专题02 锐角三角比（9知识&11题型）（期中知识清单）九年级数学上学期沪教版

专题02 锐角三角比（9知识&11题型） 【清单01】 锐角三角比的概念 1. 正弦 （1）定义：在中，，锐角的对边与_________的比叫做的正弦，记作，即； （2）符号语言:在中,，. 2.余弦 （1）定义：在中，，锐角的_________与斜边的比叫做的余弦，记作，即； （2）符号语言:在中,，. 3.正切 （1）定义：在中，，锐角的_________与_________的比叫做的正切，记作，即； （2）符号语言:在中,，. 4.余切 （1）定义：在中，，锐角的_________与对边的比叫做的余切，记作，即； （2）符号语言:在中,，. 注意： (1)在直角三角形中,锐角的正弦、余弦、正切、余切反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值,它没有单位 (2)在表示正弦、余弦、正切、余切时,单字母表示的角通常省略角的符号,而三个字母表示的角不能省略角的符号.如的正弦、余弦、正切、余切分别记为,,，;的正弦、余弦、正切、余切分别记为,，， (3),,,是完整的符号，不能写成 ,,, (5)在中，，,,的对边分别是,,.由正弦、余弦、正切、余切的定义可知 ，，，. 【清单02】 锐角三角比中的相互关系 (1) 直角三角形中要分清锐角的对边和邻边. (2) 在中，，可知,所以互余，即,. 【清单03】 锐角三角函数 对于锐角A的每一个确定的值，sin A有唯一确定的值与它对应，所以sin A是锐角A的函数.同样地cos A ,tan A，cot A也是锐角A的函数，即锐角A的正弦、余弦、正切、余切都是∠A的锐角三角函数. 【清单04】 30°,45°,60°角的三角函数值 三角比的值 角度 _________ _________ _________ _________ 提示 根据上表可直接求得特殊角的锐角三角函数值，并用来计算,反过来,已知一个特殊角的锐角三角函数值,可求出相应的锐角. 【清单05】 三角函数值的计算 逆用特殊三角函数值进行混合运算，运算顺序与之前学习的有理数运算顺序一致，注意符号和去括号错误，运算结束不要忘记检查. 【清单06】 解直角三角形 1.解直角三角形的概念 一般地,直角三角形中,除直角外,共有_________,即三条边和两个锐角.由直角三角形中的已知元素,求出其余未知元素的过程,叫做_________. (1) 在直角三角形中,除直角外的五个元素中,已知其中的两个元素(至少有一个是_________),可求出其余的三个未知元素(知二求三) (2) 一个直角三角形可解，则其面积和周长可求.但在一个解直角三角形的题中，如无特别说明，则不包括求面积和周长 2.直角三角形中五个元素（除直角外的）之间的关系 如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°， （1） 三边之间的关系：.（勾股定理） （2） ∠A＋∠B＝90° （3） 边角之间的关系： ;;; ;;;. 3.解直角三角形的类型和解法 条件 解法步骤 图示 两 边 ①两直角边 由，求； ; ②斜边,一直角边（如） 由，求； ; 一 边 一 角 一直角边 和一锐角 ③锐角,邻边 如（） ； ④锐角,对边 如（） ； ⑤斜边,锐角 如（） ； 提示 在直角三角形中,计算边时可用以下口诀: 有斜求对乘正弦,有斜求邻乘余弦,有邻求对乘正切 “有斜求对乘正弦”的意思是在直角三角形中,对一个锐角而言,如果已知斜边长，要求出该锐角的对边，那么就用斜边长乘该锐角的正弦值，其他语句的意思可类推. 4.解非直角三角形 在非直角三角形中,往往通过作三角形的高,构造直角三角形来解决,而作高时,常从非特殊角的顶点作高，一般以不破坏 30°,45°60°角为原则. 对于复杂的图形,往往通过“补形”或“分割”的方法构造出直角二角形,使问题转化为解直角三角形 注意： 在选择作哪一条边上的高时，要尽量保留三角形中的特殊角，这样便于进一步计算. 【清单07】 解直角三角形在实际问题中的应用 1. 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤 (1)将实际问题抽象为数学问题; (2)根据问题中的条件选用合适的锐角三角函数解直角三角形; (3)得到数学问题的答案; (4)得到实际问题的答案. 2.实际问题中，常见的基本图形及相应的关系式 图形 关系式 图形 关系式 (1)根据问题找到要求解的直角三角形，当没有现成的直角三角形时,适当添加辅助线构造(或分割)直角三角形 (2)有些问题中有两个(或两个以上)直角三角形,当其中一个直角三角形不能求解时,可考虑在其他直角三角形中找出含有相同的未知元素的关系式，列方程求解. 2.解直角三角形的常见类型 (1)仰角和俯角 在测量中,我们把在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的叫做仰角. 视线在水平线下方的叫俯角. 如图所示，PQ 为水平线,视线为PA时，则∠APQ为仰角;视线为PB时,则∠BPQ为俯角. 【清单08】 方向角 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角,叫_________. 如图所示，目标方向线OA，OB，OC形成的方向角分别可以表示为北偏东30°、南偏东45°、北偏西30°，其中南偏东45°习惯上又叫做东南方向,北偏东 45°习惯上又叫做东北方向，北偏西45°习惯上又叫做西北方向,南偏西45习惯上又叫做西南方向. 注意：平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解. 【清单09】 坡度与坡角 （1）坡角:坡面与水平面所成的夹角.如图中的 （2）坡度:我们通常把坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度.坡度也可写成的形式,在实际应用中常表示成_________的形式 （3）坡度与坡角的关系：_________.坡度是坡角的正切值,坡角越大，坡度也就越大 题型一、求角的正弦值 例1（24-25九年级上·上海松江·期中）已知，在中，，，，那么下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25九年级上·上海黄浦·期中）如图，在中，是边上的高，已知，．下列线段中，其长为的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25九年级上·上海浦东新·期中）在中，，那么的值等于（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25九年级上·上海杨浦·期中）计算： ． 【变式1-4】（24-25九年级上·上海浦东新·期中）已知直角三角形两直角边长分别为和，那么较小锐角的正弦值是 ． 题型二、已知正弦值求边长 例2（24-25九年级上·上海静安·期中）如果是边长为10的菱形的一个锐角，，那么这个菱形的面积是 ． 【变式2-1】（24-25九年级上·上海青浦·期中）在中，，，，那么 ． 【变式2-2】（24-25九年级上·上海杨浦·期中）已知点P位于第一象限内，，且与x轴正半轴夹角的正弦值为，那么点P的坐标是 【变式2-3】（24-25九年级上·上海黄浦·期中）如图，已知在四边形中，与相交于点，，．若，，则 ． 题型三、求角的余弦值 例3（24-25九年级上·上海虹口·期中）在中，，，，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25九年级上·上海·期中）在中，，那么的值等于（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25九年级上·上海静安·期中）如果是锐角，，那么 ． 【变式3-3】（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图，在菱形中，对角线、交于点，点是的中点，联结．如果，，那么 ． 题型四、已知余弦求边长 例4（24-25九年级上·上海杨浦·期中）已知在中，，，那么下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25九年级上·上海·期中）在直角中，，那么下列关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25九年级上·上海宝山·期中）在中，，，，那么 ．（结果用的锐角三角函数表示） 题型五、求角的正切值 例5（24-25九年级上·上海普陀·期中）已知在平面直角坐标系内有一点，那么与轴正半轴的夹角的正切值是(    ) A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25九年级上·上海虹口·期中）如图，在中，，，，则等于（   ） A． B．2 C． D． 【变式5-2】（24-25九年级上·上海·期中）在中，，如果，那么等于（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25九年级上·上海奉贤·期中）如图，在中，，是斜边上的高，若，则 ． 【变式5-4】（24-25九年级上·上海·期中）如图，将矩形绕点C顺时针旋转，点A、B、D分别落在点、、处，如果，，那么的正切值是 ． 题型六、已知正切值求边长 例6（24-25九年级上·上海宝山·期中）在中，，、、所对的边分别为，下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25九年级上·上海闵行·期中）在中，，如果，，那么 ． 【变式6-2】（24-25九年级上·上海松江·期中）已知，在中，，则 ． 【变式6-3】（24-25九年级上·上海·期中）如图，在菱形中，点E、点F分别在边边上，，四边形沿EF翻折，点C的对应点恰好落在边AB上，如果，那么的值为 ． 题型七、特殊角三角函数值的混合运算 例7（24-25九年级上·上海普陀·期中）计算：． 【变式7-1】（24-25九年级上·上海·期中）计算： 【变式7-2】（24-25九年级上·上海·期中）计算： 【变式7-3】（24-25九年级上·上海静安·期中） 题型八、解直角三角形的相关计算 例8（24-25九年级上·上海宝山·期中）已知中，，，，那么下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25九年级上·上海·期中）在锐角中，，那么 【变式8-2】（24-25九年级上·上海·期中）如果在等腰中，，那么底角的正弦值为 ． 【变式8-3】（24-25九年级上·上海闵行·期中）在中，，，，那么 ． 【变式8-4】（24-25九年级上·上海崇明·期中）如图，在中，，，． (1)求的长； (2)求的值． 【变式8-5】（24-25九年级上·上海·期中）已知：如图，在中，，点D是边的中点，，垂足为E．求： (1)线段的长； (2)的值． 题型九、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 例9（24-25九年级上·上海闵行·期中）进博会期间，从一架离地200米的无人机上，测得地面监测点的俯角是，那么此时无人机与地面监测点的距离是 米． 【变式9-1】（24-25九年级上·上海闵行·期中）如图，某兴趣小组用无人机进行航拍测高，无人机从相距米的1号楼和2号楼的地面正中间点垂直起飞到点处，测得1号楼顶部的俯角为，测得2号楼顶部的俯角为．已知1号楼的高度为20米，那么2号楼的高度为 米（结果保留根号）．    【变式9-2】（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，小明身高（即）为米，通过地面上的一块平面镜（即点C），刚好能看到前方大树（即）的树梢，此时他测得俯角为，然后他直接抬头观察树梢，测得仰角为，求树的高度．（结果保留整数米，，） 【变式9-3】（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图所示，和表示前后两幢楼，按照有关规定两幢楼问的间距不得小于楼的高度，即图中大于等于．小明想测量一下他家所住楼与前面楼是否符合规定，于是他在间的点M处架了测角仪，测得楼顶D的仰角为，已知米，测角仪距地面米． (1)问：两楼的间距是否符合规定？并说出你的理由； (2)为了知道前面楼的高度，小明又到家里（点P处），用测角仪再次测得楼顶D的仰角为，如果米，，请你来计算一下楼的高度． 【变式9-4】（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱的高为11.2米，灯柱与灯杆的夹角为，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域的长为14.7米，从、两处测得路灯的仰角分别为和，且，求灯杆的长度． 题型十、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 例10（24-25九年级上·上海普陀·期中）如果斜坡的坡比为，那么斜坡的坡角等于（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】（24-25九年级上·上海·期中）如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为，它把物体从地面点A处送到离地面2米高的B处，则物体从A到B所经过的路程为（   ）    A．4米 B．米 C．米 D．米 【变式10-2】（24-25九年级上·上海·期中）某滑雪运动员沿着坡比为的斜坡滑行了350米，那么他身体下降的高度为 米． 【变式10-3】（24-25九年级上·上海·期中）某人沿一斜坡行走，发现每走3米，则在铅锤方向上上升了1米，那么这个斜坡的坡度为 ． 【变式10-4】（24-25九年级上·上海·期中）如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为，若某物体被传送带从地面点A处经过20米传送到B处，则该物体被抬高了 米． 【变式10-5】（24-25九年级上·上海青浦·期中）有一斜坡的坡角为，坡长为米，那么斜坡的高为 ． 【变式10-6】（24-25九年级上·上海闵行·期中）某体育看台侧面的示意图如图所示，观众区的坡度为，顶端离水平地面的高度为10m，从顶棚的处看处的仰角，竖直的立杆上、两点间的距离为处到观众区底端处的水平距离为3m，求：顶棚的处离地面的高度．（，结果精确到0.1m） 题型十一、其他问题（解直角三角形的应用） 例11（24-25九年级上·上海·期中）如图，某山坡的坡面米，坡角，则该山坡的高度是（   ）米 A． B． C． D． 【变式11-1】（24-25九年级上·上海·期中）如图，为了测量河宽（假设河的两岸平行），测得，，米，则河宽为 米（结果保留根号）． 【变式11-2】（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，太阳与地面成的角，一棵倾斜的大树与地面成角，这时大树在地面的影长约为10米，则此大树约为 米． 【变式11-3】（24-25九年级上·上海·期中）根据以下素材，探索完成任务：，结果精确到0.1cm） 素材1：如图1是上海地铁里常见的一组通道闸机，当乘客扫码或刷卡后，闸机两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，这时行人即可通过．图2是两圆弧翼展开时的截面图，扇形和扇形是闸机的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对称，和均垂直于地面，，半径，点A与点D在同一水平线上，且它们之间的距离为． 素材2：小磊同学要携带如图3的长方体行李箱进站．（单位：） 问题解决 任务1 确定宽度 求闸机通道的宽度，即与之间的距离． 任务2 确定高度 若点B、E到地面的距离均为，求点A到地面的距离． 任务3 能否通过 小磊同学的行李箱是否可以通过闸机？请说明理由． 【变式11-4】（24-25九年级上·上海·期中）如图，某公园内有一座古塔，在塔的北面有一栋建筑物，某日上午9时太阳光线与水平面的夹角为 此时塔在建筑物的墙上留下了高3米的影子． 中午12时太阳光线与地面的夹角为，此时塔尖A在地面上的影子E与墙角C的距离为15米（B、E、C在一条直线上） ，求塔的高度  （结果精确到0.01米）参考数据  ． 试卷第1页，共3页 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 锐角三角比（9知识&11题型） 【清单01】 锐角三角比的概念 1. 正弦 （1）定义：在中，，锐角的对边与斜边的比叫做的正弦，记作，即； （2）符号语言:在中,，. 2.余弦 （1）定义：在中，，锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦，记作，即； （2）符号语言:在中,，. 3.正切 （1）定义：在中，，锐角的对边与邻边的比叫做的正切，记作，即； （2）符号语言:在中,，. 4.余切 （1）定义：在中，，锐角的邻边与对边的比叫做的余切，记作，即； （2）符号语言:在中,，. 注意： (1)在直角三角形中,锐角的正弦、余弦、正切、余切反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值,它没有单位 (2)在表示正弦、余弦、正切、余切时,单字母表示的角通常省略角的符号,而三个字母表示的角不能省略角的符号.如的正弦、余弦、正切、余切分别记为,,，;的正弦、余弦、正切、余切分别记为,，， (3),,,是完整的符号，不能写成 ,,, (5)在中，，,,的对边分别是,,.由正弦、余弦、正切、余切的定义可知 ，，，. 【清单02】 锐角三角比中的相互关系 (1) 直角三角形中要分清锐角的对边和邻边. (2) 在中，，可知,所以互余，即,. 【清单03】 锐角三角函数 对于锐角A的每一个确定的值，sin A有唯一确定的值与它对应，所以sin A是锐角A的函数.同样地cos A ,tan A，cot A也是锐角A的函数，即锐角A的正弦、余弦、正切、余切都是∠A的锐角三角函数. 【清单04】 30°,45°,60°角的三角函数值 三角比的值 角度 提示 根据上表可直接求得特殊角的锐角三角函数值，并用来计算,反过来,已知一个特殊角的锐角三角函数值,可求出相应的锐角. 【清单05】 三角函数值的计算 逆用特殊三角函数值进行混合运算，运算顺序与之前学习的有理数运算顺序一致，注意符号和去括号错误，运算结束不要忘记检查. 【清单06】 解直角三角形 1.解直角三角形的概念 一般地,直角三角形中,除直角外,共有五个元素,即三条边和两个锐角.由直角三角形中的已知元素,求出其余未知元素的过程,叫做解直角三角形. (1) 在直角三角形中,除直角外的五个元素中,已知其中的两个元素(至少有一个是边),可求出其余的三个未知元素(知二求三) (2) 一个直角三角形可解，则其面积和周长可求.但在一个解直角三角形的题中，如无特别说明，则不包括求面积和周长 2.直角三角形中五个元素（除直角外的）之间的关系 如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°， （1） 三边之间的关系：.（勾股定理） （2） ∠A＋∠B＝90° （3） 边角之间的关系： ;;; ;;;. 3.解直角三角形的类型和解法 条件 解法步骤 图示 两 边 ①两直角边 由，求； ; ②斜边,一直角边（如） 由，求； ; 一 边 一 角 一直角边 和一锐角 ③锐角,邻边 如（） ； ④锐角,对边 如（） ； ⑤斜边,锐角 如（） ； 提示 在直角三角形中,计算边时可用以下口诀: 有斜求对乘正弦,有斜求邻乘余弦,有邻求对乘正切 “有斜求对乘正弦”的意思是在直角三角形中,对一个锐角而言,如果已知斜边长，要求出该锐角的对边，那么就用斜边长乘该锐角的正弦值，其他语句的意思可类推. 4.解非直角三角形 在非直角三角形中,往往通过作三角形的高,构造直角三角形来解决,而作高时,常从非特殊角的顶点作高，一般以不破坏 30°,45°60°角为原则. 对于复杂的图形,往往通过“补形”或“分割”的方法构造出直角二角形,使问题转化为解直角三角形 注意： 在选择作哪一条边上的高时，要尽量保留三角形中的特殊角，这样便于进一步计算. 【清单07】 解直角三角形在实际问题中的应用 1. 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤 (1)将实际问题抽象为数学问题; (2)根据问题中的条件选用合适的锐角三角函数解直角三角形; (3)得到数学问题的答案; (4)得到实际问题的答案. 2.实际问题中，常见的基本图形及相应的关系式 图形 关系式 图形 关系式 (1)根据问题找到要求解的直角三角形，当没有现成的直角三角形时,适当添加辅助线构造(或分割)直角三角形 (2)有些问题中有两个(或两个以上)直角三角形,当其中一个直角三角形不能求解时,可考虑在其他直角三角形中找出含有相同的未知元素的关系式，列方程求解. 2.解直角三角形的常见类型 (1)仰角和俯角 在测量中,我们把在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的叫做仰角. 视线在水平线下方的叫俯角. 如图所示，PQ 为水平线,视线为PA时，则∠APQ为仰角;视线为PB时,则∠BPQ为俯角. 【清单08】 方向角 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角,叫方向角. 如图所示，目标方向线OA，OB，OC形成的方向角分别可以表示为北偏东30°、南偏东45°、北偏西30°，其中南偏东45°习惯上又叫做东南方向,北偏东 45°习惯上又叫做东北方向，北偏西45°习惯上又叫做西北方向,南偏西45习惯上又叫做西南方向. 注意：平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解. 【清单09】 坡度与坡角 （1）坡角:坡面与水平面所成的夹角.如图中的 （2）坡度:我们通常把坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度.坡度也可写成的形式,在实际应用中常表示成的形式 （3）坡度与坡角的关系：.坡度是坡角的正切值,坡角越大，坡度也就越大 题型一、求角的正弦值 例1（24-25九年级上·上海松江·期中）已知，在中，，，，那么下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【【清单】0】求角的正切值、求角的正弦值、求角的余弦值 【分析】此题主要考查了锐角三角函数的定义．先求出，再根据三角函数的定义分别求出的四个三角函数值，进而即可得出答案． 【详解】解：在中，，，，如图所示： 由勾股定理得：， ∴，，，， 故选：A． 【变式1-1】（24-25九年级上·上海黄浦·期中）如图，在中，是边上的高，已知，．下列线段中，其长为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【【清单】0】同(等)角的余(补)角相等的应用、求角的正弦值 【分析】本题考查正弦的定义及同角的余角相等，掌握是解题的关键． 【详解】解：∵是边上的高， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选A． 【变式1-2】（24-25九年级上·上海浦东新·期中）在中，，那么的值等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【【清单】0】求角的正弦值 【分析】本题考查了求角的正弦值，根据即可求解； 【详解】解：如图所示： ∵， ∴， ∴， 故选：C 【变式1-3】（24-25九年级上·上海杨浦·期中）计算： ． 【答案】 【【清单】0】求角的正弦值、求角的余弦值 【分析】本题考查了求一个角的余弦值和正切值，根据特殊角的三角函数值进行计算，即可作答． 【详解】解：， 故答案为： 【变式1-4】（24-25九年级上·上海浦东新·期中）已知直角三角形两直角边长分别为和，那么较小锐角的正弦值是 ． 【答案】 【【清单】0】用勾股定理解三角形、求角的正弦值 【分析】根据题意，首先根据勾股定理求出斜边长为，如果根据正弦的定义即可解决问题． 本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，熟知勾股定理及正弦的定义是解题的关键． 【详解】解：因为直角三角形两直角边长分别为和， 所以斜边长为：， 所以较小锐角的正弦值为：． 故答案为：． 题型二、已知正弦值求边长 例2（24-25九年级上·上海静安·期中）如果是边长为10的菱形的一个锐角，，那么这个菱形的面积是 ． 【答案】80 【【清单】0】已知正弦值求边长、利用菱形的性质求面积 【分析】本题考查了锐角三角函数、菱形的性质，掌握正弦的定义是解题的关键．先画出符合题意的菱形，作交于点，利用正弦的定义求出，再利用菱形的面积公式即可解答． 【详解】解：如图，菱形的边长为10，，作交于点， 在中，， ， 菱形的面积． 故答案为：80． 【变式2-1】（24-25九年级上·上海青浦·期中）在中，，，，那么 ． 【答案】8 【【清单】0】已知正弦值求边长 【分析】本题主要考查了解直角三角形．根据，，，解直角三角形即可得到答案． 【详解】解：如图：在中，， ，， ， 故答案为：8． 【变式2-2】（24-25九年级上·上海杨浦·期中）已知点P位于第一象限内，，且与x轴正半轴夹角的正弦值为，那么点P的坐标是 【答案】 【【清单】0】已知正弦值求边长、用勾股定理解三角形、坐标与图形 【分析】本题考查了勾股定理以及坐标与图形，解直角三角形，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得出，代入，则，然后运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，如图：过点P作轴： ∵与x轴正半轴夹角的正弦值为， ∴， ∵， ∴， 则， ∴， 故答案为：． 【变式2-3】（24-25九年级上·上海黄浦·期中）如图，已知在四边形中，与相交于点，，．若，，则 ． 【答案】 【【清单】0】已知正弦值求边长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及三角函数的定义，垂线定义．解题时要注意相似三角形的面积比等于相似比的平方，有两角对应相等的三角形相似与有两边对应成比例且夹角相等三角形相似的性质的应用．由、可得，又由对顶角相等，根据有两角对应相等的三角形相似，易得，即可得到比例线段，再由，即可证得；由可得，又由相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求得的值． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型三、求角的余弦值 例3（24-25九年级上·上海虹口·期中）在中，，，，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【【清单】0】求角的余弦值 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，结合题意再根据直角三角形中余弦的定义得，代值计算即可． 【详解】解：根据题意，得． 故选：B． 【变式3-1】（24-25九年级上·上海·期中）在中，，那么的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【【清单】0】求角的余弦值 【分析】本题主要考查三角形定理和求一个锐角的余弦值，根据三角形定理求出，再求出即可 【详解】解：在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A 【变式3-2】（24-25九年级上·上海静安·期中）如果是锐角，，那么 ． 【答案】 【【清单】0】根据特殊角三角函数值求角的度数、求角的余弦值 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值，先求出，再代入即可求出答案． 【详解】解：∵是锐角，， ∴， ∴， 故答案为： 【变式3-3】（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图，在菱形中，对角线、交于点，点是的中点，联结．如果，，那么 ． 【答案】 【【清单】0】利用菱形的性质求线段长、求角的余弦值 【分析】本题考查了求角的余弦根据、分别是、的中点，知是中位线得，连接，根据菱形的性质知与垂直平分，根据余弦的定义，即可求解. 【详解】解：在菱形中，是的中点， 也是对角线的交点，且与垂直平分， 、分别是、的中点， ∴， ∴ 在中，，, ∴ 故答案为： 题型四、已知余弦求边长 例4（24-25九年级上·上海杨浦·期中）已知在中，，，那么下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【【清单】0】已知余弦求边长 【分析】本题主要考查了求角的余弦值，等式的性质等【清单】0，牢记余弦的定义是解题的关键． 根据余弦的定义可得，然后利用等式的性质即可得出答案． 【详解】解：如图， ， ， 故选：． 【变式4-1】（24-25九年级上·上海·期中）在直角中，，那么下列关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【【清单】0】已知正弦值求边长、已知正切值求边长、已知余弦求边长 【分析】根据三角函数的定义判断解答即可． 本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：画图如下： A. ，故选项错误，不符合题意；     B. ，故选项正确，符合题意；     C. ，故选项错误，不符合题意；     D. ，故选项错误，不符合题意； 故选：B． 【变式4-2】（24-25九年级上·上海宝山·期中）在中，，，，那么 ．（结果用的锐角三角函数表示） 【答案】 【【清单】0】已知余弦求边长 【分析】本题主要考查了解直角三角形，根据余弦的定义可得． 【详解】解：在中，，，， ∴， 故答案为：． 题型五、求角的正切值 例5（24-25九年级上·上海普陀·期中）已知在平面直角坐标系内有一点，那么与轴正半轴的夹角的正切值是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【【清单】0】求角的正切值、求点到坐标轴的距离 【分析】本题考查了解直角三角形，坐标与图形性质，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．过点作轴，垂足为，根据已知易得：，，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：如图：过点作轴，垂足为， 点 ，， 在中，， 故选：B． 【变式5-1】（24-25九年级上·上海虹口·期中）如图，在中，，，，则等于（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【【清单】0】求角的正切值 【分析】本题考查了正切的定义，根据正切的定义计算即可得解，熟练掌握正切的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 故选：B． 【变式5-2】（24-25九年级上·上海·期中）在中，，如果，那么等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【【清单】0】求角的正切值 【分析】本题考查求角的余切值，根据余切的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴； 故选A． 【变式5-3】（24-25九年级上·上海奉贤·期中）如图，在中，，是斜边上的高，若，则 ． 【答案】/0.75 【【清单】0】求角的正切值 【分析】此题考查的是锐角三角函数的定义及互余角的三角函数值，正确得出各边之间的关系是解决问题的关键． 【详解】解：如图：∵垂足为，， 令，，则， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 【变式5-4】（24-25九年级上·上海·期中）如图，将矩形绕点C顺时针旋转，点A、B、D分别落在点、、处，如果，，那么的正切值是 ． 【答案】7 【【清单】0】根据矩形的性质求线段长、求角的正切值、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了矩形的性质和判定，三角函数，旋转的性质，解题的关键是正确的作出辅助线，综合运用以上知识；连接，延长交于E，证明四边形是矩形，根据矩形的性质分别求出，，再根据正切的定义求值即可． 【详解】解：如图，连接，延长交于E， 将矩形绕点C顺时针旋转， ，，，， 四边形是矩形， ，，， ，， 的正切值为， 故答案为：7． 题型六、已知正切值求边长 例6（24-25九年级上·上海宝山·期中）在中，，、、所对的边分别为，下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【【清单】0】已知正切值求边长 【分析】本题考查锐角三角函数；根据锐角三角函数，确定中各角的三角函数值，进行判断即可． 【详解】解：如图所示，    A、由，可得，本选项不符合题意； B、由，可得，本选项不符合题意； C、由，可得，本选项符合题意； D、由，可得，本选项不符合题意； 故选：C． 【变式6-1】（24-25九年级上·上海闵行·期中）在中，，如果，，那么 ． 【答案】 【【清单】0】已知正切值求边长 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，利用正切的定义计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4． 【变式6-2】（24-25九年级上·上海松江·期中）已知，在中，，则 ． 【答案】8 【【清单】0】已知正切值求边长 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据锐角三角函数的定义得，再根据，即可得出的长． 【详解】解：在中，，， ∵， ∴． 故答案为：8． 【变式6-3】（24-25九年级上·上海·期中）如图，在菱形中，点E、点F分别在边边上，，四边形沿EF翻折，点C的对应点恰好落在边AB上，如果，那么的值为 ． 【答案】 【【清单】0】用勾股定理解三角形、已知正切值求边长、折叠问题、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题主要考查折叠的性质，菱形的性质，锐角三角函数，熟练掌握以上知识是解题的关键．过，设与交于，根据折叠的性质得垂直平分，再由菱形的性质得，再根据正切函数的定义得出，设则，由勾股定理求出，即可得出结果． 【详解】过，设与交于， 有折叠可知，垂直平分， ，， 四边形为菱形， ， ， ， ， ， ， ， ， 设则， ， ， ， 故答案为：． 题型七、特殊角三角函数值的混合运算 例7（24-25九年级上·上海普陀·期中）计算：． 【答案】 【【清单】0】特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答． 【详解】解： ． 【变式7-1】（24-25九年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【【清单】0】特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，将特殊角的三角函数值代入，再根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 【变式7-2】（24-25九年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【【清单】0】实数的混合运算、利用二次根式的性质化简、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，分母有理化，二次根式的化简，熟练掌握三角函数值，分母有理化是解题的关键．根据特殊角的三角函数值代入计算，化简解答即可． 【详解】 ． 【变式7-3】（24-25九年级上·上海静安·期中） 【答案】 【【清单】0】特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，代入特殊角三角函数值进行计算即可． 【详解】解： 题型八、解直角三角形的相关计算 例8（24-25九年级上·上海宝山·期中）已知中，，，，那么下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【【清单】0】解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了三角函数的定义，先利用勾股定理求出斜边的长，再根据锐角三角函数的定义分别求出各个三角函数值，再进行判断即可，熟知三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：如图， 在中，，，， ∴， 、，原选项符合题意； 、，原选项不符合题意； 、，原选项不符合题意； 、，原选项不符合题意； 故选：． 【变式8-1】（24-25九年级上·上海·期中）在锐角中，，那么 【答案】 【【清单】0】解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查解直角三角形，过点作，根据，得到，勾股定理求出，再根据正弦的定义进行求解即可． 【详解】解：如图，过点作，则：， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式8-2】（24-25九年级上·上海·期中）如果在等腰中，，那么底角的正弦值为 ． 【答案】 【【清单】0】解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形、三线合一 【分析】本题考查了正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值，也考查了等腰三角形的性质．过A作于D点，根据等腰三角形的性质得到，由勾股定理求出，而，在中，根据正弦的定义即可求解． 【详解】解：过A作于D点，如图， ， ， ∴． 在中， ， 故答案为：．    【变式8-3】（24-25九年级上·上海闵行·期中）在中，，，，那么 ． 【答案】 【【清单】0】解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查解直角三角形，先根据余弦定义求得，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图， ∵在中，，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式8-4】（24-25九年级上·上海崇明·期中）如图，在中，，，． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【【清单】0】解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形、求角的余弦值 【分析】本题考查直角三角形，解题的关键是熟练运用勾股定理以及锐角三角函数的定义． （1）根据锐角三角函数的定义即可求出答案； （2）根据勾股定理求出，然后根据余弦的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴，即 ∴； （2）∵，， ∴ ∴． 【变式8-5】（24-25九年级上·上海·期中）已知：如图，在中，，点D是边的中点，，垂足为E．求： (1)线段的长； (2)的值． 【答案】(1)4 (2) 【【清单】0】解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了解直角三角形，熟知在锐角的三角函数中，已知其中的一个就可求出另外几个，并且三角函数值的大小只与角的大小有关，而与所在三角形无关，且熟练掌握【清单】0是解题的关键． （1）在中，根据的正弦即可求得，根据勾股定理即可求得，进而得到的长； （2）根据，只要在直角中求出的余弦值即可． 【详解】（1）解：在中， ∵， ∴， ∴， ∵点D是边的中点， ∴； （2）解：在中， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型九、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 例9（24-25九年级上·上海闵行·期中）进博会期间，从一架离地200米的无人机上，测得地面监测点的俯角是，那么此时无人机与地面监测点的距离是 米． 【答案】 【【清单】0】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查的是解直角三角形-仰角俯角问题，根据正切的定义求出，即可得到答案． 【详解】解：如图， 在中，米，， ∴， ∴（米）， 故答案为：． 【变式9-1】（24-25九年级上·上海闵行·期中）如图，某兴趣小组用无人机进行航拍测高，无人机从相距米的1号楼和2号楼的地面正中间点垂直起飞到点处，测得1号楼顶部的俯角为，测得2号楼顶部的俯角为．已知1号楼的高度为20米，那么2号楼的高度为 米（结果保留根号）．    【答案】 【【清单】0】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形．过点E作于，于，先利用正切三角函数可求出的值，在中，求出的值，然后根据线段的和差即可得出答案． 【详解】解：如图，过点E作于，于，      则四边形和四边形均为矩形， ， 由题意得：米，米，米，，， 在中，，即， 解得（米）， 米， 在中，，，， 米， （米）， 答：2号楼的高度是米． 故答案为：． 【变式9-2】（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，小明身高（即）为米，通过地面上的一块平面镜（即点C），刚好能看到前方大树（即）的树梢，此时他测得俯角为，然后他直接抬头观察树梢，测得仰角为，求树的高度．（结果保留整数米，，） 【答案】米． 【【清单】0】根据矩形的性质与判定求线段长、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】此题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定和性质等知识．作于点F，证明四边形是矩形，设米，由题意可得，，则米，米，则，得到，即可求出树的高度． 【详解】解：作于点F，则， ∴四边形是矩形， 由题意可得，， 则米， 设米，则米， 米， 在中，， ∴， 即 解得， 答：树的高度约为米． 【变式9-3】（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图所示，和表示前后两幢楼，按照有关规定两幢楼问的间距不得小于楼的高度，即图中大于等于．小明想测量一下他家所住楼与前面楼是否符合规定，于是他在间的点M处架了测角仪，测得楼顶D的仰角为，已知米，测角仪距地面米． (1)问：两楼的间距是否符合规定？并说出你的理由； (2)为了知道前面楼的高度，小明又到家里（点P处），用测角仪再次测得楼顶D的仰角为，如果米，，请你来计算一下楼的高度． 【答案】(1)两楼的间距符合规定，理由见解析 (2)37.5米 【【清单】0】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，题目中涉及到了仰角的问题，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解． （1）过点作于点，在中，由得到，比较与即可； （2）延长，交于，由，可得，由正切函数可求得，设，则，，列方程可求得结论． 【详解】（1）解：过点作于点， 在中， ， ，，米，米， ∴， 两楼的间距符合规定； （2）解：延长，交于， 则，（米）， ， ， （米）， 设，则， ， ， 解得，即米， （米， 楼的高度为37.5米． 【变式9-4】（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱的高为11.2米，灯柱与灯杆的夹角为，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域的长为14.7米，从、两处测得路灯的仰角分别为和，且，求灯杆的长度． 【答案】灯杆的长度为2.8米 【【清单】0】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题主要考查解直角三角形−仰角俯角问题，解题的关键是结合题意构建直角三角形并熟练掌握三角函数的定义及其应用能力．过点A作，交于点F，过点B作，交于点G，则．设知、，由求得，据此知，再求得可得． 【详解】解：过点A作，交于点F，过点B作，交于点G，则， 由题意得． 设． ∵， ∴． 在中， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴， 答：灯杆的长度为2.8米． 题型十、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 例10（24-25九年级上·上海普陀·期中）如果斜坡的坡比为，那么斜坡的坡角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【【清单】0】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了三角函数的应用，掌握特殊角的正切值是解题的关键．坡角的正切值等于坡比，即可求解． 【详解】解：设斜坡的坡角为，依题意， ∴斜坡的坡角等于 故选：A． 【变式10-1】（24-25九年级上·上海·期中）如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为，它把物体从地面点A处送到离地面2米高的B处，则物体从A到B所经过的路程为（   ）    A．4米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【【清单】0】用勾股定理解三角形、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题主要考查解直角三角形的实际应用，勾股定理，解决问题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形． 【详解】解：过点B作于点C， ∵传送带和地面所成斜坡的坡度为，米 ∴ ， ∴米， 在中，， 由勾股定理得米 ， 故选：D．    【变式10-2】（24-25九年级上·上海·期中）某滑雪运动员沿着坡比为的斜坡滑行了350米，那么他身体下降的高度为 米． 【答案】 【【清单】0】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查解直角三角形，设运动员身体下降的高度为米，根据坡比得到运动员水平方向移动了米，利用勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】解：设运动员身体下降的高度为米， ∵坡比为， ∴运动员水平方向移动了米， 由勾股定理，得：，解得：（负值已舍去）； 故答案为：． 【变式10-3】（24-25九年级上·上海·期中）某人沿一斜坡行走，发现每走3米，则在铅锤方向上上升了1米，那么这个斜坡的坡度为 ． 【答案】 【【清单】0】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查勾股定理的应用以及坡度的定义，理解并掌握坡度的定义和计算方法是解题关键．先求出这个人走的水平距离，再根据坡度的定义即可求解．坡度通常写成的形式． 【详解】解：如图，由题意可得：，，， ∴， ∴这个斜坡的坡度为； 故答案为： 【变式10-4】（24-25九年级上·上海·期中）如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为，若某物体被传送带从地面点A处经过20米传送到B处，则该物体被抬高了 米． 【答案】 【【清单】0】用勾股定理解三角形、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，先由坡度为得出，再设，运用勾股定理列式，解出的值，即可作答． 【详解】解：如图： ∵传送带和地面所成斜坡的坡度为， ∴， ∴设， ∵某物体被传送带从地面点A处经过20米传送到B处， ∴米， ∴在中，， 则， 解得， ∴该物体被抬高了米． 故答案为：． 【变式10-5】（24-25九年级上·上海青浦·期中）有一斜坡的坡角为，坡长为米，那么斜坡的高为 ． 【答案】米 【【清单】0】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．熟练掌握是解题的关键． 如图，由题意知，，，则，计算求解即可． 【详解】解：如图， 由题意知，，， ∴， 故答案为：米． 【变式10-6】（24-25九年级上·上海闵行·期中）某体育看台侧面的示意图如图所示，观众区的坡度为，顶端离水平地面的高度为10m，从顶棚的处看处的仰角，竖直的立杆上、两点间的距离为处到观众区底端处的水平距离为3m，求：顶棚的处离地面的高度．（，结果精确到0.1m） 【答案】约 【【清单】0】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——俯仰角问题，涉及到了对坡度概念的理解，解题关键是掌握相关概念，正确构造直角三角形利用三角函数值求解． （1）利用坡度的计算公式即可直接求解； （2）按如图所示构造直角三角形，利用三角函数值求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 如图，过D点作与平行，交于点G， , 四边形是矩形， ∴，, ∵， ∴ ∴， 答：的高度约为． 题型十一、其他问题（解直角三角形的应用） 例11（24-25九年级上·上海·期中）如图，某山坡的坡面米，坡角，则该山坡的高度是（   ）米 A． B． C． D． 【答案】D 【【清单】0】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题主要题考查了解直角三角形的应用，在中，由，即可得出的长度． 【详解】解：在中，， ∵坡面米，坡角， ∴该山坡的高度， 故选：D． 【变式11-1】（24-25九年级上·上海·期中）如图，为了测量河宽（假设河的两岸平行），测得，，米，则河宽为 米（结果保留根号）． 【答案】 【【清单】0】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用．先根据三角形外角的性质求出的度数，判断出的形状，再由锐角三角函数的定义即可求出的值． 【详解】解：，， ， 米， 在中， (米)． 故答案是：． 【变式11-2】（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，太阳与地面成的角，一棵倾斜的大树与地面成角，这时大树在地面的影长约为10米，则此大树约为 米． 【答案】 【【清单】0】等腰三角形的性质和判定、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】此题考查了等腰直角三角形的判定和性质、解直角三角形等知识．作交的延长线于Q，，，设米，则米，由题意可知，米，在中，米，，得到米，则，解方程后即可求出答案． 【详解】解：如图，作交的延长线于Q，则， ，， ∴，是等腰直角三角形， ∴， 设米，则米，由题意可知，米， 在中，米，， ∴米， ∴， 解得， ∴米， 即此大树约为米． 故答案为：． 【变式11-3】（24-25九年级上·上海·期中）根据以下素材，探索完成任务：，结果精确到0.1cm） 素材1：如图1是上海地铁里常见的一组通道闸机，当乘客扫码或刷卡后，闸机两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，这时行人即可通过．图2是两圆弧翼展开时的截面图，扇形和扇形是闸机的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对称，和均垂直于地面，，半径，点A与点D在同一水平线上，且它们之间的距离为． 素材2：小磊同学要携带如图3的长方体行李箱进站．（单位：） 问题解决 任务1 确定宽度 求闸机通道的宽度，即与之间的距离． 任务2 确定高度 若点B、E到地面的距离均为，求点A到地面的距离． 任务3 能否通过 小磊同学的行李箱是否可以通过闸机？请说明理由． 【答案】任务1：  任务2：   任务3：小磊同学推着“”的箱子时，可以通过闸机 【【清单】0】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是作辅助线构造直角三角形． 任务1：连接，并向两边延长，分别交，于点，，由两圆弧翼成轴对称可得，在中， ，进而作答即可； 任务2：过点作垂直于地面于点，过点作交于点，在中， ，即可求出距离； 任务3：根据与之间的距离约为，即可说明小磊的行李箱是否可以通过闸机. 【详解】任务1：如图，连接，并向两边延长，分别交，于点，， 由题意得 ∴的长度就是与之间的距离， 由两圆弧翼成轴对称可得， 在中， ， ， ∴与之间的距离约为； 任务2：如图，过点作垂直于地面于点，过点作交于点， 可得， 在中，， ∴ ∵点，到地面的距离均为， ∴， ∴， 答：点到地面的距离约为； 任务3：∵与之间的距离约为， ∴当小磊同学推着“”的箱子时，可以通过闸机． 【变式11-4】（24-25九年级上·上海·期中）如图，某公园内有一座古塔，在塔的北面有一栋建筑物，某日上午9时太阳光线与水平面的夹角为 此时塔在建筑物的墙上留下了高3米的影子． 中午12时太阳光线与地面的夹角为，此时塔尖A在地面上的影子E与墙角C的距离为15米（B、E、C在一条直线上） ，求塔的高度  （结果精确到0.01米）参考数据  ． 【答案】塔高约为米 【【清单】0】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，如图：过点作 ， 垂足为点，设，则，然后解直角三角形即可解答；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 【详解】解∶ 过点作 ， 垂足为点． 由题意，得 ． 设，则． 在中，，， ∴， ． 在 中，． ∴，即：， 解得： 故塔高约为米． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $在非直角三角形中，往往通过作三角形的高，构造直角三角形来解决， 而作高时，常从非特殊角的顶点作高，一般以不破坏30°，45°60°角为原则 解非直角三角形 图形 关系式 图形 关系式 BD=CE,AC=BC.tan a, BC=DC-BD= AE=AC+CE AD.(tan a-tan B) AB=DE= BD=BC-DC= AE.tan B. 实际问题 CD=CE+DE= AE.(tan a+tan B) AG=AC+CG= AC+BE BC=BD+DC= BC=BE+EF+CF =BEtAD+CF= 方向角、坡度与坡角 绌，三厚翅 H单三典特 函冉三牲军针 A琪三琪 ∠A的对边 正弦 sin A= 斜边 cosA= ∠A的邻边 余弦 斜边 ∠A的对边 正切 tan A= ∠A的邻边 ∠A的邻边 余切 cot A= ∠A的对边 三角比的值 % 角度a sin a cosa —2 tan a 5 1 cota 3 三边之间的关系 a2+b2=c2 ∠A+∠B=90° 5个元素 sind=a:cos4:tn=a c C 边角之间的关系 sin B=b :cosB-a;tanB= b a cotB=a b 由amA号求∠A: 两直角边 ∠B=90°-∠A; c=va2+b2 两边 由m4=总象4： 斜边，一直角边 ∠B=90°-∠A; b=vc2-a2 ∠B=90°-∠A: 类型 a=b.tan A; 锐角邻边 b C= cosA ∠B=90°-∠A: 边一角 一直角边 b=a.cot A; 和一锐角 锐角，对边 a C= sin A ∠B=90°-∠A: 斜边，锐角 a=c.sin A; b=c.cos A