专项训练6 二次函数-【学海风暴】2025-2026学年九年级下册数学同步备课（湘教版）

专项训练六 一、选择题 1.已知抛物线y=(x一2)2十1，下列结论错误 的是 A.抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴为直线x=2 C.抛物线的顶点坐标为(2,1) D.当x<2时，y随x的增大而增大 2.已知(2，y1),(1-m2,y2),(4+m2,y3)是抛 物线y=ax2一4a.x(a>0)上的三点，则下列 结论正确的是 A.y<y<y3 B.y<y3<y C.y<y3<y D.y:<y:<y 3.如图，抛物线y=a.x2十c经 过正方形OABC的三个顶点 A,B,C,点B在y轴上，则 ac的值为 ( 第3题图 A.-1B.-2C.-3 D.-4 4.(2025汨罗二模)已知P,(x1y1),P:(x2 y2)是抛物线y=ax2+4a.x+3(a是常数，a ≠0)上的点，现有以下四个结论：①该抛物 线的对称轴是直线x=一2：②点(0,3)在该 抛物线上；③若x1>x2>一2，则y1>y2i ④若y1=y2,则x1十x2=一2.其中正确的 个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题 5.已知抛物线y=x2一6x十m与x轴有且只 有一个交点，则m= 6.把二次函数y=2(x一2)2一5的图象先向右 平移2个单位，再向上平移3个单位后，所得 的函数表达式为 7.如图，抛物线y=a.x2十c与直线y=m.x十n 交于A(一1，p),B(3,q)两点，则关于x的 不等式a.x2十c<m.x十n的解集是 二次函数 0.51.5 第7题图 第8题图 8.如图，在墙上绘制了几个相同的抛物线形图 案.已知抛物线上B,C两点的高度相同，到 墙边OA的距离分别为0.5m,1.5m.若该 墙的长度为10m,则最多可以连续绘制 个这样的抛物线形图案 9.(2025永州新田期中)已知 二次函数y=a.x”十bx十c (a≠0)的图象如图所示，其 -1；2+3 对称轴是直线x=1.给出 第9题图 下列结论：①3a十c>0:②(a十c)2<b2:③a +3b十9c>0:④若一1<x<2,则ax2+bx 十c>0:⑤am2十abm≤a(a十b).其中正确 的有 (填序号) 三、解答题 10.某商场销售的一种商品的进价为30元/件，连 续销售100天后，统计发现在这100天内， ①该商品每天的销售价格x(单位：元/件)与 时间t(第t天)满足关系式：x= ft+50(1≤t<60), ②该商品的日销售量y |110(60≤1≤100)： (单位：件)与时间t满足一次函数关系，部 分数据如下表： 时间t 2 10 20 日销售量y/件 119 118 110100 (1)求出y与1之间的函数关系式. 下册专项训练 (2)设销售该商品的日利润为心（单位： 元)，请写出地与t之间的函数关系式，并 求出在这100天内日利润最大的时间及最 大日利润。 11.(2025祁阳三模)【定义】在平面直角坐标系 中，与x轴有交点的函数称为“零点函数”， 交点的横坐标称为“零点”.例如：函数y x一1与x轴的交点坐标是(1,0)，则函数y =x一1是“零点函数”，1是该函数的“零 点” 【探究】运用上述定义解决下列问题： (1)下列函数是“零点函数”的是 ,其“零点”是 ①y-2,@=x2+1:③y=3r十6 (2)已知二次函数y=x2-(a一1)x+ Q(a一5)是“零点函数”，且两个“零点”x <0,x2>0,|x1|<|x2.求实数a的取值 范围 金100 九年级数学XJ版 【应用】(3)如右图，已知二 次函数y=x2一bx一c(b. c为常数，b>0)的一个“零 点”为一1，M(t,0)是x轴 正半轴上的动点，点Q(b+2,y。)在抛物 线上.当厄AM+20M的最小值为82 时，求二次函数的另一个“零点”如图②，过点A作AH⊥CG于 点H 由题意可知，在图②中AB 2x cm.AC=(2x+60)cm. 图② ,在Rt△ACH中，sin∠ACH= AH AC 16 ∴AH=AC·sim∠ACH≈(5x+36)cm. AF=AH. 六台+48=g+36, 6 解得x=30. 故每节拉杆的长度为30cm. 12.解：(1)如图，延长DC交EF于点H,则∠DHF= 90°，四边形BEHC是矩形， G B ∴.BC=EH,CH=BE=10m. 由题意，得EF=2×11=22(m),∠FCH=∠GFC =45°， ∴.在Rt△CHF中，FH=CH=10m ∴.EH=EF-FH=22-10=12(m), ∴.BC=12m. 故墙的高度BC约为12m. (2)由题意，得∠FDH=∠GFD=14°， 在Rt△DHF中， tam∠FDH=tanl4'-D FH .DH=FH 10 anl4=tanl≈40m .DC=DH-CH=40-10=30(m). 四边形ABCD是矩形， ∴.AB=DC=30m. 故墙的长度AB约为30m. 专项训练五用样本推断总体 1.D2.B3.A 4.20 5.160006.1177.460 8.解：(1)本次调查共抽取的学生人数为25÷25% =100. (2)201089 （3300×30+20+15=19506人3. 100 故估计该校学生中，五月份读书量不少于“3本“的学 生人数为1950. 9.解：(1)200 (2)选择A项目的人数为200一10一80一70=40 则补全统计图如图。 1家庭个数 90 0 70 70 60 50 40 0 20 10 10 B C D 项目 (3)统计图中“我在星村有丘田”所对应的圆心角的度 数为360° 200=729 40 70 (4)2000×200=700(个). 故估计选择“我在星村有口塘”的家庭有700个. 10.解：(1)60612 (2)补全频数分布直方图如图. 十频数 30 24 24 i81 18 …6 0 60708090100成绩/分 144° (3)估算全校竞赛成绩达到优秀的学生人数为800× 24+12=480. 60 专项训练六二次函数 1.D 2.A【解析】：抛物线y=ax-4ax(a>0). :抛物线的对称轴为直线x=-=2,抛物线的开 口向上，.当x=2时，函数取得最小值，即y,最小，同 时距离对称轴越远，函数值越大.：14+m2一21>1 -m2-2,∴y>y∴y1<y:<y 3.B【解析】如图，过点A作AH⊥x轴于点H. ,四边形OABC是正方形， ∴.∠A0B=45°， ∴.∠AOH=45°，OB=EOA, ..AH=OH.OA=J20H. ∴.OB=2OH. 设A(m,m),则B(0,2m). 将A(m,m),B(0,2m）代人y=ax2+c,得 1 (m=am'+c. 解得 a=- m 2m=c, c=2m, ∴ac的值为-】·2m=-2. m 下田参考答案 43△ 4.B【解析】：抛物线y=ax2+4ax十3(a是常数，a≠ b 0),,对称轴是直线x=一 2a 4a=一2 2a 故结论①正确： 当x=0时，y=3, ∴点(0,3)在该抛物线上， 故结论②正确： 当a>0时，y1>yi 当a<0时，y1<y: 故结论③错误； 根据对称点的坐标得到十=一2. 2 则x1十x:=-4, 故结论④错误. 综上所述，正确的有2个 5.9 6.y=2(x一4)-2【解析】把二次函数y=2(x-2) 5的图象先向右平移2个单位，再向上平移3个单位 后，所得的函数表达式为y=2(x一2-2)2-5+3，即 y=2(x-4)2-2. 7.一1<x<3【解析】由图象可知，抛物线在直线下方 部分的横坐标的取值范围即为所求，故关于x的不等 式a,x+c<mx十n的解集是一1<x<3. 8.5【解析】如图，以O为原点，建立平面直角坐标系. 由函数的图象可知，点B,C的纵坐标相同，其横坐标 分别为0.5,1.5 六函数图象的对称轴为直线x=2×(0.5+1,5)=1. 00.515D 设第一个图案与x轴交点为D,则OD=2m. ,10÷2=5(个)， ∴最多可以连续绘制5个这样的抛物线形图案。 9,②③【解析】：抛物线的对称轴为直线工=一名 =1, 2a ∴.b=-2a. :x=-1时，y<0,即a-b+c<0 ∴.a十2a+c<0,即3a十c<0,.结论①错误： :x=-1时，y<0,即a-b+c<0:x=1时，y>0.即 a+b+c>0,..(a-b+c)(a+b+c)<0. .(a十c)<b,∴.结论②正确 “x=时y>0,即弓a+6+c>0 ∴a+3b+9c>0,∴结论③正确， 抛物线与x轴的一个交点x1在（一1,0）和(0,0) 之间， 44 九年级数学XJ版 ∴.当一1<x<x,时，ax+bx+c<0,.结论④错误： :x=1时，y有最大值， ∴.am2+bm+c≤a+b+c. 又：a<0,∴a2m+abm≥a(a+b),∴.结论⑤错误. 综上所述，结论②③正确. 10.解：(1)：日销售量y与时间t满足一次函数关系， ∴设y与x的一次函数关系式为y=r十b. +b=119. 将(1,119)，(2,118)代入y=1+b,得《 2k+b=118, 解得 使=-1， b=120. ∴y与t之间的函数关系式为y=-t十120(1≤1≤ 100). (2)根据题意，得w=y(x一30). 当1≤1<60时，w=(-1+120)(1+50-30) =-t2+1001+2400: 当60≤1≤100时，0=(-1+120)(110-30) =-801+9600. -+1001+2400(1≤1<60). 故心= -801+9600(60≤≤100). 当1≤t<60时，e=-t2+100t+2400=-(1-50) +4900. :一1<0，.当1≤1<50时，心随1的增大而增大：当 50<t<60时，w随t的增大而减小， .当t=50时，心取得最大值，最大值为4900， 当60≤1≤100时，e=一801+9600. :一80<0，∴心随1的增大而减小 .当1=60时，w取得最大值，最大值为4800. .4800<4900. .第50天的日利润最大，最大日利润为4900元. 11.解：(1)③-2 (2)由题意可知， 1 A=(a-1D-4.7a(a-5)=3a+1>0.0 x1+x:=a-1>0.@ 1 x1·x:= aa-5)<0,③ 由①得a>-3 1 由②得a>1, 由③得0<a<5. 综上所述，实数a的取值范围是1<a<5. (3):二次函数y=x-bx-c的 一个“零点”为一1， .A(-1.0),1+b-c=0,即c =1+b. 又：b>0,.x1+x:=b>0,即另 一个“零点”大于1. “点Q(6+子y%)在抛物线上，o=(b+分) 6+2》-1-6=-0-是 如图，在y轴上取点G(0,1),连接AG,过点Q分别 作QPLAG于点P.QH⊥x轴于点H,则Hb+ 0) :OA=OG.∴.∠GAM=45°，则在R△APM中，PM -号AM.EAM+2QM=2停AM+QN)= 2(PM+QM). 当2AM+2QM取最小值时，PM+QM取最小值， 即P,M,Q三点共线， ∴M为PQ与x轴的交点 易知在Rt△MHQ中，WEHQ=MQ,MH=HQ. :M4,0.6+2-1=-(-20-）.即1=20 - 又w万AM+2QM的最小值为2，AM=1+1= 动+子QM=-E(-20-2）-E(0+2） E(2b+)+2w(26+2)=82 解得b=4, ∴.二次函数的表达式为y=x-4x-5. 令x2-4x-5=0.解得x1=-1,x:=5, ∴二次函数的另一个“零点”为5. 专项训练七圆 1.B2.A3.C 4.A【解析】如图，作AE⊥OB于点E, DF⊥OC于点F. S,=10,0A=0B=5, 六20B·AE=10AE=4. ∴OE=VOA-AE=√5-4=3. :∠AOB+∠COD=90°，∠AOB+∠OAE=90°， ∴.∠COD=∠OAE. 在△OAE和△DOF中， ∠OEA=∠DFO=90°. ∠OAE=∠DOF. OA=DO. .△OAE2△DOF(AAS).∴.OE=DF=3. s,=200DF=x5x3-号 5.B【解析】如图，连接AC,CD,过点C作CE⊥AD于 点E, ..BC=BD+CD ∴∠BAC=∠BCD+∠CBD. D 又：∠ADC=∠BCD+∠CBD. ∴∠BAC=∠ADC,∴.AC=CD. 1 CE LAD.AE=DE=AD=X2=1.BE= BD+DE=3+1=4. AB是直径，∴.∠ACB=90°，，∠ACE+∠BCE =90. :∠ACE+∠CAE=180°-90°=90°， ∴∠CAE=∠BCE. 又：∠AEC=∠CEB=90°， ∴.△ACE∽△CBE. 提跪 ∴.CE=√AE·BE=√IX4=2. 在Rt△BCE中，BC=√CE+BE=√2+F=25 6.20°【解析】：∠AOC=140°， ∴.∠BOC=180°-∠AOC=40° 1 六∠D=z∠B0C=20 718”【解折]由2X10X=需解得和=90心 ∴剪去的扇形纸片的圆心角度数为108°一90°=18 8.20°【解析】如图，连接OC :点I是△ABC的内心， ∴AI平分∠BAC :∠CA1=35°， ∴∠BAC=2∠CA1=2×35=70 :点O是△ABC外接圆的圆心， ∴.∠BOC=2∠BAC=2X70°=140. .0B=OC. ∴L0BC=∠0CB=号×180-∠B0C)= (180°-140°)=20°. 9.9x-10√5【解析】如图，连接OC,则OC=OA=6. 四边形ACDO是平行四边形，∴OA∥ CD,∴.∠OEC+∠EOA=180°. ∠AOB=90°，.∠OEC=90°，∴.EC =V√OC-OE=W6-(25)=4, 六Sa=5Sasm-Sw5m=90xX6-号 360 2×(4+6)× 25=9x-10√/5. 10.28【解析】如图所示，连接OP. PA⊥PB,.∠APB=90. :点A、点B关于原点O对称， .OA=OB,即点O为AB的中点， 下册参考答案 45