1.5 第1课时 利用二次画数解决几何图形问题及实物抛物线问题-【学海风暴】2025-2026学年九年级下册数学同步备课（湘教版）

又OA=0C. .∠CAB=45°，AC=3V2, 指-9 设AP的长为x. 若△PAO∽△BAC,过点P作PE⊥x轴于点E, 图①. 0-福PA=2E .AE=PA·cos∠CAB=2, PE=PA·sin∠CAB=2. 2-3=-1. 点P的坐标为（一1,2） 图① 若△PAOk∽△CAB,如图② .AP_AC AO-ABPA= 4 同理可得PA·cos∠CAB=?, PA·in∠CAB=T -3=- ÷点P的坐标为(-是）) 综上所述点P的坐标为(-1.2》或-子》 4.解：(1)y=ax2-4x+c(a≠0)的图象过点A(1 和C(0,3), -4+c=0. 解得 a=1. lc=3, c=3, ∴.此抛物线的表达式为y=x2-4x十3. (2)存在.y=x-4x+3=(x-2)2-1, ∴.抛物线的对称轴为直线x=2. A(1,0). ∴.B(3,0). 连接PB,如图。 由函数的对称性质可知PA=PB, ∴.四边形PAOC的周长=OA+ OC+PC +PA=0A+OC+PC +PB. 0 当P,C,B三点共线时，PC+PB 有最小值，最小值为BC的长 :BC=√3+3=32， 10 九年级数学X划版 ∴.四边形PAOC周长的最小值为OA+OC+BC=1+ 3+3√2=4+32 设直线BC的表达式为y=kx十3. 将B(3,0)代人，得0=3k+3, 解得k=一1， 如 ∴.直线BC的表达式为y=一x+3, 当x=2时，y=-2+3=1, ∴.点P的坐标为(2.1). 1.5二次函数的应用 第1课时利用二次函数解决几何图形 问题及实物抛物线问题 1.B【解析】设一条直角边边长为xcm,直角三角形的 面积为Scm2,则另一条直角边边长为(20一x)cm.由 题意，得S=7(20-)=-7u-10r+0 1 ”-<0,当=10时，5取得最大值：5ak=0 故该直角三角形的最大面积为50cm. 2曾 【解析】设100cm的铁丝分为xcm和(100一 x)cm两部分，两部分的面积之和为Scm2.由题意，得 s=(片)广+(0)-若+a0。- 16 50+空：>0当x=50时，5取得最小值， S=625 2 放它们的面积之和最小为受cm 3.A 4.11 1 【解析】：y=-0x-5)+3.6,令y=0. 1 六-10x-5)+3.6=0, 解得x1=11,x:=一1（不符合题意，含去）. .A(11,0) ∴.0A=11. 5.解：(1)根据题意，设抛物线的函数表达式为y=a(x 30)2+10. 把(0,0)代人，得a=一90 0x-302+10. 1 “抛物线的函数表达式为y=一 (2)令y=0.则0=一0-30)*+10.解得1=0x =60, 抛物线与x轴的交点为(0,0)，(60,0)， ∴.小球被抛出60m. 6.C【解析】设垂直于现有墙的墙长为xm,则平行于现 有墙的墙长为28+2一3x=30一3x,.总面积S= x(30-3.x)=-3x°十30x=-3(x-5)2+75.由题意， 得30-3x>0且x>0,.0<x<10.又-3<0当 x=5时，S取得最大值.故当能建成的饲养室总占地 面积最大时，中间隔开的墙长为5m, 7.解：(1)示例：如图，以O为原点，水平 y/m 方向为x轴，OC所在直线为y轴建 立平面直角坐标系 16 ”立柱的间距为5m,OC= 15m, A(-) 设提物线的表达式为y=a,则吕=。~（一》厂部 得a-号 六抛物线的表达式为》=河 (2)能.理由如下： 由可知将=号与x-号分别代入y-号，解 64 16 得y=35与y=135 :一段幅栏所需锅筋的总长度为5×号-2×（器+ 品)+号x6=器m以. 722 :彩<7，六一根长为7m的钢筋能做成一段得合罗 求的栅栏， 8.解：(1)：8-6=2(m),∴.抛物线的顶点坐标为(2,3). 设抛物线的表达式为y=a(x一2)2+3.把点A(8,0) 代人，得36a+3=0,解得a=一2心抛物线的表达式 为y=--2)+3.当x=0时y=>2.4, 1 ∴球不能射进球门 (2)设小明带球向正后方移动am,则移动后的抛物线 表达式为y=一2x-2-a)户+3.把点(0.2.25)代 1 人，得2.25=一i20-2-a)+3,解得a1=-5(不符 合题意，合去)，a:=1,∴.小明应该带球向正后方移动 1m射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处. 第2课时利用二次函数解决销售问题及其他问题 1.B 2.D【解析】设利润为w元，则e=(x一30)(100一x) =-(x-65)+1225.-1<0,.当x=65时，利润 最大 3.解：(1)根据题意，得y=(70-x一50)(150+10x)= -10x2+50x+3000. 70-x-50>0,且x≥0..0≤x<20. (2)y=-10x2+50x+3000=-10(x-2.5)2+ 3062.5,-10<0. ∴当x=2.5时，y取得最大值，最大值为3062.5. 故当降价2.5元时，每星期的利润最大，最大利润是 3062.5元. 4.D【解析】.h=-512+201=-5(1-2)2+20,且-5 <0,,当t=2时，h取最大值，最大值为20.故小球运 动中的最大高度为20m. 5.解：(1)由题意，得抛物线顶点P(2.10),D(0.6), 设抛物线的表达式为y=a(x一2)2+10. 将D(0,6)代入.得4a+10=6,解得a=-1. ∴.抛物线的表达式为y=一(x-2)+10. (2)当y=0时，0=-(x-2)2+10. 解得x1=2+√10，x:=2-√10（不符合题意，名去） ∴C(2+√10.0)， ∴水柱落点C与水嘴底部A的距离AC为(2+ √/10)m. 6.C 7.1060500【解析】由题意，得y=(100十x)(600一 5x)=-5(x-10)2+60500. 一5<0，.当x=10时，y有最大值，最大值为 60500. 故果园里增种10棵橘子树时，橘子的总个数最多，最 多为60500. 8.解：(1)y=50-x(0≤x≤50，且x为正整数). (2)W=(120+10x-20)(50-x)=-10x+400x+ 5000=-10(x-20)2+9000. 0≤x≤50，-10<0， ∴.当x=20时，W取最大值，Wm=9000,120+10× 20=320(元). 故当每个房间每天的定价为320元时，宾馆每天所获 利润最大，最大利润是9000元. 9.解：(1)y=-x+120 (2)设公司销售该商品获得的日利润为心元. 根据题意，得w=(x一30)y=(x一30)（一x+120)= -(x-75)°+2025 ,x-30≥0，-x+120≥0，.30≤x≤120. -1<0. ∴当x=75时，心级大=2025. 故公司销售该商品获得的最大日利润是2025元. (3)由(2).得0=(x-30-10)(-x+120)=-(x- 80)2+1600. 当题大=1500时，-(x-80)+1600=1500, 解得x,=70,x:=90 :40≤x≤a,∴.分以下两种情况讨论： ①当a<80时，心随x的增大而增大， ∴.当x=a=70时，最大=1500. ②当a≥80时，在40≤x≤a范围内wg大=1600≠ 1500,.这种情况不成立.综上所述，a=70. 下田参考答案 111.5二次函数的应用 第1课时 利用二次函数解决几何图形问题及实物抛物线问题 恋图提园 1.利用二次函数解决几何图形问题：利用平面几何图形的有关条件和性质建立关于几何图形面积的二次 函数表达式，并利用函数的图象确定最大或最小面积， 2.实物抛物线问题：利用二次函致解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际 问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的表达式，通过表达式可以解决 些测量问题或其他问题】 延课内基础练 y/m 知识点①利用二次函数解决几何图形问题 A xm 1.已知一个直角三角形两直角边边长之和为 第4题图 20cm,则该直角三角形的最大面积为( ) 5.一个小球从地面抛出的运动路线呈抛物线 A.25 cm2 B.50 cm2 形，当小球离抛出地的水平距离为30m时， C.100 em2 D.不确定 达到最大高度10m,建立如下图所示的平面 2.(教材变式)把一根长100cm的铁丝分为两部 直角坐标系 分，每一部分均弯曲成一个正方形，则它们的面 (1)求抛物线的函数表达式 (2)小球被抛出多远？ 积之和最小为 cm2. y/m 知识点② 实物抛物线问题 3.如图①，一只兔子在草地上跳跃的路径呈抛 30 x/m 物线形，建立如图②所示的平面直角坐标 系，跳跃时兔子重心的高度变化y(单位：m) 关于水平距离x(单位：m)的函数表达式为 y=一x2十2x,则兔子此跳到重心最高时的 水平距离为 图D 图② 第3题图 A.1m B.1.5mC.2m D.2.5m 4.如图，当一喷灌机为一农田喷水时，喷灌机 喷射出的水流可以近似地看成抛物线y= 一一5)+3,6，则该喷灌机喷出的水可 到达的最远距离OA= m. 下册第1罩 23△ ⊙课外拓展练 已核心素养练 6.某农场要建两间矩形饲养 8.(教材变式)一次足球训练中，小明从球门正 室，一面靠现有墙（墙足够 -71 前方8m的点A处射门，球射向球门的路线 长)，中间用一道墙隔开，并 第6题图 呈抛物线.当球飞行的水平距离为6m时， 在如图所示的两处各留1m宽的门.已知计 球达到最高点，此时球离地面3m.已知球门 划中的材料可建墙体（不包括门）总长为 高OB为2.44m,现以O为原点建立如下图 28m,则当能建成的饲养室总占地面积最大 所示的平面直角坐标系， 时，中间隔开的墙长为 ) (1)求抛物线的表达式，并通过计算判断球 A.8m B.6 m C.5m D.4m 能否射进球门（忽略其他因素） 7.(教材变式)某校的围墙上端由相同的拱形栅 (2)对本次训练进行分析，若射门路线的形 栏组成.如下图，一段拱形栅栏为抛物线的一部 状、最大高度均保持不变，则小明应该带球 分，该栅栏的立柱和横杆用相同的钢筋切割而 向正后方移动多少米射门，才能让足球经过 成，横杆AB间用5根立柱加固，立柱的间距为 点O正上方2.25m处？ mc-指a (1)建立适当的平面直角坐标系，求出抛物 线的表达式 (2)一根长为7m的钢筋能不能做成一段符 合要求的栅栏？请说明理由， 金24 九年级数学版