构特征知到平面的距离为，则，正确； 对于C，当平面截该正方体所得截面为正六边形，即过的中点时，截面面积最大， 如图所示，，则最大面积为，正确； 对于D，由题设，球心的坐标为，则， 即，解得，，， 所以，则表面积为，正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若直线垂直平面，则______. 【答案】3 【解析】 【分析】根据直线的方向向量和平面的法向量平行，即可列式计算求参. 【详解】直线的方向向量为，平面的法向量为， 因为直线垂直平面，则，所以 . 故答案为：3. 13. 将号码为1，2，3，4的四个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个小球，其号码为，放回后，乙从此袋中再摸出一个小球，其号码为，，，则事件“与夹角为锐角”发生的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】由古典概型的概率计算公式结合空间向量数量积公式计算可得. 【详解】由题意，甲从袋中摸出一个球，其号码为，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为，共有个基本事件； “与夹角为锐角”则且与不平行，不同时成立与不平行， 使不等式成立的事件包含：，，，共有10个基本事件； 由古典概型公式得所求概率． 故答案为：. 14. 如图，六面体由两个三棱锥和拼接而成，其中，，，，是的中点，则异面直线与所成的角余弦值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】作中点，则可得，，，则以为坐标原点，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法即可求出异面直线所成角的余弦值 【详解】因为，， 所以,由于,所以， 作中点，则，，且， 由于，所以， 则以为坐标原点，以为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 可得，，，，， 因为,,,所以，同理， 因为，平面，所以平面， 由于，，所以，则，所以，， 则异面直线与所成的角余弦值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，边上的高所在的直线方程为，的平分线所在的直线方程为，若点的坐标为. （1）求点和点的坐标； （2）求的面积与的面积之比. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由解出得点的坐标，先求关于直线的对称点为，进而得，即可得所在直线的方程，又由边上的高所在直线的方程为得，进而得直线的方程，联立方程组得点的坐标； （2）由两点间的距离公式得，利用面积公式即可求解. 【小问1详解】 由题意有：，解得，所以点， 又因为关于直线的对称点为在上， 所以直线的斜率为， 所以边所在直线的方程为①， 又边上的高所在直线的方程为， 故直线的斜率为， 所以直线的方程为，即②， 联立方程①②，得点的坐标为； 【小问2详解】 由（1）有， 所以， ， 又因为的平分线为，所以， 所以. 16. 如图，四棱锥中，底面为正方形，平面，且，动点，分别在线段和上运动（不含端点），且. （1）证明：平面. （2）当时，求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，确定平面的法向量，利用空间向量的坐标运算证明即可；或者作交于，连接，构造面面平行，再用面面平行的性质定理得证；再或者作交于E，作交于F，借助相似平行先证四边形为平行四边形，借助线面平行的判定定理证明； （2）根据（1）中空间向量的坐标运算得平面的法向量，根据点到平面的距离公式求解即可. 【小问1详解】 法一：由平面得，， 又四边形为正方形，且，则，， 如图，以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 不妨设， 则，，所以， 又平面的一个法向量为， 所以， 因为平面，所以平面. 法二：作交于，连接 ∵，∴， 又∵，，∴， ∴，∴， 又∵，∴， ∴与中，，， ∴面面， 又∵面，∴面. 法三：作交于E，作交于F， ∵，又，， ∴， 在与中，，， ∴，∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， 又∵面，面， ∴面. 【小问2详解】 当时，由（1）可得，，，， 所以，，， 设平面的法向量， 则，即， 令，则，代入解得，即平面的一个法向量， 点到平面的距离为. 17. 如图，在中，，，，是的中点，是上靠近的三等分点，与相交于点. （1）求的长； （2）求的余弦值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）在、中依次应用余弦定理求角，再求边，即可得； （2）由，，再应用向量数量积的运算律及夹角公式求角的余弦值. 【小问1详解】 在中， 又是的中点，则， 在中， 所以； 【小问2详解】 由题意得，， ， 所以， ， 则，即的余弦值为. 18. 为了了解某校高二年级学生的体育成绩（满分100分）选取40名学生参加考核，考核成绩的频率分布直方图如图所示： （1）由频率分布直方图，求出图中的值，并估计考核得分的上四分位数； （2）为了提升同学们的体育成绩，校方准备招聘高水平的教练进行授课.现采用分层抽样的方法（样本量按比例分配），从得分在内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求至少有一人分数不低于80的概率； （3）现有体育成绩在90分以上的甲、乙两名同学要参加文旅部门组织的国庆营考试，已知考试分为两轮，第一轮为笔试，需要考两门学科，每科笔试成绩从高到低依次有，，，，共五个等级，若两科笔试成绩均为，则直接参加国庆营；若一科成绩为，另一科成绩不低于，则要参加第二轮面试，面试通过参加国庆营，否则不能参加.若两人考试互不影响，且甲在每科笔试中取得，，，，五个等级的概率分别是，，，，；乙在每科笔试中取得，，，，五个等级的概率分别是，，，，，甲、乙面试通过的概率都为，求甲、乙能同时参加国庆营的概率. 【答案】（1），90 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）应用频率分布直方图频率和为1计算求参，再应用百分位数定义计算求解； （2）先应用分层抽样得出人数，再应用古典概型直接求解或应用间接法结合对立事件概率公式计算求解； （3）应用互斥事件概率及独立事件概率乘积公式计算求解. 【小问1详解】 由题意得，，解得. 考核得分的上四分位数即第75百分位数，从直方图可知，上四分位数为90. 【小问2详解】 按分层抽样，得分在的有2人，记为，； 得分在的有3人，记为，，. 从5人中抽取两人进行测试， 样本空间为， 则； 法一：记“至少有一人得分不低于80分”为事件， 则， 即， 因此. 法二：采用间接法，求其对立事件“两人均低于80分”的概率为，则“至少有一人得分不低于80分”的概率为，. 【小问3详解】 记甲能参加国庆营的概率为，乙能参加国庆营的概率为， 由题意可得； 同理可得，. 由于考试互不影响，所以甲、乙能否参加国庆营相互独立， 则甲、乙能同时参加国庆营的概率为. 19. 如图①，点，分别在轴正半轴和轴正半轴上运动，且，以为边向外作使得为等边三角形，是的中点. （1）求的最大值； （2）当点运动到时，将沿折叠至，如图②. （i）当时，求平面与平面夹角的余弦值； （ii）当为何值时，直线与平面的夹角正弦值为？ 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）设，在中结合余弦定理、三角恒等变换、三角函数图像性质即可得所求； （2）（i）过点，作的垂线，垂足分别记为，，利用空间向量的线性运算与空间向量数量积求解平面与平面夹角的余弦值； （ii）在（i）的基础上，以为空间原点建系，记二面角的平面角为，求平面的法向量与直线的方向向量，利用直线与平面的夹角正弦值求解的值，从而得所求. 【小问1详解】 不妨设，则，， 在中，由余弦定理得： 因为，所以， 故当，即时取等，此时有最大值. 【小问2详解】 （i）当点运动到时，，， 过点，作的垂线，垂足分别记为，，则，，， 空间中，有， 所以， 解得， 所以平面与平面夹角的余弦值为； （ii）在（i）的基础上，以为空间原点建系，如下图， 记二面角的平面角为， 则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则， 解得平面的一个法向量为， 所以有，， 又， 即， 所以，则， 由（i）得， 则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $