28.1 锐角三角函数（课外拓展提高）-【学海风暴】2025-2026学年九年级下册数学同步备课（人教版 江西专版）

第二十八章锐角三角函数 28.1锐角三角函数 第1课时正弦 1.C 2.A【解析】如图，过点A作BC的垂线，交BC的延长 线于点M. ,每个小正方形的边长均为1，则由勾股定理，得 AM=√2+2=22，AB=√2+6=2/10. 在RAABM中，nB是息 5 3.B【解析】如图，过点C作CH⊥AB于 B 点H.在R1△ACH中，AC=3,CH=2 i∠CH=是=子即sm∠BMC 4.8E【解桥】：∠C=90,∴sn∠CBD=CD-三 CD=6,品=合解得BD=10,5C √BD-CD-√0-6=8.：△ABC是等腰直角 三角形，.AC=BC=8,∴.AB=AC+BC 8+8=8E 5 5.后【解析】CD⊥AB,∠OBC=90,CE=ZCD 2×24=12. :AB=26∴0C=2AB=13. 在Rt△OCE中，OC=13.CE=12. ∴0E=OC-CE=/13-12=5. sinC=OE 5 0c13 6.号【解析：a+lc-10+√-8=12a-36. .a2-12a+36+|e-10|+/6-8=0. .(a-6)2+1c-10|+6-8=0, a一6=0，c一10=0，b一8=0， .a=6,c=10,b=8. .'a2+b2=62+8=102=c2,.∠C=90°， B=2品- 70 10 【解析】由折叠可知，AE=AE,A'B=AB=6, ∠BAE=∠A=90°，·∠BA'C=90°.在Rt△A'CB 中，A'C=√BC-AB=8.设AE=x,则A'E=x, 金34 九年级数学RJ版 .DE=10-x,CE=A'C+A'E=8+x.在R1△CDE 中，根据勾股定理，得(10一x)+6=(8+x),解得x =2,AE=2.在R1△ABE中，BE=√AB+AE= 210,∴.sin∠ABE= AE 10 BE 101 8.解：(1)如图所示」 (2),AB是⊙O的直径，∴.∠ACB=90 在Rt△ABC中，：AC=8,BC=6, ∴.AB=√AC+BC=10..OD=5. ,OD⊥AC,OA=OB, .OE是△ABC的中位线， 0E=2BC=3,即点0到AC的距离为3. DE=OD-0E-5-3=2,CE=7AC=4. ∴.CD=DE+EC=2+4F=25. c0器弟号 第2课时余弦和正切 1.D【解析】如图，过点C作CE⊥AB于点E. 设小正方形的边长为1.由图可知， △BEC是等腰直角三角形， ∴CE=BE= 乞，AB=月+3 3E. :AE=AB-B批=3E-号多E. 2 CE 2 在R1AAEC中，am∠EACA正2E 即tan∠BAC的值是 1 2.D【解析】由题意，得AB=8,CH=3, .0A-OH=3. OH⊥AB,OC为半径， ∴AH=BH=乞AB=4 在Rt△OAH中，由勾股定理，得AH十OH=OA, :.4=0A-OH,=(0A+0H)(OA-OH). .0A+OH.0AOH ∴.cos∠OAB AH424 0A2525 6 3.A【解析】：四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC=8,DC=AB=6. 由折叠的性质，得AF=AD=8,∠AFE=∠D=90, ∴.BF=AF-AB=√-6=27，∠CFE ∠AFB=90° ∠CFE+∠CEF-90,∴∠CEF=∠AFB, ·cos∠CEF=os∠AFB=BF-2F-E AF 84 4.A【解析】如图，连接AD. ,AB=AC=5,BC=6,D为BC的 中点， AD LBC.BD-TBC-3. ∴∠BAD=90°-∠B,AD=AB-BD=-3 =4. :DE⊥AB,∴∠BDE=90°-∠B, ∴.∠BAD=∠BDE. 在R△ABD中，mBAD-沿-三 ∴oBDE=0BAD=手 4 5.3【解析】由题意，得OE⊥CD.又：AC⊥CD,AC OE.∴∠A=a.同理可得∠B=g. a=B,∴∠A=∠B. 由题意，得∠ACO=∠BDO,.△AOC△BOD, %品即2 解得OC=4, OC 4 '.tana=tanA-AC-3 6.一6【解析】如图，分别过点A,B 作AC⊥x轴于点C,作BD⊥x 轴于点D,则∠BDO=∠ACO= 90°..∠BOD+∠OBD=90°. OA⊥OB,∴.∠BOD+∠AOC =90°， .∠OBD=∠AOC,∴.△OBD△AOC, OA OB) =(tan∠ABO)=3 XSw-2X2-1..S.om-3..k--6. BC4 7.解：(1)"，'AC⊥BD,cos∠ABC= AB=5BC=8. .AB=10. 在Rt△ACB中，由勾股定理，得AC=√AB一BC= /10-8=6. (2)如图，连接CF,过点F作FE⊥ BD,垂足为E. :BF为AD边上的中线，即F为B AD的中点，dCF=AD=FD, 在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD=√AC+CD 6+4=21,.CF=13. :△CFD为等腰三角形，FE⊥CD.·.CE=7CD =2 在R△EFC中，EF=√CF-CE=3, tan∠FBD= FEFE 3 BE BC+CE 10 ◆一题多解法● (2)如图，过点F作FE⊥BD, 垂足为E. BF为AD边上的中线，∴.F 是AD的中点. FE⊥BD,AC⊥BD, .FE∥AC,∴.FE是△ACD的中位线， :.FE= AC-3.CE- CD-2 FE FE 在Ri△BFE中，tn∠FBD= BE BC+CE 0 第3课时特殊角的三角函数值 1.B2.B3.D4.B 5.C【解析】令∠A=45,∠C 30°，如图，过点B作BH⊥AC, 垂足为H 在Rt△BHC中， ∠C=30,∴BC=2BH. 在Rt△BHA中，sinA=sin45°= BH 2 AB 2 ..AB=/BH. M=s5-器 =反 6.A【解析】：点O到△ABC三边的距离相等， .BO平分∠ABC,CO平分∠ACB, ∴∠A=180°-（∠ABC+∠ACB)=180-2(∠OBC 十∠OCB)=180°-2×(180°-∠B0C)=180°-2× (180°-120)=60°..tanA=tan60°=/5. 7.18.55° 号 10.5【解析】由题意，得1一tana=0.即tana=1, a=45 原式=sin60°+cos30°= 1.+E 4 【解析】sin75=sin(45+30) =sin45cos30°+cos45sinm30° 号×9号×名+卫 入2 4 12.π【解析】如图，连接OD,BD. tan∠ACD=5, .∠ACD=60°. 下册参考答案 35△ :AB是⊙O的直径， .∠ACB=∠ADB=90, .∠BAD=∠BCD=30°， AD :∠BOD=2∠BCD=60·AB 00s30°= 2 :AD=33 ∴.AB=6,.OB=3, BD的长为60rX3 180 8部，原式号×号-厅号 入23 =1+-1 =6 (3)原式=3× 3 -x1x+4x =5-5+2 =2. 14.解：∠A=60°..tanA=尽. :tanA,cosB为一元二次方程2x2一3m.x+3=0的 两个实数根，aA·msB=子， ·cosB=E 2 :∠B为锐角，∠B=30, .∠C=180°-∠A-∠B=90°. ∴.△ABC是直角三角形. 一◆一题多解法《 :∠A=60°.∴.tanA=5 把x=3代人方程2x2一3m.x+3=0,得2× (3)-3m+3=0,解得m=. 把m=代入方程2.x2一3m.x+3=0. 得2x2-33x+3=0. 第得=。 oh=号 :∠B为锐角.·∠B=30°， .∠C=180-∠A-∠B=90 ·△ABC是直角三角形 15.解：(1)1 (2)sin1+sin2°+sin3+…+sin'89 =(sin1°+sin89)+(sin2°+sin88)+…+sin45° 36 九年级数学RJ版 =1+1+…+1+ 、1 =+ 89 =2 16.解：(1)，∠B=45,∠C=75°， ·∠A=180°-∠B-∠C=60° 6 sinA sinB sinC 6 b n60-sn456=26. AB (2) AC ,sin∠ACB sinB1 .1014 55 sinBsinB= 2∠B=60、 14 CD .tanB-BD cD. 由勾股定理，得AC=CD2十AD 196=cp+(10-5cnj八. ∴.CD=85(负值已舍去)， ∴景观桥CD的长度为85m. 28.2解直角三角形及其应用 28.2.1解直角三角形 1.C 2.5【解析】如图，过点C作CD⊥ AB于点D. 在R1△ACD中，∠A=30°， AC=23, ∴CD=AC.sin30=5, AD=AC·c0s30°=3. 在R△BCD中，anB- BD' 品专0=8 AB=AD+BD=3+2=5. 3.2【解析】如图，过点A作AD⊥ BC,垂足为D. 设AC=r,则AB=2x 在Rt△ACD中，AD=AC·sinC 乞x,CD=AC·osC=E7 2 在R1△ABD中，AB=Ex,AD- 2T. BD-/AB-AD 2 .BC=BD+CD= ?x+2=6+E, .x=2.即AC=2.第二十八章 28.1锐 冒第1课时 正弦 1.如图，在Rt△ABC中，CD为斜边 AB上的中线.已知CD=2,AC= 3,则sinB的值为 B A号 4 b 第1题图 c 2.(2025六安金寨期末)如图，在网格中，每个 小正方形的边长均为L.若点A,B,C都在 格点上，则sinB的值为 第2题图 第3题图 3.如图，在由边长为1的小正方形组成的3×3 的网格中，点A,B均在小正方形的顶点上， 以点A为圆心，AB的长为半径作弧，图中 的C为该弧与网格线的交点，则sin∠BAC 的值为 ( A 2 B. c D. 4.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°， D是AC上一点.如果CD=6,sin∠CBD 子，那么AB的长为 第4题图 第5题图 锐角三角函数 角三角函数 (建议用时：30分钟) 5.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB,垂足 为E.如果AB=26,CD=24,那么sinC= 6.在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别为 a,b,c,且满足a2+|c-10|+6-8=12a- 36,则sinB的值为 7.如图，在矩形ABCD中，AB =6,BC=10,将矩形ABCD 沿BE折叠，点A落在A'处. 若EA'的延长线恰好过点C, 第？题园 则sin∠ABE的值为 8.如下图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上， 且AC=8,BC=6. (1)尺规作图：过点O作AC的垂线，交劣弧AC 于点D,连接CD(保留作图痕迹，不写作法) (2)在(1)所作的图形中，求点O到AC的距 离及sin∠ACD的值. 下册课外拓展提高 99 冒第2课时余弦和正 1.如图，点A,B,C都在正方形网格的格点（正 方形的顶点)上，连接AC,AB,则tan∠BAC 的值是 4 5 .2 C. 0.5 0 第1题国 第2题图 2.古代数学文化《九章算术》是我国古代数学 成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧 田面积的所用公式为弧田面积=（弦×矢 十矢).弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦 所围成的，公式中的“弦”指圆弧所对弦长 AB,“矢”等于半径长与圆心O到弦的距离 之差CH.在如图所示的弧田中，“弦”为8， “矢”为3，则cos∠OAB的值为 ( A号 B号 c专n 3.(教材变式)如图，在矩形ABCD中，AB=6, BC=8,点E在DC上.把△ADE沿AE折 叠，点D恰好落在BC边上的点F处，则 cos∠CEF的值为 4 B.3 c D.4 …:0 D 第3题图 第4题图 4.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=5, BC=6,D为BC的中点，DE⊥AB于点E, 则cos∠BDE的值等于 A. 4 3 b c D.6 4444 100 九年级数学RJ版 切（建议用时：30分钟） 5.如图，CD是平面镜，光线从A点出发经CD 上O点反射后照射到B点，若入射角为a, 反射角为3，AC⊥CD于点C,BD⊥CD于 点D,且AC=3,BD=6,CD=12,则tana 的值为 第5题图 第6题图 6.如图，已知第一象限内的点A在反比例函数 y=二的图象上，第二象限的点B在反比例 函数y=二的图象上，且OA⊥OB,tanB= 名则k 7.一题多解法如下图，已知△ABD中，AC⊥ BD,BC=&,CD=4,cos∠ABC=5,BF为 4 AD边上的中线. (1)求AC的长. (2)求tan∠FBD的值. 冒第3课时特殊角的三角 1.(2025赣州南康区模拟)若0°<0<90°，且 mg-引+(o0-)=0，则am的值 等于 A.3 c.2 D③ 2.下列计算错误的个数是 ①sin60°-sin30°=sin30°：②sin245°+cos245 1:图an2600④an30°-9 sin30 c0s30 A.1 B.2 C.3 D.4 3.如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，与 射线OM交于点A.再以点A为圆心，AO 的长为半径画弧，两弧交于点B,画射线 OB,则sinO的值为 ( ) A.可 B号 C.5 0 AM 309 第3题图 第4题国 4.爬坡时坡面与水平面夹角为a,则每爬1m 耗能(1.025一cosa)J.如图，若某人爬了 1000m,该坡角为30°，则他牦能约（参考数 据：3≈1.732,2≈1.414) ( A.58JB.159JC.1025JD.1732J 5.新定义题定义：在∠C=30°的△ABC中， 我们把∠A的对边与∠C的对边的比叫做 ∠A的“邻弦”，记作thiA,即hiA= BC AB thi45的值为 () A号 B.1 C.2D.月 6.如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相 等.若∠BOC=120°，则tanA的值为() A.5 函数值（建议用时：45分钟） 第6题图 第9题图 7.计算：l5-2|+2sin60°-2025°= 8.已知锐角a满足2cos(a一10)=1，则锐角 a的度数为 9.如图，一束平行于主光轴的光线AB经凸透 镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的 光线相交于点P,点F为焦点.若∠1= 160°，∠2=25°，则∠3的正弦值为 10.已知a为锐角，当-ia 一无意义时，sin(a 十15°)十c0s(a一15°)的值为 11.定义一种运算：sin(a十3)=sinacos3十 cosa sinB,sin(a-B)=sina cosp-cosa sinB. 例如：当a=60°，3=45时，sin(60°-45°)= 5×E-×E-6- 2-2 2 4 .sin75的值为 12.如图，AB是⊙O的直径， ⊙O上的点C,D在直径 AB的两侧，连接AC,BC, AD,CD.若AD=33, 第12题图 tan∠ACD=5,则BD的 长为 13.计算： (1)sin45cos45°-tan60°÷cos30. 644444 下册课外拓展提高 101 (2)tan45°+4cos30sin45°- 3tan60 (3)3tan30°-2tan45°cos30°+4cos60°. 14.一题多解法在△ABC中，已知∠A=60°， ∠B为锐角，且tanA,cosB为关于x的一 元二次方程2.x2一3m.x十3=0的两个实数 根.判断△ABC的形状. 15.观察下列等式： 1 ①sin30°=2，cos60°= 2 ②sin45°= ,cos45°= 21 ③sin60°= 2,c0s30°3 (1)根据上述规律，计算sin2a+sin2(90°一 ax)的值为 102 九年级数学RJ版 (2)计算：sin21°十sin22°+sin23°+… +sin289°. 16.几何直观已知锐角三角形ABC中，∠A, ∠B,∠C的对边分别为a,b,c,边角总满 6 足关系式品品品 (1)如图①，若a=6,∠B=45°，∠C=75°， 求b的值. (2)某公园准备在园内一个锐角三角形水 池ABC中建一座小型景观桥CD(如图 ②).若CD⊥AB,AC=14m,AB=10m, sin∠ACB=5E ,求景观桥CD的长度， 图① 图②