第八单元 方程（2）（解决问题专项） 数学冀教版五年级上册

该小学数学方程单元复习讲义通过分类梳理构建知识体系，涵盖简单数量关系、非整倍数、和差倍、行程与相遇等五大应用类型，每个类型明确关键识别要点和解题步骤，形成“识别-建模-求解”的逻辑脉络，突出方程与现实问题的内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计与方法指导结合，A夯实基础、B培优拔高、C思维拓展三级训练适配不同学生，典型例题如行程问题引导用数学眼光观察运动场景，变式训练强化用数学思维分析等量关系，助力学生用数学语言转化方程，教师可据此实施精准分层教学，提升复习效率。

第八单元 方程 1. 简单数量关系问题 –关键识别：涉及两个量的和、差、倍、分关系，如 “一个数加、减、乘、除另一个 数等于某值”，求未知量。 –解题要点：从 “谁比谁多 / 少”“谁是谁的几倍” 等描述中找等量关系。设所求量为 x，根据等量关系列方程，再利用等式性质（两边同时加、减、乘、除同一个数，等 式仍成立）求解。 2.非整倍数问题 –关键识别：已知一个数比另一个数的非整数倍多 / 少一定的量，求其中一个数。 –解题要点：设所求的基础量为x。 根据 “一个数 = 另一个数 × 非整数倍 ± 多 / 少的量” 这一关系，列出含有未知数x的 方程。利用等式的性质，通过移项、计算等步骤求解方程，得出未知数的值。 3. 和差倍问题 –关键识别：涉及两个数，已知它们的和、差、倍数关系中的两种，求这两个数。 –解题要点： 和差问题：设较小数为x，较大数为x +差，根据和列方程。 和（差）倍问题：设较小数为x，较大数为倍数 ×x，根据和（差）列方程。 4. 行程与相遇问题 –关键识别：两物体运动（相向、同向等），已知路程、时间、速度中的两个量，求 第三个量，如相遇问题、追及问题。 –解题要点： 相遇问题：总路程 = 甲路程 + 乙路程，或总路程 =（甲速度 + 乙速度）× 相遇时间。 同向问题：路程差 = 速度差 × 时间。设未知速度或时间为x，根据路程关系列方程求解。 5.  其他实际应用问题 –关键识别：结合 “打字速度”“捐书数量”“动物食量” 等生活场景，求未知量，如工作 效率、物品数量等问题。 –解题要点：分析场景中的数量关系（如 “电脑打字速度是手写的几倍”“捐书数量的 倍数关系”）。设未知数，将文字描述转化为方程并求解。 类型1：简单数量关系问题 典型例题1：列方程解答。 一个篮球的价钱是56元，是一个小足球价钱的2倍。一个小足球的价钱是多少元？ 思路分析：设一个小足球的价钱是x元。根据题意可得：一个小足球的价钱×（ ）＝一个篮球的价钱，据此列方程解答，列出方程：（ ）。 答题区： 变式训练：小方每天坚持晨跑，这个星期（7天）共跑了10.5千米。小方平均每天跑多少千米？ 类型2：非整倍数问题 典型例题2：妈妈买了3千克番茄，付给营业员10元，找回0.4元。每千克番茄多少元？（列方程解决问题） 思路分析：单价×数量＝总价，设（ ）为x元，根据番茄单价×质量＋（ ）＝付的钱数，列出方程解答即可。 答题区： 变式训练： 六年级同学参加科技小组的有34人，比参加文艺小组的人数的2倍少14人。参加文艺小组的有多少人？ 类型3：和差倍问题 典型例题3：小刚和小强各有多少本图书？ 思路分析：首先根据题目条件，小刚的书是小强的3倍，可以设（ ）书的本数有x本，则（ ）有3x本，那么（ ）就是小刚和小强的书的总数，又知平均每人72本，而他们两个人，所以总共的书有（ ），据此列出方程解答即可。 答题区： 变式训练： 幼儿园小班买来一箱苹果，每个小朋友分4个，还剩48个。每个小朋友分6个，又少8个。幼儿园小班有多少个小朋友？这箱苹果一共有多少个？ 类型4：行程与相遇问题 典型例题4：甲、乙两艘船从两个港口同时相向开出，甲船顺流而下，乙船逆流而上，经过23小时相遇。 思路分析：根据题意和相遇问题的公式可得出等量关系：（ ）×相遇时间＝两个港口的距离，据此列出方程，并求解。 答题区： 变式训练： 甲、乙两车从相距30千米的两地同时反向而行。甲车每小时行驶30千米，3小时后与乙车相距270千米。乙车每小时行驶多少千米？ A夯实基础 一、填空题。 1.如果2a＋5＝13，那么2a是( )。 2.在①5＋7＝12；②4x＋10；③x÷3＝6；④m－3＝6；⑤xy＝35；⑥5＋8＞10中，( )是等式，( )是方程。 二、解答题。 1.小红身高1.56米，是她妹妹身高的1.2倍。小红妹妹身高多少米？（列方程解答） 2.一只鸵鸟奔跑的速度是54.3千米/时，比在路上行驶的一辆卡车的速度快8.6千米/时。卡车的速度是多少千米/时？ 3.甲、乙两个工程队同时从两头开始合修一条938米长的水渠，计划28天完成。如果甲队计划每天修15米，那么乙队每天需要完成多少米？ 4.青艺果园有苹果树300棵，比桃树棵数的3倍多24棵。桃树有多少棵？（列方程解答） B培优拔高 1.共享单车的广泛使用正不断改变人们的出行方式。目前某市三个品牌共享单车的投放量已达到12.8万辆，其中A品牌共享单车投放了5.7万辆，比B品牌投放量的2倍少0.16万辆，B品牌共享单车投放了多少万辆？ 2.有3箱苹果和4箱梨共重120千克，已知每箱苹果比每箱梨重5千克，每箱苹果和每箱梨各重多少千克？ 3.一块长方形菜地的周长是72米。这块菜地的宽是多少米？    4.学校科技小组共有学生43名，其中女生人数比男生的3倍少5名，科技小组男、女生各有多少名？ 5.停车场有汽车和三轮车共24辆，其中汽车有4个轮子，三轮车有3个轮子，这些车一共有86个轮子，那么三轮车有多少辆？（列方程解答） 6.一辆轿车和一辆货车同时从A、B两地相对开出，行驶5小时后，轿车到达A、B的中点，货车离中点还有85千米。货车每小时行驶多少千米？ 7.一辆小轿车和一辆货车同时从甲、乙两地出发相向而行，当小轿车到达甲、乙两地的中点时，货车离中点还有42千米。已知小轿车所行路程是货车所行路程的2.5倍。 （1）小轿车和货车各行了多少千米？ （2）甲、乙两地之间的路程是多少千米？ C思维拓展 1.某乡镇组织228名农业技术员到省城参观科技产业园，租用28座和36座的客车（不包括司机）共7辆。每种客车各租用几辆可以刚好坐满？ 答案解析 类型1 答案解析 典型例题1： 思路分析：2 2x＝56 答题区： 解：设一个小足球的价钱是x元。 2x＝56 2x÷2＝56÷2 x＝28 答：一个小足球的价钱是28元。 变式训练答案： 解：设小方平均每天跑x千米。 7x＝10.5 7x÷7＝10.5÷7 x＝1.5 答：小方平均每天跑1.5千米。 类型2 答案解析 典型例题2： 思路分析： 每千克番茄 找回的钱数 答题区： 解：设每千克番茄x元。 3x＋0.4＝10 3x＋0.4－0.4＝10－0.4 3x＝9.6 3x÷3＝9.6÷3 x＝3.2 答：每千克番茄3.2元。 变式训练答案： 解：设参加文艺小组的有x人。 2x－14＝34 2x－14＋14＝34＋14 2x＝48 x＝24 答：参加文艺小组的有24人。 类型3 答案解析 典型例题3： 思路分析： 小强 小刚 72×2＝144 x＋3x 答题区： 解：设小强书的本数有x本。 x＋3x＝72×2 4x＝144 4x÷4＝144÷4 x＝36 36×3＝108（本） 答：小刚有108本图书，小强有36本图书。 变式训练答案： 解：设幼儿园小班有x个小朋友。 4x＋48＝6x－8 48＋8＝6x－4x 56＝2x x＝28 4×28＋48＝160（个） 答：幼儿园小班有28个小朋友，这箱苹果一共160个。 类型4 答案解析 典型例题4： 思路分析：甲船的速度＋乙船的速度 答题区： 解：设乙船每小时行驶千米。 （28＋）×23＝1127 （28＋）×23÷23＝1127÷23 28＋＝49 28＋－28＝49－28 ＝21 答：乙船每小时行驶21千米。 变式训练答案： 解：设乙车每小时行驶x千米。 （x＋30）×3＝270－30 （x＋30）×3＝240 x＋30＝240÷3 x＋30＝80 x＝80－30 x＝50 答：乙车每小时行驶50千米。 A夯实基础 一、填空题 1.答案： 8 解析：略。 2.答案：①③④⑤ ③④⑤ 解析：略。 二、解答题。 1.答案：解：设小红妹妹身高x米。 1.2x＝1.56 1.2x÷1.2＝1.56÷1.2 x＝1.3 答：小红妹妹身高1.3米。 解析：根据题意可列出等量关系式：小红妹妹身高×1.2＝小红身高，将小红身高代入等量关系式，小红妹妹身高未知，则设为x米，解方程可得小红妹妹身高。 2.答案：解：设卡车的速度是x千米/时。 x＋8.6＝54.3 x＋8.6－8.6＝54.3－8.6 x＝45.7 答：卡车的速度是45.7千米/时。 解析：略。 3.答案：解：乙队每天需要完成x米。 （15＋x）×28＝938 （15＋x）×28÷28＝938÷28 15＋x＝33.5 15＋x－15＝33.5－15 x＝18.5 答：乙队每天需要完成18.5米。 解析：设乙队每天需要完成x米，则两人的工作效率和是（15＋x）米，根据两人的工作效率和×工作时间＝合作的工作总量，可列出方程：（15＋x）×28＝938，再根据等式的性质解出方程即可。 4.答案：解：设桃树有x棵。 3x＋24＝300 3x＝276 x＝92 答：桃树有92棵。 解析：略。 B培优拔高 1.答案：解：设B品牌共享单车投放了万辆。 答：B品牌共享单车投放了2.93万辆。 解析：略。 2.答案:解：设每箱梨重x千克。 4x＋3（x＋5）＝120 7x＝105 x＝15 15＋5＝20（千克） 答：每箱梨重15千克，每箱苹果重20千克。 解析：根据“已知每箱苹果比每箱梨重5千克”设每箱梨重x千克，则每箱苹果重（x＋5）千克，由3箱苹果和4箱梨共重120千克可列等量关系式：每箱梨的质量×4＋每箱苹果的质量×3＝120，据此列方程解答； 3.答案：解：设这块菜地的宽是x米，则长是3x米。 （3x＋x）×2＝72 8x＝72 8x÷8＝72÷8 x＝9 答：这块菜地的宽是9米。 解析：由于长是宽的3倍，可以设宽是x米，则长是3x米，根据长方形的周长公式：（长＋宽）×2，据此即可列方程，再根据等式的性质解方程即可。 4.答案：解：设男生有名，则女生有（3－5）名。 3－5＋＝43 4－5＝43 4＝48 4÷4＝48÷4 ＝12 女生：43－12＝31（名） 答：男生有12名，女生有31名。 解析：根据“女生人数比男生的3倍少5名”，设男生有名，则女生有（3－5）名；根据“科技小组共有学生43名”可得出等量关系：男生人数＋女生人数＝科技小组的总人数，据此列出方程，并求解。 5.答案：解：设三轮车有x辆，则汽车有（24－x）辆。 4（24－x）＋3x＝86 96－4x＋3x＝86 96－x＝86 x＝96－86 x＝10 答：三轮车有10辆。 解析：等量关系式：汽车辆数×4＋三轮车辆数×3＝轮子总个数，据此解答。 6.答案：解：设货车每小时行驶x千米。 5x＋85＝65×5 5x＋85＝325 5x＝240 x＝240÷5 x＝48 答：货车每小时行驶48千米。 解析：分析题目，等量关系为：货车的速度×5＋85＝轿车的速度×5，据此设货车每小时行驶x千米，再列出方程，最后根据等式的基本性质解出x即可。 7.答案：（1）解：设货车所行的路程是x千米，则小轿车所行的路程是2.5x千米。 2.5x－x＝42 1.5x＝42 x＝28 28×2.5＝70（千米） 答：货车行了28千米，小轿车行了70千米。 （2）70×2＝140（千米） 答：甲、乙两地之间的路程是140千米。 解析：（1）由于两辆车同时出发，货车离中点42千米，小轿车到达中点，说明小轿车走的路程比货车多走了42千米，可以设货车走的路程是x千米，则小轿车走的路程是2.5x千米，用小轿车走的路程－货车走的路程＝42，据此即可列方程，再根据等式的性质解方程即可。 （2）由于小轿车走了全程的一半，用小轿车走的路程乘2即可求出甲、乙两地之间的路程。 C思维拓展 1.答案：解：设28座客车租用x辆，则36座的客车租用（7－x）辆。 28x＋36×（7－x）＝228 28x＋252－36x＝228 28x＋252－36x＋36x＝228＋36x 28x＋252＝228＋36x 28x＋252－28x＝228＋36x－28x 228＋8x－228＝252－228 8x＝24 x＝3 7－x＝7－3＝4 答：租用28座的客车3辆，36座的客车4辆可以刚好坐满。 解析：设28座客车租用x辆，则36座的客车租用（7－x）辆，辆数×每辆车的座数＝坐的总人数，据此可知租用28座客车x辆可坐28x人，租用36座的客车租（7－x）辆可坐36×（7－x）人，根据28座的客车坐的总人数＋36座的客车坐的总人数＝228人列方程解答求出28座客车的辆数，再用7减去28座客车的辆数求出租用36座客车的辆数。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $