1.1 二次函数-【学海风暴】2025-2026学年九年级下册数学同步备课（湘教版）

第1章 二次函数 1.1二次函数 恋/鱼恩提园 1.二次函数的定义：如果函数的表达式是自变量的二次多项式，那么这样的函数称为二次函数，它的一般 形式是y=ax2十bx十c(a,b,c是常数，a≠0)，其中x是自变量，a,b,c分别是画数表达式的二次项系 数、一次项系数和常效项 2.二次函数表达式必须满足的三个条件：(1)等号右边是整式；(2)自变量的最高次数必须是2：(3)二次项 集数不为0 3.二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是所有实数，但在实际问题中，自变量 的取值范国会有一些限制 4.列二次函数表达式的步骤：(1)分清实际问题中的已知量（常量）和未知量（变量）：(2)找出题目中的羊量 关集：(3)根据等量关系写出用一个变量表示另一个变量的函数表达式. 色课内基础练 知识点②二次函数中字母的取值 知识点① 二次函数的定义及一般形式 4.若关于x的函数y=(m一2).x2一x十1是二 1.(2025邵阳隆回月考)下列函数中，是二次函 次函数，则m的取值范围是 数的是 变式题二次项系数→指数→系数、指数 1 Ay=-1 B.y=x2-(1+x) (1)若y=2xl是二次函数，则m C.y=-2.x2+10x-1D.y=a.x+5x (2)若函数y=(m一3)xm-1是二次函数， 2.二次函数y=2(x+1)2一3的一般形式是 则m的值为 ,二次项系数和常 数项的和是 知识点③ 根据题意列二次函数的表达式 3.(教材变式)下列各式中，哪些一定是y关于 5.某中学课外兴趣活动小组准一8m一 x的二次函数？哪些一定不是y关于x的 备围建一个矩形苗圃园，其中 苗国国 二次函数？对于有可能是y关于x的二次 一边靠墙，另外三边用长为 第5题图 函数的，请补充条件使它一定是y关于x的 40m的篱笆围成.已知墙长为18m(如图所 二次函数 示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为 ①y=5x2+2.x-5: xm,围成的苗圃园的面积为ym°，则y关 ②y=(3.x+2)(4.x-3)-12.x2: 于x的函数表达式为 ( ) ③y=a.x2+bx+c; A.y=x(40-x) B.y=x(18-x) ④y=2.x2+3x一k(k为常数). C.y=x(40-2x) D.y=2x(40-2x) 6.在半径为4cm的圆中，挖去一个半径为xcm 的圆，剩下一个面积为ycm的圆环，则y与x 的函数表达式为y= ,其中 自变量x的取值范围是 下册第1罩 色课外拓展练 铺设草坪.设剩余部分的面积为ym2,求y 7.如图，在Rt△ACB中，A 关于x的函数表达式，并写出自变量x的 ∠ACB=90°，CA=CB=10. 取值范围. P是CB边上一动点（不与点 C,B重合)，过点P作PQ⊥ CB交AB于点Q.设CP= 第？题图 x,BQ=y,△BPQ的面积为S,则y与x, S与x满足的函数关系分别为 A.一次函数关系、二次函数关系 B.反比例函数关系、二次函数关系 已核心素养练 C.一次函数关系、反比例函数关系 12.为了响应政府提出的由中国制造向中国创 D.反比例函数关系、一次函数关系 造转型的号召，某公司自主设计了一款每件 易错点忽略二次项系数不为0 成本为40元的可控温杯，并投放市场进行 8.已知y=(m-1)·xm++3x为二次 试销售.经过调查发现，现产品每天的销售 函数，则m的值为 量y(单位：件)与销售价格x(单位：元/件) 满足一次函数关系y=一10.x+1200. 9.报告显示，2023年全球金属增材制造市场的 (1)求出每天的利润S(单位：元)与销售价 总收入达到28.5亿美元.若2025年的市场 格x之间的函数表达式（不要求写出自变 规模为y亿美元，平均每年的增长率为x, 量的取值范围，利润=销售额一成本) 则y与x之间的函数关系式为 (2)当销售价格定为50元/件时，该公司每 天获取的利润是多少？ 10.已知y=(a十a)x-a-1-a.r是y关于x (3)当该公司每天获取的利润是12000元 的二次函数，求a的值并指出二次项系数、 时，销售价格为多少？ 一次项系数和常数项。 11.(教材变式)如下图，某小区计划在一个长 为40m、宽为26m的矩形场地ABCD上 修建三条宽均为xm的小路，使其中两条 与AB垂直，另一条与AB平行，剩余部分 九年级数学X版参考答案 第1章二次函数 故当销售价格定为50元/件时，该公司每天获取的利 润是7000元. (3)当S=12000时，-10x2+1600x-48000= 1.1二次函数 12000. 1.C2.y=2x+4x-11 解得x1=60,x:=100 3.解：一定是y关于x的二次函数的是①④：一定不是y 经检验均符合题意。 关于x的二次函数的是②：有可能是y关于x的二次 故当该公司每天获取的利润是12000元时，销售价格 函数的是③，当a≠0，a,b,c为常数时，③一定是y关 为60元/件或100元/件. 于x的二次函数. 1.2二次函数的图象与性质 4.m≠2变式题(1)±2(2)一3 5.C【解析】已知这个苗网园垂直于墙的一边长为xm, 第1课时二次函数y=ax(a>0)的图象与性质 则苗回园与墙平行的一边长为(40一2x)m.依题意，得 1.A2.A3.A变式题B y=x(40-2x). 4.>【解析】当x=1时，y1=my:=n.由图可知，当x 6.16x一元x20<x<4【解析】：半径为4cm的圆的面 =1时y1>y:即m>n. 积为16xcm,半径为xcm的圆的面积为rx2cm, 5.C6.B y与x的函数表达式为y=16x-xx2,且0<x<4. 7.(0,0)y轴减小 7.A【解析】：∠ACB=90°，CA=CB=10. ∴△ACB是等腰直角三角形， 8,解：函数y=子的图象如图所示。 .∴.∠B=45°. :PQ⊥BC,.△PBQ是等腰直角三角形. 'CP=x,.PB=10-x, ∴.BQ=√瓦PB=-√2x+10√2 y=一厄x十10瓦，y与x满足一次函数关系。 5=2P8=210-ar-2-10x+50. ∴.S与x满足二次函数关系. 8.一1【解析】由题意，得 m-1≠0， m*+1=2. 解得m=一1. (1)当x=0时，y有最小值，最小值是0. 9.y=28.5(1+x)2 (2)当x>0时，y随x的增大而增大：当x<0时，y随 10.解：根据题意，得a一2a-1=2,解得a1=3,a:= x的增大而减小. -1. 9.-510.C 又：a*+a≠0，.a≠0且a≠-1， 11.D .a=3,∴.a+a=12,∴y=12x2-3x,二次项系 变式题-3≤x≤-1或1≤x≤3【解析】：y=x, 数、一次项系数和常数项分别为12，一3和0. 该函数图象开口向上，对称轴为直线x=0.当x> 11.解：根据题意，得y关于x的函数表达式为y=(40一 0时，y随x的增大而增大：当x<0时，y随x的增大 2x)(26-x)=2x2-92x+1040. 而减小.当y=1时，x=士1：当y=9时，x=士3. 40-2x>0, 故当1≤y≤9时，自变量x的取值范围是一3≤x≤ ,26-x>0 -1或1≤x≤3. x>0. 12.a>1 .自变量x的取值范围是0<x<20。 13.4【解析】，点A的横坐标为2，线段AB∥x轴， 12.解：(1)S=y(x-40)=(-10.x+1200)(x-40)= ,根据抛物线的对称性可知，点B的横坐标为一2， -10x2+1600x-48000 ∴.AB=2-(-2)=2+2=4. (2)当x=50时，S=-10×50*+1600×50-48000 14.解：连接OB,如图. =7000. 设点B的横坐标为a,则点B的纵坐标为6一a. 下田参考答案