专题08 圆的方程（期中复习讲义）高二数学上学期湘教版

专题08 圆的方程（期中复习讲义） 【考试要求】 1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程； 2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想。 【命题规律】 以考查圆的方程为主，与圆有关的轨迹问题、最值问题也是考查的热点，属中档题。题型主要以选择、填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，有时也会在解答题中出现。 1.圆的定义 2.圆的方程 定义 平面内到 的距离等于 的点的轨迹叫做圆 标准方程 圆心 半径为 一般方程 充要条件： 圆心坐标： 半径 3.点与圆的位置关系 平面上的一点 与圆 之间存在着下列关系： （1） 在 ，即 在圆外； （2） 在 ，即 在圆上； （3） 在 ，即 在圆内。 注意： 1.二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件为 2.以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0. 3.圆心在过切点且与切线垂直的直线上． 4.圆心在任一弦的垂直平分线上． 5.两圆相切时，切点与两圆圆心共线． 类型一 求圆的方程 1.圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标和半径分别是(　　) A．(2，3)，3 B．(－2，3), C．(－2，－3)，13 D．(2，－3), 2．已知圆C的圆心在x轴上，且过A(－1，1)和B(1，3)两点，则圆C的方程是 ． 3．圆x2＋y2－2x＋6y＝0的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为(　　) A． B．2 C．3 D．3 4．若点(－2，－1)在圆x2＋y2＋mx－2y＋3＝0的内部，则m的范围是 ． 5. 圆心为 且过原点的圆的方程是( ) A. B. C. D. 6. 过点 ， ，且圆心在直线 上的圆的方程是( ) A. B. C. D. 7. 若点 在圆 的内部，则实数 的取值范围是( ) A. B. C. 或 D. 8.已知点 为圆 上的动点，则 的最大值为 。 9.若方程 表示圆，则 的取值范围是 。 10.已知过点（0，2）的圆 的圆心在直线 上，则圆 的面积最小时圆 的方程是( ) A. B. C. D. 11.在平面直角坐标系 中，已知过点 的圆 和直线 相切，且圆心在直线 上，则圆 的标准方程为 。 12.(1)已知圆 过点 ， ，且圆心在直线 上，则圆 的方程为 。 (2)若不同的四点 , , , 共圆，则 的值是 。 总结反思 求圆的方程的2种方法 1.几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程。 2.待定系数法： （1）若已知条件与圆心 和半径 有关，则设圆的标准方程，求出 ， ， 的值； （2）选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于 ， ， 的方程组，进而求出 ， ， 的值。 提醒：解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质。 类型二 与圆有关的轨迹问题 1.平面内到两定点 ， 的距离之比等于常数 （ 且 ）的动点 的轨迹叫做阿波罗尼斯圆。已知 , , ，则点 的轨迹围成的平面图形的面积为( ) A. B. C. D. 2.已知 , , 为平面内的一动点，且满足 ，则点 的轨迹方程为( ) A. B. C. D. 3.自圆 外一点 引该圆的一条切线，切点为, 的长度等于点 到原点 的距离，则点 的轨迹方程为( ) A. B. C. D. 4.(2024·新课标Ⅱ卷)已知曲线C：x2＋y2＝16(y>0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP′，P′为垂足，则线段PP′的中点M的轨迹方程为(　　) A．＝1(y>0) B．＝1(y>0) C．＝1(y>0) D．＝1(y>0) 5.已知圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝9，过点A(2，3)作圆C的任意弦，则这些弦的中点P的轨迹方程为 ． 6.已知 的斜边为 ，且 , 。求： (1)直角顶点 的轨迹方程； (2)直角边 的中点 的轨迹方程。 总结反思 求与圆有关的轨迹问题的3种方法 1.直接法：当题目条件中含有与该点有关的等式时，可设出该点的坐标，用坐标表示等式，直接求解轨迹方程。 2.定义法：当题目条件符合圆的定义时，可直接利用定义确定其圆心和半径，写出圆的方程。 3.代入法：当题目条件中已知某动点的轨迹方程，而要求的点与该动点有关时，常找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求轨迹方程。 类型三 与圆有关的最值问题 1.在平面直角坐标系中，过点 向直线 作垂线，垂足为 ，则点 与点 的距离的最小值是( ) A. B. C. D. 2.设点 是圆 上的动点，定点 , ，则 的最大值为 。 3.已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，则 (1)的最大值和最小值分别为 和 ； (2)y－x的最大值和最小值分别为 和 ； (3)x2＋y2的最大值和最小值分别为 和 ． 4.设点P(x，y)是圆：x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0)，则的最大值为 ． 5.已知A(0，2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则|PA|＋|PQ|的最小值是 ． 6.设点P(x，y)是圆(x－3)2＋y2＝4上的动点，定点A(0，2)，B(0，－2)，则的最大值为 ． 总结反思 借助几何性质求与圆有关的最值问题，根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解． (1)形如μ＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题； (2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题； (3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题． 期中基础通关练（测试时间：25分钟） 1．圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝(　　) A．－ B．－ C． D．2 2．圆心为(2，1)且和x轴相切的圆的方程是(　　) A．(x－2)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋2)2＋(y＋1)2＝1 C．(x－2)2＋(y－1)2＝5 D．(x＋2)2＋(y＋1)2＝5 3．若x2＋y2＝8，则2x＋y的最大值为(　　) A．8 B．4 C．2 D．5 4．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任意一点连线的中点的轨迹方程是(　　) A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4 C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 5．已知圆C的圆心在y轴上，点M(3，0)在圆C上，且直线2x－y－1＝0经过线段CM的中点，则圆C的标准方程是(　　) A．x2＋(y－3)2＝18 B．x2＋(y＋3)2＝18 C．x2＋(y－4)2＝25 D．x2＋(y＋4)2＝25 6．(多选题)已知△ABC的三个顶点为A(－1，2)，B(2，1)，C(3，4)，则下列关于△ABC的外接圆M的说法正确的是(　　) A．圆M的圆心坐标为(1，3) B．圆M的半径为 C．圆M关于直线x＋y＝0对称 D．点(2，3)在圆M内 7.过点A(4，1)的圆C与直线x－y－1＝0相切于点B(2，1)，则圆C的标准方程为 ． 8．已知三个点A(0，0)，B(2，0)，C(4，2)，则△ABC的外接圆的圆心坐标是 ． 9．在平面直角坐标系内，若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的点均在第四象限内，则实数a的取值范围为 ． 10．已知以点P为圆心的圆经过点A(－1，0)和B(3，4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝4. (1)求直线CD的方程； (2)求圆P的方程． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1. 在平面直角坐标系中，直线 与圆 相交于 ， 两点， 为圆 上的动点，则 面积的最大值为( ) A. B. C. D. 2. 已知直线 与圆 交于不同的两点 ， ， 是坐标原点，且有 ，那么 的取值范围是( ) A. ） B. ） C. D. ） 3. 已知点 为圆 上一点， 为圆心，则 （ 为坐标原点）的取值范围是( ) A. B. C. D. 4. 设点 为直线 上的动点。若在圆 上存在点 ，使得 ，则 的纵坐标的取值范围是( ) A. B. C. D. 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.已知圆心在 轴上，半径为 的圆位于 轴右侧，且截直线 所得弦的长为2，则圆的方程为 。 2.已知 为圆 上一定点， 为圆内一点， ， 为圆上的动点。 （1） 求线段 中点的轨迹方程； （2） 若 ，求线段 中点的轨迹方程。 3.（1） 已知 ,点 在直线 上，点 在圆 上，则 的最小值是 。 （2） 已知实数 , 满足方程 ，求 的最大值和最小值。 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 圆的方程（期中复习讲义） 【考试要求】 1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程； 2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想。 【命题规律】 以考查圆的方程为主，与圆有关的轨迹问题、最值问题也是考查的热点，属中档题。题型主要以选择、填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，有时也会在解答题中出现。 1.圆的定义 2.圆的方程 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 标准方程 圆心 半径为 一般方程 充要条件： 圆心坐标： 半径 3.点与圆的位置关系 平面上的一点 与圆 之间存在着下列关系： （1） 在圆外，即 在圆外； （2） 在圆上，即 在圆上； （3） 在圆内，即 在圆内。 注意： 1.二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件为 2.以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0. 3.圆心在过切点且与切线垂直的直线上． 4.圆心在任一弦的垂直平分线上． 5.两圆相切时，切点与两圆圆心共线． 类型一 求圆的方程 1.圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标和半径分别是(　　) A．(2，3)，3 B．(－2，3), C．(－2，－3)，13 D．(2，－3), 解析：D　配方为(x－2)2＋(y＋3)2＝13.所以圆心坐标为(2，－3)，半径为，故选D. 2．已知圆C的圆心在x轴上，且过A(－1，1)和B(1，3)两点，则圆C的方程是 ． 解析：圆C的圆心在x轴上，设圆心为C(a，0)，由|CA|＝|CB|，可得|CA|2＝|CB|2，即(a＋1)2＋1＝(a－1)2＋9，求得a＝2，可得圆心为C(2，0)，半径为|CA|＝，故圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10. 答案：(x－2)2＋y2＝10 3．圆x2＋y2－2x＋6y＝0的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为(　　) A． B．2 C．3 D．3 解析：D　化圆的方程为标准方程，得(x－1)2＋(y＋3)2＝10， 所以该圆的圆心(1，－3)到直线x－y＋2＝0的距离为. 4．若点(－2，－1)在圆x2＋y2＋mx－2y＋3＝0的内部，则m的范围是 ． 解析：将x2＋y2＋mx－2y＋3＝0化为圆的标准方程得2＋(y－1)2＝－2. 由其表示圆可得－2>0，解得m<－2或m>2.又∵(－2)2＋(－1)2－2m＋2＋3<0， 即m>5，故m>5.答案：(5，＋∞) 5. 圆心为 且过原点的圆的方程是( D ) A. B. C. D. [解析]因为圆心为 且过原点，所以该圆的半径 ，则该圆的方程为 ，故选D。 6. 过点 ， ，且圆心在直线 上的圆的方程是( C ) A. B. C. D. [解析]设圆心 的坐标为 ，圆的半径为 ，因为圆心 在直线 上，所以 。因为 ，所以 ，解得 , ,所以 。所以方程为 。 7. 若点 在圆 的内部，则实数 的取值范围是( A ) A. B. C. 或 D. [解析]因为点 在圆内，所以 ，即 。故选A。 8.已知点 为圆 上的动点，则 的最大值为4。 [解析]因为点 为圆 上的动点，所以 。因为 ，所以当 时， 取得最大值4。 9.若方程 表示圆，则 的取值范围是 。 [解析]将 化为圆的标准方程得 。由其表示圆可得 ,解得 或 。 10.已知过点（0，2）的圆 的圆心在直线 上，则圆 的面积最小时圆 的方程是( A ) A. B. C. D. [解析]根据题设分析知，圆 的半径 的最小值 ，此时圆 的圆心为直线 与直线 （即直线 ）的交点。由 解得 所以所求圆 的方程是 。故选A。 11.在平面直角坐标系 中，已知过点 的圆 和直线 相切，且圆心在直线 上，则圆 的标准方程为 。 [解析]根据题意，圆心在直线 上，则设圆心为 ，圆的半径为 ，又圆 过点 且与直线 相切，则有 解得 则圆 的方程为 。 12.(1)已知圆 过点 ， ，且圆心在直线 上，则圆 的方程为 。 (2)若不同的四点 , , , 共圆，则 的值是7。 [解析]（1）解法一：（几何法） ，则 的垂直平分线的方程为 ，即 ，联立方程 解得 ，故圆 的方程为 。 解法二：（待定系数法）设所求圆的方程为 。由题意可得 解得 故所求圆 的方程为 。 [解析]（2）设圆的方程为 ，则 解得 所以圆的方程为 。将 代入得 。解得 或 （舍）。 总结反思 求圆的方程的2种方法 1.几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程。 2.待定系数法： （1）若已知条件与圆心 和半径 有关，则设圆的标准方程，求出 ， ， 的值； （2）选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于 ， ， 的方程组，进而求出 ， ， 的值。 提醒：解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质。 类型二 与圆有关的轨迹问题 1.平面内到两定点 ， 的距离之比等于常数 （ 且 ）的动点 的轨迹叫做阿波罗尼斯圆。已知 , , ，则点 的轨迹围成的平面图形的面积为( B ) A. B. C. D. [解析]设 ，由 ，得 , , ， ，则点 的轨迹是以 为圆心，2为半径的圆，所以所求面积 。 2.已知 , , 为平面内的一动点，且满足 ，则点 的轨迹方程为( B ) A. B. C. D. [解析]由题意可设点 的坐标为 ，因为满足 ，由两点间的距离公式可得 ，即 ，所以 即为点 的轨迹方程。故选B。 3.自圆 外一点 引该圆的一条切线，切点为, 的长度等于点 到原点 的距离，则点 的轨迹方程为( D ) A. B. C. D. [解析]由题意得，圆心 的坐标为 ，半径 ，如图。因为 ，且 ，所以 ，所以 ，即 ，所以点 的轨迹方程为 。故选D。 4.(2024·新课标Ⅱ卷)已知曲线C：x2＋y2＝16(y>0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP′，P′为垂足，则线段PP′的中点M的轨迹方程为(　　) A．＝1(y>0) B．＝1(y>0) C．＝1(y>0) D．＝1(y>0) 解析：A　法一：设M(x0，y0)，则P(x0，2y0)，因为点P在曲线C上，所以＋(2y0)2＝16(y0>0)，即＝1(y0>0)，所以线段PP′的中点M的轨迹方程为＝1(y>0)，故选A. 法二：由题意可知把曲线C上所有点的纵坐标缩短至原来的一半，横坐标不变，即可得到点M的轨迹．曲线C为半圆，则点M的轨迹为椭圆(x轴上方部分)，其中长半轴长为4，短半轴长为2，故选A. 5.已知圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝9，过点A(2，3)作圆C的任意弦，则这些弦的中点P的轨迹方程为 ． 解析：设P(x，y)，圆心C(1，1)．因为P点是过点A的弦的中点， 所以⊥.又因为＝(2－x，3－y)， ＝(1－x，1－y)．所以(2－x)·(1－x)＋(3－y)·(1－y)＝0. 所以点P的轨迹方程为2＋(y－2)2＝. 答案：2＋(y－2)2＝ 6.已知 的斜边为 ，且 , 。求： (1)直角顶点 的轨迹方程； (2)直角边 的中点 的轨迹方程。 解(1) 解法一：设 ，因为 ， ， 三点不共线，所以 。因为 ，所以 ，又 ， ，所以 ，化简得 ，即 。因此，直角顶点 的轨迹方程为 。 解法二：设 的中点为 ，由中点坐标公式得 ,由直角三角形的性质知 。由圆的定义知，动点 的轨迹是以 为圆心，2为半径的圆（由于 ， ， 三点不共线，所以应除去与 轴的交点）。所以直角顶点 的轨迹方程为 。 (2)设 , ，因为 ， 是线段 的中点，由中点坐标公式得 , ，所以 , 。由①知，点 的轨迹方程为 ，将 ， 代入得 ，即 。因此动点 的轨迹方程为 。 总结反思 求与圆有关的轨迹问题的3种方法 1.直接法：当题目条件中含有与该点有关的等式时，可设出该点的坐标，用坐标表示等式，直接求解轨迹方程。 2.定义法：当题目条件符合圆的定义时，可直接利用定义确定其圆心和半径，写出圆的方程。 3.代入法：当题目条件中已知某动点的轨迹方程，而要求的点与该动点有关时，常找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求轨迹方程。 类型三 与圆有关的最值问题 1.在平面直角坐标系中，过点 向直线 作垂线，垂足为 ，则点 与点 的距离的最小值是( A ) A. B. C. D. [解析]因为 ，所以 ，由 解得 所以直线 恒过定点 。过点 向直线 作垂线，垂足为 ，则 在以 为直径的圆上。因为 ， ，所以 的中点 ， ，所以圆 的方程为 ，即 的轨迹方程为 。因为 , ，所以点 在圆 外， ，所以 （ 为圆 的半径）。故选A。 2.设点 是圆 上的动点，定点 , ，则 的最大值为10。 [解析]由题意，知 , ，所以 ，由于点 是圆上的点，故其坐标满足方程 ，故 ，所以 。由圆的方程 ，易知 ，所以当 时， 的值最大，最大值为 。 3.已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，则 (1)的最大值和最小值分别为 和 ； (2)y－x的最大值和最小值分别为 和 ； (3)x2＋y2的最大值和最小值分别为 和 ． 解析：原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心，为半径的圆． (1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设＝k，即y＝kx.当直线y＝kx与圆相切时(如图)，斜率k取最大值或最小值，此时，解得k＝±.所以的最大值为，最小值为－. (2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距．如图所示，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时，解得b＝－2±，所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－. (3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方．由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为2，所以x2＋y2的最大值是2＝7＋4，x2＋y2的最小值是2＝7－4. 答案：(1)　－　 (2)－2＋　－2－ (3)7＋4　7－4 4.设点P(x，y)是圆：x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0)，则的最大值为 ． 解析：由题意，知＝(2－x，－y)，＝(－2－x，－y)，所以＝x2＋y2－4，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，所以＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12. 由圆的方程x2＋(y－3)2＝1，易知2≤y≤4，所以，当y＝4时，的值最大，最大值为6×4－12＝12. 答案：12 5.已知A(0，2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则|PA|＋|PQ|的最小值是 ． 解析：因为圆C：x2＋y2－4x－2y＝0，故圆C是以C(2，1)为圆心，半径r＝的圆． 设点A(0，2)关于直线x＋y＋2＝0的对称点为A′(m，n)，则 解得故A′(－4，－2)．连接A′C交圆C于Q(图略)，由对称性可知， |PA|＋|PQ|＝|A′P|＋|PQ|≥|A′Q|＝|A′C|－r＝2. 答案：2 6.设点P(x，y)是圆(x－3)2＋y2＝4上的动点，定点A(0，2)，B(0，－2)，则的最大值为 ． 解析：由题意，知＝(－x，2－y)，＝(－x，－2－y)，所以＝(－2x，－2y)， 所以＝2.因为点P(x，y)是圆(x－3)2＋y2＝4上的点，所以y2＝－(x－3)2＋4(1≤x≤5)，所以＝2.因为1≤x≤5，所以当x＝5时，＝10. 答案：10 总结反思 借助几何性质求与圆有关的最值问题，根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解． (1)形如μ＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题； (2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题； (3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题． 期中基础通关练（测试时间：25分钟） 1．圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝(　　) A．－ B．－ C． D．2 解析：A　由题意可知，圆心为(1，4)，所以圆心到直线的距离d＝＝1，解得a＝－.故选A. 2．圆心为(2，1)且和x轴相切的圆的方程是(　　) A．(x－2)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋2)2＋(y＋1)2＝1 C．(x－2)2＋(y－1)2＝5 D．(x＋2)2＋(y＋1)2＝5 解析：A　圆心为(2，1)且和x轴相切的圆，它的半径为1，故它的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝1，故选A. 3．若x2＋y2＝8，则2x＋y的最大值为(　　) A．8 B．4 C．2 D．5 解析：C　设2x＋y＝t，则y＝t－2x，当直线y＝t－2x与x2＋y2＝8相切时，t取到最值，所以，解得－2，所以2x＋y的最大值为2，故选C. 4．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任意一点连线的中点的轨迹方程是(　　) A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4 C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 解析：A　设圆上任意一点的坐标为(x1，y1)，其与P点连线的中点坐标为(x，y)，则即代入x2＋y2＝4，得(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1. 5．已知圆C的圆心在y轴上，点M(3，0)在圆C上，且直线2x－y－1＝0经过线段CM的中点，则圆C的标准方程是(　　) A．x2＋(y－3)2＝18 B．x2＋(y＋3)2＝18 C．x2＋(y－4)2＝25 D．x2＋(y＋4)2＝25 解析：C　设圆C的圆心坐标为(0，b)，则线段CM的中点坐标为，因为直线2x－y－1＝0经过线段CM的中点，所以2×－1＝0，解得b＝4，所以圆C的圆心坐标为(0，4)，半径r＝|CM|＝ ＝5，所以圆C的标准方程是x2＋(y－4)2＝25.故选C. 6．(多选题)已知△ABC的三个顶点为A(－1，2)，B(2，1)，C(3，4)，则下列关于△ABC的外接圆M的说法正确的是(　　) A．圆M的圆心坐标为(1，3) B．圆M的半径为 C．圆M关于直线x＋y＝0对称 D．点(2，3)在圆M内 解析：ABD　设△ABC的外接圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)， 则解得所以△ABC的外接圆M的方程为 x2＋y2－2x－6y＋5＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝5. 故圆M的圆心坐标为(1，3)，圆M的半径为， 因为直线x＋y＝0不经过圆M的圆心(1，3)，所以圆M不关于直线x＋y＝0对称． 因为(2－1)2＋(3－3)2＝1＜5，故点(2，3)在圆M内． 7.过点A(4，1)的圆C与直线x－y－1＝0相切于点B(2，1)，则圆C的标准方程为 ． 解析：由已知kAB＝0，所以AB的中垂线方程为x＝3.　① 过B点且垂直于直线x－y－1＝0的直线方程为y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0，　② 联立①②，解得所以圆心坐标为(3，0)， 半径r＝，所以圆C的方程为(x－3)2＋y2＝2. 答案：(x－3)2＋y2＝2 8．已知三个点A(0，0)，B(2，0)，C(4，2)，则△ABC的外接圆的圆心坐标是 ． 解析：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则解得 所以圆的方程为x2－2x＋y2－6y＝0， 即(x－1)2＋(y－3)2＝10， 所以圆心坐标为(1，3)． 答案：(1，3) 9．在平面直角坐标系内，若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的点均在第四象限内，则实数a的取值范围为 ． 解析：曲线C的方程可化为(x＋a)2＋(y－2a)2＝4，所以圆心为(－a，2a)，半径r＝2， 故由题意知解得a＜－2， 故实数a的取值范围为(－∞，－2)． 答案：(－∞，－2) 10．已知以点P为圆心的圆经过点A(－1，0)和B(3，4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝4. (1)求直线CD的方程； (2)求圆P的方程． 解：(1)直线AB的斜率k＝1，AB的中点坐标为(1，2)． 所以直线CD的方程为y－2＝－(x－1)， 即x＋y－3＝0. (2)设圆心P(a，b)，则由点P在CD上得a＋b－3＝0.　① 又直径|CD|＝4＝2. 所以(a＋1)2＋b2＝40.　② 由①②解得或 所以圆心P(－3，6)或P(5，－2)， 所以圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1. 在平面直角坐标系中，直线 与圆 相交于 ， 两点， 为圆 上的动点，则 面积的最大值为( A ) A. B. C. D. [解析]圆 的标准方程为 ，圆心为 ，半径 ，圆心 到直线 的距离 ，所以 。由于 为圆 上的动点，则点 到直线 距离的最大值为 ，因此， 面积的最大值为 。故选A。 2. 已知直线 与圆 交于不同的两点 ， ， 是坐标原点，且有 ，那么 的取值范围是( A ) A. ） B. ） C. D. ） [解析]设 中点为 ，则 。因为 ，所以 ，所以 。因为 ，所以 。因为直线 与圆 交于不同的两点 ， ，所以 ,所以 ，所以 。因为 ，所以 。故选A。 3. 已知点 为圆 上一点， 为圆心，则 （ 为坐标原点）的取值范围是( C ) A. B. C. D. [解析]将圆 的方程 化为 ，所以圆心 的坐标为 。所以 。而 ，所以 。因为 ，所以 ，所以 。因为 ，所以 ，所以 ,即 。因此 ，从而 （ 为坐标原点）的取值范围为 。故选C。 4. 设点 为直线 上的动点。若在圆 上存在点 ，使得 ，则 的纵坐标的取值范围是( C ) A. B. C. D. [解析]设 ，在 中，由正弦定理得 。因为 ， ，所以 ，整理得 。由题意知 ，所以 ，所以当 时， 取得最值，即直线 为圆 的切线时， 取得最值，所以 。故选C。 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.已知圆心在 轴上，半径为 的圆位于 轴右侧，且截直线 所得弦的长为2，则圆的方程为 。 [解析]根据题意，设圆的圆心坐标为 ，则圆的标准方程为 ，则圆心到直线 的距离 。又该圆截直线 所得弦的长为2，所以可得 ，解得 。故圆的方程为 。 2.已知 为圆 上一定点， 为圆内一点， ， 为圆上的动点。 （1） 求线段 中点的轨迹方程； （2） 若 ，求线段 中点的轨迹方程。 解(1) 设 的中点为 ， 由中点坐标公式可知， 点坐标为 。 因为 点在圆 上，所以 。 故线段 中点的轨迹方程为 。 (2)设 的中点为 ， 在 中， ，设 为坐标原点，连接 ，则 ， 所以 ，所以 。 故线段 中点的轨迹方程为 。 3.（1） 已知 ,点 在直线 上，点 在圆 上，则 的最小值是 。 （2） 已知实数 , 满足方程 ，求 的最大值和最小值。 [解析](1)因为圆 ，故圆 是以 为圆心，半径 的圆。设点 关于直线 的对称点为 ，故 解得 故 。连接 交圆 于 ，由对称性可知 。 (2)原方程可化为 ， 表示以 为圆心， 为半径的圆。 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设 ，即 。当直线 与圆相切时，斜率 取最大值和最小值，此时 ，解得 。 所以 的最大值为 ，最小值为 。 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $