05 回归教材 球类运动中的抛物线-【学海风暴】2025-2026学年九年级下册数学同步备课（湘教版）

回归教材球类 教材母题 如下图，排球运动员站在点O处练习发球，将 球从点O正上方2m的点A处发出，把球看 成点，其运行的高度y(单位：m)与运行的水平 距离x(单位：m)满足表达式y=a(x一6)2十 h.已知球网与点O的水平距离为9m,高度为 2.43m,球场的边界距点O的水平距离为 18m. (1)当h=2.6时，求y关于x的函数表达式. (2)当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会 出界？试说明理由， 球网 边界 18 【思路点拨】(1)利用h=2.6,球从点O正上方 2m的点A处发出，将点(0,2)代入表达式求 出即可；(2)利用当x=9时，代入函数表达式 求出y的值比较高度，当y=0时，代入函数表 达式求出x的值比较距离即可 【我的解答】 变式训练 1.嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏.某同学借此情境 编制了一道数学题，请解答这道题 如下图，在平面直角坐标系中，一个单位代 运动中的抛物线 表1m长.嘉嘉在点A(6,1)处将沙包（看成 点)抛出，其运动路线为抛物线C1:y=a(x 一-3)2+2的一部分.淇淇恰好在点B(0,c) 处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线 为抛物线C:y=一日2+名x十c+1的- 部分. (1)写出C,的最高点坐标，并求a,c的值. (2)若嘉嘉在x轴上方1m的高度上，且到 点A水平距离不超过1m的范围内可以接 到沙包，求符合条件的n的整数值。 y/mt ”C A 0 6 x/m 2.任意球是足球比赛的主要得分手段之一，在 某次足球比赛中，李明站在点O处发出任意 球，如下图.把球看作点，其运行轨迹的高度 y(单位：m)与水平距离x(单位：m)满足函 数表达式y=a(x一12)2十h.李明罚任意球 时，防守队员站在李明前方8m处组成人 墙，防守队员的身高为2m,对手球门与李明 的水平距离为18m,已知足球球门的宽是 7.32m,高是2.43m. 下册限时周测 115 12 18 (1)当h=3时，求y与x的函数表达式. (2)在第(1)问的前提下，足球能否越过人 墙？足球能否直接射进球门？请说明理由， 3.情境应用如下图，某学校九年级的一场篮 球比赛中，队员甲正在投篮，已知球出手时 20 离地面的高度为。m,与篮圈中心的水平距 离为7m,当球出手后，水平方向行进4m时 到达最大高度4m.设篮球运行轨迹为抛物 线，篮圈距地面3m. (1)此球能否准确投中？ (2)如果此时对方队员乙在甲前1m处跳起 盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m,那么 他能否成功拦截？ 0-4m3m 116 九年级数学XJ版 4.(2025南昌青山湖区模拟)图①是一名运动 员在排球场比赛中跳发球的过程，球的飞行 路线满足二次函数y=a(x十2)2+k(a< 0).如图②，y轴是球网所在的位置，x轴是 水平地面，排球飞行的水平距离x(单位：m) 与其飞行的高度y(单位：m)的变化规律如 下表所示（排球场地标准：长18m,宽9m): -2 0 32.92 … A 9 m 9m 图D 图2 (1)求二次函数的表达式以及m,n的值. (2)①排球的落点是A,求点A的坐标： ②排球运动员击球高为2m,请通过计算说 明该运动员有没有踩线犯规（提示：点C到 y轴的距离大于9m).由题意可知，0<x<3. 3 六当x=2时ME有最大值，最大值为3， 此时点M的坐标为（子，-5）。 周测三(1.5) 1.D2.C3.A 4.A【解析】点A到点O的距离为4m,∴A(4.0).把 4.0)代入y=a+,得16a+号×4=0.解得a 号=-号(x-2r+ 24 水流喷出的最大高度为亏m 5.C【解析】设x月份出售时，每千克售价为y1元，每 千克成本为y:元，每千克利润为y元。 根据图象设y,=kx十b, 2 3k+b=5, 解得 k=一3 16k+b=3. b=7, 2 六y=-3x+7 根据图象设y:=a(x一6)产十1. 将(3,4)代入，得4=a(3-6)2+1, =x-6+1. 解得a=」 'y=y一y, y=-子+7-[3-o+1]=-+ 2 6=--5+ ∴当x=5时，y有最大值，即5月份出售该种蔬菜每 千克利润最大 65z号 8.②③【解析】①由图象可知，小球在空中达到的最大 高度是40m,则小球在空中经过的路程一定大于 40m,故①错误： ②小球抛出3s后，速度越来越快，故②正确： ③小球抛出3s时达到最高点，速度为0m/s,故 ③正确： ④设函数表达式为h=a(t一3)严十40. 把点0.0代人得0=9a十40解得a=-碧9。 六函数表达式为A=一巴1-3)+40 把=30代入表达式，得30=-91-3)+40。 解得41=4.5,1：=1.5， 小球的高度h=30m时，t=1.5s或4.5s,故 ④错误。 综上所述，正确的是②③. 9.解：1)-2+30 (2-号+30ru-30r450<30450 30450 10.解：(1)由题意可知，抛物线C:y=一 8x2+如+c 17 过点04)和(6，乞)将其代入， c=4. 得17 2 解得 X6+6b+c, 3 b= 8 2 (2)由(1)可知，抛物线C:的表达式为y=一 8x+ 2x+4. 设当小张滑出后离点A的水平距离为mm时，他与 小山坡的整直距离为子m 根据题意得-m+子+4-（立+十 1 )=子 整理，得(m十4)(m一8)=0，解得m1=8,m:=一4 (不符合题意，舍去). 故当小张滑出后离点A的水平距离为8m时，他与 小山坡的竖直距离为了m 4 (3)抛物线C:经过点(0,4)，c=4. “抛物线Gy=一++号= 1 2x-8: 1 3· 当x=8时，小张到达坡顶正上方 ,小张在坡顶正上方时，与坡顶的距离不低于3m, -吉×8+86+4≥3+号b≥费 回归教材球类运动中的抛物线 教材母题 解：(1)当h=2.6时，y关于x的函数表达式为y= a(x-6)2+2.6. 将点(0,2)代入，得2=36a+2.6,解得a=一60 故y关于x的函数表达式为y=一60x-6)+2.6, (2)球能越过球网，但会出界，理由如下： 下册参考答案 51 1 当x=9时，y=-66×(9-6)产+2.6=2.45. 1 当y=0时.-60(x-6)2+2.6=0,解得x,=6+ 2√3丽，x:=6-2√3丽（不符合题意，含去） 2.45>2.43,6+239>18. ∴球能越过球网，但会出界。 变式训练 1.解：(1)抛物线C1:y=a(x-3)+2, .C,的最高点坐标为(3,2) :点A(6,1)在抛物线C1:y=a(x-3)产+2上， .1=a(6-3)2+2. a=-g x-3)+2. 1 ∴抛物线C:y=一 当x=0时，y=1.∴.c=1. (2)由题意可知，嘉嘉可以在连接点(5,1)，(7,1)的线 段上的一点接到沙包， 当抛物线C:经过(5,1)时，1=一 ×25+×5+1 1 +1, 17 解得n=亏 当抛物线C:经过(7,1)时，1=一 ×49+×7+1 1 +1 解得=号 n为整数，n可以为4或5 2.解：(1)当h=3时，y=a(x-12)2+3. 抛物线y=a(x-12)2+3经过点(0,0)， 0=a(0-12)2+3,解得a=一8 1 1 六y与x的函数表达式为y=一8x-12》+3 (2)足球能越过人墙，能直接射进球门.理由如下： 当x=8时y=-×8-12+3=受>2。 1 ∴足球能越过人墙。 当x=18时y=一6×(18-12》*+3=2.25<2.43， ,足球能直接射进球门」 3.解：(1)由题意可知，球出手点、最高点和篮围的坐标分 别为(0..4.7.3. 设该抛物线的表达式为y=a(x一4)产十4. Λ52 九年级数学XJ版 将(0，到)代入得=16a十4，解得a=-号 1 六该抛物线的表达式为y=一x一4)严+4。 当x=7时y=-号×(7-0+4=3， ∴.此球能准确投中， （2将=1代人y=-红-0+4，得y=3, 3<3.1.∴他能成功拦截 4.解：(1)y=a(x+2)2+k(a<0). .抛物线的对称轴为直线x=一2， ∴当x=一4时的函数值与当x=0时的函数值相等， ,.n=2.92. 当x=-2时y=3,∴.k=3. 把x=0,y=2.92代入y=a(x+2)2+k, 得2.92=a(0+2)2+3,∴a=-0.02, ·二次函数的表达式y=-0.02(x+2)2+3. 当x=-5时，y=-0.02(-5+2)2+3=2.82,∴.m= 2.82. (2)①点A在x轴上y=0. .-0.02(x+2)2+3=0. 解得x1=56-2,x:=-5√6-2（不合题意，合去） ∴点A的坐标为(56-2,0). @y=-0.02(x+2)2+3, ∴当y=2时，-0.02(x+2)2+3=2, ∴x1=5万-2（不合题意，含去），x:=-55-2, ∴点C到y轴的距离为(5√2+2)m :52>7.∴.52+2>9. ,排球场地长为18m,左半场长为9m, ,∴，说明该运动员发球时没有踩线犯规. 周测四（第1章） 1.C 2.C【解析】：当x=1时，y=2:当x=5时，y=6,代入 2=a(1-h)2+k, 函数表达式，得 .a(5-h)-a(1 l6=a(5-h)2+k, -h)产=4，整理，得a(6-2h)=1.若h=2,则a=2> 0,故A选项错误：若A=4,则a=一<0，故B选项 结误：若6=6则a=一日<0，故C法项正确：者6- 8,则。=一。<0，故D选项错误。 3.D【解析】：抛物线开口向下，∴a<0.:抛物线与y 轴的交点在正半轴，∴c>0.由图可知，当x=1时，函 数值为负，即a+b+c<0,∴.M=ac(a+b+c)>0.