1.3 不共线三点确定二次函数的表达式 课件 2023-2024学年湘教版数学九年级下册

第一章 二次函数 1.3 不共线三点确定二次函数的表达式 复习导入 y=ax2+bx+c 对称轴是： 顶点坐标是： 当 时，函数达到最大值(当a＜0)或最小值(当a＞0)： ． 复习导入 二次函数y=ax2+bx+c的性质： y=ax2+bx+c 开口 方向 对称轴 顶点坐标 最大(小)值 增减性 a>0 a<0 向上 向下 时，y随x的增大而减小， 时，y随x的增大而增大． 时，y随x的增大而增大， 时，y随x的增大而减小． 1、怎样用待定系数法确定一次函数的解析式？ y=kx+b (k≠0) 系数k， b待定 找两个点 确定两个方程 解二元一次方程组 2、二次函数的表达式有哪些？ 一般式： y=ax2+bx+c 顶点式： y=a（x-h）2+k 复习导入 如何求二次函数的表达式？ 探究新知 例1 已知一个二次函数的图象过点（1，3）、（-1，-5）、（3，-13）三点，求这个函数的表达式？ 解：设该二次函数表达式为y=ax2+bx+c． 将三个点的坐标（1，3）、（-1，-5）、（3，-13）分别代入函数表达式，得到关于a，b，c的三元一次方程组： 解得 a=-3，b=4，c=2. 因此，所求的二次函数的表达式为y＝-3x2＋4x＋2． 5 探究新知 例2 已知一个二次函数的图象过点（-1，0）、（3，0）、（1，-4）三点，求这个函数的表达式？ 分析：二次函数的交点式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),给出三点，其中两点为函数图象与x轴的交点(x1,0),(x2,0)时可利用此式来求. 解：∵二次函数的图象过点（-1，0）、（3，0） ∴设该二次函数表达式为y=a(x+1)(x-3)． 将（1，-4）代入函数表达式，可得： -4=a(1+1)(1-3) 解得 a=1. ∴所求的二次函数的表达式为y=(x+1)(x-3)，即 y=x2-2x-3 ． 知识要点 已知三点求二次函数的解析式的一般步骤： 1.设：设二次函数的解析式为：y=ax2+bx+c或y=a(x-x1)(x-x2)； 2.代：把三点的坐标代入所设的函数解析式； 3.解：解方程（组）； 4.写：回代解析式，写成一般形式． 那么如何判断三个点是否在一条直线上？ 求经过其中两个点的直线表达式，再判断第三个点是否适合这个表达式. 典例精析 例3 已知三个点的坐标，是否有一个二次函数，它的图象经过这三个点？ （1）P（1，-5），Q（-1，3），R（2，-3）； （2）P（1，-5），Q（-1，3），M（2，-9）. 典例精析 （1）P（1，-5），Q（-1，3），R（2，-3） 解：设有二次函数y=ax2+bx+c，它的图象经过点P，Q，R三点，则得到关于a，b，c的三元一次方程组： 解得 a=2，b=-4，c=-3． 因此，二次函数y＝2x2-4x-3的图象经过P，Q，R三点． 典例精析 （2）P（1，-5），Q（-1，3），M（2，-9） 解：设有二次函数y=ax2+bx+c，它的图象经过点P，Q，M三点，则得到关于a，b，c的三元一次方程组： 解得 a=0，b=-4，c=-1． 因此，一次函数y＝-4x-1的图象经过P，Q，M三点．这说明没有这样的二次函数，它的图象能经过P，Q，M三点． y = - 4x – 1 例2中：两点P（1， -5）， Q（-1， 3）确定了一个一次函数 y = - 4x - 1 . 点 R（2， -3）的坐标不适合 y = - 4x - 1 ， 因此点 R 不在直线 PQ 上，即P， Q， R 三点不共线. 点 M（2， -9）的坐标适合 y = - 4x - 1，因此点 M在直线 PQ 上，即 P，Q，M 三点共线. 典例精析 如何判断三个点是否在一条直线上？ 求经过其中两个点的直线表达式，再判断第三个点是否适合这个表达式. 知识要点 通过例2的解答你可以得到什么结论？ 1、二次函数y=ax2+bx+c的图象上任意三个不同的点都不在一条直线上． 2、若给定不共线三点的坐标，且它们的横坐标两两不等，则可以确定唯一的一个二次函数，它的图象经过这三点． 12 典例精析 例3 选取顶点（-2,1）和点（1，-8），试求出这个二次函数的表达式。 解：设这个二次函数的表达式是y=a（x-h）2+k， 把顶点(-2,1)代入y=a（x-h）2+k得 y=a（x+2）2+1 再把点（1，-8）代入上式得 a（1-h）2+1=-8， 解得a=-1 因此，所求的二次函数的表达式为y=-（x+2）2+1或y=-x2-4x-3 知识要点 通过例3的解答你可以得到什么结论？ 1.若已知抛物线的顶点坐标和抛物线上的另一个点的坐标时，通常设函数的解析式为y=a（x-h）2+k。 2.特别地，当抛物线