第1章 易错易混专练 二次函数的图象与系数a，b，c的关系&难点探究专题 二次函数的最值及函数值的范围-【学海风暴】2025-2026学年九年级下册数学同步备课（湘教版）

易错易混专练 二次函数的图象与系数a,b,c的关系 题型① 由系数a,b,c判断图象 1.已知二次函数y=ax十bx,且ab<0,则其 大致图象可能是 ) 第4题图 第5题图 5.如图，直线l为抛物线y=ax2十b.x十c(a≠ 0)的对称轴，则下列说法正确的是() A.b恒大于0 B.a,b同号 C.a,b异号 D.以上说法都不对 6.二次函数y=a.x2+b.x十c(a ≠0)的部分图象如图所示， 2.已知二次函数y=ax2十c,且ac>0,则该函 其对称轴为直线x=一 数的图象可能是 且与x轴的一个交点坐标为 第6题图 (-2,0).下列结论：①abc>0;②a=b;③2a +c=0:④关于x的一元二次方程a.x2+bz 十c一1=0有两个相等的实数根.其中正确 3.如图，直线y1=kx与抛物线 的是 (填序号) y2=ax2+bx+c交于A,B 7.(2025株洲荷塘区二模)在平面直角坐标系 两点，则y=a.x2十(b一k)xJ=x+bx+e 中，直线y=a.x十b经过抛物线y2=a.x2一 第3题图 b.x的顶点，其中ab≠0.下列四个结论：①6a 十c的图象可能是 十b=0:②当x>一3时，y2随自变量x的 杵丹丽 增大而增大：③直线与抛物线的另一个交点 的横坐标为一2；④当一3≤x≤一2时，y1≥ y,正确的是 (填序号). 题型②由图象判断系数a,b,c 8.(2025临湘期中)二次函数y=a.x2十b.x十c 4.赋值法如图，四个函数的图象分别对应的 的图象经过点(-3,0)，(xa,0),0<x。<1, 是①y=a.x,②y=bx2,③y=cx2,④y 与y轴正半轴相交.下列结论：①a一b十c> dx2,则a,b,c,d的大小关系是 0:②2a-b<0:③若点(-4，y1),(一2，y2), A.a>b>c>d (2,y3)都在二次函数的图象上，则y<y1< B.a>b>d>c y2;④关于x的一元二次方程a.x2十bx十c C.b>a>c>d 十1=0一定有两个不相等的实数根.其中正 D.ba>d>c 确的是 (填序号). 下册第1罩 难点探究专题 二次函数的最值及函数值的范围 题型① 没有限定自变量的取值范围求最值 题型③ 限定自变量的取值范围求函数值的 1.若二次函数y=x2一4.x十c的图象经过点 范围 (0,3),则函数y的最小值为 ) 5.如右图，二次函数y=a.x2+b.x A.-1 B.1 C.-2 D.2 十c的图象的顶点坐标为（一1， 2.若一次函数y=(a十1)x十a的图象经过第一、 -2),且过点(1,0).当-3≤x 三、四象限，则二次函数y=a.x2一ax( <3时，求函数值y的取值 A.有最大值号 品有最大值一号 范围， C.有最小值号 D,有最小值一号 题型② 限定自变量的取值范围求最值 3若关于：的分式方程+号 =1的解 为非负数，则二次函数y=a一12a+39的 最小值为 4.已知函数y=一x2+bx+c(b,c为常数)的 图象经过点(0，一3)，（一6，一3）. 题型④ 已知函数的最值，求待定系数的值 (1)b C= 3 6.已知当-2≤x≤2时，二次函数y=ax2十 (2)当一4≤x≤0时，求y的最大值. (2a-一1)x+1有最大值3，求实数a的值. (3)当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值 之和为2，求m的值. 20 九年级数学版把A(-2,25)代入，得a·(-2)(-2-4)=25, 解得a= 6 六这条抛物线的表达式为y= 6x(x-4),即y= 5-23 61 3x. 13.y=(x-1)2-414.y=x2+4x+3 15.y=(x+1)2-3 16.y=-x2十6x-9【解析】：y=x2-6x+9=(x- 3)2. .旋转后抛物线的表达式为y=一(x一3)=一x+ 6x-9 17.解：(1)已知抛物线y=x+x十c经过点A(1,0), B(0,2), 六将A,B两点的坐标代人，得01+6十 12=c, 利化23 故抛物线的表达式为y=x-3x十2. (2)A(1,0),B(0,2),.OA=1,OB=2,可得旋转 后点C的坐标为(3,1).当x=3时，x一3x+2= 2,抛物线y=x2一3x十2经过点(3,2)，将原抛 物线沿y轴向下平移1个单位后经过点C,∴.平移后 所得新抛物线的表达式为y=x一3x+1. 1.4二次函数与一元二次方程的联系 1.A2.D 3.解：(1)1 (2),m=1,.y=x2+x-2.当y=0时，x+x-2 =0. .△=b2-4ac=12-4×1×(-2)=9>0, 二次函数的图象与x轴有2个交点. 【解析】1)将P(2,4)代入y=x十mx十m2-3,得4= 4十2m十m2-3,解得m1=1,m:=-3. 又m>0,∴.m=1. 4.C5.2.5 6.B【解折1令y=0,则一立红-0+3=0.即x-) =36,解得x1=10,x:=一2.由题意可知，x>0,∴x= 10,∴.这次铅球扔出的距离为10m 7.D变式题B 8.C【解析】二次函数y=ax2-2ax+c(a≠0)的图象 的对称轴是直线x=-二20-1.：点（一2,0）关于直 2a 线x=1的对称点是(4,0)，∴.一元二次方程ax-2ax 十c=0的两个实数根是x1=一2，x:=4,.两根之积 是一8. 9.≥一1且k≠0【解析】令y=0,则x-6x一9=0. ,二次函数y=kx一6x一9的图象与x轴有交点， ∴一元二次方程kx2一6x一9=0有实数根，.是≠0且 4=(-6)2-4k·(-9)≥0，解得k≥-1且k≠0. 10.m<a<b<n【解析】如图.由题意可知，二次函数y =(x-a)(x-b)一2的图象开口向上，与x轴交点 的横坐标为m,n.令y=一2，则(x一a)(x一b)=0, 解得x1=a,x:=b. 观察图象可知，m<a<b<n. 11.2≤1<11【解析】：抛物线y=x十a+3的对称轴 为直线=1心一会=1：解得6=-2抛物线的表 达式为y=x-2x十3，.一元二次方程x+bx+3 一1=0的实数根可以看作抛物线y=x一2x十3与 直线y=t的交点的横坐标. 方程在一1<x<4的范围内有实数根， y=x2-2x+3在x=1时有最小值2， 当x=一1时，y=6:当x=4时，y=11. t的取值范围是2≤1<11. 12.解：(1)证明：令y=0,则x2-2mx十m2-1=0, ∴.△=(-2m)2-4(m2-1)=4>0, ∴不论m为何值，该函数的图象与x轴都有两个 交点. (2)对于x2-2mx十m3-1=0,x1十x:=2m,x1x:= m2-1. x+x=4, ∴xi+x=(x1十x:)2-2x1x2=4m2-2(m2-1) =4, 解得m1=1,m:=1. 故m的值为1或一1. 13.解：(1)①③(2)0<x<5 (3)令x2-2x-3=0,解得x1=3,x:= 一1，∴.抛物线y=x2一2x一3与x轴 的交点坐标为(3,0)和（一1,0）.画出二下 次函数y=x2-2x一3的大致图象（如 图所示).由图象可知，当x<一1或x>3时，函数图 象位于x轴上方，此时>0，即x2-2x一3>0，∴一 元二次不等式x-2x-3>0的解集为x<-1或x >3. 易错易混专练二次函数的图象 与系数a,b,c的关系 1.A2.B3.B4.A 5.C【解析】：直线I为抛物线y=ax2十bx+c(a≠0) 的对后轴对称轴为直线=一云>0.当a<0时.力 >0:当a>0时，b<0.故a,b异号. 下田参考答案 6.②③【解析】由图可知，抛物线的开口向上，与y轴交 于负半轴，∴.a>0,c<0.:抛物线的对称轴为直线之 、1 -<0-会<06>0<0，故结 2a 论①错误：抛物线的对称轴为直线x=一乞，与x轴 的一个交点坐标为（一2,0），∴抛物线与x轴的另一个 交点坐标为(1,0)，∴方程ax十x+c=0的解为x1 =-24=1.,+x,=-么=-2+1=-1x1x4 a =C=-2X1=-2.∴a=b,2a十c=0,故结论②③ 正确：关于x的一元二次方程ax+x十c一1=0的实 数根为抛物线y=ax2+bx+c与直线y=1的交点的 横坐标.由图可知，抛物线y=ax+bx十c与直线y 1交于两点，∴.关于x的一元二次方程ax十bx+c一1 =0有两个不相等的实数根，故结论④错误. 7.①③ 【解析】抛物线y=ax2-br的顶点为（ b 二D 4a) 将会合)代人=a+b,得会-名 4a=2+6. ∴.b=-6a,即6a+b=0. 故结论①正确： 抛物线y=ar2-bx的对称轴为直线x= b-6a 2a =-3. 若a>0,则当x>一3时，y:随自变量x的增大而 增大： 若a<0,则当x>一3时，y:随自变量x的增大而 减小. 故结论②不正确： "b=-6a ∴直线的表达式为y,=ax一6a,抛物线的表达式为 y:=ax:+6ax. 令ax-6a=ax2+6ax, 解得x1=-2,x:=一3， .直线与抛物线的另一个交点的横坐标为一2 故结论③正确： 由题意得，若a>0,则当-3≤x≤-2时y1≥y: 若a<0,则当一3≤x≤一2时，y1≤y. 故结论④不正确。 综上所述，正确的结论是①③， 8.①③④【解析】：抛物线y=ax2+x十c与y轴正 半轴相交，与x轴交点在y轴两侧， 抛物线开口向下， ∴.x=一1时，y=a一b十c>0.故①正确. 抛物线经过点（一3,0），(x。,0),0<x。<1, ∴抛物线的对称轴在（一子0）与(-1.0之间，如图。 8 九年级数学XJ版 -1 3 a<0. ∴.b<2a,即2a-b>0,故②错误. 点(-4y1),(-2,y:),(2y) 3 都在二次函数的图象上，点(2，y) 距离对称轴最远，点（一2，y:)距离对称轴最近， ·y,<y1<y,故③正确. 由图象可得，抛物线与直线y=一1有两个交点， ∴.ax2+bx+c十1=0有两个不相等的实数根，故④ 正确。 难点探究专题二次函数的最值及函数值的范围 1.A【解析】二次函数y=x一4x+c的图象经过点 (0,3),.c=3 二次函数的表达式为y=x2-4x+3=(x一2)2-1.当 x=2时，函数y有最小值一L. 2B【你折1曲题意知化邻得-1<a<0. 次函数的图象开口向下，“当x=一 -时，二次 2a 函数y=ar2-ax有最大值-号 34【标擦关于：的分式方程克+号子-：得： =5-a.分式方程的解为非负数，∴.5-a≥0，且5一 a≠2，解得a≤5且a≠3.：二次函数y=a2-12a+ 39=(a一6)2+3，∴.当a<6时，y随a的增大而减小， ∴当a=5时，二次函数取得最小值，最小值为4， 4.解：(1)一6一3 (2)y=-x-6x-3=-(x+3)2+6. 一4≤x≤0，当x=一3时，y取得最大值，最大值 为6. (3)①若-3<m≤0， 当x=0时y取得最小值，最小值为一3： 当x=m时，y取得最大值，最大值为一m一6m一3， .-m2-6m-3+(-3)=2, 解得m,=一2，m:=一4（不合题意，舍去）. ②若m≤一3，当x=一3时，y取得最大值，最大值 为6. y的最大值与最小值之和为2 y的最小值为一4， .-(m+3)2+6=-4, 解得m,=-3-√0，m,=一3十√10（不合题意，含 去). 综上所述，m的值为一2或一3一√0. 5.解：由题意，得二次函数顶点式为y=a(x十1)-2. 当=1时=4a一2=0，解得a=分二次函数 1 的表达式为y=乞(x+1)-2.“当x=一3时y=0, 当x=3时，y=6,.当-3≤x<3时，函数值y的取 值范围是一2≤y<6. 6解：若x=一时y4=3,则-2-1 =3 2a 4a 解得0，=a:=一分此时=-2.又：-号<<， a=-号不合题意：若x=2时：y大=3，则4如十 2(2a-1D+1=3,a=子，此时抛物线开日向上，对 称轴为直线x=0,离对称轴的距离越远，值越大，∴@ =子符合题意：若：=-2时y大=3，则。 (-2)》'+(2a-10×(-2)+1=3:解得a=- 2 经检验符合题意，综上，实数口的值为了或-号 单元整合训练二次函数与几何图形的 综合问题（跨单元） 1.解：(1)y=x2+2x-3 (2)设直线OB的表达式为y=x.将B(一2，一3)代 人，得-2k=一3， 解得长= 3 “直线OB的表达式为y=乞2 设M(b,b2+2b-3),MN=s, 则点N的横坐标为6一5，纵坐标为子6-》。 3 由MN∥x轴，得6+2b-3=2(b-) 解得=--+2=-+广+号 当6=一时MN有最大值最大值为 49 (3)EF+EG是定值. 如图，过点P作PQ∥y轴，交x轴 于点Q. 在y=x2+2x-3中，令y=0,解 得x1=-3,x:=1∴.C(-3,0) D(1.0) 设P(t,1+21-3),则PQ=-t2 -21+3,CQ=1+3,DQ=1-1. :PQ∥EF,∴.△CEF∽△CQP EF CE Q示 8r器PQ,名3P-2u+D 同理，△EGD∽△QPD, 器-贤 :.EG=DQ 2(-4-21+3), ,PQ= ..EF+EG=- --2+3)+名(--2+ 2 4 3)=2(--21+3)--24+3=8, 故EF+EG是定值，为8. 【解析】(1)根据抛物线的顶点为A(一1，一4)，设抛物 线的表达式为y=a(x十1)一4. ,抛物线经过点B(一2，一3)， .a(-2+1)2-4=-3, 解得a=1, 该抛物线的表达式为y=(x+1)一4，即y=x+ 2x-3. 2.解：(1)(-1,0)(3,0)(0,3)(1.4) (2)x=1y=-x+3 (3)①(a,-a2+2a+3)(a,-a+3)(a,0) ②-a2+2a+3-a+3-a*+3ala-1la (4):抛物线对称轴为直线x=1, ∴.M(1,m). 令-x2+2x+3=-x-1, 解得x,=一1（舍去），x:=4. 将x=4代人y=-x-1,得y=-4-1=-5. .E(4,-5). 由AM=EM,得22+m2=(4-1)2+(m+5),解得 m=-3. ∴当AM=EM时，m的值为-3. 3.解：(1)令x=0,得y=3, .C(0,3). 令y=0,得-x2-2x+3=0, 解得x1=一3，x:=1, ∴A(-3,0),B(1.0 (2)存在. 抛物线y=一x2一2x+3的对称轴为直线x= -2 -2x2元=-1 设M(-1,m). ,M,A,C三点为顶点的三角形是以AC为底的等腰 三角形， ∴.MA=MC. A(-3.0),C(0,3), .√-1+3》+(m-0)=√(-1-0)+(m-3), 解得m=1, ∴.M(-1.10. （3)点P的坐标为(-1,2或(-是) 【解析】(3)A(-3,0),B(1,0), ∴.OA=3,AB=4. 下册参考答案