27.2.1 第3课时 相似三角形的判定定理2-【学海风暴】2025-2026学年九年级下册数学同步备课（人教版 江西专版）

第3课时 相似三 念知识要点扫描 相似三角形判定定理2 两边对应成比例且夹角相等的两个三角 形相似. 用符号语言表示：如下图，在△ABC和 △ABC中，-瓷∠A=∠a .△ABCc∽△A'B'C' 当两个三角形有两组对应边的比相等时， 可考虑用判定定理2证明两个三角形相似.此 判定定理可类比全等三角形判定定理的“边角 边”定理，要特别注意“夹角”的含义，一定要抓 住“对应”二字，写三角形相似时要把对应顶点 写在对应的位置上. 已经典例题剖析 【例】如右图，在正方形AB CD中，M是CD的中点，点N在 BC上，BN=3VC.求证：AM2= AD·AN 【点拨】先证△CMN∽△DAM,再证 △AMNO△ADM,从而证得结论. 【解】设CN=k,则BN=3k, ∴.AD=DC=BC=4k. .M是CD的中点，.CM=DM=2k, 微}8 在正方形ABCD中，∠C=∠D=90°， ÷△CMN∽△DAM,:M=CM AM DA B兴∠CN=∠DAM, DM 角形的判定定理2 .∠DAM+∠AMD=90°， ∴.∠CMN+∠AMD=90°， ∴.∠AMN=90°=∠D, .△AMN∽△ADM, ..AN_AM AM AM=AD·AN. 忘基础对点训练 知识点用两边和夹角判定三角形相似 1.如图，已知△ABC,则下列四个三角形中，与 △ABC相似的是 () 70 B670°c 第1题图 第2题图 2.(2025九江期末)如图，点M在BC上，点N 在AM上.CM=CN,0兴则下列结 论正确的是 A.△ABM∽△ACBB.△ANCc∽△AMB C.△ANC△ACMD.△CMN∽△BCA 3.在△ABC和△DEF中，∠A=40°，∠D= 0∠E=0把-品则∠B的度数是 A.40° B.60° C.80 D.100 4.如图，在△ABC与△ADE中， ∠BAC=∠D,要使△ABC与 △ADE相似，还需满足下列条 第4题图 件中的 AC是 BC院 c提 n品 下册第二十七章 5.如图，D是△ABC的边AB上一点，要使 △ACD)△ABC,则必须具备的条件可以是 () A品把 B.CD_BC AD AB C.CD2=AD·DB D.AC2=AD·AB 第5题图 第7题图 6.在△ABC和△DEF中，∠A=∠D=105°， AC=4 cm,AB=6 cm,DE=3 cm,DF= 时，△ABC与△DEF 相似. 7.一题多解法如图，在△ABC中，已知AB 2,AD⊥BC,垂足为D,BD=2CD.若E是 AD的中点，则EC= 8.如下图，在△ABC中，AE交BC于点D.若 ∠C=35°，AD：DE=3:5,AE=8,BD= 4DC-只求∠E的度数。 9.条件开放题如下图，在△ABC与△A'B'C 中，点D,D'分别在边BC,BC'上，且 △ACD△A'CD'.若 ,则△ABD △A'B'D' 请从0品部 AB A'B' AB CDcD:③ B BD C BD CD这3个选项中选择1个作为条 28 九年级数学RJ版 件（写序号），并加以证明. B'D' 10.如下图，在正方形ABCD中，E,F分别是 AD,CD上的点，AE=ED,DF=DC,连 接EF并延长，交BC的延长线于点G,连 接BE. (1)求证：△ABE∽△DEF (2)若正方形的边长为4，求BG的长. 易错点文字表述相似，对应边、角不确 定，未分类讨论致错 11.如图，矩形ABCD中， AD=4,AB=10,P为 CD边上的动点.当D 第11题图 DP= 时，△ADP与△BCP相似.AB=√+2=5，AC=/2+6=20,BC= BD AD 5,DE=1,DF=个+2=5，EF=√2+2=22， BD AD .△ABD∽△A'B'D 部部所-后△AC△BDF 10.解：(1)证明：在正方形ABCD中，∠A=∠D=90°， (2)(答案不唯一)如图，△A'B'C‘与△ABC相似，它们 AB=AD=CD. 的相似比是厄 AE-ED.DF-+DC, AE=ED=2AB,DF=子AB. AB AE ·DEDF =2,.△ABE△DEF 9.证明：(1)设AB=BD=DE=EC=m, (2):ADCG,∴.△EFD∽△GFC, AD=m.CD=2m,AE=5m,AC=10m. 器 品=器六9普品 1 DE-2AB-2X4-2. 号品器票△ADEO△CDA ..CG=6..BG=BC+CG=10. 11.2或8或5【解析】根据题意，可分以下情况：①当 (2)由(1)可知，△ADE△CDA.∴.∠DAE=∠3. AD PD 4 PD ∠B=90°，AB=BD,∠1=45° PC-BC时，△APD∽△PBC,即0-PD=年，解 又：∠1=∠2+∠DAE,∴.∠2+∠3=∠1=45°， ∴.∠1+∠2+∠3=90 得PD=2度PD=8@当C-咒时，△PD 第3课时相似三角形的判定定理2 △PBC.即兰0PD,解得Dp=5.综上所述.DP PD 1.D2.B3.B4.C5,D6.2em或号cm 的长度是2或8或5. B 7.1【解析】：BD=2CD,∴ CD=2,E是AD的中 第4课时相似三角形的判定定理3 1.A2.D3.C变式题D 点AD=2DE提-8800 =2.又：AD 6 .6 【解析】：AB=AC=5,.∠ABC=∠ACB. ⊥BC.∴.∠ADB=∠EDC=90°，.△ADB∽△EDC. .AR_BD :∠PBA=∠PCB,∴·∠PBC=∠PCA. E元-CD=2.:AB=2∴EC=1. 又∠PAC=∠PCB,.△ACP△CBP, 一题多解法、 .PC_CB 8 PA AC5 如图，过点E作EF∥AB,交 BC于点F.:E是AD的中 pAp 点，BF=DF,.EF是 5.3【解析】，∠ACB=90°，CD⊥AB. △ABD的中位线，.EF=B ·∠ADC=∠ACB=90°. AB-1.BD=2CD.:.DF 1 又∠A=∠A,.△ABC∽△ACD. 同理可得△ACD∽△CBD,△ABCc∽△CBD, =CD.AD⊥BC,.DE所在直线垂直平分 .共有3对相似三角形. CF,∴.EC=EF=I. 6.证明：，四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC,∴.∠ADC+∠C=180°，∠ADF 8.解：，AD:DE=3:5,AE=8,∴.AD=3,DE=5. =∠DEC BD=4.C-只品-子 :∠AFE+∠AFD=180°，∠AFE=∠ADC, 又，∠ADC=∠BDE,∴.△ADC△BDE, .∠C=∠AFD,∴△ADF△DEC .∠E=∠C=35° ◆一题多解法 9.解：示例：选择① ,四边形ABCD是平行四边形. 证明：：△ACD△A'C'D', .AD∥BC,∴∠ADF=∠DEC ZAc=∠ADC00. ·∠AFE=∠ADC,且∠AFE=∠ADF+ ∠DAF,∠ADC=∠ADF+∠CDE, .∠ADB=∠A'D'B', ∴，∠DAF=∠CDE,.△ADFC∽△DEC 又：BD_BD.BD CD ·CD-CD·BD=cD 7.解：(1)'∠DBC=∠A,∠BCD=∠ACB, 9 下册参考答案