1.3 不共线三点确定二次函数的表达式-【学海风暴】2025-2026学年九年级下册数学同步备课（湘教版）

*1.3不共线三点确定二次函数的表达式 森要点提园 二次函数的表达式是y=ax2十bx十c(a≠0)，因此，要确定这个表达式就需要求出a,b,c的值.如果已知 二次函数图象上三个点的坐标（也就是函数的三组对应值），将它们代入函数表达式，列出一个关于待定系 数，b,c的三元一次方程组，求出a,b,c的值，就可以确定二次函数的表达式. 课内基础练 7.已知二次函数y=a.x2十bx十c,当x=一1 知识点用待定系数法求二次函数的表达式 时，y=10:当x=1时，y=4;当x=2时，y L.抛物线y=x2十x十c与y轴的交点坐标为 =7.故该二次函数的表达式是 (0,一3)，则抛物线的表达式为 ) A.y=x2+x十3 B.y=x2+x-3 8.如图，在平面直角坐标系中，一条抛物线经 C.y=x2+3x+c D.y=x2-3x+c 过格点（网格线的交点）A,B,C,其中点B 的坐标为(4,4)，则该抛物线的表达式为 2.二次函数y=a.x2十k的图象经过点(1，一6) 和(2,3)，则对应的抛物线的表达式为( A.y=3.x2-9 B.y=3.x2+9 C.y=-3.x2-9 D.y=-3x2+9 3.已知二次函数y=x2十bx十c的图象如图所 示，则这个二次函数的表达式为 A.y=x2-2x+3 第8题图 B.y=x2-2x-3 9.一题多解法某二次函数的图象如下图所 C.y=x2+2x-3 示.求这个二次函数的表达式 D.y=x2+2x+3 第3题围 4.已知二次函数的图象经过(0,0)，(3,0)，(1， 一4)三点，则该二次函数的表达式为( ) A.y=x2-3x B.y=2x2-3.x C.y=2x2-6x D.y=x2-6.x 5.已知二次函数y=a.x2+bx十c的图象中的部 分自变量x与所对应的函数值y如下表，则 该二次函数的表达式为 易错点忽略函数图象的开口方向 2 10.已知抛物线经过原点和A,B两点，点 3 -2 3 A,B在x轴的同侧，点A,B的横坐标 分别是2,4，且A,B两点到x轴的距 6.已知抛物线y=a.x2十b.x十c的对称轴为直线 离均为4，则该抛物线的表达式为 x=2,且过点(1,4)和点(5,0)，则该抛物线的 函数关系式是 下册第1罩 13 ⊙课外拓展练 已核心素养练 11.抛物线y=a.x2+bx+c与x轴的两个交点 15.抽象能力已知抛物线y=a.x2+bx+c(a, 坐标分别为（一1,0），(3,0)，其形状和开口 b,c为常数，a≠0)的自变量x与函数值y 方向与抛物线y=一2x2相同，则该抛物线 的部分对应值如下表： 的表达式为 012 A.y=-2.x2-x+3 y…d0-3n-3… B.y=-2.x2+4.x+5 (1)求抛物线的表达式及d,n的值. C.y=-2.x2+4x+8 (2)①请在图①中画出所求的抛物线： D.y=-2x2+4x+6 ②设P为抛物线上的一个动点，OP的中 12.如图，抛物线的顶点M在y轴 点为P‘.当点P运动时，请在图②中描出 上，抛物线与直线y=x十1相 相应的点P'的运动轨迹，并求出该运动轨 交于A,B两点，且点A在x轴 迹的函数表达式。 上，点B的横坐标为2，那么抛 第12题图 物线的表达式为 13.分类讨论思想已知点P(m,n)为抛物线y a.x2一4a.x十b(a≠0)上一动点.当1≤m≤4时， n的取值范围是1≤n≤4，则抛物线的表达式 为 图① 图②2 14.如下图，在菱形OABC中，点A在x轴上， 已知OA=25,∠AOC=60°，抛物线y a.x2+bx+c(a≠0)经过O,C,B三点.求 抛物线的表达式. 九年级数学版·1.3不共线三点确定二次函数的表达式 1.B2.A3.B4.C5.y=-x2+4x-6 6y=-+2+ 5 7.y=2x2-3x+5 1 2 8.y=一+子x+4【解折】由点B的坐标为4,4)， 可以得出点A的坐标为(0,4)，点C的坐标为(6,2). 设该抛物线的表达式为y=ax2+bx十c.把A(0,4), B(4,4),.C(6,2)代入y=a.x2+bz+c, 1 c=4, a=-6 得16a+4b+c=4,解得 2 36a+6b+c=2, b=3 (c=4. 故谈抛物线的表达式为y=-名+号十4 9.解：设二次函数的表达式为y=ax2+bx十c(a≠0). 把(-1,0)，(3,0)和(0，-3)代入， a-b+c=0. (a=1, 得9a+3b+c=0,解得b=-2, c=-3, c=-3, ∴.这个二次函数的表达式为y=x-2x一3. 一题多解法《 二次函数图象经过点（一1,0）和(3,0)， ∴可设二次函数的表达式为y=a(x+1)(x一3) (a≠0). 把(0，一3)代入，得一3=a·1X(一3)，解得a= 1,∴这个二次函数的表达式为y=(x+1)(x 3)=x2-2x-3. 1 1 10.y=-2x*+3x或y=21-3x 【解析】由题意，得 对称轴为直线x=3.设该抛物线的表达式为y=a(x -3)2+k(a≠0). 当抛物线开口向下时，A,B两点的纵坐标为4，A(2, 4).B(4,4) 把(0,0)和(2,4)代入，得 9a+k=0, la+k=4. 解得 2x-3)+ 9 ∴该抛物线的表达式为y=一 2 2 +3x: 当抛物线开口向上时，A,B两点的纵坐标为一4， A(2,-4),B(4,-4). 把(0,0)和(2.-4)代人，得9a+=0, la+k=-4, 解得 1 9 “该抛物线的表达式为y=乞(x-3)一2 =7 -3x. 1 综上所述，该抛物线的表达式为y=一乞+3x或y -3 11.D【解析】根据题意，得a=一2， ∴.设该抛物线的表达式为y=一2(x一x,)(x一x:). :抛物线与x轴交于点（一1,0）.(3,0)， .y=-2(x+1)(x-3)=-2x2+4x+6. 12.y=x-1【解析】：A为直线y=x+1与x轴的 交点， ∴.A(-1,0). 把点B的横坐标代入y=x+1,得y=3,∴B(2.3). ,抛物线的顶点在y轴上， .可设抛物线的表达式为y=ax2十c. 把A,B两点的坐标代人，得十c=0:解 l4a+c=3, 得/1， c=-1, ∴抛物线的表达式为y=x2一1. 13.y=- +3x+1或y=-+4【解折1抛 物线y=a一4ax+b的对称轴为直线x=二)与 =2.分两种情况： ①当a<0时，，点P(m,n)在抛物线上，当1≤m≤4 时，”的取值范围是1≤n≤4， ∴在1≤x≤4范围内，当x=2时函数有最大值， 为4， 当x=4时函数有最小值，为1， :a-8a+b=4, 解得 as- 4 116a-16a+b=1, b=1, 此时抛物线的表达式为y=一子+3x十1： @当a>0时，，点P(m,n)在抛物线上，当1≤m≤4 时，n的取值范围是1≤n≤4， ,.在1≤x≤4范围内，当x=2时函数有最小值， 为1， 当x=4时函数有最大值，为4， ÷a-8a+6=,解得 = "16a-16a+b=4, b=4, 3 一此时抛物线的表达式为y=子x-3x十4. 综上可知，抛物线的表达式为)=一子+3x十1或 y=2-3x+ 下田参考答案 14.解：如图，过点C作CH⊥OA于点H. .四边形OABC是菱形.OA= 25,∠AOC=60° ·OC=25,点A的坐标为 (25.0). 在Rt△COH中， OH=cos60°·25=5. CH=sin60°.25=3， ∴点C的坐标为(5,3)， ∴由菱形的性质可知，点B的坐标为(3√5,3). 设抛物线的表达式为y=ax2+bx+c. 把O(0.0),C(5,3).B(35,3)代入.得 c=0 a= 1 3 3a+56+c=3, 解得 bs43 27a+35b+c=3. 3 c=0, 之抛物线的表达式为y=一子+ 1 3. 15.解：(1)把(-1,0).(0.-3)，(2，-3)代入y=ax2+ a-b+c=0. a=1, bx+c,得c=-3, 解得b=-2. 4a+2b+c=-3, c=-3. 抛物线的表达式为y=x-2x一3. 当x=一2时，d=4+4-3=5: 当x=1时，n=1一2一3=一4. (2)①画出抛物线如图①所示. ②描出点P的运动轨迹如图②所示. 设点P(m,m2-2m-3). :0(0,0),P为OP的中点，P(受 m2-2m-3 2 2=1, 则-2-3=-1-3=2-21-子 2 2 .点P'的运动轨迹的函数表达式为y=2x一2x 3 2 ① 图2 46 九年级数学XJ版 解题技巧专题确定二次函数的表达式 1.B2.D3.y=-x2+10x4.y=x-4x+3 5.解：=0y=2x+3=8y=00-是(-2 0)(0,3)y=ax2+x+c(0.3) (-2o) 0 3 =310-2b+c=0-6-73y=-6r- 7x+3 6.C【解析】：二次函数的图象的顶点坐标为(1，一2) ∴设该二次函数的表达式为y=a(x一1)2-2.：二次 函数的图象经过点(0，-5)，a一2=一5，解得a= 一3.故该二次函数的表达式为y=一3(x一1)一2. 7.y=-2(x+1)2+3或y=-4(x+1)2+3 8.解：(1)：二次函数图象的顶点为A(1,一3)，设二次 函数的表达式为y=a(x-1)一3.将C(2,0)代入表 达式，得a=3,∴.该二次函数的表达式为y=3(x一1) -3.即y=3x2-6x. (2)设Q(m,0).A(1.-3),0(0.0),.QA=(1- m)2+9=m2-2m+10,Q02=m2,A02=10. :△AOQ是等腰三角形，.可分以下三种情况讨论： ①当QA=Q0时，Q4=Q0产，则m-2m+10=m2. 解得m=5: ②当QA=A0时，QA2=AO2,则m2-2m+10=10. 解得m1=0(不合题意，含去)，m:=2: ③当Q0=A0时，Q02=A02,则m=10,解得m1= √/10，m:=-√10. 综上，符合条件的点Q的坐标为(5,0)或(2,0)或 (√10.0)或(-√10,0). 9.D 10.B【解析】：点（一4,0），(2.0)向右平移3个单位长 度后对应点的坐标为（一1.0），(5,0)，∴设平移后的 抛物线的表达式为y=a(x+1)(x一5). 把(0，-5)代入，得一5a=-5,解得a=1. .原抛物线的表达式为y=(x十4)(x一2)， 即y=x2+2x-8,∴.b=2,c=-8, .a+b+c=1+2-8=-5. 11.y=-x2+x+2或y=x2-x-2 12.解：如图，过点A作AC⊥x轴 于点C. ∠A0B=120°， .∠AOC=60° ∴.∠0AC=30° OA=0B=4, .OC=2,AC=25,B(4,0), .A(-2,25). 由抛物线经过点O(0,0),B(4,0),可设抛物线的表 达式为y=ax(x-4)