专题03 二次函数（11知识&15题型）（期中知识清单）九年级数学上学期沪教版

专题03 二次函数（11知识&15题型） 【清单01】 二次函数 二次函数的相关概念 一般地，形如_________的函数叫做二次函数.其中是_________，分别是函数解析式的_________、_________和_________. 温馨提示： （1）为常数，且； (2) 等号左边是变量，右边是关于自变量的整式； (3) 等式的右边自变量的最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项. 2. 二次函数的一般式 任何一个二次函数的解析式都能化成的形式，因此，把叫做二次函数的一般式. 温馨提示： 一个函数若是二次函数，则必须满足：①函数解析式是整式②化简整理后自变量的最高次数是2③二次项系数不等于0.三者缺一不可. 判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断.二次函数除了有一般形式之外，还有一些特殊形式，如，，等. 【清单02】 二次函数定义域以及列解析式的一般步骤 1. 二次函数的定义域 二次函数的定义域为一切实数.但在实际问题中，自变量的取值范围应使实际问题有意义 2. 一般步骤 (1) 审题:注意分辨自变量与因变量字母; (2) 找到自变量与因变量之间的关系; (3) 列式并化简:根据等量关系列出函数解析式,将式子展开为关于自变量的一般式,按降幂排列,并注意自变量的取值范围. 注意： 在具体问题中,有时只研究函数解析式.需要研究函数的定义域时,如果未加注意说明,那么函数的定义域由解析式确定;否则,必须指明函数的定义域. 【清单03】 二次函数y=ax²的图象和性质 1. 二次函数的图象 二次函数的图象叫做抛物线. 抛物线是_________，对称轴是_________.抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的_________，顶点是抛物线的最低点或最高点.抛物线的顶点是_________. 2. 二次函数的图象的做法 （1） 列表：在二次函数中，自变量可以取任意实数.列表表示几组对应值； （2） 描点：根据表中的数值在坐标平面中描点. （3） 连线：按照自变量由从小到大的顺序，再用平滑的曲线顺次连接各点，两端无限延伸. 3. 二次函数的图象和性质 图象 开口方向与大小 开口_________ 开口_________ 越大，开口_________ 对称性 关于_________对称，对称轴是直线_________ 顶点与最值 顶点坐标是_________ 当=0时，_________＝0 当=0时，_________＝0 增减性 在对称轴左侧_________ 在对称轴_________递增 在对称轴_________递增 在对称轴右侧_________ （1）的正负决定抛物线的开口方向和函数的最值. 当时，抛物线开口向上，函数有最小值； 当时，抛物线开口向下，函数有最大值. （2）的大小决定抛物线的开口大小 越大，抛物线的开口越小，越小，抛物线的开口越大. 【清单04】二次函数y=ax²+k的图象和性质 1. 二次函数的图象和性质 图象 开口方向 向_________ 向_________ 对称轴 轴（或直线） 顶点坐标 最大（小）值 当=0时，最小值＝ 当=0时，最大值＝ 增减性 当时，随的_________而减小， 当时，随的_________而增大. 当时，随的_________而增大， 当时，随的_________而减小. 2. 二次函数与的图象之间的关系 向上平移个单位长度 （） 向下平移个单位长度 （） 【清单05】二次函数y=a（x-h）²的图象与性质 1. 二次函数的图象和性质 图象 对称轴 直线（平行于轴或与轴重合） 顶点坐标 增减性 当时，随的增大而_________； 时，随的_________而增大. 当时，随的增大而_________； 时，随的_________而减小. 最大（小）值 当时， 当时， 2. 二次函与的图象之间的关系 向左平移个单位长度, 向右平移个单位长度, 二次函数的图象可由二次函数的图象向左、向右平移得到. (1)当时，抛物线由抛物线向右平移个单位长度 得到，此时对称轴在轴的右侧. (2)当时，抛物线由抛物线向左平移个単位长度得到，此时对称轴轴的左侧.简记为“左加右减”. 【清单06】二次函数y=a（x-h）²+k的图象与性质 1. 二次函的图象和性质 函数 图象（抛物线） 顶点坐标 对称轴 直线 顶点位置 当,时,顶点在第_________象限;当,时,顶点在第_________象限; 当,时,顶点在第_________象限;当,时,顶点在第_________象限 开口方向 向_________ 向_________ 增减性 在对称轴左侧，即当时，随的增大而_________;在对称轴右侧，即当时，随的增大而_________ 在对称轴左侧,即当时，随的增大而_________;在对称轴右侧,即当时，随的增大而_________ 最值 当时， 当时， 2. 二次函数与的图象间的关系 由的图象到的图象具体的平移操作如图所示: （1）的取值要以顶点的横坐标为中间值，左右对称各选取几个适当间距的自变量的值，并求出相应的函数值,最后描点、连线. （2）因为从中可以直接看出抛物线的顶点坐标，所以通常把叫做二次函数的顶点式. （3）二次函数的图象平移规律：函数图象的平移,形状大小均不变;左右平移在括号，上下平移在末梢;左加右减须牢记，上加下减错不了. 【清单07】二次函数y=ax2＋bx＋c的图象和性质 1. 用配方法化二次函数解析式为的形式 = = = = ∴抛物线的顶点坐标为_________，我们把它叫做顶点坐标公式. 抛物线顶点坐标的两种求法： (1)运用顶点坐标公式可直接求出抛物线的顶点坐标 (2)利用配方法将函数化为顶点式,进而求出抛物线的顶点坐标. 2. 二次函数图象的两种画法 （1）描点法 ①利用配方法把二次函数化成的形式 ②确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点标 ③在对称轴两侧，以顶点为中心,左右对称点描点画图 (2) 平移法 ①利用配方法把二次函数化成的形式，确定其顶点 ②作出函数的图象 ③将函数的图象进行平移，使其顶点平移到点 3. 二次函数的图象和性质 函数 （,,是常数，） 函数图象 （抛物线） 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 顶点坐标 _________ 增减性 如果，当 时，随的增大而_________；当时，随的增大而_________. 如果，当时，随的增大而_________；当时，随的增大而_________. 最值 抛物线有最低点,当时，有最小值,_________ 抛物线有最高点,当时，有最大值,_________ 4. 二次函数的图象特征与 a,b,c 的符号之间的关系 字母的符号 图象的特征 开口向_________ 开口向_________ 对称轴为轴 （,同号） 对称轴在轴_________侧 （,异号） 对称轴在轴_________侧 图象过_________ 与轴正半轴相交 与轴负半轴相交 二次函数重要结论 （1）当时,. 此时若,则;若则;若，则 （2）当时, （3）当时,. 此时若,则;若,则 ;若,则. （4）当时,. 【清单07】二次函数与一元二次方程的关系 1.二次函数与一元二次方程的关系 二次函数的图象与轴交点的横坐标就是一元二次方程 的解. 2.二次函数的图象与轴的交点的情况和对应的一元二次方程的根的情况的关系 的取值 二次函数 的图象与轴的交点 有两个交点 ， 有一个交点 无交点 有两个交点 ， 有一个交点 无交点 一元二次方程 的实数根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 求抛物线与x轴的交点坐标的方法 (1) 已知抛物线的解析式时,转化为解一元二次方程的问题; (2)已知抛物线与x轴的一个交点坐标和对称轴时，一般利用抛物线的对称性求解. 【清单08】图象法求解一元二次方程 1.方法一 通过求二次函数与轴的交点标从而求出一元二次方程的解. 具体步骤如下： (1)画:在平面直角坐标系中画出二次函数的图象; (2)看:观察图象确定抛物线与轴的交点坐标: (3)写:交点的横坐标即为一元二次方程的解. 2.方法二 通过求抛物线与直线的交点坐标求得一元二次方程的解. 具体步骤如下: (1)画:在平面直角坐标系中画出函数与[或与或与]的图象; (2)看：观察图象，确定抛物线与直线的交点标； (3)写:交点的横坐标即为一元二次方程的解. 提示： 用图象法解一元二次方程是数形结合思想的具体应用，可类比用一次函数的图象解一元一次方程的方法,在平面直角坐标系中画出二次函数的图象，由图象与x轴交点的横坐标求一元二次方程的解.但由于作图或观察存在误差，因此通过这种方法求得的方程的解一般是近似的. 【清单09】二次函数与一元二次不等式的关系 二次函数与一元二次不等及之间的关系如下: 二次函数 的图象与轴的交点 有两个交点 ， 有一个交点 无交点 不等式 的解集 或 （或） _________ 不等式 的解集 _________ _________ 二次函数 的图象与轴的交点 有两个交点 ， 有一个交点 无交点 不等式 的解集 无解 无解 二次函数 的图象与轴的交点 或 （或） 全体实数 （1）二次函数的图象在轴上方的点的纵坐标都为正，所对应的的所有值的集合就是不等式的解集;在轴下方的点的纵坐标都为负，所对应的的所有值的集合就是不等式的解集. （2）像、此类不等式中带有等号，那么其解集也相应带有等号. 【清单10】利用二次函数解实际问题的步骤 1.二次函数与一元二次方程的关系 （1）阅读并理解题意; （2）找出问题中的变量与常量，并分析它们之间的关系，若有图形，则要注意结合图形进行分析; （3）设适当的未知数，用二次函数表示出变量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式; （4）根据题目中的条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解; （5）检验结果的合理性，必要时进行合理的取舍. 注意：在实际问题中，自变量的取值范围必须要结合实际意义和已知条件的限定。 【清单11】利用二次函数解实际问题的常见类型 （1）几何图形的最大面积 （2）商品利润最大问题 （3）抛物线形实物及运动轨迹问题 题型一、二次函数的识别 1．（24-25九年级上·上海青浦·期中）下列函数中属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海普陀·期中）下列函数中是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）下列属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 题型二、y=ax2的图象和性质 4．（24-25九年级上·上海·期中）拋物线在对称轴左侧的部分是上升的，那么的取值范围是 ． 5．（24-25九年级上·上海普陀·期中）已知二次函数的图像在对称轴的左侧部分是上升的，那么m的取值范围是 ． 6．（2023·上海闵行·一模）抛物线在对称轴的左侧部分是 的（填“上升”或“下降”）． 题型三、y=ax2+k的图象和性质 7．（23-24九年级上·上海普陀·阶段练习）抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·上海·期中）已知抛物线的图像开口向下，则m的取值范围是 ． 9．（24-25九年级上·上海青浦·期中）沿着轴正方向看，抛物线在轴右侧的部分是 的（填“上升”或“下降”）． 10．（24-25九年级上·上海徐汇·期中）已知抛物线有最高点，那么a的取值范围是 ． 题型四、y=a（x-h）2+k的图象和性质 11．（24-25九年级上·上海·期中）抛物线的图象在对称轴的 侧的部分上升（填“左”或“右”）． 12．（24-25九年级上·上海徐汇·期中）已知拋物线经过点，那么点A关于对称轴对称的点B坐标为 ． 13．（22-23九年级上·上海·期中）已知二次函数 的图像上有 、 两个点，则（    ） A．   B．   C．   D．无法确定 题型五、把y=ax2+bx+c化成顶点式 14．（24-25九年级上·上海徐汇·期中）已知二次函数 (1)用配方法把这个二次函数化为顶点式的形式，并写出这个函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)将这条抛物线向左平移4个单位，再向上平移2个单位．直接写出平移后新抛物线的表达式：________． 15．（24-25九年级上·上海普陀·期中）已知点在二次函数的图像上． (1)求二次函数图像的对称轴和顶点坐标； (2)将二次函数的图像先向左平移4个单位，再向上平移t个单位后图像经过点，求的值． 16．（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点、点，顶点为点C，抛物线M的对称轴交x轴于点D． (1)直接写出抛物线M的表达式和点C的坐标； (2)点P在x轴上，当与相似时，求点P坐标． 题型六、y=ax2+bx+c的图象与性质 17．（24-25九年级上·上海普陀·期中）已知关于的二次函数，当时，随的增大而减小，且当时，有最大值16，则的值为 ． 18．（24-25九年级上·上海普陀·期中）如果抛物线经过原点，那么 ． 19．（24-25九年级上·上海青浦·期中）如果二次函数的图象经过原点，那么 ． 20．（24-25九年级上·上海·期中）在平面直角坐标系中（如图），过点且平行于x轴的直线与直线交于点A，点B与点A关于直线对称，    (1)求点A和点B的坐标； (2)如果抛物线经过点B，求a的值； (3)如果抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围． 21．（24-25九年级上·上海普陀·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，其对称轴与轴交于点． (1)求点的坐标； (2)如果．当时，二次函数的最大值为，求的值； (3)直线经过点，将点向右平移7个单位长度，得到点，若抛物线与线段只有一个公共点，结合函数图象，请直接写出的取值范围． 题型七、二次函数图象与各项系数符号 22．（24-25九年级上·上海·期中）已知二次函数的图象如图所示，那么a、b、c的符号为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 23．（23-24九年级上·河南平顶山·阶段练习）对称轴为直线的抛物线（、、为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤（为任意实数），⑥当时，随的增大而增大．其中结论正确的个数为（   ）    A．3 B．4 C．5 D．6 24．（22-23九年级上·山东滨州·期末）抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③；④方程的两根为．其中所有正确结论个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 25．（24-25九年级上·上海·期中）如图，已知抛物线（a，b，c为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与x轴交于点A，与y轴的交点B在，之间（不含端点），下列四个结论中，正确的是（    ） A． B． C． D． 题型八、一次函数、二次函数图象综合判断 26．（24-25九年级上·上海普陀·期中）在同一平面直角坐标系中，画出直线与抛物线，这个图形可能是（    ） A． B． C． D． 27．（23-24九年级上·河南周口·期中）已知一次函数的图象如下，则函数的图象可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   28．（2023·浙江台州·中考真题）抛物线与直线交于，两点，若，则直线一定经过（    ）． A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 题型九、根据二次函数的图象判断式子符号 29．（24-25九年级上·上海·期中）如图，二次函数的图像与轴交于，两点，与轴的正半轴交于点，它的对称轴为直线，下列结论中正确的有（   ） ①；②；③； ④当（为实数）时， A．个 B．个 C．个 D．个 30．（24-25九年级上·上海徐汇·期中）如图，是二次函数图象的一部分，直线是对称轴，且经过点．有下列判断：①；②；③；④若，是抛物线上两点，则．其中正确的是（   ） A．①③ B．①④ C．①③④ D．②③④ 31．（24-25九年级上·上海青浦·期中）已知二次函数的图象如图所示，有下列结论： ①；②；③；④（为任意实数）；⑤若，，是抛物线上三点，则；⑥关于的一元二次方程有两个不相等的实数根；其中正确的个数是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 32．（24-25九年级上·上海奉贤·期中）如图所示：抛物线的对称轴是直线，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 题型十、已知抛物线上对称的两点求对称轴 33．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知抛物线上部分点的横坐标和纵坐标的对应值如下表 0 1 3 4 5 根据上表，下列判断正确的是（  ） A．该抛物线开口向上 B．沿x轴正方向，该抛物线在对称轴左侧部分是下降 C．该抛物线一定经过点 D．该抛物线的对称轴是直线 34．（24-25九年级上·上海·期中）二次函数的变量x与变量y的部分对应值如下表： x … 0 1 5 … y … 7 0 7 … 则该二次函数图像的对称轴是 ． 35．（24-25九年级上·上海普陀·期中）已知二次函数的图象经过点、，那么该二次函数图象的对称轴为直线 ． 题型十一、待定系数法求二次函数解析式 36．（24-25九年级上·上海·期中）已知顶点坐标为的抛物线，过点，当时，的取值范围是 ． 37．（24-25九年级上·上海·期中）如图，已知抛物线的对称轴为直线，且经过点． (1)求a、b的值； (2)如果点B是抛物线的顶点，求的面积． 38．（24-25九年级上·上海·期中）已知抛物线经过点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)平移抛物线得到新抛物线．新抛物线与x轴、y轴都只有一个交点，分别为点． ①求两点坐标． ②在抛物线上有一动点R，使得平行于的一边，求出点R的坐标． 39．（24-25九年级上·上海·期中）如图，抛物线与轴交于两点（在的左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为．    (1)求抛物线的表达式； (2)求的值； (3)若点是线段上一个动点，联结，是否存在点，使得以点O、C、P为顶点的三角形与相似？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由； 40．（24-25九年级上·上海普陀·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于点，与y轴交于点． (1)求该二次函数的解析式； (2)如果点是二次函数图像对称轴上的一点，连接、，求的面积； (3)如果点P是该二次函数图像上位于第二象限内的一点，且，求点P的横坐标． 41．（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于点C．连接交对称轴于点E，点D为抛物线的顶点． (1)连接，若 ①求抛物线解析式； ②线段上一点F，，连接，求． (2)平移抛物线，使新抛物线顶点在射线上，新抛物线与y轴交于点．若平分，且，求新抛物线解析． 题型十二、二次函数图象的平移 42．（24-25九年级上·上海普陀·期中）将抛物线向左平移4个单位后得到的新抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 43．（24-25九年级上·上海·期中）将抛物线向右平移2个单位，所得新抛物线经过原点，那么m的值为 ． 44．（24-25九年级上·上海静安·期中）抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新抛物线的顶点关于直线对称的点坐标是 ． 45．（24-25九年级上·上海·期中）已知抛物线与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，与y轴交于点． (1)求抛物线表达式和点A、B的坐标； (2)点P是第四象限抛物线上一点，线段与线段相交于点M，若，求点P的坐标： (3)将抛物线向上平移，平移后新的抛物线顶点为点D，点C的对应点为点E．设直线与x轴正半轴交于点F，与线段交于点G，当时，求平移后抛物线的表达式． 题型十三、求抛物线与x轴的交点坐标 46．（24-25九年级上·上海普陀·期中）已知二次函数的图像经过原点，顶点坐标为． (1)求二次函数的解析式； (2)如果二次函数的图像与x轴交于点A（不与原点重合），连结，试判断的形状并说明理由． 47．（22-23九年级上·福建福州·阶段练习）已知在平面直角坐标系内，抛物线经过x轴上两点A，B，点B的坐标为，与y轴相交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)求的面积． 48．（24-25九年级上·上海青浦·期中）定义：已知一次函数与二次函数，我们把函数称为与的“复合函数”． 例如：一次函数与二次函数的“复合函数”为． 已知一次函数与二次函数，函数为与的“复合函数”． (1)如果的图像上存在不同的两点与，求的值； (2)如果的图像经过原点，那的图像是否经过某一定点？若经过，求出点坐标，若不经过，请说明理由； (3)如果的图像同时满足（1）（2）的条件，记的图像与轴的另一个交点为点A，记的图像与轴的交点为点B，则的图像上是否存在点C，使得以A、B、C、P四点为顶点所组成的凸四边形为中心对称图形？若存在，求出所有满足条件的中心对称图形的对称中心坐标，若不存在，请说明理由． 题型十四、求抛物线与y轴的交点坐标 49．（24-25九年级上·上海普陀·期中）二次函数的图象与轴的交点坐标为 50．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）抛物线与y轴的交点坐标为 51．（24-25九年级上·上海·阶段练习）将抛物线先向下平移3个单位，再向右平移m（）个单位，所得新抛物线经过点，求： (1)新抛物线的表达式． (2)新抛物线与坐标轴交点的坐标． 题型十五、二次函数综合 52．（24-25九年级上·上海普陀·期中）定义：如果将抛物线上的点的横坐标不变，纵坐标变为点的横、纵坐标之和，就会得到一个新的点，我们把这个点叫做点的“简朴点”，已知抛物线上一点的简朴点是，那么该抛物线上点的简朴点的坐标为 ． 53．（24-25九年级上·上海静安·期中）已知：如图是400米跑道示意图，中间的足球场是矩形，两边是全等的半圆，设直道的长为x米，足球场的面积为S平方米． (1)求出S关于x的函数关系式（结果保留），并写出定义域； (2)当直道的长为多少米时，足球场的面积最大？ 54．（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，已知抛物线与x轴交于，的两点，与y轴交于点，D为顶点，点P是x轴上方的抛物线上的一个动点，轴于点M，与交于点E． (1)求该抛物线所对应的函数关系式及顶点D的坐标； (2)设点P的横坐标为， ①当t为何值时，线段的长最大； ②连接，求的正弦值； (3)是否存在点P，使得以点P，M、B为顶点的三角形与相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 55．（24-25九年级上·上海·期中）如图，抛物线经过点，点．      (1)求这条抛物线的表达式； (2)点是抛物线对称轴上的点，联结， ①如果，求点的坐标； ②如果，求直线的表达式． 试卷第1页，共3页 1 / 73 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二次函数（11知识&15题型） 【清单01】 二次函数 二次函数的相关概念 一般地，形如的函数叫做二次函数.其中是自变量，分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 温馨提示： （1）为常数，且； (2) 等号左边是变量，右边是关于自变量的整式； (3) 等式的右边自变量的最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项. 2. 二次函数的一般式 任何一个二次函数的解析式都能化成的形式，因此，把叫做二次函数的一般式. 温馨提示： 一个函数若是二次函数，则必须满足：①函数解析式是整式②化简整理后自变量的最高次数是2③二次项系数不等于0.三者缺一不可. 判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断.二次函数除了有一般形式之外，还有一些特殊形式，如，，等. 【清单02】 二次函数定义域以及列解析式的一般步骤 1. 二次函数的定义域 二次函数的定义域为一切实数.但在实际问题中，自变量的取值范围应使实际问题有意义 2. 一般步骤 (1) 审题:注意分辨自变量与因变量字母; (2) 找到自变量与因变量之间的关系; (3) 列式并化简:根据等量关系列出函数解析式,将式子展开为关于自变量的一般式,按降幂排列,并注意自变量的取值范围. 注意： 在具体问题中,有时只研究函数解析式.需要研究函数的定义域时,如果未加注意说明,那么函数的定义域由解析式确定;否则,必须指明函数的定义域. 【清单03】 二次函数y=ax²的图象和性质 1. 二次函数的图象 二次函数的图象叫做抛物线. 抛物线是轴对称图形，对称轴是轴.抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点，顶点是抛物线的最低点或最高点.抛物线的顶点是原点. 2. 二次函数的图象的做法 （1） 列表：在二次函数中，自变量可以取任意实数.列表表示几组对应值； （2） 描点：根据表中的数值在坐标平面中描点. （3） 连线：按照自变量由从小到大的顺序，再用平滑的曲线顺次连接各点，两端无限延伸. 3. 二次函数的图象和性质 图象 开口方向与大小 开口向上 开口向下 越大，开口越小 对称性 关于轴对称，对称轴是直线＝0 顶点与最值 顶点坐标是原点(0，0) 当=0时，最小值＝0 当=0时，最大值＝0 增减性 在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减 （1）的正负决定抛物线的开口方向和函数的最值. 当时，抛物线开口向上，函数有最小值； 当时，抛物线开口向下，函数有最大值. （2）的大小决定抛物线的开口大小 越大，抛物线的开口越小，越小，抛物线的开口越大. 【清单04】二次函数y=ax²+k的图象和性质 1. 二次函数的图象和性质 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 轴（或直线） 顶点坐标 最大（小）值 当=0时，最小值＝ 当=0时，最大值＝ 增减性 当时，随的增大而减小， 当时，随的增大而增大. 当时，随的增大而增大， 当时，随的增大而减小. 2. 二次函数与的图象之间的关系 向上平移个单位长度 （） 向下平移个单位长度 （） 【清单05】二次函数y=a（x-h）²的图象与性质 1. 二次函数的图象和性质 图象 对称轴 直线（平行于轴或与轴重合） 顶点坐标 增减性 当时，随的增大而减小； 时，随的增大而增大. 当时，随的增大而增大； 时，随的增大而减小. 最大（小）值 当时， 当时， 2. 二次函与的图象之间的关系 向左平移个单位长度, 向右平移个单位长度, 二次函数的图象可由二次函数的图象向左、向右平移得到. (1)当时，抛物线由抛物线向右平移个单位长度 得到，此时对称轴在轴的右侧. (2)当时，抛物线由抛物线向左平移个単位长度得到，此时对称轴轴的左侧.简记为“左加右减”. 【清单06】二次函数y=a（x-h）²+k的图象与性质 1. 二次函的图象和性质 函数 图象（抛物线） 顶点坐标 对称轴 直线 顶点位置 当,时,顶点在第一象限;当,时,顶点在第二象限; 当,时,顶点在第三象限;当,时,顶点在第四象限 开口方向 向上 向下 增减性 在对称轴左侧，即当时，随的增大而减小;在对称轴右侧，即当时，随的增大而增大 在对称轴左侧,即当时，随的增大而增大;在对称轴右侧,即当时，随的增大而减小 最值 当时， 当时， 2. 二次函数与的图象间的关系 由的图象到的图象具体的平移操作如图所示: （1）的取值要以顶点的横坐标为中间值，左右对称各选取几个适当间距的自变量的值，并求出相应的函数值,最后描点、连线. （2）因为从中可以直接看出抛物线的顶点坐标，所以通常把叫做二次函数的顶点式. （3）二次函数的图象平移规律：函数图象的平移,形状大小均不变;左右平移在括号，上下平移在末梢;左加右减须牢记，上加下减错不了. 【清单07】二次函数y=ax2＋bx＋c的图象和性质 1. 用配方法化二次函数解析式为的形式 = = = = ∴抛物线的顶点坐标为，我们把它叫做顶点坐标公式. 抛物线顶点坐标的两种求法： (1)运用顶点坐标公式可直接求出抛物线的顶点坐标 (2)利用配方法将函数化为顶点式,进而求出抛物线的顶点坐标. 2. 二次函数图象的两种画法 （1）描点法 ①利用配方法把二次函数化成的形式 ②确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点标 ③在对称轴两侧，以顶点为中心,左右对称点描点画图 (2) 平移法 ①利用配方法把二次函数化成的形式，确定其顶点 ②作出函数的图象 ③将函数的图象进行平移，使其顶点平移到点 3. 二次函数的图象和性质 函数 （,,是常数，） 函数图象 （抛物线） 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 顶点坐标 增减性 如果，当 时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大. 如果，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小. 最值 抛物线有最低点,当时，有最小值, 抛物线有最高点,当时，有最大值, 4. 二次函数的图象特征与 a,b,c 的符号之间的关系 字母的符号 图象的特征 开口向上 开口向下 对称轴为轴 （,同号） 对称轴在轴左侧 （,异号） 对称轴在轴右侧 图象过原点 与轴正半轴相交 与轴负半轴相交 二次函数重要结论 （1）当时,. 此时若,则;若则;若，则 （2）当时, （3）当时,. 此时若,则;若,则 ;若,则. （4）当时,. 【清单07】二次函数与一元二次方程的关系 1.二次函数与一元二次方程的关系 二次函数的图象与轴交点的横坐标就是一元二次方程 的解. 2.二次函数的图象与轴的交点的情况和对应的一元二次方程的根的情况的关系 的取值 二次函数 的图象与轴的交点 有两个交点 ， 有一个交点 无交点 有两个交点 ， 有一个交点 无交点 一元二次方程 的实数根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 求抛物线与x轴的交点坐标的方法 (1) 已知抛物线的解析式时,转化为解一元二次方程的问题; (2)已知抛物线与x轴的一个交点坐标和对称轴时，一般利用抛物线的对称性求解. 【清单08】图象法求解一元二次方程 1.方法一 通过求二次函数与轴的交点标从而求出一元二次方程的解. 具体步骤如下： (1)画:在平面直角坐标系中画出二次函数的图象; (2)看:观察图象确定抛物线与轴的交点坐标: (3)写:交点的横坐标即为一元二次方程的解. 2.方法二 通过求抛物线与直线的交点坐标求得一元二次方程的解. 具体步骤如下: (1)画:在平面直角坐标系中画出函数与[或与或与]的图象; (2)看：观察图象，确定抛物线与直线的交点标； (3)写:交点的横坐标即为一元二次方程的解. 提示： 用图象法解一元二次方程是数形结合思想的具体应用，可类比用一次函数的图象解一元一次方程的方法,在平面直角坐标系中画出二次函数的图象，由图象与x轴交点的横坐标求一元二次方程的解.但由于作图或观察存在误差，因此通过这种方法求得的方程的解一般是近似的. 【清单09】二次函数与一元二次不等式的关系 二次函数与一元二次不等及之间的关系如下: 二次函数 的图象与轴的交点 有两个交点 ， 有一个交点 无交点 不等式 的解集 或 （或） 全体实数 不等式 的解集 无解 无解 二次函数 的图象与轴的交点 有两个交点 ， 有一个交点 无交点 不等式 的解集 无解 无解 二次函数 的图象与轴的交点 或 （或） 全体实数 （1）二次函数的图象在轴上方的点的纵坐标都为正，所对应的的所有值的集合就是不等式的解集;在轴下方的点的纵坐标都为负，所对应的的所有值的集合就是不等式的解集. （2）像、此类不等式中带有等号，那么其解集也相应带有等号. 【清单10】利用二次函数解实际问题的步骤 1.二次函数与一元二次方程的关系 （1）阅读并理解题意; （2）找出问题中的变量与常量，并分析它们之间的关系，若有图形，则要注意结合图形进行分析; （3）设适当的未知数，用二次函数表示出变量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式; （4）根据题目中的条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解; （5）检验结果的合理性，必要时进行合理的取舍. 注意：在实际问题中，自变量的取值范围必须要结合实际意义和已知条件的限定。 【清单11】利用二次函数解实际问题的常见类型 （1）几何图形的最大面积 （2）商品利润最大问题 （3）抛物线形实物及运动轨迹问题 题型一、二次函数的识别 1．（24-25九年级上·上海青浦·期中）下列函数中属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握二次函数的定义．根据形如的函数叫作二次函数可得答案． 【详解】解：A、是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意； B、当时，不是二次函数，故此选项不符合题意； C、是二次函数，故此选项符合题意； D、分母含有自变量，不是二次函数，故此选项不符合题意． 故选：C． 2．（24-25九年级上·上海普陀·期中）下列函数中是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．一般地，形如（、、是常数，）的函数，叫做二次函数，据此进行判断即可． 【详解】解：A. 不符合二次函数的定义，不是二次函数； B. 是一次函数，不是二次函数； C. 不符合二次函数的定义，不是二次函数；     D. 符合二次函数的定义，是二次函数； 故选：D． 3．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）下列属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次函数的定义，正确把握二次函数的定义是解题关键． 利用二次函数的定义：一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数．判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． 【详解】解：A、中，当时，不是二次函数，该选项不符合题意； B、，不是二次函数，该选项不符合题意； C、，不是二次函数，该选项不符合题意； D、，是二次函数，该选项符合题意； 故选：D． 题型二、y=ax2的图象和性质 4．（24-25九年级上·上海·期中）拋物线在对称轴左侧的部分是上升的，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，根据题意可知，在对称轴左侧y随x增大而增大，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵拋物线在对称轴左侧的部分是上升的， ∴拋物线在对称轴左侧y随x增大而增大， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（24-25九年级上·上海普陀·期中）已知二次函数的图像在对称轴的左侧部分是上升的，那么m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，由二次函数的图像在对称轴的左侧部分是上升的，可得抛物线开口向下，进而求解． 【详解】解：二次函数的图像在对称轴的左侧部分是上升的， 抛物线开口向下， ∴， ， 故答案为：． 6．（2023·上海闵行·一模）抛物线在对称轴的左侧部分是 的（填“上升”或“下降”）． 【答案】下降 【分析】根据二次函数的性质解答． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴在对称轴左侧部分随着的增大而减小． 故答案为：下降． 【点睛】本题主要考查抛物线的性质，熟记抛物线的性质是解题的关键． 题型三、y=ax2+k的图象和性质 7．（23-24九年级上·上海普陀·阶段练习）抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，对于二次函数（其中a、c是常数，），其顶点坐标为，据此可得答案． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选B． 8．（24-25九年级上·上海·期中）已知抛物线的图像开口向下，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向下时，二次项系数． 【详解】解∶ 因为抛物线的图象开口向下， 所以，即． 故答案为：． 9．（24-25九年级上·上海青浦·期中）沿着轴正方向看，抛物线在轴右侧的部分是 的（填“上升”或“下降”）． 【答案】上升 【分析】本题考查了二次函数图象的性质．画出函数图象，直观判断即可． 【详解】解：抛物线的图象如图所示： 可以看出，在y轴右侧部分上升， 故答案为：上升． 10．（24-25九年级上·上海徐汇·期中）已知抛物线有最高点，那么a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由抛物线有最高点，可得，计算求解即可． 【详解】解：∵抛物线有最高点， ∴， 解得，， 故答案为：． 题型四、y=a（x-h）2+k的图象和性质 11．（24-25九年级上·上海·期中）抛物线的图象在对称轴的 侧的部分上升（填“左”或“右”）． 【答案】右 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据函数的图象的开口向上，抛物线的图象在对称轴的右侧的部分上升，即可作答． 【详解】解：依题意，的开口向上， ∴抛物线的图象在对称轴的右侧的部分上升， 故答案为：右． 12．（24-25九年级上·上海徐汇·期中）已知拋物线经过点，那么点A关于对称轴对称的点B坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由题意知，对称轴为直线，则点A关于对称轴对称的点B坐标为． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线， ∴点A关于对称轴对称的点B坐标为， 故答案为：． 13．（22-23九年级上·上海·期中）已知二次函数 的图像上有 、 两个点，则（    ） A．   B．   C．   D．无法确定 【答案】B 【分析】由于 ，开口向上，所以点A、B离对称轴越近，对应的纵坐标越小，即可判断出 、 的大小关系． 【详解】∵ ∴抛物线开口向上，对称轴为 ，开口向上． ∵点A横坐标到对称轴的距离是 ， 点B到横坐标对称轴的距离是， ∴ ． 故选：B． 【点睛】本题考查判断函数值大小，正确掌握二次函数图象的性质和熟练应用数形结合思想是解题关键． 题型五、把y=ax2+bx+c化成顶点式 14．（24-25九年级上·上海徐汇·期中）已知二次函数 (1)用配方法把这个二次函数化为顶点式的形式，并写出这个函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)将这条抛物线向左平移4个单位，再向上平移2个单位．直接写出平移后新抛物线的表达式：________． 【答案】(1)，对称轴是直线，顶点坐标 (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的平移，熟练掌握平移规律是解答本题的关键． （1）先化为一般式，再配方化为顶点式，然后写出数图象的对称轴和顶点坐标； （2）按“上加下减常数项，左加右减自变量”的规律平移即可得出所求函数的解析式． 【详解】（1）解：∵ ， ∴对称轴是直线，顶点坐标； （2）解：这条抛物线向左平移4个单位，再向上平移2个单位，得 ． 15．（24-25九年级上·上海普陀·期中）已知点在二次函数的图像上． (1)求二次函数图像的对称轴和顶点坐标； (2)将二次函数的图像先向左平移4个单位，再向上平移t个单位后图像经过点，求的值． 【答案】(1)对称轴为直线；顶点的坐标为 (2)8 【分析】主要考查了二次函数的解析式，二次函数的性质和图象，函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式． （1）将点代入函数解析式求出，即可得二次函数的解析式，再根据二次函数的性质即可求解； （2）根据题意求出平移后新二次函数的解析式，再将代入求解即可． 【详解】（1）解：∵点在二次函数的图像上， ∴把，代入，得． 解得：． ∴二次函数的解析式为． ∴对称轴为直线． 顶点的坐标为． （2）解：二次函数的解析式化为． ∵将二次函数的图像先向左平移4个单位，再向上平移t个单位， ∴平移后新二次函数的解析式为． ∵平移后图像经过点， ∴把，代入，得． 解得：． 16．（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点、点，顶点为点C，抛物线M的对称轴交x轴于点D． (1)直接写出抛物线M的表达式和点C的坐标； (2)点P在x轴上，当与相似时，求点P坐标． 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）当时，则，即，即可求解；当时，同理可解． 【详解】（1）解：由题意得： ， 解得：， 则抛物线的表达式为：， ∵ ∴顶点； （2）解：由（1）知，， 又∵抛物线M的对称轴交x轴于点D， ∴点， ∵、，，， ∴、、、 ，， 又∵与相似， ∴点O与点C对应， 当时， 则，即， 解得：， 即点； 当时， 则，即， 解得：， 则点； 综上，点的坐标为：或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象性质，相似三角形的判定性质等知识，分类求解是解题的关键． 题型六、y=ax2+bx+c的图象与性质 17．（24-25九年级上·上海普陀·期中）已知关于的二次函数，当时，随的增大而减小，且当时，有最大值16，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质和二次函数的最值，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，得到关于的方程是解题的关键．求出对称轴为直线，根据当时，随的增大而减小，即可得到开口向上，，由当时，有最大值，可知当时，，即可得到，解方程组即可求得的值． 【详解】解：二次函数， 对称轴为直线， 当时，随的增大而减小， 开口向上，， 当时，有最大值， 当时，， ， 解得或， ， 的值为． 故答案为：． 18．（24-25九年级上·上海普陀·期中）如果抛物线经过原点，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、解一元一次方程，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意，由抛物线经过原点，从而得，进而求出可以得解． 【详解】解：由题意，抛物线经过原点， ． ． 故答案为：． 19．（24-25九年级上·上海青浦·期中）如果二次函数的图象经过原点，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象的性质，直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握若一点在函数图象上，则此点坐标满足函数图象解析式是解题的关键，需要注意解出的值要满足二次项系数不能为零的隐藏条件．根据二次函数图象过原点，把代入解析式，求出的值，再排除二次项系数不为的情况． 【详解】解：根据二次函数图象过原点，把代入解析式， 得：， 解得：或， ∵二次函数中二次项系数不为，得， ∴， ∴． 故答案为：． 20．（24-25九年级上·上海·期中）在平面直角坐标系中（如图），过点且平行于x轴的直线与直线交于点A，点B与点A关于直线对称，    (1)求点A和点B的坐标； (2)如果抛物线经过点B，求a的值； (3)如果抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的性质以及解一元一次不等式，解题的关键是结合图象找出关于的一元一次不等式组． （1）由过点且平行于轴的直线解析式为，可求出点的坐标，由点关于直线的对称点为，可求出点的坐标； （2）由抛物线经过点，，利用待定系数法可求出函数的解析式，将解析式配方后可得出顶点的坐标； （3）结合图形，可得知两个根的范围，从而的出结论． 【详解】（1）解：过点且平行于轴的直线解析式为， 令，则有，解得：， 故点的坐标为． 点关于直线的对称点为， 点的坐标为． （2）解：抛物线经过点， ，解得； （3）解：依照题意画出题形如下． 当时，抛物线与线段无交点， ， 令，则有，解得：， 抛物线与线段恰有一个公共点， 有，解得：． 故的取值范围为．    21．（24-25九年级上·上海普陀·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，其对称轴与轴交于点． (1)求点的坐标； (2)如果．当时，二次函数的最大值为，求的值； (3)直线经过点，将点向右平移7个单位长度，得到点，若抛物线与线段只有一个公共点，结合函数图象，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为 (2)的值为或 (3)或或 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数与坐标轴交点问题，平移的性质等，熟练掌握二次函数的图象及性质，分类讨论，数形结合是解题的关键． （1）取，求得的值，即可求得点的坐标，求得抛物线的对称轴，则可以得到点的横坐标，得点的纵坐标为，即可求得点的坐标； （2）把二次函数整理为顶点式，可得二次函数本身的最大值为，那么分类探讨所给的取值范围都在对称轴的左侧或右侧时的最高点即可得到的值； （3）得出点和点的坐标，分类探讨抛物线的开口向上，顶点在线段上；抛物线的开口向上，点在抛物线的内部；抛物线的开口向下，点在抛物线的外部，三种情况下的值即可． 【详解】（1）解：当时，， 点的坐标为； 由题意得：抛物线的对称轴为：直线， 抛物线的对称轴与轴交于点， 点的坐标为； （2）解：时，二次函数为：， 二次函数的开口方向向下，最大值为， ①时，对应的最高点为：， ， 解得：， 不合题意，舍去， ②时，对应的最高点为：， ， 解得： 不合题意，舍去，， 综上：的值为或； （3）解：直线经过点， 点的坐标为， 点的坐标为， ①抛物线的顶点在线段上，此时，抛物线与线段只有一个公共点，则抛物线的顶点坐标为， ， ， 解得：； ②如图，抛物线的开口向上，点在抛物线的内部， 当时，， ， 解得：； ③如图，抛物线的开口向下，点在抛物线的外部， 当时，， ， 解得：． 综上：抛物线与线段只有一个公共点，则或或． 题型七、二次函数图象与各项系数符号 22．（24-25九年级上·上海·期中）已知二次函数的图象如图所示，那么a、b、c的符号为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据的图象的开口向下，得出，抛物线的对称轴在的负半轴，得，整理得，因为函数与轴的交点在正半轴，得，即可作答． 【详解】解：∵的图象的开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴在的负半轴， ∴对称轴， ∴， ∵， ∴， ∵函数与轴的交点在正半轴， ∴， 故选：A． 23．（23-24九年级上·河南平顶山·阶段练习）对称轴为直线的抛物线（、、为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤（为任意实数），⑥当时，随的增大而增大．其中结论正确的个数为（   ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图像与系数的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点确定．由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，再进一步逐一分析判断即可． 【详解】解：①由图像可知：，， ∵， ∴， ∴，故①错误； ②∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， ∴，故②正确； ③∵抛物线与轴的一个交点在与0之间，对称轴为直线， ∴另一个交点在到之间， ∴当时，，故③错误； ④当时，， ∴，故④正确； ⑤当时，y取到值最小，此时，， 而当时，， ∴ ， 故，即，故⑤正确， ⑥当时，y随x的增大而减小，故⑥错误， 所以，正确的结论有：②④⑤，共3个． 故选：A． 24．（22-23九年级上·山东滨州·期末）抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③；④方程的两根为．其中所有正确结论个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】由抛物线开口和抛物线与y轴交点，对称轴，判断①；由抛物线的对称性及经过点可判断②④；由对称轴为，得出，即可判断③． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵ ∴， ∵抛物线与y轴交点在x轴上方， ∴， ∴，①正确； ∵抛物线的顶点为， ∴对称轴为 ∵抛物线过点， ∴由对称性可得抛物线经过点， ∴，②错误； ∴方程的两根为，④正确； ∵， ∴， ∵， ∴，即，故③正确； 综上，①③④正确， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系． 25．（24-25九年级上·上海·期中）如图，已知抛物线（a，b，c为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与x轴交于点A，与y轴的交点B在，之间（不含端点），下列四个结论中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，根与系数的关系，抛物线与轴的交点，根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与轴的交点坐标、根与系数的关系等知识，逐个判断即可，掌握二次函数与一元二次方程的关系，是正确判断的前提． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 对称轴为直线，、同号， ， 与轴的交点在和之间， ， ， 故A不正确； 对称轴为直线， ， ， ， 故B不正确； 由图可得，当时，， 故C不正确； 由题意可得，方程的两个根为，， ，即， ， ， 因此， 故D正确； 故选：D． 题型八、一次函数、二次函数图象综合判断 26．（24-25九年级上·上海普陀·期中）在同一平面直角坐标系中，画出直线与抛物线，这个图形可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与一次函数的图象的综合判断，根据两个函数的性质和图象的特征，结合选项中的图象逐项判断即可． 【详解】解：当时，，则抛物线过原点，故选项B不符合题意， A、直线中，，，抛物线中，，，即，矛盾，故本选项不符合题意； C、直线中，，，抛物线中，，，即，矛盾，故本选项不符合题意； D、直线中，，，抛物线中，，，即，一致，故本选项符合题意； 故选：D． 27．（23-24九年级上·河南周口·期中）已知一次函数的图象如下，则函数的图象可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象与一次函数的图象，由一次函数的图象判断出，再判断二次函数的图象特征，进而求解． 【详解】解：由一次函数的图象可得：， ∴函数的图象与y轴的交点在y轴的负半轴， ∴排除A、C选项； 函数的图象的对称轴， ∴函数的图象的对称轴与x轴的交点在x轴的负半轴， ∴只有B选项符合题意， 故选：B． 28．（2023·浙江台州·中考真题）抛物线与直线交于，两点，若，则直线一定经过（    ）． A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 【答案】D 【分析】根据已知条件可得出，再利用根与系数的关系，分情况讨论即可求出答案． 【详解】解：抛物线与直线交于，两点， ， ． ， ∵， ． 当，时，直线经过第一、三、四象限， 当，时，直线经过第一、二、四象限， 综上所述，一定经过一、四象限． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解题的关键在于熟练掌握根与系数关系公式． 题型九、根据二次函数的图象判断式子符号 29．（24-25九年级上·上海·期中）如图，二次函数的图像与轴交于，两点，与轴的正半轴交于点，它的对称轴为直线，下列结论中正确的有（   ） ①；②；③； ④当（为实数）时， A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，解题的关键是数形结合．由图像开口向上，可知，与轴的交点在轴的上方，可知，根据对称轴方程得到，于是得到，故①错误；根据抛物线与轴有两个交点，可得：，即，故②错误；根据，代入，故可以判断③；当（为实数）时，，故④正确． 【详解】解：由图像开口向上，可知，与轴的交点在轴的上方，可知， 又对称轴为直线， ， ， ，故①错误； 二次函数的图像与轴交于，两点， ， ，故②错误； 又， ， ，故③错误； 当为实数时， 当（为实数）时，，故④正确， 故选：A． 30．（24-25九年级上·上海徐汇·期中）如图，是二次函数图象的一部分，直线是对称轴，且经过点．有下列判断：①；②；③；④若，是抛物线上两点，则．其中正确的是（   ） A．①③ B．①④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了利用二次函数的性质判断式子的正确性，①由对称轴得，即可判断；②由对称轴及得与轴的另一个交点为，即可判断；③由①得， ，表示出，代入即可判断；④由时到越靠近对称轴的点，对应的函数值越大，代入即可判断； 能熟练利用二次函数性质进行求解是解题的关键． 【详解】解：①直线是对称轴， ， ； 故此项正确； ②当时， ， 直线是对称轴，且经过点， 与轴的另一个交点为， 当时， ， 故此项不正确； ③由①得： ， 经过点， ， ， ， ， 故此项正确； ④， 到越靠近对称轴的点，对应的函数值越大， ； 故此项正确； 故选：C． 31．（24-25九年级上·上海青浦·期中）已知二次函数的图象如图所示，有下列结论： ①；②；③；④（为任意实数）；⑤若，，是抛物线上三点，则；⑥关于的一元二次方程有两个不相等的实数根；其中正确的个数是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系．熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系并数形结合是解题的关键． 由图象可知，，对称轴为直线，即，当时，最小，当时，随的增大而减小，当时，，则，可判断①的正误；当时，，可判断②的正误；当时，，可判断③的正误；由，可得（为任意实数），可判断④的正误；关于对称轴对称的点坐标为，由，可得，可判断⑤的正误；由题意知，，有两个不同的交点，即关于的一元二次方程有两个不相等的实数根；可判断⑥的正误． 【详解】解：由图象可知，，对称轴为直线，即， 当时，最小， 当时，随的增大而减小， 当时，， ∴，①正确，故符合要求； 当时，，②正确，故符合要求； 当时，，③错误，故不符合要求； ∵， ∴（为任意实数），④正确，故符合要求； 关于对称轴对称的点坐标为， ∵， ∴，⑤正确，故符合要求； 由题意知，，有两个不同的交点，即关于的一元二次方程有两个不相等的实数根；⑥正确，故符合要求； 故选：B． 32．（24-25九年级上·上海奉贤·期中）如图所示：抛物线的对称轴是直线，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．先根据抛物线的开口向上，与轴的交点位于轴的负半轴可得，再根据对称轴可得，由此即可判断A错误，D正确；根据当时，可判断C错误；根据当时，可判断B错误． 【详解】解：∵抛物线的开口向上，与轴的交点位于轴的负半轴， ∴， ∵抛物线的对称轴是直线， ∴，即，选项D正确； ∴，则选项A错误； 由图象可知，当时，， ∴， ∴，选项C错误； 由图象可知，当时，， ∴，选项B错误； 故选：D． 题型十、已知抛物线上对称的两点求对称轴 33．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知抛物线上部分点的横坐标和纵坐标的对应值如下表 0 1 3 4 5 根据上表，下列判断正确的是（  ） A．该抛物线开口向上 B．沿x轴正方向，该抛物线在对称轴左侧部分是下降 C．该抛物线一定经过点 D．该抛物线的对称轴是直线 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数图象的轴对称性，是解题的关键． 根据表格，可知：该抛物线的对称轴是：直线，当时，随的增大而增大，从而可得到答案． 【详解】解：∵抛物线过点， ∴该抛物线的对称轴是：直线，故D错误； ∵该抛物线的对称轴是：直线， ∴点和点是对称点，即点在抛物线上，故C正确； ∵由表格可知：当时，随的增大而增大， ∴该抛物线开口向下，该抛物线在对称轴左侧部分是上升的，故A，B错误； 故选：C． 34．（24-25九年级上·上海·期中）二次函数的变量x与变量y的部分对应值如下表： x … 0 1 5 … y … 7 0 7 … 则该二次函数图像的对称轴是 ． 【答案】直线 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据当时，所对应的有两个，分别是和5，故对称轴为直线，即可作答． 【详解】解：从二次函数的变量x与变量y的部分对应值的表格得出： 当时，所对应的有两个，分别是和5， ∵二次函数是个轴对称图形， ∴点和关于二次函数的对称轴对称， ∴对称轴为直线． 故答案为：直线． 35．（24-25九年级上·上海普陀·期中）已知二次函数的图象经过点、，那么该二次函数图象的对称轴为直线 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的对称性，根据抛物线上函数值相等的点关于抛物线对称轴对称可求得答案，掌握抛物线上函数值相等的点关于抛物线对称轴对称是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点、， ∴二次函数的对称轴为直线， 故答案为：． 题型十一、待定系数法求二次函数解析式 36．（24-25九年级上·上海·期中）已知顶点坐标为的抛物线，过点，当时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题查了利用顶点式求抛物线解析式以及抛物线与x轴的交点，正确画出函数图象是解题关键．先利用顶点式求出二次函数解析式，然后求出图象与x轴交点，再利用抛物线图象得出当函数值时，自变量x的取值范围即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴， 令，解得，， ∴抛物线与x轴交于，， ∵， ∴抛物线开口向下， 如图， ∴当时，的取值范围是， 故答案为：． 37．（24-25九年级上·上海·期中）如图，已知抛物线的对称轴为直线，且经过点． (1)求a、b的值； (2)如果点B是抛物线的顶点，求的面积． 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题考查二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，数形结合是解题的关键． （1）运用待定系数法即可求得答案； （2）求出，，运用待定系数法求得直线的解析式为，设直线与抛物线对称轴交于点，则，，利用三角形面积即可得出答案． 【详解】（1）解：二次函数的对称轴为直线， ， ， ， 过点， ； （2）解：∵点B是抛物线的顶点， ， 由（1）可知：，设直线的解析式为， 则， 解得：， 直线的解析式为， 设直线与抛物线对称轴交于点，则， ， ， 的面积为． 38．（24-25九年级上·上海·期中）已知抛物线经过点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)平移抛物线得到新抛物线．新抛物线与x轴、y轴都只有一个交点，分别为点． ①求两点坐标． ②在抛物线上有一动点R，使得平行于的一边，求出点R的坐标． 【答案】(1) (2)①两点坐标分别为，；②或． 【分析】此题考查了二次函数综合题，二次函数的平移、待定系数法求函数解析式，分类讨论是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求出答案； （2）①求出，当时，，有两个相等的实数根，点P为抛物线的顶点，得到，，则，解得（不合题意，舍去）或，求出，即可得到答案； ②由①可知，，分，，共三种情况进行求解即可． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， ∵经过点，与y轴交于点．， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）①由题意可知，平移后的抛物线为， 当时，， ∴， ∵新抛物线与x轴、y轴都只有一个交点，分别为点． ∴当时，，有两个相等的实数根，点P为抛物线的顶点， ∴，， ∴，， ∴ 解得，（不合题意，舍去）或， ∴， ∵， ∴， ∴两点坐标分别为，． ②由①可知，， 当， 则直线为， 则，解得（不合题意，舍去），， ∴， ∴此时点R的坐标为． 当时， 设直线解析式为， ， 解得， ∴直线解析式为， ∴直线的解析式为， 联立得到， 解得（不合题意，舍去）或， 即此时点R的坐标为， 当时， 设直线解析式为， ， 解得， ∴直线解析式为， ∴直线的解析式为， 联立得到， 解得（不合题意，舍去）， 综上可知，点R的坐标为或． 39．（24-25九年级上·上海·期中）如图，抛物线与轴交于两点（在的左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为．    (1)求抛物线的表达式； (2)求的值； (3)若点是线段上一个动点，联结，是否存在点，使得以点O、C、P为顶点的三角形与相似？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由； 【答案】(1)； (2)； (3)存在点P使得O、C、P为顶点的三角形与相似，且或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求得顶点坐标，利用勾股定理求得各边的长，证明是直角三角形，利用正切函数的定义求解即可； （3）根据，，分，，计算求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得． 解得， 故，． ∴； （2）解：令，则， ∴， ， ∴顶点坐标为， ∵，，， ∴，，，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴； （3）解：令，则， 解得或， ∴， ∵，点，， ∴，，， ∴， 当时，    ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 过点P作轴于点F， 则， ∴， ∴． 当时，    ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 过点P作轴于点G， 则， ∴， ∴； 综上所述，存在点P使得O、C、P为顶点的三角形与相似，且或． 【点睛】本题是二次函数的综合问题，考查了待定系数法求解析式，勾股定理及其逆定理，三角形相似的判定，正切函数的定义，熟练掌握待定系数法，三角形相似的判定定理是解题的关键． 40．（24-25九年级上·上海普陀·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于点，与y轴交于点． (1)求该二次函数的解析式； (2)如果点是二次函数图像对称轴上的一点，连接、，求的面积； (3)如果点P是该二次函数图像上位于第二象限内的一点，且，求点P的横坐标． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】本题考查待定系数法求解析式，二次函数与面积问题，相似三角形的判定与性质； （1）把，代入计算即可； （2）先求出点D坐标，再求出抛物线的对称轴与直线交点E坐标，即可根据求解； （3）过点P作轴，垂足为H，证明，得到，设点，得到， ，列方程计算即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像与x轴交于点，与y轴交于点， 得， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：∵点是二次函数图像对称轴上的一点， 又∵二次函数图像的对称轴为直线， ∴，点D坐标为， 设直线的表达式为， ∵直线经过，，得， 解得， ∴直线的表达式为， 设抛物线的对称轴与直线交于点E， ∴点E坐标为， ∴， ∴； （3）解：过点P作轴，垂足为H， 设点， ∴，， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得（舍去），， 即点P的横坐标是． 41．（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于点C．连接交对称轴于点E，点D为抛物线的顶点． (1)连接，若 ①求抛物线解析式； ②线段上一点F，，连接，求． (2)平移抛物线，使新抛物线顶点在射线上，新抛物线与y轴交于点．若平分，且，求新抛物线解析． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①求出点，再得到，利用待定系数法即可求解； ②先求出点，，再求得的长，证明，得到，过点作于点，作直线于点，求得 ，，即可求解； （2）先得到为中点，则，设，求得，，则新抛物线解析式为：，令，则，求得，因为，得到，即可求解． 【详解】（1）解：①令，则， ∴， ∴， ∵轴， ∴， 又∵， ∴， ∴点， 把点代入中，得： ， ∴， ∴抛物线的解析式为：； ②令，则， 解得：，， ∵点，， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 过点作于点，则为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴，对称轴为直线， 如上图，作垂直于直线于点， ∴， ∴，， ∴； （2）解：如图： ∵平分， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 又∵， ∴为中点， ∵， ∴， 设， ∴，， ∴，， ∴新抛物线解析式为：， 令，则， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴新抛物线解析式为：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，函数的平移，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形等知识，掌握相关知识是解题的关键． 题型十二、二次函数图象的平移 42．（24-25九年级上·上海普陀·期中）将抛物线向左平移4个单位后得到的新抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．根据平移特征“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：把抛物线向左平移4个单位长度，所得直线解析式为：； 故选：D． 43．（24-25九年级上·上海·期中）将抛物线向右平移2个单位，所得新抛物线经过原点，那么m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质和平移，把一般式化成顶点式，根据平移的规律得到新的解析式，把原点代入即可求得的值，求得平移后的抛物线的解析式是解题的关键． 【详解】解：， 将该抛物线向右平移2个单位，得到的新抛物线对应的函数表达式为， 新抛物线经过原点， ， 解得， 故答案为：． 44．（24-25九年级上·上海静安·期中）抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新抛物线的顶点关于直线对称的点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移、点坐标的轴对称，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题关键．根据抛物线的平移规律“上加下减，左加右减”得到平移后的解析式，再找到顶点的对称点解答即可． 【详解】解：抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新抛物线的表达式为，即为， 则新抛物线的顶点的坐标为， 点关于直线对称的点坐标是，即， 故答案为：． 45．（24-25九年级上·上海·期中）已知抛物线与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，与y轴交于点． (1)求抛物线表达式和点A、B的坐标； (2)点P是第四象限抛物线上一点，线段与线段相交于点M，若，求点P的坐标： (3)将抛物线向上平移，平移后新的抛物线顶点为点D，点C的对应点为点E．设直线与x轴正半轴交于点F，与线段交于点G，当时，求平移后抛物线的表达式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数综合题，此题涉及到待定系数法求函数解析式，二次函数的性质、三角形面积的计算、三角形相似等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）将点代入，求出的值，从而确定函数的解析式，再求、点坐标即可； （2）求出，由题意得出直线的解析式，则可得出答案； （3）证明，可以得到， 即，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，，解得， ∴抛物线解析式为 ， 令则 ， 解得：或 ， ∵点在点的左边， ； （2）解：∵点为线段的三等分点， ， ∴直线的解析式为， 令， ， ， ， ； （3）解：作点轴于点， 设直线BC的解析式为，把点、的坐标代入得， ，解得， ∴直线的表达式为：， 设平移后的抛物线表达式为：， 则点， 点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 设直线交轴于点， 则点，联立和的表达式得：， 解得：， 即点的横坐标为， ∵， 则， ∴即 解得： 则平移后抛物线的表达式为：． 题型十三、求抛物线与x轴的交点坐标 46．（24-25九年级上·上海普陀·期中）已知二次函数的图像经过原点，顶点坐标为． (1)求二次函数的解析式； (2)如果二次函数的图像与x轴交于点A（不与原点重合），连结，试判断的形状并说明理由． 【答案】(1) (2)等腰直角三角形，见解析 【分析】本题考查二次函数的解析式，二次函数图像与x轴的交点，二次函数与特殊三角形问题． （1）根据题意设二次函数的解析式为，由二次函数的图像经过原点，将点代入函数求出a的值即可； （2）求出二次函数与x轴的交点，得到点A的坐标为，求出，利用勾股定理逆定理判断即可． 【详解】（1）解：∵二次函数图像的顶点坐标为， ∴设二次函数的解析式为， ∵二次函数的图像经过原点， ∴把，代入得.. 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：∵二次函数的图像与x轴交于点A， ∴把，代入， 解得，（舍去）， 得点A的坐标为， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形． 47．（22-23九年级上·福建福州·阶段练习）已知在平面直角坐标系内，抛物线经过x轴上两点A，B，点B的坐标为，与y轴相交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）把点的坐标代入抛物线，求出b的值，即可得出抛物线的表达式； （2）先求出，，，再利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：把点的坐标代入抛物线得，解得， 所以抛物线的表达式； （2）解：抛物线的表达式； 令，则， 解得：，， ，， ∴， 令，则， ∴， ． 【点睛】本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是正确的设出抛物线的解析式． 48．（24-25九年级上·上海青浦·期中）定义：已知一次函数与二次函数，我们把函数称为与的“复合函数”． 例如：一次函数与二次函数的“复合函数”为． 已知一次函数与二次函数，函数为与的“复合函数”． (1)如果的图像上存在不同的两点与，求的值； (2)如果的图像经过原点，那的图像是否经过某一定点？若经过，求出点坐标，若不经过，请说明理由； (3)如果的图像同时满足（1）（2）的条件，记的图像与轴的另一个交点为点A，记的图像与轴的交点为点B，则的图像上是否存在点C，使得以A、B、C、P四点为顶点所组成的凸四边形为中心对称图形？若存在，求出所有满足条件的中心对称图形的对称中心坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)经过， (3)存在，对称中心坐标为或 【分析】（1）由的图像上存在不同的两点与，可得函数的对称轴为直线，由题意知，，则，计算求解即可； （2）由题意知，，由的图像经过原点，可得，即，可求，则，当时，，然后作答即可； （3）由（1）（2）可知，，，则，，可求，由的图像与轴的交点为点B，可求，由题意知，当以A、B、C、P四点为顶点所组成的凸四边形为中心对称图形时，该四边形为平行四边形；当为对角线时，则的中点为对称中心，则，当时，，此时不存在；当为边时，，，则，然后作答即可． 【详解】（1）解：∵的图像上存在不同的两点与， ∴函数的对称轴为直线， 由题意知，， ∴， 解得，； （2）解：由题意知，， ∵的图像经过原点， ∴，即， ∴， ∴， 当时，， ∴的图像经过一定点，； （3）解：由（1）（2）可知，，， ∴， ∴， 令， 解得，或， ∴， ∵的图像与轴的交点为点B， ∴， 由题意知，当以A、B、C、P四点为顶点所组成的凸四边形为中心对称图形时，该四边形为平行四边形； 当为对角线时，则的中点为对称中心， ∴， 当时，，此时不存在； 当为边时，，， ∴， 当时，，此时对称中心坐标为，即； 当时，，此时对称中心坐标为，即； 综上所述，存在，对称中心坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数与坐标轴的交点，中心对称的性质，二次函数与平行四边形的综合．熟练掌握二次函数的图像与性质，二次函数与坐标轴的交点，中心对称的性质，二次函数与平行四边形的综合是解题的关键． 题型十四、求抛物线与y轴的交点坐标 49．（24-25九年级上·上海普陀·期中）二次函数的图象与轴的交点坐标为 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意，令，从而，故图象与轴的交点坐标为，进而可以得解． 【详解】解：由题意，令， ． 图象与轴的交点坐标为． 故答案为：． 50．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）抛物线与y轴的交点坐标为 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，求二次函数图像与y轴的交点的坐标． 令，得到，即可得到答案． 【详解】解：令， 则， 抛物线与y轴的交点坐标为， 故答案为：． 51．（24-25九年级上·上海·阶段练习）将抛物线先向下平移3个单位，再向右平移m（）个单位，所得新抛物线经过点，求： (1)新抛物线的表达式． (2)新抛物线与坐标轴交点的坐标． 【答案】(1) (2)与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为或 【分析】本题主要考查了二次函数的平移，求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的平移的规律是解题的关键． （1）设平移后新抛物线的表达式为，把点代入，即可确定函数关系式， （2）将和代入函数关系式求解，即可． 【详解】（1）解：设平移后新抛物线的表达式为， ∵新抛物线经过点， ， 解得：， ， ， ∴新抛物线的表达式为； （2）解：将代入得：， ∴与轴的交点坐标为． 将代入得：或， ∴与轴的交点坐标为或． 题型十五、二次函数综合 52．（24-25九年级上·上海普陀·期中）定义：如果将抛物线上的点的横坐标不变，纵坐标变为点的横、纵坐标之和，就会得到一个新的点，我们把这个点叫做点的“简朴点”，已知抛物线上一点的简朴点是，那么该抛物线上点的简朴点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义“简朴点”，结合新定义“简朴点”确定的值是解题关键．首先根据“简朴点”的定义可知当时，可有，进而解得的值，即可确定该抛物线解析式，再确定点坐标，然后确定的坐标即可． 【详解】解：根据题意，抛物线上一点的简朴点是， 即当时，可有， ∴，解得， ∴该抛物线解析式为， 将点代入，可得， ∴， ∴该抛物线上点的简朴点的坐标为． 故答案为：． 53．（24-25九年级上·上海静安·期中）已知：如图是400米跑道示意图，中间的足球场是矩形，两边是全等的半圆，设直道的长为x米，足球场的面积为S平方米． (1)求出S关于x的函数关系式（结果保留），并写出定义域； (2)当直道的长为多少米时，足球场的面积最大？ 【答案】(1) (2)100米 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据矩形的面积公式求出矩形的宽，即半圆的直径，再根据“跑道的长度直道的长一个圆的周长”列出等式并将S用x表示出来即可； （2）根据二次函数的性质，用配方法求二次函数的最大值即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得， ，即，且， ， S关于x的函数关系式及定义域是； （2）解：， 当时，S的值最大， 当直道的长为100米时，足球场的面积最大． 54．（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，已知抛物线与x轴交于，的两点，与y轴交于点，D为顶点，点P是x轴上方的抛物线上的一个动点，轴于点M，与交于点E． (1)求该抛物线所对应的函数关系式及顶点D的坐标； (2)设点P的横坐标为， ①当t为何值时，线段的长最大； ②连接，求的正弦值； (3)是否存在点P，使得以点P，M、B为顶点的三角形与相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线所对应的函数关系式，顶点为 (2)①；② (3)存在，或 【分析】（1）设抛物线解析式为，将点代入求得函数解析式，再化为顶点式即可； （2）① 利用待定系数法求得直线的函数关系式为．设，则．那么，，结合二次函数得性质即可求得答案； ② 根据点的坐标利用两点之间的公式和勾股定理逆定理即可判定为直角三角形，进而利用解答即可； （3）由（2）知是直角三角形，且，，．分两种情况(Ⅰ) ，则；(Ⅱ) ，则，分别求解即可． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， ∵抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点， ∴，解得， ∴抛物线所对应的函数关系式， 经配方，得，则抛物线的顶点为． （2）解：① 抛物线与x轴交点坐标为． 设直线的函数关系式为， 则，解得， 直线的函数关系式为． 设，则． ∴， ∵，且， ∴ 当时，线段的长最大值为． ② 证明：∵，， 则，，， ∵， ∴为直角三角形， 如图1， ∴； （3）解：存在． 由（2）知是直角三角形，且，，． (Ⅰ) 如图2，若，则， 即， 整理，得，解得，（舍去）． ∴． (Ⅱ) 如图3，若， 则， 即， 整理，得，解得，（舍去）． ∴ ． 故符合条件的点P的坐标为或． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质、勾股定理的逆定理、待定系数法求一次函数、两点之间距离公式和相似三角形的判定和性质，正弦等知识，解题的关键是熟悉二次函数的性质和相似三角形的性质． 55．（24-25九年级上·上海·期中）如图，抛物线经过点，点．      (1)求这条抛物线的表达式； (2)点是抛物线对称轴上的点，联结， ①如果，求点的坐标； ②如果，求直线的表达式． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了求二次函数的表达式，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据待定系数法求二次函数解析解即可，根据抛物线解析式再求对称轴即可． （2）①作于C，证明，由相似三角形的性质可得出， 可得出， 进而可求出点C的坐标， 则可得出点P的坐标． ②延长交轴于点，可得，设，解方程得出，待定系数法求一次函数解析式，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为∶， 对称轴为： （2）①如图所示，作于C，    ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图所示，延长交轴于点，    ∵ ∴ 设， ∴ 解得： ∴ 设直线的解析式为，代入， ∴， 解得： ∴直线的表达式为． 试卷第1页，共3页 1 / 73 学科网（北京）股份有限公司 $y=ar2+bx+c(a,b,c是常数，a y=ax a>0 a<0 图象 业 术 开口向上 开口向下 开口方向与大小 d越大，开口越小 对称性 关于y轴对称，对称轴是直线x=0 顶点与最值 项点坐标是原点(0,0) 当x=0时，y最小值=0 当x=0时，y最大值=0 在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 增减性 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减 a>0 a<0 k>0 k<0 k>0 k<0 图象 乎￥ 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴（或直线x=0) 顶点坐标 (0,k) 最大（小）值 当x=0时，y最小值=k 当x0时，y最大值=k 当x<0时，y随x的增大而减小， 当x<0时，y随x的增大而增大， 增减性 当x>0时，y随x的增大而增大. 当>0时，y随x的增大而减小 y=a(x-h)2 a>0 a<0 图象 贮梁衣本 对称轴 直线x=h(平行于y轴或与y轴重合) 顶点坐标 (h,0) 增减性 当<h时，y随x的增大而减小：当x<h时，y随x的增大而增大： x>h时，y随x的增大而增大 x>h时，y随x的增大而减小 最大（小）值 当x=h时，y最小值=0 当x=h时，y餐大值=0 ≠0) 相关概念 二次函数y=ax2 的图象和性质 二次函数 二次函数y=ax2+k 的图象和性质 二次函数y=a(X h)的图象与性质 函数 y=a(x-h2+k(a>0) y=a(x-h)2+k(a<0) 图象（批物 >0,k>0 h<0,k<0 杯 h>0,k>0 h<0,k<0 h<0,k0 h>0,k<0 h<0,k>0h>0,k<0 二次函数y=a(x-h)2+k 顶点坐标 (h,k) 的图象与性质 对称轴 直线x=h 当h>0,k>0时，顶点在第-象限：当h<0,k>0时，顶点在第二象限： 顶点位置 当h<0,k<0时，顶点在第三象限：当h>0,k<0时，顶点在第四象限 开口方向 向上 向下 在对称轴左侧，即当x<h时，y随x 在对称轴左侧，即当x<h时，y随x的 特减性 的增大而减小：在对称轴右侧，即当 增大而增大：在对称轴右侧.即当x> x心h时，y随x的增大而增大 时，y随X的增大而减小 最值 当x=h时，y装小= 当x=h时，大值= 函数 y=ar2+br+c(a,b.c是常数，a≠0) 0 酒 二次函数y=ax2+bx+c 的图象和性质 对称轴 顶点坐标 如>0，当K-名，x如0.当K-名时.y随x 增减性 的增大而减小：当> 名，风省大后大空品本 x的增大而增大. x的增大而减小 物线有最低点，当x=一2品时，) 抛物战有最商点，当=一2时，) 4a 有大位，=4c 4a h2-4ac的取值 b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0 a>0 二次函数y= 有两个交点 二次函数与 am2+br+c(a≠0) (30）,(x,0) 有-个交点（二） 无交点 元二次方程的 的图象与x轴的交 关系 a<0 有两个交点 (0,(,0) 有一个交点（品 无交点 元二次方程 有两个不相等的 ar2+bx+c(a≠0)的实数 实数根 有两个相等的实数根 -b±√-4ac 名=名品 没有实数根 20 b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0 二次函数y= a>0 有两个交点 (x,0),(x2,0) 有-个交点(” 无交点 不等式 x<x或x>x2x≠x(或x≠X2) 全体实数 二次函数与 ax2+bx+c>0 -元二次不 的解集 等式的关系 不等式 ax2+bx+c<0 x<x<x 无解 无解 的解集 yt 二次函数V三 am2+bx+c的图 象与x轴的交点 有两个交点 a<0 (x,0),(x,0) 有一个交点0 无交点 不等式 ax2+bx+c>0 x<x<x 无解 无解 的解集 二次函数y三 ar2+bx+c的图 x<x或x>x x≠x(或x≠x2)》 全体实数 象与r轴的交点