专题4.5 全等三角形的判定（高效培优讲义）数学湘教版2024八年级上册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题4.5全等三角形的判定 内容概览 教学目标、教学重难点 知识点1全等三角形的判定定理 知识清单 知识点2三角形的稳定性 题型1“边边边”(555)正明三角形全等 题型2边角边”(SS)正明三角形全等 全等三角形的判定 题型3角边角”"(ASA)证明三角形全等 题型4“角角边”(AAS)证明三角形全等 题型精讲 题型5添一个条件使得两个三角形全等 题型6灵活选用方法证明三角形全等 题型7三角形的稳定性 题型8全等三角形的性质与判定的综合应用 强化训练 教学目标、教学重难点 1.掌握SSS、SAS、ASA、AAS四种一般三角形全等的判定方法及直角三角形特有的HL 判定方法，明确各方法的条件与适用范围。 教学目标 2.能规范运用全等三角形的判定方法，结合图形中的隐含条件，判断两个三角形是否 全等。 3.经历判定方法的探究过程，提升几何推理、逻辑表达能力及分析解决问题的能力。 1.重点 (1)熟记SSS、SAS、ASA、AAS四种判定方法的核心条件，尤其明确SAS中“夹角” 的关键限制。 (2)能根据具体图形和已知条件，选择恰当的判定方法，完成基础的全等证明与推理。 教学重难点 2.难点 (1)准确识别图形中的隐含条件（如公共边、对顶角），并规避SSA、AA4等无效判定 方法的陷阱。 (2)在复杂图形或需添加辅助线（如倍长中线）的问题中，灵活选择判定方法，规范 书写几何推理过程。 1/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 知识清单 知识点01全等三角形的判定 全等三角形的判定 三角形全等判定方法1： 文字：在两个三角形中，如果有两条边及它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等： 图形： AB=A'B' 符号：在△ABC与△A'B'C'中， ∠A=∠A'∴.△ABC≌△4'B'C(S.A.S) AC=AC 三角形全等判定方法2： 文字：在两个三角形中，如果有两个角及它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等： 图形： ∠A=∠A 符号：在△ABC与△A'B'C'中， AB=A'B'.△ABC≌△A'B'C(A.S.A) ∠B=∠B' 三角形全等判定方法3： 文字：在两个三角形中，如果有两个角及其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等； 图形： ∠A=∠A' 符号：在△ABC与△A'B'C'中， ∠B=∠B'∴.△ABC≌△A'B'C'(A.A.S) BC=B'C' 三角形全等判定方法4： 文字：在两个三角形中，如果有三条边对应相等，那么这两个三角形全等 图形： 2/15 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AB=A'B' 符号：在△ABC与△A'B'C'中， AC=A'C'.△ABC2△A'B'C'(S.S.S) BC=B'C' 【即学即练2】1.(25-26八年级上·吉林四平阶段练习)如图，在ABC和aDEF中，点B,F,C,E在 同一直线上，AB=DE,∠B=∠E,要运用“SAS”判定△ABC≌△DEF.还需补充的条件是() B D A.BF=EC B.AC=FE C.AC=DF D.∠A=∠D 2.(2025八年级上·全国.专题练习)已知（如图）：点D,E分别在AB,AC上，BE,CD交于O,且 AB=AC,∠B=∠C.求证：△BOD≌△COE(AAS). E 知识点02三角形的稳定性 三角形具有稳定性 【即学即练3】3.(2526八年级上·湖北武汉·阶段练习)在巴黎奥运会射击10米气步枪混合团体决赛中， 射击队员在瞄准月标时，手、肘、肩构成托枪三角形，这种方法应用的几何原理是一， 题型精讲 题型01“边边边”(SSS)证明三角形全等 【典例1】(25-26八年级上·全国课后作业)如图，下列三角形中，与ABC全等的是() 3/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 10 8 D 12 【变式1】(25-26七年级上·全国课后作业)如图，在ABC中，AC=DB,如果要用“SSS”证明 △ABC≌△DCB,应增加的条件是 【变式2】(24-25八年级上·湖南长沙阶段练习)如图，在ABC中，AB=AC,D是BC的中点.求证： △ABD≌△ACD. 证明：D是BC的中点， 在△ABD和△ACD中， AB=AC, △ABD≌△ACD( 【变式3】(25-26八年级上·甘肃定西·阶段练习)C是AB的中点，AD=CE,CD=BE,求证： △ACD≌△CBE. B 4/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型02“边角边”(S4S)证明三角形全等 【典例2】(24-25八年级上·云南大理·期中)如图，在3×3的方格中，每个小方格的边长均为1，若∠1=《， 则∠2的度数为() 人2 A.80°-a B.90°-a C.60°-a D.70°-d 【变式1】(24-25八年级上·河北石家庄·期中)如图，AB=7cm,AC=5cm,∠A=∠B.点P在线段AB上 以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q从点B出发在射线BD上运动，它们运动的时间为t(s)(当 点P运动结束时，点Q运动随之结束).点Q的运动速度为 cm/s时，有△ACP与BPQ全等. AP B 【变式2】(24-25七年级下陕西咸阳期末)如图，点D,A,E,B在同一直线上，EF∥BC,EF=BC ,DA=EB.试说明△DEF≌△ABC. B 【变式3】已知：如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB=DE, ∠A=∠D,AF=DC,求证：△ABC≌△DEF. B D 题型03“角边角”(AS4)证明三角形全等 【典例3】(25-26八年级上·黑龙江佳木斯阶段练习)如图，点D在AB上，点E在AC上，CD与BE相交 于点O,且∠B=∠C,AD=AE,则判定△ABE≌△ACD的依据是() 5/15 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B A.ASA B.AAS C.SAS D.SSS 【变式1】(2025八年级上·全国.专题练习)如图，点B,F,C,E在一条直线上，AB∥DE,∠A=∠D ,BF=EC.求证：△ABC≌△DEF. 【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D在BC的延长线上，且BD=AB,过点B作BE⊥AC ,与BD的垂线DE交于点E.求证：△ABC≌△BDE. B D 【变式3】如图，∠A0B=90°，0A=0B,直线I经过点O,分别过A、B两点作AC⊥1交1于点C, BD⊥I交1于点D.求证：AC=OD. 题型04“角角边”(A4S)证明三角形全等 【典例4】(25-26八年级上·福建龙岩阶段练习)一块三角形玻璃，被摔成如图所示的四块，小育想去店里 买一块形状、大小与原来一样的玻璃，借助全等三角形的相关知识，小育只要带1、4或3、4去，就可以 让师傅画一块与以前一样的玻璃样板.此方案的依据是() 6/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4 722 A.SSS B.ASA C.AAS D.SAS 【变式1】(25-26八年级上·吉林通化阶段练习)如图，∠DAC=∠BAC,∠DCA=∠BCA,求证： △ABC≌△ADC. D 【变式2】(24-25八年级上·湖北十堰阶段练习)如图，在ABC中，D是BC上一点，AC=AE,E是 ABC外一点，∠C=∠E,LBAD=LCAE. D E B (I)求证：BC=DE; (2)若∠B=70°，LBAC=60°，求∠E的度数. 【变式3】(22-23七年级下陕西汉中期末)如图，要测量池塘的长度，但点F,C之间不能直接测量，已 知点B,F,C,E在同一条直线1上，小明想了个办法先在I的一边取了个点A,连接AB,再在I的另一 边取了个点D,使得AB∥DE,且∠A=∠D,同时AB=DE, E D (I)求证：△ABC≌△DEF; (2)若BE=10m,BF=3m,求FC的长. 题型05添一个条件使得两个三角形全等 【典例5】(25-26八年级上·全国期末)如图，点D,E分别在线段AB,AC上，CD与BE相交于点O, 7/15 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 己知AB=AC,现添加以下条件仍不能判定△ABE≌△ACD的是() B A.∠B=∠C B.BE=CD C.AE=AD D.ZAEB=ZADC 【变式1】(25-26八年级上江苏徐州阶段练习)如图，已知AC=AE,∠BAD=∠CAE,要使 △ABC≌△ADE,需添加一个条件可以依据SAS得到△ABC≌△ADE,这个条件可以是 【变式2】(25-26八年级上·浙江杭州·开学考试)如图，己知∠DBC=∠ACB,要证明：△ABC≌△DCB, D (1)若以“SAS”为依据，则需要添加的一个条件是 (2)若以“AAs”为依据，则需要添加的一个条件是_ 【变式3】如图，点P是AB上任意一点，∠ABC=∠ABD，还应补充一个条件，才能推出△APC≌△APD ,从下列条件中补充一个条件，不一定能推出△APC≌△APD的是() D A.BC=BD B.AC=AD C.LACB=LADB D.∠CAB=∠DAB 题型06灵活选用方法证明三角形全等 【典例6】(25-26八年级上广西防城港阶段练习)如图，甲、乙、丙中的三角形与ABC全等的是() 8/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A 74° b b 50° 56入 450 502 502 a 甲 乙 丙 A.甲 B.乙 C.丙 D.甲和丙 【变式1】(25-26八年级上·山西朔州阶段练习)下列条件中，不能作出唯一三角形的是() A.AB=2,BC=3,CA=4 B.AB=3.5,AC=2.5,∠A=40° C.AB=2,∠A=60°，∠B=40° D.∠B=40°，AB=5,CA=4 【变式2】(24-25七年级下·重庆江北期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90,点D在CA的延长线上， BE⊥DF于点E,AB=DF,BC平分∠ABE· D (I)求证：AC=CF; (2)若F是BC的中点，OA=OF,SBOF=5，求ABC的面积. 【变式3】(2025八年级上·全国专题练习)已知：AB=AC,BE=CD. 图1 图2 (1)如图1，试说明：∠B=∠C; (2)如图2，连接A0,若∠EA0=∠DA0,不添加任何辅助线，直接写出图中所有的全等三角形. 题型07三角形的稳定性 【典例7】(25-26八年级上·吉林四平阶段练习)炎热的夏天工人师傅在安装空调时一般会采用如图所示方 法固定，其依据的数学原理是■ 9/15 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 空调 三角形支架 【变式1】(24-25七年级下·重庆·期末)平板是我们日常生活中经常使用的电子产品，它的很多保护壳还兼 具支架功能，有一种如图，平板电脑放在上面就可以很方便地使用了，这里应用的几何原理是() A.三角形的稳定性 B.两点之间线段最短 C.两点确定一条直线 D.三角形两边之和大于第三边 【变式2】(25-26八年级上河北唐山阶段练习)如图所示，建高楼常需要用塔吊来吊建筑材料，而塔吊的 上部是三角形结构，这是应用了三角形的哪个性质？答： (填“稳定性”或“不稳定性”) ☒ 高楼 塔吊 【变式3】(25-26八年级上·河南信阳·阶段练习)2025年底，河南省第一大跨径斜拉桥一丹江小三峡特大 桥预计建成通车，其中斜拉设计结构稳固，蕴含的数学道理是() A.三角形具有稳定性 B.垂线段最短 C.三角形两边之和大于第三边 D.三角形内角和等于180° 题型O8全等三角形的性质与判定的综合应用 【典例8】(25-26八年级上·甘肃陇南阶段练习)如图，在ABC中，∠B=∠C,点D在BA的延长线上， 且AE∥BC,点F为AC的中点，连接EF并延长，交BC于点G. 10/15 专题4.5 全等三角形的判定 教学目标 1. 掌握SSS、SAS、ASA、AAS四种一般三角形全等的判定方法及直角三角形特有的HL判定方法，明确各方法的条件与适用范围。 2. 能规范运用全等三角形的判定方法，结合图形中的隐含条件，判断两个三角形是否全等。 3. 经历判定方法的探究过程，提升几何推理、逻辑表达能力及分析解决问题的能力。 教学重难点 1.重点 （1）熟记SSS、SAS、ASA、AAS四种判定方法的核心条件，尤其明确SAS中“夹角”的关键限制。 （2）能根据具体图形和已知条件，选择恰当的判定方法，完成基础的全等证明与推理。 2.难点 （1）准确识别图形中的隐含条件（如公共边、对顶角），并规避SSA、AAA等无效判定方法的陷阱。 （2）在复杂图形或需添加辅助线（如倍长中线）的问题中，灵活选择判定方法，规范书写几何推理过程。 知识点01 全等三角形的判定 全等三角形的判定 三角形全等判定方法1： 文字：在两个三角形中，如果有两条边及它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等； 图形： 符号：在与中， 三角形全等判定方法2： 文字：在两个三角形中，如果有两个角及它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等； 图形： 符号：在与中， 三角形全等判定方法3： 文字：在两个三角形中，如果有两个角及其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等； 图形： 符号：在与中， 三角形全等判定方法4： 文字：在两个三角形中，如果有三条边对应相等，那么这两个三角形全等. 图形： 符号：在与中， 【即学即练2】1．（25-26八年级上·吉林四平·阶段练习）如图，在和中，点B，F，C，E在同一直线上，，，要运用“”判定．还需补充的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形全等的“”判定定理，熟练掌握“”判定定理中两边及其夹角对应相等的要求是解题的关键．根据“”（边角边）判定三角形全等的条件，已有，，需要找到一组对应边相等，且这组边是与的另一边，所以分析各选项能否推出该边相等． 【详解】解：要运用“”判定，已知，，则还需要． ， ， ，满足“”的条件，符合题意． 对于选项B，，不符合“”的边的要求，不符合题意； 选项C，，不符合“”的边的要求，不符合题意； 选项D，，是“”的条件，不是“”的条件，不符合题意． 故选：A． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）已知（如图）：点D，E分别在，上，，交于O，且，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定（）与（），熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 先利用证明，根据全等三角形的性质可得，再利用证明． 【详解】证明：在和中 ， ∴， ∴． 又∵， ∴，即， 在和中 ， ． 知识点02 三角形的稳定性 三角形具有稳定性 【即学即练3】3．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）在巴黎奥运会射击10米气步枪混合团体决赛中，射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，这种方法应用的几何原理是 ． 【答案】三角形具有稳定性 【分析】本题考查的是三角形的性质，根据三角形的稳定性进行作答即可． 【详解】解：射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，其几何原理是三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 题型01 “边边边”（SSS）证明三角形全等 【典例1】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，下列三角形中，与全等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定定理． 根据三角形全等的判定定理，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．不满足三角形全等的判定定理，不符合题意； B．不满足三角形全等的判定定理，不符合题意； C．满足三角形全等的判定定理，符合题意； D．不满足三角形全等的判定定理，不符合题意； 故选：． 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在中，，如果要用“”证明，应增加的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定——，解题关键是掌握全等三角形的判定——． 根据全等三角形的判定——求解． 【详解】解：在中，，，需要添加，可用“”证明， 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，，是的中点．求证：． 证明：是的中点， ____________________． 在和中， ，________________，________________， （__________）． 【答案】，，，，，， 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理．熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 找出和中有三条边相等，根据全等三角形的判定定理“边边边”即可证明． 【详解】解：是的中点， ， 在和中， ，，， ． 【变式3】（25-26八年级上·甘肃定西·阶段练习）是的中点，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定，利用“”即可证明． 【详解】证明：∵是的中点， ∴， 又∵， ∴． 题型02 “边角边”（SAS）证明三角形全等 【典例2】（24-25八年级上·云南大理·期中）如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， 故选：B． 【变式1】（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，．点P在线段上以2的速度由点A向点B运动，同时点Q从点B出发在射线上运动，它们运动的时间为t（）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．点Q的运动速度为 时，有与全等． 【答案】2或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质， 设点Q的运动速度为，分两种情况讨论：若，则，即；②若，则，即；分别求出x即可． 【详解】解：设点Q的运动速度为， ∵，． ∴与全等分两种情况： （1）若， 则， 即， 解得：； （2）若， 则， 即， 解得：. 综上所述，x的值为2或时，与全等. 故答案为：2或． 【变式2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，点，，，在同一直线上，，，．试说明． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，证明，，根据证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． 【变式3】已知：如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线的两侧，且，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，求出，根据得到两三角形全等即可． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中 ， ∴． 题型03 “角边角”（ASA）证明三角形全等 【典例3】（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，点在上，点在上，与相交于点，且，，则判定的依据是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了判定三角形全等的方法，判定三角形全等的方法有、、、，直角三角形还有专用的，本题当中已知在与中有两角及其一角的对边对应相等，所以用可以判定． 【详解】解：已知，，为公共角， 在与中, ， ， 判定的依据是． 故选：B． 【变式1】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，点，，，在一条直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定．先由平行线的性质求得，根据推出，再根据即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴． 【变式2】如图，在中，，点D在的延长线上，且，过点B作，与的垂线交于点E．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理． 由题意得，，利用等量代换得，即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴． 【变式3】如图，，，直线经过点，分别过、两点作交于点，交于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题重点考查三角形全等的判定和性质，通过证明两个直角三角形全等，从而得出对应边相等是解题的关键． 由证明即可得到． 【详解】证明：∵， ∴， ∵，， ， ∴， ∴．（同角的余角相等） 又∵， ∴． ∴． 题型04 “角角边”（AAS）证明三角形全等 【典例4】（25-26八年级上·福建龙岩·阶段练习）一块三角形玻璃，被摔成如图所示的四块，小育想去店里买一块形状、大小与原来一样的玻璃，借助全等三角形的相关知识，小育只要带1、4或3、4去，就可以让师傅画一块与以前一样的玻璃样板．此方案的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的应用（有两个角对应相等，且夹边也对应相等的两三角形全等），学会把实际问题转化为数学问题是解题的关键． 显然1、4或3、4中有完整的三个条件，用易证现要的三角形与原三角形全等． 【详解】解：因为1、4或3、4中有完整的两个角以及他们的夹边，利用可证三角形全等． 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·吉林通化·阶段练习）如图，，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定． 直接根据证明即可． 【详解】证明：在和中， ∵， ∴()． 【变式2】（24-25八年级上·湖北十堰·阶段练习）如图，在中，是上一点，，是外一点，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质以及三角形内角和定理，解题的关键是通过角的关系证明三角形全等，再利用全等性质和内角和定理求解． （1）通过角的和差关系得到相等角，结合已知边和角，利用全等三角形判定定理证明三角形全等，进而得出对应边相等． （2）先利用全等三角形对应角相等，，再根据三角形内角和定理出的度数． 【详解】（1）证明：， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：， ，， ． 【变式3】（22-23七年级下·陕西汉中·期末）如图，要测量池塘的长度，但点，之间不能直接测量，已知点，，，在同一条直线上，小明想了个办法先在的一边取了个点，连接，再在的另一边取了个点，使得，且，同时． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质． （1）先由平行线的性质得到，再利用证明即可； （2）利用全等三角形的性质证明，再结合已知条件即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在与中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 答：的长是． 题型05 添一个条件使得两个三角形全等 【典例5】（25-26八年级上·全国·期末）如图，点，分别在线段，上，与相交于点，已知，现添加以下条件仍不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定定理以及发现隐含条件成为解答本题的关键．欲使，已知，，可根据全等三角形判定定理、、添加条件，逐一判断即可． 【详解】解：，， A、添加，利用即可证明； B、添加，为，不能证明，所以此选项不能作为添加的条件； C、添加，利用即可证明； D、添加，利用即可证明． 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，已知，，要使，需添加一个条件可以依据得到，这个条件可以是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法解答即可，熟悉掌握判定方法是解题的关键． 【详解】解：依据得到，添加，理由： ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·浙江杭州·开学考试）如图，已知，要证明：． （1）若以“”为依据，则需要添加的一个条件是 ． （2）若以“”为依据，则需要添加的一个条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形全等的判定，掌握三角形全等的判定方法需要用到的条件是解题的关键． （1）若以“”为依据，那么需要两组对应边相等以及这两边的夹角相等，根据题意，可知，，那么添加的另一条边相等即可； （2）若以“”为依据，那么需要两个角以及一组邻边相等，根据题意，可知，，那么添加和的对角即可． 【详解】解：（1）根据题意，可知，，若以“”为依据，那么添加的条件为：； 故答案为：； （2）根据题意，可知，，若以“”为依据，那么需要添加的条件为：， 故答案为：． 【变式3】如图，点P是上任意一点，，还应补充一个条件，才能推出．从下列条件中补充一个条件，不一定能推出的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了全等三角形的判定．根据全等三角形的判定和性质进行判断即可． 【详解】解：A、补充，先证出，后能推出，故不符合题意； B、补充，不能推出，故符合题意； C、补充，先证出，后能推出，故不符合题意； D、补充，先证出，后能推出，故不符合题意． 故选：B 题型06 灵活选用方法证明三角形全等 【典例6】（25-26八年级上·广西防城港·阶段练习）如图，甲、乙、丙中的三角形与全等的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．甲和丙 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形判定，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键，根据全等三角形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：甲中50度角的对边与中50度角的对边不相等，故两个三角形不全等； 利用可以得到乙中的三角形和两个三角形全等，符合题意； 两组对应边的夹角不相等，故丙中的三角形和不是全等三角形，不符合题意； 故选B． 【变式1】（25-26八年级上·山西朔州·阶段练习）下列条件中，不能作出唯一三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形全等的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题关键．根据三角形全等判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A．三边确定，则形状固定，所以可作唯一三角形，故该选项不符合题意； B．已知两边长及其两边的夹角确定，可作唯一的三角形，故该选项不符合题意； C．已知两角以及夹边，可作唯一三角形，故该选项不符合题意； D．并不是，的夹角，所以作出的三角形不唯一，故该选项符合题意； 故选：D． 【变式2】（24-25七年级下·重庆江北·期末）如图，在 中， 点在的延长线上，于点，，平分 (1)求证：； (2)若是的中点，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)15 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）根据，，得，再根据平分得，由此可依据“”判定和全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）连接，根据点是的中点得，依据“”判定和全等得，由此即可得出的面积． 【详解】（1）根据，， 得， 平分， ， ， 在和中， ， ， ； （2）连接，如图所示： 点是的中点，， ， 在△和△中， ， ， ， ． 【变式3】（2025八年级上·全国·专题练习）已知：． (1)如图1，试说明：； (2)如图2，连接，若，不添加任何辅助线，直接写出图中所有的全等三角形． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质定理，能灵活运用全等三角形的判定和性质定理进行推理是解此题的关键． （1）先求出，根据“”推出，根据全等三角形的性质即可解答； （2）根据全等三角形的性质和判定进行分析即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴． （2）解：图中的全等三角形有，理由如下： 由（1）知：， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∵在和中， ， ∴； ∵在和中， ， ∴． 题型07 三角形的稳定性 【典例7】（25-26八年级上·吉林四平·阶段练习）炎热的夏天工人师傅在安装空调时一般会采用如图所示方法固定，其依据的数学原理是 ． 【答案】三角形具有稳定性 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，熟练掌握三角形具有稳定性这一特性是解题的关键．观察图形，空调通过三角形支架固定，思考三角形的特性来确定依据的数学原理． 【详解】解：安装空调时采用三角形支架固定，其依据的数学原理是三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 【变式1】（24-25七年级下·重庆·期末）平板是我们日常生活中经常使用的电子产品，它的很多保护壳还兼具支架功能，有一种如图，平板电脑放在上面就可以很方便地使用了，这里应用的几何原理是（   ） A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．三角形两边之和大于第三边 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形的性质，熟记三角形具有稳定性是解题的关键．根据三角形具有稳定性解答即可． 【详解】解：这是利用了三角形的稳定性， 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·河北唐山·阶段练习）如图所示，建高楼常需要用塔吊来吊建筑材料，而塔吊的上部是三角形结构，这是应用了三角形的哪个性质？答： ．（填“稳定性”或“不稳定性”） 【答案】稳定性 【分析】本题考查了三角形的稳定性的应用，结合塔吊的上部是三角形结构，则应用了三角形的稳定性，即可作答． 【详解】解：依题意，建高楼常需要用塔吊来吊建筑材料，且塔吊的上部是三角形结构， ∴这是应用了三角形的稳定性， 故答案为：稳定性． 【变式3】（25-26八年级上·河南信阳·阶段练习）2025年底，河南省第一大跨径斜拉桥——丹江小三峡特大桥预计建成通车，其中斜拉设计结构稳固，蕴含的数学道理是（    ） A．三角形具有稳定性 B．垂线段最短 C．三角形两边之和大于第三边 D．三角形内角和等于180° 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的稳定性，由三角形的稳定性，即可得到答案，掌握三角形的稳定性是解题的关键． 【详解】解：如图所示的斜拉桥结构稳固，其蕴含的数学道理是三角形的稳定性． 故选：A． 题型08 全等三角形的性质与判定的综合应用 【典例8】（25-26八年级上·甘肃陇南·阶段练习）如图，在中，，点D在的延长线上，且，点F为的中点，连接并延长，交于点G． (1)求证：平分； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的性质、角平分线的判定、全等三角形的判定及性质． （1）利用平行线与等腰三角形的性质即可证得； （2）先判定，于是可求得，则可知，于是可求出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴，． ∵， ∴． ∴平分； （2）解：∵点F为的中点， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 【变式1】如图，点D在的边上，连接，点F在上，连接， (1)如图（1），求的度数； (2)如图（2），延长交于点E，，延长至G，使，连接，求证：； (3)在（2）的条件下，如图（3），点H为中点，连接，若，，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练证明三角形全等是关键． （1）根据各角之间的关系进行解答即可； （2）证明≌，即可得到结论； （3）延长至N，使，连接，证明，又由，即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ； （2）证明：，， ， 又，， ≌， ； （3）解：如图，延长至N，使，连接， ≌， ， ， 点H为BC中点， ， 又，， ≌， ，， ∴， ， ， 又， ∴ ， ， 又， 【变式2】如图，点E、F在线段上，，，． (1)如图1，求证：； (2)直接写出图2中所有互相平行的线段． 【答案】(1)见解析 (2)，， ， 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的判定定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）根据题意证明，结合全等三角形性质进而证明，得到，进而即可证明； （2）根据全等三角形性质和判定，以及平行线的判定定理分析求解，即可解题． 【详解】（1）证明：在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， ． （2）解：， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 综上所述，，， ，． 【变式3】（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）问题情境 （1）如图，在中，平分交于点D，于点E，延长交于点F，求证：； 实际应用 （2）如图是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，唐叔叔想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①取的平分线；②过点A作于点D，已知，，的面积为90，请求出的面积； 拓展延伸 （3）如图，在中，，，平分交于点D，交延长线于点E，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）见解析；（2）30；（3），证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． （1）由平分得到，由得到，从而通过“”即可证明； （2）延长交于点E，同（1）可得，，得到，，然后求出，然后得到，然后根据的面积为90得到，进而求解即可； （3）延长与，它们的延长线相交于点F，证明，推出，再证明，进而完成解答． 【详解】解：（1）∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴在和中， ， ∴． （2）延长交于点E， 同（1）可得，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （3），证明如下： 延长与，它们的延长线相交于点F， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 一、单选题 1．（25-26七年级上·山东泰安·阶段练习）已知，如图，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】该题考查了全等三角形的性质，根据得出，即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴． 故选：D． 2．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，，，，则下列结论中错误的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理（）是解题的关键．通过角的关系推导，结合已知边相等，利用全等三角形判定定理（）判断三角形全等，进而分析各选项结论． 【详解】解：∵ ， ∴ ，即， 又∵ ，， ∴ （），故A项正确，不符合题意； ∴ ，，，故B、C项正确，不符合题意；D选项错误，符合题意． 故选：D． 3．（25-26七年级上·山东泰安·阶段练习）根据下列已知条件，能够画出唯一的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定方法，构成三角形的条件，一般三角形全等的判定方法有 ，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据全等三角形的判定方法判定即可求解． 【详解】解：A、边边角不能唯一确定三角形，故原选项不能画出唯一，不符合题意； B、∵，即， ∴原选项不能画出唯一，不符合题意； C、角边角()能唯一确定三角形，故原选项能画出唯一，符合题意； D、角角角不能唯一确定三角形，故原选项不能画出唯一，不符合题意； 故选：C ． 4．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，如果，周长是32，，，为（    ）    A．12 B．10 C．9 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据，得出对应边相等，再结合周长是32，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴，， ∵周长是32， ∴， 即， ∴， 故选：B． 5．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，中，，，于，于，，，则的长为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题重点考查直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识． 由于，于，得，由，，得，而，即可根据“”证明，进一步即可得出结论． 【详解】解：∵于，于， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 故选：B． 二、填空题 6．（24-25七年级下·广东揭阳·阶段练习）要测量河岸相对两点，的距离，已知垂直于河岸，先在上取两点，，使，再过点作的垂线段，使点，，在一条直线上，如图，测出米，则的长是 米． 【答案】20 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，已知，，，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质（），解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先根据判定，再根据全等三角形的性质得出． 【详解】解：， ， 即， 又，， ， ， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，，，，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了全等三角形的性质，理解全等三角形的对应边相等是解决问题的关键．根据全等三角形的性质得，进而得． 【详解】解：， ． ， ． 故答案为：3 9．（25-26八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，，，，连接，若，则 ． 【答案】/26度 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键．根据证明得出，再结合三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：， ， ， 在与中， ， ， ， 又，， ， ， 故答案为：． 10．（25-26八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，已知在正方形中，，点在边上，且，如果点在线段上以2厘米/秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，设运动时间为秒，当与全等时，的值为 ． 【答案】2或 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据题意可得，，，则有两种情况，当时，，当时，，根据的长度建立方程求解即可． 【详解】解：由正方形的性质可得， ∵， ∴； ∵点在线段上以2厘米/秒的速度由点向点运动， ∴； ∴当与全等时，只存在和两种情况， 当时，， ∴， ∴， 解得； 当时，， ∴， 解得； 综上所述，t的值为2或， 故答案为：2或． 三、解答题 11．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，已知，M，N分别是的中点，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，证明三角形全等是解题的关键； （1）根据证明； （2）证明即可． 【详解】（1）证明：∵分别为的中点， ∴． 在和中， ∴； （2）证明：由知， ∴． 又∵， ∴． 在和中， ∴， 故． 12．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，已知，，，点在上，点在延长线上． (1)求证：； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）利用直接证明； （2）先判断由绕点C顺时针旋转得到，旋转角度为的度数，再说明与垂直． 【详解】（1）证明：∵，， ， ∴（）． （2）． 理由： ∵， ∴由绕点C顺时针旋转得到，旋转角度为的度数， ∴与为对应边， ∴与也旋转了的度数， 又 ∴． 【点睛】本题考查了全等的性质和SAS综合（SAS），全等三角形的性质，判断由一个图形旋转而成的图形，根据旋转的性质求解，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 13．（24-25八年级上·甘肃张掖·期中）如图，点、、、在同一条直线上，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，平行线的判定有关知识，根据等式的性质可得，运用证明与全等，得到，利用同位角相等，两直线平行得到结论． 【详解】证明：， ， ， 在与中， ， ， ． 14．（25-26八年级上·全国·阶段练习）如图，在中，为中线，过点B作于点E，过点C作交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若的面积为7，的面积为2，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)11 【分析】本题考查的是三角形的中线的性质，全等三角形的判定与性质． （1）先证明，，进一步证明即可得到答案． （2）先求解，再进一步的求解即可． 【详解】（1）证明：∵为的中线， ∴， ∵ ，， ∴， 在和中， ∴， ∴． （2）解：由（1）可得，， ， ∵的面积为7，的面积为2， ， ∵为的中线， ， ， ∴的面积为11． 15．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）我们规定：两组边相等及其夹角互补的两个三角形叫兄弟三角形，如图，在和中，，，，． (1)和 兄弟三角形；（填“是”或“不是”） (2)取的中点P，连接，求证：，小林同学根据求证的结论，想起了老师上课讲的“中线倍延”的辅助线构造方法，解决了这个问题，试帮小林同学完成证明过程． 【答案】(1)是 (2)见详解 【分析】本题是三角形综合题，考查了新定义兄弟三角形，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）证出，由兄弟三角形的定义可得出结论； （2）证明（），由全等三角形的性质得出，则可得出结论． 【详解】（1）解：由条件可知， 又∵，， ∴和是兄弟三角形， 故答案为：是； （2）证明： 延长至E，使， 由条件可知， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴， ∴， 由条件可知， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， 又∵， ∴． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $