03 周测2 (1.3～1.4 解题技巧专题 确定二次函数的表达式～二次函数与一元二次方程的联系)-【学海风暴】2025-2026学年九年级下册数学同步备课（湘教版）

周测二 (建议用时：45分 一、选择题（每小题6分，共30分） 1.若y=a.x2十bx十c,则由表格中的信息可 知，y与x之间的函数关系式是 -1 0 1 ax2 ax:+bx+c A.y=x2-4x+3 B.y=x2-3.x+4 C.y=x2-3x+3 D.y=x2-4x+8 2.已知抛物线过点(1,10)，顶点为（一1，一2）， 则这条抛物线的表达式为 A.y=3(x-1)2-2 B.y=3(x+1)2+2 C.y=3(.x+1)2-2 D.y=-3(x十1)2-2 3.若二次函数y=x2十bx十1的图象与x轴 只有一个交点，则此交点的坐标是() A.(1,0) B.(2,0) C.(-1,0)或(-2,0) D.(-1,0)或(1,0) 4.经过A(2-3b,m),B(4b+c一1，m)两点的 抛物线y=一2r+br-b+2(x为自变 量)与x轴有交点，则线段AB的长为 A.10 B.12 C.13 D.15 5.(2025张家界桑植三模)如 图，已知抛物线y=a.x2十b.x 十c过点C(0,一2)，与x轴 -101273 的交点的横坐标分别为x1, x2,且-1<x1<0,2<x2 第5题图 3,则下列结论： ①a-b+c<0; 1.3~1.4) 满分：100分) ②关于x的方程a.x2十b.x十c十2=0有两个 不相等的实数根： ③a+b>0: Ba ⑤b2-4ac>4a2. 其中正确的有 ( A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题（每小题6分，共30分） 6.已知在平面直角坐标系中，抛物线y=a.x2十ba +c经过点A(一3,0)，B(2,4),C(0,一4)，则抛 物线的表达式是 7.转化思想已知y是x的二次函数，下表给 出了y与x的几组对应值： -2-101234 11a323611 由此判断，表中a= 8.二次函数y=ax2十bx十c图象的顶点在y 轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升 的，那么这个二次函数的表达式可以是 9.抛物线过点（一1，一1），对称轴是直线x 一2，且在x轴上截取的线段长度为22，则 抛物线的表达式为 10.新定义题(2025冷水江二模)规定：如果两 个函数的图象关于y轴对称，那么称这两个 函数互为“Y函数”.例如：函数y=x十3与 y=一x+3互为"Y函数”若函数y名2 十(k一1)x十k一3的图象与x轴只有一个 交点，则与它互为“Y函数”的函数图象与x 轴的交点坐标为 下册限时周测 111 三、解答题（第11小题10分，第12小题14分， 第13小题16分，共40分) 1山.如下图，已知抛物线y=ax-多x十c与x 轴相交于A,B两点，并与直线y=2x一2 交于B,C两点，其中C是直线y=2x一2 与y轴的交点，求抛物线的表达式， 12.(2025邵阳双清区三模节选)已知抛物线y =一x2+bx+与x轴交于点A(3,0), B(一1,0)，与y轴交于点C. (1)求点C的坐标. (2)直线y=kx+k与抛物线交于P,Q两 点，其横坐标分别为x1,x2·若x1x2<0, |x2一x1|<2,求k的取值范围. 112 九年级数学XJ版 13.如右图，在平面直角坐标系 中，抛物线y=a.x2十b.x一4 与x轴交于点A(一1,0)， B(3,0),与y轴交于点C, 连接BC.若在第四象限的 抛物线上取一点M,过点M作MD⊥x轴 于点D,交直线BC于点E. (1)求抛物线的表达式. (2)抛物线上是否存在点M,使得ME有最 大值？若存在，求出点M的坐标和ME的 最大值：若不存在，请说明理由.(2)由(1)，得该函数的表达式为y=2x-4x一3. :该函数图象的对称轴为直线x=一子=1。 把x=1代入y=2x2一4x-3,得y=2一4-3=一5 .该函数图象的顶点坐标为(1，一5)」 12.解：)示例：“y=x2-x+1=(x-2)）+子该 二次函数图象的顶点坐标为（分子）“其反倍顶 二次函数“图象的顶点坐标为（一1，一之）.又“图象 的开口方向相同.∴.二次函数y=x一x十1的一个 “反倍顶二次函数”是y=(x十1)-2 3 (2=+w=(k+》广-号=2r-x+ 1=2x一号)°+1-号-号=-21-)解得 m=2,n:=一2.故n的值为2或一2. 13.解：(1)：y=-x2+(m-1)x+m=-(x+1)(x- m), .抛物线与x轴的交点坐标为（一1,0），(m,0), .无论m取何值，抛物线一定过点（一1,0）. (2),抛物线与x轴的交点坐标为（一1,0），(m,0), 且对称轴与x轴正半轴相交， 20 .m>1. :a=-1<0. ∴抛物线开口向下 :点A(x1y,)在该抛物线上，且y1>0, ∴.-1<x,<m x:-x1=3,.x:=x1十3 :点B(x1十3，y:)在抛物线上，且y<0, ∴m-(-1)≤3， ∴.m≤2. ∴.1<m≤2. 14.解：(1)当a=0,b=3时，二次函数y=x(x一a)+(x -a)(x-b)+x(x-b)可化为y=x(x-0)+(x- 0)(x-3)+x(x-3)=3x-6x, -6 “此函数图象的对称轴为直线x=一2X3-1. (2)当b=2a时，二次函数y=x(x-a)+(x一a)(x -b)+x(x-b)可化为y=x(x-a)+(x-a)(x 2a）+x(x-2a)=3x2-6ax+2a2. -6a ∴抛物线的对称轴为直线x=一2X3=a… :3>0, ∴抛物线开口方向向上 :在0≤x≤1时，y随x的增大而减小， a≥l. :在3≤x≤4时y随x的增大而增大， a≤3， .1≤a≤3. 周测二(1.3~1.4) 1.A2.C 3.D【解析】：二次函数y=x十bx+1的图象与x轴 只有一个交点，.4=b2-4=0,解得b=±2.当b=2 时，x+2x十1=0，解得x=-1:当b=-2时，x- 2x+1=0,解得x=1.故此交点的坐标是（一1,0）或 (1,0) 4.B【解析】：A(2-3b,m)与B(4b+c一1，m)两点在 抛物线y=一子+6：一小：+2心上，且抛物线与x轴 b 有交点，.2-36+(4b+c一1)= ×2,4 2x(-)】 =6-4x(-》(-6+2x)≥0c+1=64c≥ 2.将c+1=b代入4c≥b2,得(c-1)≤0∴c=1,则 b=2,∴A(-4,m),B(8,m),∴AB=8-(-4)=12. 5.C【解析】①：抛物线开口向上，一1<x1<0,2<x: <3, ∴.当x=-1时，y=a一b+c>0,故①错误：②由图可 知，抛物线y=a.x2十bx十c与直线y=一2有两个 交点， ∴.关于x的方程ax+bx十c=一2有两个不相等的实 数根， ∴关于x的方程ax2+bx十c+2=0有两个不相等的 实数根，故②正确： ③一1<x1<0,2<x:<3,抛物线的对称轴为直线x 1<-b<3 a a>0..-3a<b<-a, ∴a+b<0,故③错误： ④，抛物线y=a.x2+bx+c过点C(0,一2) ∴c=-2. 当x=-1时，y=a-b+c>0,.3a-3b+3c>00: 当x=3时，y=9a+3b+c>0②. 由①+②.得12a+4c>0. 12a>80>号放④正确： ⑤-1<x1<0,2<x2<3, x:-x1>2 下册参考答案 49 由根与系数的关系，得x1十=-合=台 -x-2-台=+- -(+)-4]=(,->×4 =1. 即-4as>1. 4a2 ∴b2-4ac>4a,故⑤正确. 6y=启2+器-476 8.(答案不唯一)y=一x+1【解析】由题意，得b=0,a <0,c>0,∴.这个二次函数的表达式可以是y=一x +1. 9.y=x2+4x十2【解析】抛物线的对称轴是直线x =一2，且在x轴上截得线段长为2√瓦，∴抛物线与x 轴的交点是（一2一√2,0），（一2+√2,0）.设抛物线的 表达式为y=a(x+2+√)(x+2-瓦).将(-1，-1) 代入，得-1=a(1+√2)(1-2)，即-1=-a,∴.a= 1,抛物线的表达式为y=(x+2+2)(x+2-√厄) =x2+4x+2. 10.(3,0)或(4,0)【解析】①当k=0时，函数的表达式 为y=一x一3，此时函数的图象与x轴只有一个交 点，符合题意。 当y=0时，可得0=一x-3,解得x=一3， .函数y=一x一3的图象与x轴的交点坐标为 (-3.0). 根据题意可得，与它互为“Y函数”的函数图象与x轴 的交点坐标为(3,0)： ②当k≠0时， “函数y=冬+(k-1Dx+友-3的图象与x轴只 有一个交点， ÷4=6-4ac=0,即(k-1D2-4×冬·k-3)=0, 解得k=一1， ∴函数的表达式为y=一子一2x-4 当y=0时，可得0=--2x-4。 解得x=一4. 根据题意可得，与它互为“Y函数”的函数图象与x轴 的交点坐标为(4,0). 综上所述，所求的交点坐标为(3,0)或(4,0). 11.解：“直线y=乞x-2分别交x轴、y轴于B,C 两点， ∴.B(4,0),C(0,-2). M50 九年级数学XJ版 ”抛物线y=ar-子+c经过点B.C 16a-6+c=0, 1 解得 a=2 c=-2. c=-2. 六指物线的表达式为y=弓 2x2. 12.解：(1)将A(3,0),B(-1,0)代入y=一x+bx+c, -9+3b+c=0, b=2, 得 解得 -1-b+c=0, c=3 抛物线的表达式为y=一x+2x十3. 令x=0,则y=3, .C(0,3). y=kx十k, (2)联立 y=-x+2x+3, 整理，得x2+(k一2)x十k一3=0， x1x:=k-3,x1十x:=2-k, ∴(x:-x1)2=(x1+x:)2-4x1x:=(2-k)2-4(k 3)=(k-4)2. .|x2-x,=|k-4l. x1x<0,lx:-x1l<2 2c 解得2<k<3. 13.解：(1)抛物线与x轴交于点A(一1,0)，B(3,0),∴.设 抛物线的表达式为y=a(x十1)(x-3)=a(x2-2x- 3). 由题意，得C(0,一4).将点C的坐标代入表达式， 得-3a=-4,解得a=3 4 六范物线的我达式为y=一号-4 (2)存在. 设直线BC的表达式为y=kx一4. 将点B的坐标代入上式，得0=3k一4，解得及=了 4 “直线BC的表达式为y=37一4 4 设点(x,-4)则点M(,-受x-4): 则ME=(停-)-（停-号-）=-音+ 4x=-(x-)+3. -<0 .ME有最大值. 由题意可知，0<x<3. 3 六当x=2时ME有最大值，最大值为3， 此时点M的坐标为（子，-5）。 周测三(1.5) 1.D2.C3.A 4.A【解析】点A到点O的距离为4m,∴A(4.0).把 4.0)代入y=a+,得16a+号×4=0.解得a 号=-号(x-2r+ 24 水流喷出的最大高度为亏m 5.C【解析】设x月份出售时，每千克售价为y1元，每 千克成本为y:元，每千克利润为y元。 根据图象设y,=kx十b, 2 3k+b=5, 解得 k=一3 16k+b=3. b=7, 2 六y=-3x+7 根据图象设y:=a(x一6)产十1. 将(3,4)代入，得4=a(3-6)2+1, =x-6+1. 解得a=」 'y=y一y, y=-子+7-[3-o+1]=-+ 2 6=--5+ ∴当x=5时，y有最大值，即5月份出售该种蔬菜每 千克利润最大 65z号 8.②③【解析】①由图象可知，小球在空中达到的最大 高度是40m,则小球在空中经过的路程一定大于 40m,故①错误： ②小球抛出3s后，速度越来越快，故②正确： ③小球抛出3s时达到最高点，速度为0m/s,故 ③正确： ④设函数表达式为h=a(t一3)严十40. 把点0.0代人得0=9a十40解得a=-碧9。 六函数表达式为A=一巴1-3)+40 把=30代入表达式，得30=-91-3)+40。 解得41=4.5,1：=1.5， 小球的高度h=30m时，t=1.5s或4.5s,故 ④错误。 综上所述，正确的是②③. 9.解：1)-2+30 (2-号+30ru-30r450<30450 30450 10.解：(1)由题意可知，抛物线C:y=一 8x2+如+c 17 过点04)和(6，乞)将其代入， c=4. 得17 2 解得 X6+6b+c, 3 b= 8 2 (2)由(1)可知，抛物线C:的表达式为y=一 8x+ 2x+4. 设当小张滑出后离点A的水平距离为mm时，他与 小山坡的整直距离为子m 根据题意得-m+子+4-（立+十 1 )=子 整理，得(m十4)(m一8)=0，解得m1=8,m:=一4 (不符合题意，舍去). 故当小张滑出后离点A的水平距离为8m时，他与 小山坡的竖直距离为了m 4 (3)抛物线C:经过点(0,4)，c=4. “抛物线Gy=一++号= 1 2x-8: 1 3· 当x=8时，小张到达坡顶正上方 ,小张在坡顶正上方时，与坡顶的距离不低于3m, -吉×8+86+4≥3+号b≥费 回归教材球类运动中的抛物线 教材母题 解：(1)当h=2.6时，y关于x的函数表达式为y= a(x-6)2+2.6. 将点(0,2)代入，得2=36a+2.6,解得a=一60 故y关于x的函数表达式为y=一60x-6)+2.6, (2)球能越过球网，但会出界，理由如下： 下册参考答案 51