27.2.1 第4课时 相似三角形的判定定理3-【学海风暴】2025-2026学年九年级下册数学同步备课（人教版 江西专版）

:AB=+2=5,AC=/2+6=2/I0,BC 5,DE=1,DF=+2=5,EF=√2+2=2厄， ÷铝部F=F∴△ACn△EBDF (2)(答案不唯一)如图，△A'B'C'与△ABC相似，它们 的相似比是厄. 9.证明：(1)设AB=BD=DE=EC=m, 则AD=2m.CD=2m,AE=5m,AC=√om. 品会器后号普品 专0股-瓷△ADECDA (2)由(1)可知，△ADE∽△CDA.∴·∠DAE=∠3. ∠B=90°，AB=BD,∴.∠1=45 又：∠1=∠2+∠DAE,∴.∠2+∠3=∠1=45， .∠1+∠2+∠3=90. 第3课时相似三角形的判定定理2 1.D 2.B 3.B 4.C 5.D 6.2 cm cm .BD 7.1【解析】：BD=2CD.一CD=2,“E是AD的中 点AD=2DE六记=280 =2.又AD ⊥BC..∠ADB=∠EDC=90°，.△ADB∽△EDC, .AB_BD -0-2.:AB=2BC=1 一题多解法《 如图，过点E作EF∥AB,交 BC于点F.:E是AD的中 点，∴BF=DF,∴.EF是 △ABD的中位线，∴.EF=B AB-1.BD-2CD..DF =CD.:AD⊥BC,∴.DE所在直线垂直平分 CF,,∴.EC=EF=1. 8.解：AD:DE=3:5,AE=8,.AD=3,DE=5. B0=4.c-只品-子 又：∠ADC=∠BDE,∴△ADC∽△BDE, ∴.∠E=∠C=35. 9.解：示例：选择①。 证明：：△ACD∽△A'C'D', ∠AC=∠ADC品品. ·∠ADB=∠AD'B, "部…品品 CD 0品 .△ABD△A'B'D'. 10.解：(1)证明：在正方形ABCD中，∠A=∠D=90°， AB=AD=CD. AE-ED.DF-DC AE=ED=2AB,DF=子AB, 提 =2,∴△ABE∽△DEF. (2):AD∥CG.∴.△EFD∽△GFC, 器器 1 1 “DE=2AB=×4=2, .CG=6,.BG=BC+CG=10. 11.2或8或5【解析】根据题意，可分以下情况：①当 AD PD 4 PC-BC时，△APDn△PBC,即10-PD 吧解 得PD=2成PD=8:⊙当提-咒时，△PADn △PBC,即片-0PD解得DP=5.锋上所述，DP PD 的长度是2或8或5. 第4课时相似三角形的判定定理3 1.A2.D3.C变式题D 16 4.6 【解析】：AB=AC=5,∴∠ABC=∠ACB, '∠PBA=∠PCB,∴∠PBC=∠PCA. 又：∠PAC=∠PCB,∴.△ACP∽△CBP, 紧爱是 PA=2P0=号 5.3【解析】：∠ACB=90°，CD⊥AB, ∴·∠ADC=∠ACB=90, 又，∠A=∠A,∴△ABC△ACD. 同理可得△ACDC∽△CBD,△ABCC∽△CBD, .共有3对相似三角形. 6.证明：：四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD∥BC,.∠ADC+∠C=180°，∠ADF =∠DEC. :∠AFE+∠AFD=180°，∠AFE=∠ADC, ∴∠C=∠AFD,△ADF△DEC. ◆一题多解法《 :四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC,·∠ADF=∠DEC :∠AFE=∠ADC,且∠AFE=∠ADF+ ∠DAF,∠ADC=∠ADF+∠CDE, ∠DAF=∠CDE,∴△ADF△DEC. 7.解：(1)，∠DBC=∠A,∠BCD=∠ACB, 下册参考答案 9 ,.△BDCv△ABC. (2)△BDC∽△ABC. 紧瓷 BC=4,AC=8, .CD=2. 8.解：(1)证明：OB和OD是⊙O的半径， .∠D=∠OBD ∠A=∠D,∴.∠A=∠OBD,AB=BD 又∠D=∠D,∴.△OBD∽△BAD, ..OD:BD=BD:AD. .BD=OD·AD.即AB=OD·AD. (2)AB是⊙O的切线，B为切点 .OB⊥AB,.AB=OA-OB 由(1)知AB=OD·AD,∴.OA'-OB=OD·AD. 设OD=x, AC=3,..AD=2x+3.0B=x.OA=x+3. .(x+3)2一x2=x(2x十3)，解得x=3(负值已舍 去)， .0A=6,OB=3,∴.AB=0A2-0B=27, AB=35. 解题模型专练相似三角形的基本模型 1.解：(1)证明：在△AOB和△DC中， ∠ABO=∠DCO. ∠AOB=∠DOC OA=OD. ,.△AOB2△DOC(AAS). (2):△AOB≌△DOC.∴AB=DC=2. EF∥CD,∴.△BCDO△BEF, 保脚异品 23 2.解：(1)证明：AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠EAD :∠EAD=∠ADE,.∠ADE=∠BAD ∴.DE∥AB,∴.△DCE△BCA (2)·∠EAD=∠ADE,.AE=DE 设DE=x,则CE=AC-AE=AC-DE=8一x. '△DCE∽△BCA, EDCE 6 DE=AE-琴CE=AC-AE=号 2 由).得DE/ABD=A5 3 CD-c32 4 3.解：BE平分∠ABC,∴.∠ABE=∠CBE BC=CD.∴∠D=∠CBE,∴∠D=∠ABE 又，∠CED=∠AEB,∴.△CED∽△AEB, .CE_CD ·AEAB AB=2.CD=BC=4.AE=1. =之，解得CE=2. 10 九年级数学RJ版 4证明A=BE,D一品器 ∠ABE=∠DBA,∴.△ABEO△DBA, ∴∠BAE=∠BDA :DB平分∠ADC,.∠BDA=∠BDC, ,∠BAE=∠CDE. 又：∠BEA=∠CED,∴.△ABE∽△DCE. (2)由(1)，得△ABEo△DCE 能器即能器 :∠AED=∠BEC,∴.△ADEO△BCE, ∠EAD=∠EBC 又，∠ADE=∠BDC,.△AED∽△BCD, 答品即AECD=iC·ED, 5.B 6.2 【锅折：AD=4.BD=5,AC=66-号 3 AB 4+5 3.AC AB 2'AC 6 2AD-AC.·∠CAD=∠BAC. ABCn△ACD.0-号：CD=3.C 9 =2 7.解：(1)在Rt△ABC中.BC=√AB+AC=6+8 =10. ∠BAC=90°，AD⊥BC ∴∠CAB=∠ADB. 又，∠CBA=∠ABD,∴.△CBA△ABD, 品紧即流只0=8 610 (2)证明：由(1)，得△CBA△ABD, BA AC.BA BD ∠C=∠FADB元-DAAC DA :E为AC的中点，AD⊥BC, ∴.ED=AE=EC, .∠EDC=∠C=∠FAD :∠FDB=∠EDC,∴∠FDB=∠FAD. 又∠F=∠F,∴△DBF∽△ADF, 册器器 .BA·AF=AC·DF. 8.C【解析】：四边形ABCD是矩形， .AD=BC,∠A=∠EBF=∠BCD=90°. :将矩形ABCD沿DE折叠， .AD=DF=BC,∠A=∠DFE=90, ·∠BFE+∠DFC=∠BFE+∠BEF=9O°， ∠BEF=∠CED.∴△BEFO△CFD部= CD=3BF,∴.CF=3BE=12 设BF=x.:CD+CF=DF .(3x)+12=(x十12)°，解得x,=3,x:=0(舍去)， .AD=BC=3+12=15. 9.解：在梯形ABCD中，AD∥BC,AB=DC,∠ABC第4课时 相似三 念知识要点扫描 1.相似三角形判定定理3 如果一个三角形的两个角与另一个三角形 的两个角对应相等，那么这两个三角形相似 用符号语言表示：如下图，在△ABC和 △A'B'C'中，，∠B=∠B',∠C=∠C', ∴.△ABCC∽△A'B'C' 利用这种方法判定两个三角形相似时，只 需找出两对对应角相等即可，有时需用到三角 形的内角和定理.要特别注意图形中隐含的相 等的角，如对顶角、公共角等.由于这种判定方 法所需条件较少且容易证得，所以是最常用的 判定方法 2.判定两个三角形相似的方法 (1)可以根据两个三角形三边是否对应成 比例来判断： (2)可以根据两边是否对应成比例，夹角 是否相等来判断，两个条件必须同时满足才能 判断： (3)可以根据是否有两个角对应相等来 判断 已经典例题剖析 【例】如右图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD是斜边 AB上的中线，过点A作AE ⊥CD于点H,AE交CB于点E.求证：AC2 CE·BC. 【点拨】由直角三角形斜边上的中线等于 斜边的一半，可知CD=2AB=AD,进而可得 ∠CAD=∠ACD,再利用余角的性质，得 角形的判定定理3 ∠CAH=∠B,可证△ACE∽△BCA,进而可 得C器成后即可江明站论 【解】：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD 是斜边AB上的中线， ∴CD=2AB=AD,∠CAD=∠ACD. :AE⊥CD于点H,∴.∠AHC=90°， ∴.∠CAH+∠ACD=90 又，∠B+∠CAD=90°， ∴.∠CAH=∠B. :∠ACE=∠BCA,.△ACE∽△BCA, 瓷 ,AC2=CE·BC. 色基础对点训练 -。。。-=-===-。-。-=--0 知识点用两组角判定三角形相似 1,下列结论：①所有等腰直角三角形相似； ②所有直角三角形相似；③所有等腰三角形 相似；④所有等边三角形相似.其中正确的 是 ( ) A.①④B.②④C.②③ D.①③ 2.如图，△ABC中，∠A=78°， 78 AB=4,AC=6.将△ABC沿 图中的虚线剪开，下列四种剪B 第2题图 开的方法中，剪下的阴影三角 形一定与原三角形相似的是 789 ① ③ ④ A.①②③ B.①③④ C.②③④ D.①②④ 下册第二十七章 29 3.在△ABC中，点D,E分别在边AB,AC上， 则在下列条件中，不能使得以A,D,E为顶 点的三角形与△ABC相似的是 A.∠AED=∠B B.DE∥BC C.AD·BC=DE·AC D.∠ADE=∠C 变式题如图，已知∠ACB=∠D=90°.下 列条件中，不能判断△ABC和△BCD相 似的是 A.AB//CD B.BC平分∠ABD C.∠ABC+∠DBC=90 变式题图 D.AB BC=BD:CD 4.新定义题定义：如果△ABC内有一点P,满 足∠PAC=∠PCB=∠PBA,那么称P为 △ABC的“布罗卡尔”点.如图，在△ABC中， 若AB=AC=5,BC=8,P为△ABC的“布罗 卡尔”点，且PA=2,则PC= 第4题图 第5题园 5.(教材变式)如图，在△ABC中，∠ACB 90°，CD⊥AB于点D,则图中的相似三角形 共有 对 6.一题多解法如下图，在□ABCD中，E为 BC上一点，连接DE,AE,点F在线段DE 上，且满足∠AFE=∠ADC.求证：△ADF C△DEC. 30 九年级数学RJ版 7.(2025赣州南康区月考)如下图，在△ABC 中，D为AC边上一点，∠DBC=∠A. (1)求证：△BDC∽△ABC. (2)若BC=4,AC=8,求CD的长 8.如右图，AB是⊙O的切 线，B为切点，连接AO交 ⊙O于点C,延长AO交 ⊙O于点D,连接BD, OB,且∠A=∠D. (1)求证：AB=OD·AD (2)若AC=3,求AB的长.