28.1 第2课时 余弦和正切-【学海风暴】2025-2026学年九年级下册数学同步备课（人教版 江西专版）

第2课时 念知识要点扫描 ----- 1.锐角A的余弦、正切 (1)锐角A的余弦：如下图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，锐角A的邻边与斜 边的比叫做∠A的余孩，记 作c0sA,即c0sA= ∠A的邻边 斜边 (2)锐角A的正切：如上图，在R1△ABC 中，∠C=90°，锐角A的对边与邻边的比叫做 ∠A的正切，记作tanM,即tanM= ∠A的对边 /A的邻边 2.锐角三角函数 锐角A的正弦、余弦、正切都是∠A的镜 角三角函数。 经典例题剖析 【例】如右图，在边长相同 的小正方形网格中，点A,B C,D都在这些小正方形的顶点 上，AB,CD相交于点P,则tan∠APD的值为 B.5 C.2 D.22 【点拔】如右图，找到格点 E,连接AE,BE,易得BE∥ CD,∠AEB=90°， ∴.∠APD=∠ABE 在Rt△ABE中，易得AE=2BE, Qlan∠☑APD=tan∠ABE作-g 【答案】C 余弦和正切 已基础对点训练 知识点①余弦 1.(2025赣州南康区月考)如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°.若AC=3,AB=5,则c0sA的 值为 () A c D.5 第1题图 第2题因 2.如图所示的是源于我国汉代数学家赵爽的 弦图，它是由四个全等的直角三角形与一个 小正方形拼成的一个大正方形.若小正方形 的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角 形中较小的锐角为a,则cosa的值为() A子 B c D. 3.在△ABC中，a,b,c分别是∠A,∠B,∠C 的对边长，且a：b:c=1:2:5,则 cosB的值为 &号 c号 n 4.一题多解法如右图，在 Rt△ABC中，∠C=90°，M是 直角边AC上一点，MN⊥AB 于点N,AN=3,AM=4.求 cosB的值. 下册第二十八章 49△ 知识点②正切 5.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5,BC=3, 则tanA的值是 A吉 c D. 6.如图，在△ABC中，∠ACB =90°，CD⊥AB于点D.若 AD=8,CD=4√2，则tanB 第6题图 的值为 B号 c D.2 7.如图，AB是⊙O的直径.若AB=15,AC= 9,连接BC,则tanD= 第7题园 变式题因 变式题如图，在半径为3的⊙O中，直径 AB与弦CD相交于点E,连接AC,BD. 若AC=2,则tanD= 8.如图，在平面直角坐标系 中，菱形ABCD的顶点A, B,C在坐标轴上.若点ABbC 的坐标为(0,3)，tan∠ABO 第8题图 =5,则菱形ABCD的周长为 9.将如图①所示的七巧板拼成如图②所示的 四边形ABCD,连接AC,则tan∠CAB= 图① 图② 第9题图 金50 九年级数学RJ版 10.右图所示的是由若干个小 正方形组成的网格，点A, B,C均在小正方形的顶点 上，连接AB,BC (I)tan∠ABC的值等于 (2)在网格中，用无刻度直尺画出∠CBD,使 点D在小N正方形顶点上且an∠CBD-号 知识点③锐角三角函数 11.(2025安庆期未)在Rt△ABC中，∠C= 90°，AC=4,BC=3,则下列选项正确的是 () AA=号 BoA-音 coB-号 D.tanB= 5 12.如右图，已知AB是⊙O的直 径，点C,D在⊙O上，且AB =5,BC=3. (1)求cos∠ABC的值， (2)如果OE⊥AC,垂足为E,求OE的长. (3)求tan∠ADC的值. 易错点因考虑不全面而漏解 13.正方形ABCD的边长为2，P是直线CD 上一点.若DP=l,则tan∠BPC的值是22.A23.B24.B 25.∠ADE=∠C(容案不唯一) 26.月 第二十八章锐角三角函数 28.1锐角三角函数 第1课时正弦 1.B 2D【解析】在R△ABC中，inA一无在R△AGD BC 中，inA=是.：∠A+∠B=90,∠B+∠BCD CD 90.d∠A=∠BCD,nA=sin /BCD=.在 CD Rt△BCD中，sinB= BC.“∠A≠45∠A≠∠B. :sinA≠BC CD 3 3.6 4.解：(1)证明：：四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴.∠ABC+∠ADC=180 :∠ADC+∠ADE=180°，，∠ABC=∠ADE AB=AC,,∠ABC=∠ACB :∠ADB=∠ACB,.∠ADB=∠ADE (2)如图，作直径BF,连接FC,则 ∠BCF=90 ⊙0的半径为2，∴.BF=4. BC=3.∠BAC=∠BFC, :.sin∠BAC=sim∠BFC=BF=T BC 3 1 3 5.解：(1)由题意，得 =+解得7) y=2 y=2x, 点B的坐标为(1,2). (2)如图，过点B作BC⊥x轴于 点C,则OC=1,BC=2. 1,3 把y=0代人y=2x+之，解得x =一3，则点A的坐标为（一3.0） .OA=3.∴.AC=OA+OC=4, ∴.AB=AC+BC=+2=25 <BAC箭云-5即m20- AB 25 5 6.A 7.12【解析】在Rt△POH中，：OP=5,sin∠POH= P-子PH=3,∴OH=OP=P开=4，“ P的坐标为(4,3.把P(43代人y=会解得友=12. 8.6【解析】，DE⊥AB,,∠B+∠BDE=90°. ∠C=90°，∴∠A+∠B=90°， .∠BDE=∠A, 16 九年级数学RJ版 sin∠BDE=sinA=AB=T BC 3 3 AB=8,BC=子X8=6. 9.解：如图，∠AOB即为所求 12B 图① 图② 图 BC 10.解：在Rt△ABC中.inA=BAB=15, 六BC=AB·sinA=15X行=12， ∴AC=AB-BC=5-12=9. CD=号ACCD-=号x9=6 .在R1△BCD中，BD=BC+CD=I2+6= 65. ∴sin∠DBC- BD 65 △CD的周长=BD CD_65 +CD+BC=65+6+12=18+65. 第2课时余弦和正切 1.D2.D3.B 4.解：，∠C=90,MN⊥AB ∴.∠C=∠ANM=90. 又，∠A=∠A,∴∠AMN=∠B. AN=3,AM=4..MN=VAM-AN=7. 六osB=os∠AMN=沿-子 MN 》一题多解法《 :∠C=90°，MN⊥AB.∴.∠C=∠ANM=90°. 又：∠A=∠A.△ACO△AMN,e AN3 AM 设AC=3x,则AB=4x 由勾股定理，得BC=√AB一AC=Fx. 在△AC中oB需-是- 5.D6.D 变式题2厄 【解析】如图，连接 BC. 0 :AB是⊙O的直径， .∠ACB=90°. 由题意，得AB=6,AC=2, ∴.BC=AB-AC=√6-2=4E. 又：∠D-∠AmD-tmA-e-1号-2E 8.85【解析】：A(0,3),∴.OA=3. 1an∠AB0-品-，i0B-E 由勾股定理，得AB=OA+OB=25,∴菱形 ABCD的周长=4AB=8,5. 9.方【解析】设AC与BD的交点为O,如图。 ∠ABD=∠CDB=90°， .CD∥AB. 又AB=CD, .四边形ABCD是平行四A。 边形， .AC与BD互相平分， .OB-7BD. .AB=BD. .OB-TAB, 在Rt△AOB中， m∠cAB-9咒-号 10.解：1日 (2)如图所示，∠CBD即为所求。 11.B 12.解：(1)：AB是⊙O的直径， .∠ACB=90°. BC 3 cos∠ABC=AB万 (2),OE⊥AC,.E是AC的中点. 0是AB的中点0E=方C=司 (3):AC=AB-BC=√5-3=4， n∠ADC=ABC-C-号 13.2或号【解析10当点P在线段DC上时，如图①。 CD=2,DP=1,∴.PC=1. 又：BC=2,∠C=90°， .tn/BPC-既-2 ②当点P在CD的延长线上时，如图② DP=1,DC=2.∴.PC=3. BC 2 又：BC=2,∠C=90°，·tan∠BPC=P元=3 综上所述an∠BFPC的值为2或号 图① 第3课时特殊角的三角函数值 1.B2.A3.B 4(-9-》 5.解，1原式-2×专-万×+-( =1-1+7 2)原式 1 25 =1+1+25=2+25 3 3 6.解：能.理由如下： 120 如图，过点A作AD⊥BC于点D. :△ABC是等腰三角形，∠BAC B =120°. 1 ∠B=∠C=7×(180°-120')=30， AB=12 cm, BD=AB·cOsB=12X号 =6厚(cm… ∴.BC=2BD=2×65≈20.8(cm). ,20.8>20,∴能画出一个半径为20cm的圆. 7.D8.10.029.C10.C11.C 12.2 【解析】：∠C=90',sinB=之 1 .∠B=30. .∠A=60 A 六sin2=sin30=z BC 13.解：在Rt△BDC中，sin∠BDC= BD' BC=BD:n∠BDC=1oE×号-10 在R1△ABC中，SnA= BC101 B202 .∠A=30 14.解：不正确.理由：sinA= BC3 ∴∠A=60°， =in30°= sin 1 2老4 下册参考答案 7△