第3章 实数（复习讲义）数学浙教版2024七年级上册

第3章 实数（复习讲义） 实数章节是初中数学的计算基础，课标核心在于建立数系扩展思想与符号意识，中考命题则突出基础性与应用性。教学中需紧扣“实际意义→抽象概念→运算应用”主线，备考中需重点攻克符号判定、数形结合与模型建立三大能力，确保基础题满分。 层级 目标要求 典型实例 基础目标 掌握平方根的概念、实数的概念与分类、立方根的概念、 是无理数、 进阶目标 掌握立方根的实际应用、实数运算的实际应用、实数的混合运算 拓展目标 理解并应用实数的新定义运算 定义一种新的运算如下 知识点 重点归纳 常见易错点 实数定义 有理数和无理数统称实数 、等为无理数 平方根 如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a的平方根，也叫作a的二次方根，记作 理解平方根跟算术平方根的概念 一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根； 立方根 如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：． 一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根； 零的立方根是零； 实数运算 实数混合运算时，将运算分为三级，加减为一级运算，乘除为二级运算，乘方为三级运算。同级运算时，从左到右依次进行；不是同级的混合运算，先算乘方，再算乘除，而后才算加减；运算中如有括号时，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序进行。 （1）有理数中的各种概念，如相反数、绝对值、倒数等，在实数范围内同样适用； （2）有理数的各种简便运算律在实数范围内同样适用； 题型一 平方根 【例1】13的平方根是（　　） A． B． C． D．169 【变式1-1】的平方根是 　　 ． 【变式1-2】已知一个正数的两个不同的平方根分别是2a+1和3﹣4a，则这个正数是　　 ． 【变式1-3】已知一个正数m的两个平方根是2a+1和a﹣7，求m的值． 题型二 算术平方根 【例2】25的算术平方根为（　　） A．5 B． C．±5 D． 【变式2-1】的算术平方根是 　　 ． 【变式2-2】计算：的算术平方根是　　 ． 【变式2-3】已知某正数的两个平方根分别是5a+3和5﹣a，b的算术平方根是3，求3b+a的平方根． 题型三 非负数的性质 【例3】若，则　　 ． 【变式3-1】若（2x﹣4）20，则x+2y＝　　 ． 【变式3-2】若x，y为实数，且满足，则的值是　　 ． 【变式3-3】若a，b为实数，且，则（a+b）2025＝　　 ． 题型四 实数分类 【例4】在下列实数，3.1415926，，0，16，﹣8，，1.103030030003…（两个3之间依次多一个0），π中，非负整数有 　　 ． 【变式4-1】将下列各数填入相应的集合内． ﹣7，0.32，，0，，，，π，0.1010010001… ①有理数集合{　 　 …} ②无理数集合{　 　 …} ③负实数集合{　 　 …}． 【变式4-2】把下列各实数填在相应的大括号内：，﹣|﹣3|，，0，，﹣3.，2π，1.1010010001……（每两个1之间依次多一个0）． 整数：{ 　 　 …}； 分数：{ 　　 …}； 无理数：{ 　 　 …}． 【变式4-3】把下列各数按要求填入相应的大括号里： ﹣（+10），4.5，，0，﹣（﹣3），+16，，﹣1.5． 正整数集合：{ 　　 …}； 负分数集合：{ 　　 …}； 无理数集合：{ 　　 …}． 题型五 实数与数轴 【例5】如图，正方形ABCD的面积为7，顶点A在数轴上表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的左侧），且AD＝AE，则点E所表示的数为 　　 【变式5-1】如图，面积为2的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为﹣1，若以A为原点，AB为半径画弧交数轴于点E，点E在点A的右边，则数轴上点E所表示的数为 　　 ． 【变式5-2】在如图所示的数轴上，以单位长度为边长画一个等腰直角三角形，以实数1对应的点为圆心，斜边长为半径画弧交数轴于点A，则点A所表示的实数是 　　 ． 【变式5-3】如图，长方形一边在数轴上，点A为圆心，AC为半径画弧，交数轴于点E．则点E所表示的数是 　　 ． 题型六 估计无理数大小 【例6】是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能以小数形式全部写出来，因为的整数部分是1，于是可以用表示的小数部分．类似的，的小数部分可以表示为　 ． 【变式6-1】任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]＝4，[]＝1，现对72进行如下操作：72[]＝8[]＝2[]＝1，这样对72只需进行3次操作后变为1．类似地，对81只需进行3次操作后变为1，那么只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 　　 ． 【变式6-2】设n为正整数，且，则n的值为 　　 ． 【变式6-3】已知的小数部分记为a，则a可以表示为　　 ． 题型七 实数大小比较 【例7】比较大小： 　　 3（填：“＞”或“＜”或“＝”） 【变式7-1】比较大小：　　 （填“＞”、“＜”或“＝”）． 【变式7-2】 　　 ．（选填“＞”“＜”或“＝”） 【变式7-3】比较大小　　 ． 题型八 立方根 【例8】已知x﹣5的算术平方根是4，则3x+1的立方根是 　　 ． 【变式8-1】，，则 　　 ． 【考点】立方根 【分析】根据被开方数小数点向右移动三位，其立方根的小数点就向右移动一位解答即可． 【解答】解：∵， ∴128.9， 故答案为：﹣128.9． 【点评】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的小数点移动规律是解题的关键． 【变式8-2】若5x+19的立方根是4，则2x+7的平方根是 　　 ． 【变式8-3】已知2a﹣5的算术平方根是，a﹣5b+1的立方根是﹣2． （1）求a与b的值； （2）求5a﹣b的立方根． 题型九 实数运算 【例9】计算：． 【变式9-1】计算：． 【变式9-2】计算： （1）； （2）； （3）． 【变式9-3】在计算32时， 小芳是这样计算的：32（3×2）6； 小红是这样计算的：32（3+2）55×2＝10； 小颖是这样计算的：32（3+2）5． 你认为谁的解法正确　　 ． 题型十 实数综合 【例10】已知m是的小数部分，n是的整数部分．求： （1）（m﹣n）2的值； （2）m的值． 【变式10-1】探索与应用．先填写下表，通过观察后再回答问题： a … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y 100 … （1）表格中x＝　　 ；y＝　　 ； （2）从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知3.16，则　　 ； ②已知1.8，若180，则a＝　　 ； （3）拓展：已知，若，则z＝　　 ． 【变式10-2】阅读理解 ∵，即23． ∴的整数部分为2，小数部分为2 ∴11＜2 ∴1的整数部分为1． ∴1的小数部分为2 解决问题：已知：a是3的整数部分，b是3的小数部分， 求：（1）a，b的值； （2）（﹣a）3+（b+4）2的平方根． 【变式10-3】已知：0，求实数a，b的值，并求出的整数部分和小数部分． 基础巩固通关测 1．在实数，，0，﹣1.414，，0.1010010001中，有理数有（　　）个． A．2 B．4 C．3 D．5 2．估计在哪两个相邻整数之间（　　） A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5 3．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 4．如图，面积为3的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为1，观察作图痕迹得点B所表示的数为（　　） A． B． C． D． 5．如果x2＝64，则x的值是　　 ． 6．某数的平方根为a+1和a﹣7，则a是　3　 ． 7．已知5.706，18.044，那么　　 ． 8．比较大小：　　 （填“＞”“＜”“＝”）． 9．计算：． 10．已知一个正数x的两个平方根分别为a+3和2a﹣6，b+3的立方根是﹣2． （1）求a，b的值； （2）求x﹣b﹣2的平方根． 11．已知正数m的平方根是2a﹣7和a+4，b﹣12的立方根为﹣2，c是的整数部分． （1）求a，m，b，c的值； （2）求a+3b+c的算术平方根． 12．（1）若的整数部分为m，小数部分为n，则m＝　　 ，n＝　　 ； （2）已知，若x是整数，且0＜y＜1，求x﹣2y的值； （3）一张长方形信封的周长为）cm，且长、宽之比为2：1，小明制作了一张边长为4cm的正方形贺卡想寄给朋友，你认为小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算说明理由． 能力提升进阶练 1．关于“”，下列说法正确的是（　　） A．一个有理数 B．的算术平方根 C．6 D．面积为7的正方形的边长 2．若，则估计m的值所在的范围是（　　） A．1＜m＜2 B．2＜m＜3 C．3＜m＜4 D．4＜m＜5 3．下列说法正确的是（　　） A．的平方根是±4 B．8的立方根是±2 C．（﹣3）2的算术平方根是3 D． 4．下列四种说法：①1的平方根是1；②﹣1 的立方根是﹣1；③介于和之间的实数都是无理数；④是无理数．其中正确的说法是（　　） A．①②③④ B．②③④ C．①③ D．②④ 5．设S1＝1，，，…，，则 的值为（　　） A． B． C．24 D．23 6．若与|y+3|互为相反数，则x+y＝　　 ． 7．若a、b均为整数，当x1时，代数式x2+ax+b的值为0，则ab的算术平方根为　　 ． 8．已知1.2584，2.711，则　　 ，　　 ． 9．已知a、b是有理数，x是无理数，如果是有理数，则等于　　 ． 10．已知2a﹣5的算术平方根是，a﹣5b+1的立方根是﹣2． （1）求a与b的值； （2）求5a﹣b的立方根． 11．【问题提出】是无理数，而无理数是无限不循环小数，如何表示的小数部分呢？ 【问题解决】因为，即12， 所以的整数部分是1， 所以用1来表示的小数部分． 【类比应用】 （1）的整数部分是　　 ，小数部分是　　 ； （2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，则|a﹣b|　　 ； 【拓展应用】 （3）已知4x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求的值． 12．已知实数a，b，c，d，e，f，且a，b互为倒数，c，d互为相反数，e的绝对值为，f的算术平方根是8，求abe2的值． 13．求满足下列各式的未知数x （1）27x3+125＝0 （2）（x+2）2＝16． 14．计算 （1）； （2） （3）（） （4）14． 15．【探索新知】 如图1，点C将线段AB分成AC和BC两部分，若BC＝πAC，则称点C是线段AB的圆周率点，线段AC、BC称作互为圆周率伴侣线段． （1）若AC＝3，则AB＝　　 ； （2）若点D也是图1中线段AB的圆周率点（不同于C点），则AC　　 DB；（填“＝”或“≠”） 【深入研究】 如图2，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动地滚动1周，该点到达点C的位置． （3）若点M、N均为线段OC的圆周率点，求线段MN的长度． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 实数（复习讲义） 实数章节是初中数学的计算基础，课标核心在于建立数系扩展思想与符号意识，中考命题则突出基础性与应用性。教学中需紧扣“实际意义→抽象概念→运算应用”主线，备考中需重点攻克符号判定、数形结合与模型建立三大能力，确保基础题满分。 层级 目标要求 典型实例 基础目标 掌握平方根的概念、实数的概念与分类、立方根的概念、 是无理数、 进阶目标 掌握立方根的实际应用、实数运算的实际应用、实数的混合运算 拓展目标 理解并应用实数的新定义运算 定义一种新的运算如下 知识点 重点归纳 常见易错点 实数定义 有理数和无理数统称实数 、等为无理数 平方根 如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a的平方根，也叫作a的二次方根，记作 理解平方根跟算术平方根的概念 一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根； 立方根 如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：． 一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根； 零的立方根是零； 实数运算 实数混合运算时，将运算分为三级，加减为一级运算，乘除为二级运算，乘方为三级运算。同级运算时，从左到右依次进行；不是同级的混合运算，先算乘方，再算乘除，而后才算加减；运算中如有括号时，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序进行。 （1）有理数中的各种概念，如相反数、绝对值、倒数等，在实数范围内同样适用； （2）有理数的各种简便运算律在实数范围内同样适用； 题型一 平方根 【例1】13的平方根是（　　） A． B． C． D．169 【考点】平方根 【分析】根据平方根的定义即可求解． 【解答】解：根据平方根的定义可知：13的平方根是， 故选：A． 【点评】本题考查了平方根的定义，掌握平方根的定义是解题的关键． 【变式1-1】的平方根是 　±　 ． 【考点】平方根 【分析】根据平方根的计算方法得出结论即可． 【解答】解：的平方根是±， 故答案为：±． 【点评】本题主要考查平方根的知识，熟练掌握平方根的计算方法是解题的关键． 【变式1-2】已知一个正数的两个不同的平方根分别是2a+1和3﹣4a，则这个正数是　25　 ． 【考点】平方根 【分析】根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数，求出a的值，从而得出这个正数的两个平方根，即可得出这个正数． 【解答】解：由题意得，2a+1+3﹣4a＝0， 解得：a＝2， ∴这个正数为25， 故答案为：25． 【点评】本题考查了平方根，掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数是解题的关键． 【变式1-3】已知一个正数m的两个平方根是2a+1和a﹣7，求m的值． 【考点】平方根 【分析】根据一个正数有两个平方根，这两个数互为相反数列出方程，再解方程求出a，进一步求得m的值． 【解答】解：由题意得2a+1+a﹣7＝0， 解得a＝2， ∴2a+1＝5， ∴m＝52＝25． 【点评】本题考查了平方根的应用，注意：一个正数有两个平方根，这两个数互为相反数． 题型二 算术平方根 【例2】25的算术平方根为（　　） A．5 B． C．±5 D． 【考点】算术平方根；平方根 【分析】根据算术平方根的概念求解即可． 【解答】解：25的算术平方根为5； 故选：A． 【点评】本题考查了求一个数的算术平方根，熟练掌握该知识点是关键． 【变式2-1】的算术平方根是 　3　 ． 【考点】算术平方根 【分析】根据，即可得到答案． 【解答】解：，， ∴9的算术平方根是3， 故答案为：3． 【点评】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的求法是解题的关键． 【变式2-2】计算：的算术平方根是　2　 ． 【考点】算术平方根 【分析】根据算术平方根的概念即可得出答案． 【解答】解：的算术平方根2 【点评】本题考查了算术平方根的理解与运用． 【变式2-3】已知某正数的两个平方根分别是5a+3和5﹣a，b的算术平方根是3，求3b+a的平方根． 【考点】算术平方根；平方根 【分析】先根据平方根的定义求出a的值，再根据b的算术平方根是3求出b的值，进而求出3b+a的值，再求3b+a的平方根即可． 【解答】解：由条件可知5a+3+5﹣a＝0， 解得a＝﹣2， ∵b的算术平方根是3， ∴b＝9， 3b+a＝3×9+（﹣2）＝25， ， ∴3b+a的平方根为±5． 【点评】本题考查了平方根、算术平方根的定义，解题的关键是求出a、b的值． 题型三 非负数的性质 【例3】若，则　　 ． 【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：偶次方 【分析】根据平方、算术平方根的非负性求出，b＝2，再根据算术平方根的定义即可求解． 【解答】解：∵， ∴，b＝2， ∴， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了平方、算术平方根的非负性，掌握相关知识是解题关键． 【变式3-1】若（2x﹣4）20，则x+2y＝　0　 ． 【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：偶次方 【分析】先根据非负数的性质求出x、y的值，再代入代数式进行计算即可． 【解答】解：∵（2x﹣4）20， ∴2x﹣4＝0，4y+4＝0， 解得x＝2，y＝﹣1， ∴原式＝0． 故答案为：0． 【点评】本题考查的是非负数的性质，即任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0． 【变式3-2】若x，y为实数，且满足，则的值是　﹣1　 ． 【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：偶次方 【分析】根据题意可得，求解后，再代入求解即可． 【解答】解：由条件可得， 解之得：， ∴． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了解二元一次方程组、非负数的和为0的条件、负指数幂，解题的关键是理解几个非负数的和为0的条件是各自为0， 【变式3-3】若a，b为实数，且，则（a+b）2025＝　﹣1　 ． 【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值 【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵|a﹣1|0， ∴a﹣1＝0，b+2＝0， ∴a＝1，b＝﹣2， ∴（a+b）2025＝（1﹣2）2025＝﹣1， 故答案为：﹣1． 【点评】此题主要考查了非负数的性质，能够根据非负数的性质正确得出a，b的值是解题关键．非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 题型四 实数分类 【例4】在下列实数，3.1415926，，0，16，﹣8，，1.103030030003…（两个3之间依次多一个0），π中，非负整数有 　0，16，　 ． 【考点】实数 【分析】实数分为有理数和无理数，有理数分为整数和分数，无理数分为正无理数和负无理数．实数还可以分为正实数、零和负实数，正实数分为正有理数和正无理数，负实数分为负有理数和负无理数． 【解答】解：，1.103030030003…（两个3之间依次多一个0），π是无理数； 是分数，3.1415926是小数，﹣8是负整数； 0，16，是非负整数． 故答案为：0，16，． 【点评】本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解答本题的关键． 【变式4-1】将下列各数填入相应的集合内． ﹣7，0.32，，0，，，，π，0.1010010001… ①有理数集合{　﹣7，0.32，，0，　 …} ②无理数集合{　，，π，0.1010010001　 …} ③负实数集合{　﹣7　 …}． 【考点】实数 【分析】根据实数的分类：实数分为有理数、无理数．或者实数分为正实数、0、负实数．进行填空． 【解答】解：①有理数集合{﹣7，0.32，，0，} ②无理数集合{ ，，π，0.1010010001…} ③负实数集合{﹣7}． 故答案为：﹣7，0.32，，0，；，，π，0.1010010001；﹣7． 【点评】本题考查了实数的分类，关键是掌握实数的范围以及分类方法．注意0既不是正实数，也不是负实数． 【变式4-2】把下列各实数填在相应的大括号内：，﹣|﹣3|，，0，，﹣3.，2π，1.1010010001……（每两个1之间依次多一个0）． 整数：{ 　﹣|﹣3|，0　 …}； 分数：{ 　，，﹣3.　 …}； 无理数：{ 　，2π，1.1010010001…（两个1之间依次多1个0）　 …}． 【考点】实数 【分析】根据实数的定义即可作出判断． 【解答】解：整数{﹣|﹣3|，0…}； 分数{，，﹣3.}； 无理数{，2π，1.1010010001…（两个1之间依次多1个0）…}． 故答案为：﹣|﹣3|，0； ，，﹣3.； ，2π，1.1010010001…（两个1之间依次多1个0）． 【点评】此题主要考查了实数的分类，理解无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式． 【变式4-3】把下列各数按要求填入相应的大括号里： ﹣（+10），4.5，，0，﹣（﹣3），+16，，﹣1.5． 正整数集合：{ 　﹣（﹣3），+16　 …}； 负分数集合：{ 　，﹣1.5　 …}； 无理数集合：{ 　　 …}． 【考点】实数 【分析】直接根据有理数与无理数的含义分类即可． 【解答】解：正整数集合：{﹣（﹣3），+16，…}； 负分数集合：{，﹣1.5…}； 无理数集合：{}． 故答案为：﹣（﹣3），+16；，﹣1.5；． 【点评】本题考查的是有理数的分类，无理数的含义，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 题型五 实数与数轴 【例5】如图，正方形ABCD的面积为7，顶点A在数轴上表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的左侧），且AD＝AE，则点E所表示的数为 　　 【考点】实数与数轴 【分析】根据正方形的面积求出正方形的边长为，得到，即可得到点E表示的数为． 【解答】解：∵正方形的面积为7， ∴正方形的边长为， ∴， ∴点E表示的数为． 故答案为：． 【点评】本题考查了实数与数轴，根据正方形的面积求出正方形的边长为是解题的关键． 【变式5-1】如图，面积为2的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为﹣1，若以A为原点，AB为半径画弧交数轴于点E，点E在点A的右边，则数轴上点E所表示的数为 　　 ． 【考点】实数与数轴 【分析】根据正方形的面积，求出AB的长，进而得到AE的长，根据数轴上两点间的距离，求解即可． 【解答】解：由题意可知：， 又∵点E在点A的右边， ∴点E所表示的数为， 故答案为：． 【点评】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上两点间的距离的计算是关键． 【变式5-2】在如图所示的数轴上，以单位长度为边长画一个等腰直角三角形，以实数1对应的点为圆心，斜边长为半径画弧交数轴于点A，则点A所表示的实数是 　1　 ． 【考点】实数与数轴 【分析】根据勾股定理计算出正方形得对角线的长度，以对角线为半径画弧，根据数轴上点的特征即可计算出结果． 【解答】解：如图： 根据勾股定理得． ∵半圆以CD为半径， ∴， ∴点A表示的实数是． 故答案为：． 【点评】本题主要考查实数与数轴，勾股定理．掌握实数与数轴上的点是一一对应关系是解题关键． 【变式5-3】如图，长方形一边在数轴上，点A为圆心，AC为半径画弧，交数轴于点E．则点E所表示的数是 　　 ． 【考点】实数与数轴 【分析】首先根据勾股定理计算出AC的长，进而得到AE的长，再根据A点表示﹣1，可得点E表示的实数． 【解答】解：由图形可知，BC长为3，AB长为1， ∴AC， ∵A点表示﹣1， ∴点E表示的实数是1， 故答案为：1． 【点评】此题主要考查了实数与数轴以及勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 题型六 估计无理数大小 【例6】是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能以小数形式全部写出来，因为的整数部分是1，于是可以用表示的小数部分．类似的，的小数部分可以表示为　　 ． 【考点】估算无理数的大小 【分析】先模仿题干的过程，得出，即可作答． 【解答】解：∵， ∴是的小数部分， 故答案为：． 【点评】本题考查了求无理数的整数部分以及小数部分，熟练掌握该知识点是关键． 【变式6-1】任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]＝4，[]＝1，现对72进行如下操作：72[]＝8[]＝2[]＝1，这样对72只需进行3次操作后变为1．类似地，对81只需进行3次操作后变为1，那么只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 　255　 ． 【考点】估算无理数的大小 【分析】根据[a]表示不超过a的最大整数，对81只需进行3次操作后变为1，由此分别对82，182，255，282进行操作，可得到只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的整数 【解答】解：.；；；； ∵只需进行3次操作后变为1的所有正整数，算术平方根是16时就需要四次操作，取整数， ∴最大的数是255． 故答案为：255． 【点评】本题考查取整函数及估算无理数的大小，正确理解取整含义是求解本题的关键． 【变式6-2】设n为正整数，且，则n的值为 　8　 ． 【考点】估算无理数的大小 【分析】由64＜73＜81，结合算术平方根即可确定n的值． 【解答】解：∵， ∴n＝8， 故答案为：8． 【点评】本题考查了无理数的估算，准确确定n的值是解题的关键． 【变式6-3】已知的小数部分记为a，则a可以表示为　　 ． 【考点】估算无理数的大小 【分析】首先估计在4和5之间，所以的整数部分是4，可得的小数部分是． 【解答】解：∵， ∴的整数部分是4， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查了实数的大小比较，正确记忆相关知识点是解题关键． 题型七 实数大小比较 【例7】比较大小： 　＜　 3（填：“＞”或“＜”或“＝”） 【考点】实数大小比较；算术平方根 【分析】依据被开放数越大对应的算术平方根越大可估算出的大小，故此可求得问题的答案． 【解答】解：∵6＜9， ∴3． 故答案为：＜． 【点评】本题主要考查的是比较实数的大小，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【变式7-1】比较大小：　＜　 （填“＞”、“＜”或“＝”）． 【考点】实数大小比较 【分析】估算的取值范围，然后比较2与1的大小即可． 【解答】解：∵4＜5＜9， ∴23， ∴02＜1， ∴． 故答案为：＜． 【点评】本题考查了实数的大小比较．解题时，利用“夹逼法”取得的取值范围是解题的难点． 【变式7-2】 　＞　 ．（选填“＞”“＜”或“＝”） 【考点】实数大小比较；算术平方根 【分析】首先把两个数平方，由于两数均为正数，所以该数的平方越大数越大． 【解答】解：∵， 由于两数均为正数，所以该数的平方越大数越大， ∴． 故答案为：＞． 【点评】本题主要考查了实数的大小的比较，解题关键是灵活运用比较两个实数的大小的方法，如作差法、取近似值法等． 【变式7-3】比较大小　＞　 ． 【考点】实数大小比较 【分析】利用作差法比较实数的大小即可得出答案． 【解答】解：∵， ， ∴． 故答案为：＞． 【点评】本题考查了实数的大小比较，利用作差法比较实数的大小是解题的关键． 题型八 立方根 【例8】已知x﹣5的算术平方根是4，则3x+1的立方根是 　4　 ． 【考点】立方根；算术平方根．版权所有 【分析】根据算术平方根，立方根的计算法则求解即可． 【解答】解：由条件可知x﹣5＝16， 解得x＝21， ∴3x+1＝3×21+1＝64， ∴64的立方根为4， 故答案为：4． 【点评】本题考查了算术平方根，立方根的计算，熟练掌握以上知识点是关键． 【变式8-1】，，则 　﹣128.9　 ． 【考点】立方根 【分析】根据被开方数小数点向右移动三位，其立方根的小数点就向右移动一位解答即可． 【解答】解：∵， ∴128.9， 故答案为：﹣128.9． 【点评】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的小数点移动规律是解题的关键． 【变式8-2】若5x+19的立方根是4，则2x+7的平方根是 　±5　 ． 【考点】立方根；平方根 【分析】首先利用立方根的定义可以得到关于x的方程，解方程即可求出x，然后利用平方根的定义即可求解． 【解答】解：∵5x+19的立方根是4， ∴5x+19＝64， 解得x＝9 则2x+7＝2×9+7＝25， ∴25的平方根是±5 故答案±5． 【点评】此题主要考查了利用立方根的概念解题．牢牢掌握灵活运用．如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a（x3＝a），那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做三次方根．读作“三次根号a”其中，a叫做被开方数，3叫做根指数． 【变式8-3】已知2a﹣5的算术平方根是，a﹣5b+1的立方根是﹣2． （1）求a与b的值； （2）求5a﹣b的立方根． 【考点】立方根；算术平方根 【分析】（1）根据算术平方根及立方根可直接列式计算； （2）由（1）及立方根可直接求解． 【解答】解：（1）由条件可得， 解得a＝6， a﹣5b+1＝﹣8， 解得b＝3； （2）当a＝6，b＝3时，5a﹣b＝27， ∴5a﹣b的立方根为3． 【点评】本题主要考查算术平方根，立方根，熟练掌握算术平方根，立方根的概念是解题的关键． 题型九 实数运算 【例9】计算：． 【考点】实数的运算 【分析】先进行开方运算，再进行乘法运算，最后进行加法运算即可． 【解答】解： ＝（﹣28）（﹣4）×2 ＝﹣7+8 ＝1． 【点评】本题考查的是实数的运算，熟记运算法则是解题的关键． 【变式9-1】计算：． 【考点】实数的运算 【分析】根据乘方、算术平方根、立方根、二次根式、有理数除法的运算法则化简，再合并即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查了实数的混合运算、算术平方根、立方根、二次根式的运算，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【变式9-2】计算： （1）； （2）； （3）． 【考点】实数的运算 【分析】（1）先利用绝对值的意义将原式化简，再进行加减运算即可； （2）先利用立方根和算术平方根将原式化简，再进行加减运算即可； （3）先进行乘法运算，然后利用算术平方根的意义将原式化简，再进行加减运算即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ＝﹣4﹣3 ＝﹣7； （3）原式 ＝3﹣1 ＝2． 【点评】本题考查实数的运算，掌握相应的运算法则，性质及相关的定义是解题的关键． 【变式9-3】在计算32时， 小芳是这样计算的：32（3×2）6； 小红是这样计算的：32（3+2）55×2＝10； 小颖是这样计算的：32（3+2）5． 你认为谁的解法正确　小颖　 ． 【考点】实数的运算 【分析】由于合并同类二次根式的方法只需把同类二次根式的系数相加减，由此即可求解． 【解答】解：根据同类项合并即可， 可知小颖的正确． 故答案为：小颖． 【点评】此题主要考查了合并同类二次根式的方法，和合并同类项的方法实质是一样的． 题型十 实数综合 【例10】已知m是的小数部分，n是的整数部分．求： （1）（m﹣n）2的值； （2）m的值． 【考点】估算无理数的大小 【分析】根据题意确定出m与n， （1）将m与n的值代入原式计算即可求出值； （2）将m与n的值代入原式计算即可求出值． 【解答】解：∵m是的小数部分，n是的整数部分， ∴m2，n＝4； （1）（m﹣n）2＝（2﹣4）2＝（6）2＝7﹣1236＝43﹣12； （2）m21． 【点评】此题考查了估算无理数的大小，估算得出m与n的值是解本题的关键． 【变式10-1】探索与应用．先填写下表，通过观察后再回答问题： a … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y 100 … （1）表格中x＝　0.1　 ；y＝　10　 ； （2）从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知3.16，则　31.6　 ； ②已知1.8，若180，则a＝　32400　 ； （3）拓展：已知，若，则z＝　0.012　 ． 【考点】算术平方根；立方根 【分析】根据算术平方根的被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，可得答案． 【解答】解：（1）x＝0.1，y＝10，故答案为：0.1，10； （2）①31.6，a＝32400，故答案为：31.6，32400； （4）z＝0.012，故答案为：0.012． 【点评】本题考查了算术平方根，注意被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍． 【变式10-2】阅读理解 ∵，即23． ∴的整数部分为2，小数部分为2 ∴11＜2 ∴1的整数部分为1． ∴1的小数部分为2 解决问题：已知：a是3的整数部分，b是3的小数部分， 求：（1）a，b的值； （2）（﹣a）3+（b+4）2的平方根． 【考点】估算无理数的大小；平方根有 【分析】（1）首先得出接近的整数，进而得出a，b的值； （2）根据平方根即可解答． 【解答】解：（1）∵， ∴45， ∴13＜2， ∴a＝1，b4， （2）（﹣a）3+（b+4）2 ＝（﹣1）3+（4+4）2 ＝﹣1+17 ＝16， 故（﹣a）3+（b+4）2的平方根是：±4． 【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出a，b的值是解题关键． 【变式10-3】已知：0，求实数a，b的值，并求出的整数部分和小数部分． 【考点】非负数的性质：算术平方根；估算无理数的大小；非负数的性质：绝对值 【分析】根据分母不等于0，以及非负数的性质列式求出a、b的值，再根据被开方数估算无理数的大小即可得解． 【解答】解：根据题意得，3a﹣b＝0，a2﹣49＝0且a+7＞0， 解得a＝7，b＝21， ∵16＜21＜25， ∴的整数部分是4，小数部分是4． 【点评】本题考查了绝对值非负数，算术平方根非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键． 基础巩固通关测 1．在实数，，0，﹣1.414，，0.1010010001中，有理数有（　　）个． A．2 B．4 C．3 D．5 【考点】实数 【分析】运用实数的概念进行分类、辨别． 【解答】解：由题意得， ，，0，﹣1.414，0.1010010001这5个数是有理数， ，这2个数是无理数， 故选：D． 【点评】此题考查了有理数的辨别能力，关键是能准确理解并运用实数的概念． 2．估计在哪两个相邻整数之间（　　） A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5 【考点】估算无理数的大小 【分析】先估算的大小，然后判断即可． 【解答】解：∵， ∴是介于3和4之间， 故选：C． 【点评】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是熟练掌握如何估算无理数的大小． 3．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【考点】实数的运算 【分析】利用算术平方根及立方根的定义，绝对值的性质计算后再算加减即可． 【解答】解：原式＝4+21 ＝5， 故选：A． 【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 4．如图，面积为3的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为1，观察作图痕迹得点B所表示的数为（　　） A． B． C． D． 【考点】实数与数轴 【分析】由题意得：，点A的数是1，设点B表示的数为x，根据两点间的距离公式列出关于x的方程，解方程求出x即可． 【解答】解：由题意得：，点A的数是1， 设点B表示的数为x， ∴， ， ， ∴点B表示的数是， 故选：C． 【点评】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握了两点间的距离公式． 5．如果x2＝64，则x的值是　±8　 ． 【考点】平方根；有理数的乘方 【分析】根据平方根的定义即可求得答案． 【解答】解：如果x2＝64， 则x＝±8， 故答案为：±8． 【点评】本题考查平方根，有理数的乘方，熟练掌握其定义是解题的关键． 6．某数的平方根为a+1和a﹣7，则a是　3　 ． 【考点】平方根 【分析】根据平方根的定义可得：a+1+a﹣7＝0，然后进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得：a+1+a﹣7＝0， 解得：a＝3， 故答案为：3． 【点评】本题考查了平方根，准确熟练地进行计算是解题的关键． 7．已知5.706，18.044，那么　0.5706　 ． 【考点】算术平方根 【分析】把0.3256化为32.56÷100再利用5.706． 【解答】解：∵5.706， ∴0.5706． 故答案为：0.5706． 【点评】本题主要考查了算术平方根，解题的关键是把0.3256化为32.56÷100再利用5.706． 8．比较大小：　＞　 （填“＞”“＜”“＝”）． 【考点】实数大小比较 【分析】首先确定1与1的大小，进行比较即可求解． 【解答】解：∵4＜5＜9， ∴23， ∴11＜2， ∴． 故答案为：＞． 【点评】此题主要考查了无理数的估算能力，此题把它们的减数变成和被减数相同的形式，然后只需比较被减数的大小．分母相同时，分子大的大． 9．计算：． 【考点】实数的运算 【分析】利用算术平方根及立方根的定义，绝对值的性质计算后再算加减即可． 【解答】解：原式＝2+3﹣2+2 ＝5﹣2+2 ＝3+2 ＝5． 【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 10．已知一个正数x的两个平方根分别为a+3和2a﹣6，b+3的立方根是﹣2． （1）求a，b的值； （2）求x﹣b﹣2的平方根． 【考点】立方根；平方根 【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数得到a+3+2a﹣6＝0，解方程可求出a；根据立方根的定义可得b+3＝（﹣2）3＝﹣8，解方程即可求出b； （2）根据（1）所求结合平方根的概念求出x的值，然后代值计算即可． 【解答】解：（1）∵一个正数x的两个平方根分别为a+3和2a﹣6， ∴a+3+2a﹣6＝0， ∴a＝1， ∵b+3的立方根是﹣2， ∴b+3＝（﹣2）3＝﹣8， ∴b＝﹣11； （2）由（1）得a+3＝4， ∴x＝（a+3）2＝16， ∴x﹣b﹣2＝16﹣（﹣11）﹣2＝25， ∴x﹣b﹣2的平方根为±5． 【点评】本题主要考查了平方根和立方根，熟练掌握其定义是解题的关键． 11．已知正数m的平方根是2a﹣7和a+4，b﹣12的立方根为﹣2，c是的整数部分． （1）求a，m，b，c的值； （2）求a+3b+c的算术平方根． 【考点】估算无理数的大小；平方根 【分析】运用平方根和立方根知识进行逐一计算、估算求解． 【解答】解：（1）由题意得， 2a﹣7+a+4＝0，b﹣12＝（﹣2）3， 解得a＝1，b＝4， ∴m＝（2a﹣7）2＝（2×1﹣7）2＝（﹣5）2＝25， ∵34， ∴的整数部分c为3； （2）由（1）题所求，a＝1，b＝4，c＝3， ∴a+3b+c ＝1+3×4+3 ＝1+12+3 ＝16， ∵42＝16， ∴16的算术平方根是4， 即a+3b+c的算术平方根是4． 【点评】此题考查了平方根和立方根的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识，并能进行正确地计算． 12．（1）若的整数部分为m，小数部分为n，则m＝　4　 ，n＝　　 ； （2）已知，若x是整数，且0＜y＜1，求x﹣2y的值； （3）一张长方形信封的周长为）cm，且长、宽之比为2：1，小明制作了一张边长为4cm的正方形贺卡想寄给朋友，你认为小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算说明理由． 【考点】估算无理数的大小 【分析】（1）通过比较与相邻完全平方数的算术平方根的大小，确定其整数部分，再用原数减去整数部分得到小数部分； （2）先根据x是整数且0＜y＜1确定x、y的值，再代入x﹣2y计算； （3）设长方形信封的长为lcm，宽为wcm，先根据长方形周长公式和长、宽比求出长和宽，再与正方形贺卡边长比较判断能否放入． 【解答】解：（1）∵， ∴， ∴m＝4，； 故答案为：4，； （2）∵，， ∴，即， 由条件可知x＝11，， ∴； （3）设长方形信封的长为l cm，宽为w cm， 由条件可知信封的周长为， 解得， 将l＝2w代入得，， ∴， ∵， ∴，即w＜4， ∴不能将这张贺卡不折叠就放入此信封． 【点评】本题考查了无理数的整数部分与小数部分、代数式求值以及长方形周长公式的应用，解题的关键是熟练掌握无理数的估算方法和相关公式进行计算． 能力提升进阶练 1．关于“”，下列说法正确的是（　　） A．一个有理数 B．的算术平方根 C．6 D．面积为7的正方形的边长 【考点】实数大小比较；实数 【分析】有理数与无理数的区别以及平方根的估算，逐一分析选项即可． 【解答】解：A、整数和分数统称为有理数，而无法表示为整数或分数，故A错误； B、是7的算术平方根，故B错误； C、估算的值：22＝4，32＝9，故，而6和8均大于，故C错误； D、正方形的面积公式为边长的平方，因此面积为7的正方形边长为，故D正确． 故选：D． 【点评】本题考查算术平方根的定义，正确判断是解题关键． 2．若，则估计m的值所在的范围是（　　） A．1＜m＜2 B．2＜m＜3 C．3＜m＜4 D．4＜m＜5 【考点】估算无理数的大小 【分析】先估算出的取值范围，再确定m的范围，即可得出结论． 【解答】解：∵， ∴，即1＜m＜2， 故选：A． 【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握该知识点是关键． 3．下列说法正确的是（　　） A．的平方根是±4 B．8的立方根是±2 C．（﹣3）2的算术平方根是3 D． 【考点】立方根；平方根；算术平方根 【分析】利用立方根、平方根和算术平方根的意义对每个选项进行逐一判断即可得出结论． 【解答】解：4，4的平方根是±2，故A选项不符合题意； 8的立方根是2，故B选项不符合题意； （﹣3）2＝9，9的算术平方根是3，故C选项符合题意； 8，故D选项不符合题意， 故选：C． 【点评】本题考查了立方根、平方根和算术平方根，正确理解定义是解题的关键． 4．下列四种说法：①1的平方根是1；②﹣1 的立方根是﹣1；③介于和之间的实数都是无理数；④是无理数．其中正确的说法是（　　） A．①②③④ B．②③④ C．①③ D．②④ 【考点】估算无理数的大小；平方根 【分析】逐一分析四个说法的正确性，结合平方根、立方根、有理数与无理数的定义进行判断． 【解答】解：①：1的平方根是±1，故错误，不符合题意； ②：﹣1的立方根是﹣1，故正确，符合题意； ③：，则与之间存在有理数，故错误，不符合题意； ④：是无理数，故正确，符合题意； 综上，正确的说法是②④． 故选：D． 【点评】本题考查了平方根、立方根、有理数、无理数的概念的应用，区别有理数和无理数是解题关键． 5．设S1＝1，，，…，，则 的值为（　　） A． B． C．24 D．23 【考点】算术平方根 【分析】观察第一步的几个计算结果，得出一般规律． 【解答】解：1+1，1，1，1，…， ， ∴ ＝1+11 ＝24+1 ＝24． 故选：C． 【点评】本题考查的是算术平方根及数字算式的变化规律，解题的关键是观察式子的结果，由特殊到一般，得出规律． 6．若与|y+3|互为相反数，则x+y＝　6　 ． 【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值 【分析】先根据互为相反数的和等于0列式，再根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可求解． 【解答】解：∵与|y+3|互为相反数， ∴|y+3|＝0， ∴x﹣9＝0，y+3＝0， 解得x＝9，y＝﹣3， ∴x+y＝9+（﹣3）＝6． 故答案为：6． 【点评】本题考查了绝对值非负数，算术平方根非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键． 7．若a、b均为整数，当x1时，代数式x2+ax+b的值为0，则ab的算术平方根为　　 ． 【考点】算术平方根 【分析】把x的值代入代数式x2+ax+b中，根据已知条件即可求出a、b的值，然后再求出ab的算术平方根． 【解答】解：当x1时，代数式x2+ax+b的值为0， ∴（1）2+a（1）+b＝0， 6﹣2a﹣a+b＝0， ∵a、b均为整数， ∴6﹣a+b＝0，﹣2a＝0， ∴a＝2，b＝﹣4， ∴ab＝2﹣4， ∴则ab的算术平方根为：， 故答案为：． 【点评】此题考查了完全平方公式和算术平方根的定义，通过化简代入并根据整数的性质求出a、b的值，再根据负整数指数幂和算术平方根得出结论． 8．已知1.2584，2.711，则　12.584　 ，　﹣0.2711　 ． 【考点】立方根 【分析】当被开方数的小数点每移动三位，那么其立方根的小数点也向相同方向移动一位，由此即可解决问题． 【解答】解：∵1993＝1000×1.993，1.2584， ∴12.584 ∵﹣0.011993＝﹣0.001×19.93，2.711 ∴0.2711． 故填12.584，﹣0.2711． 【点评】此题主要考查了立方根的性质：当被开方数的小数点每移动三位，那么其立方根的小数点也向相同方向移动一位． 9．已知a、b是有理数，x是无理数，如果是有理数，则等于　　 ． 【考点】无理数 【分析】先对分式进行化简，由于分式的结果是有理数，设分式的结果为m，得到关于m的方程，由m、a、b是有理数，x是无理数，确定m的系数和结果均为0，求出m和的值． 【解答】解： ∵x是无理数，∴x﹣2≠0， 所以原式 ∵是有理数， 设m， 则4bmx+2017m＝3ax﹣2018 整理，得3a﹣4mb 因为m、a、b是有理数，x是无理数， ∴ 解得m， 【点评】本题考查了分式的化简、及无理数、有理数的相关知识，题目难度较大，掌握有理数除以无理数若等于有理数，则该有理数一定为0是解决本题的关键． 10．已知2a﹣5的算术平方根是，a﹣5b+1的立方根是﹣2． （1）求a与b的值； （2）求5a﹣b的立方根． 【考点】立方根；算术平方根 【分析】（1）根据算术平方根及立方根可直接列式计算； （2）由（1）及立方根可直接求解． 【解答】解：（1）由条件可得， 解得a＝6， a﹣5b+1＝﹣8， 解得b＝3； （2）当a＝6，b＝3时，5a﹣b＝27， ∴5a﹣b的立方根为3． 【点评】本题主要考查算术平方根，立方根，熟练掌握算术平方根，立方根的概念是解题的关键． 11．【问题提出】是无理数，而无理数是无限不循环小数，如何表示的小数部分呢？ 【问题解决】因为，即12， 所以的整数部分是1， 所以用1来表示的小数部分． 【类比应用】 （1）的整数部分是　2　 ，小数部分是　2　 ； （2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，则|a﹣b|　7　 ； 【拓展应用】 （3）已知4x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求的值． 【考点】估算无理数的大小 【分析】（1）找到最接近7的平方数，确定的范围即可知道整数部分和小数部分； （2）分别确定的小数部分和的整数部分，然后代入式子即可； （3）先确定的范围，再同时加4即可得出4的整数部分和小数部分，代入代数式，最后进行化简即可． 【解答】解：（1）∵，即23， ∴的整数部分是2，小数部分是， 故答案为：2，； （2）∵，即4， ∴的整数部分是4，小数部分是， ∵，即3， ∴的整数部分是3，小数部分是， ∴a，b＝3， ∴|a﹣b||3|77， 故答案为：7； （3）∵23， ∴67， ∴4的整数分是6，小数部分462， ∵4x+y，其中x是整数且0＜y＜1， ∴． 【点评】本题考查了无理数的整数部分和小数部分的理解与应用，以及代数式的化简分母有理化的运用． 12．已知实数a，b，c，d，e，f，且a，b互为倒数，c，d互为相反数，e的绝对值为，f的算术平方根是8，求abe2的值． 【考点】实数的运算 【分析】根据相反数，倒数，以及绝对值的意义求出c+d，ab及e的值，代入计算即可． 【解答】解：由题意可知：ab＝1，c+d＝0，e＝±，f＝64， ∴e2＝（±）2＝2，， ∴abe20+2+4＝6． 【点评】此题考查了实数的运算，平方根，绝对值，以及倒数，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 13．求满足下列各式的未知数x （1）27x3+125＝0 （2）（x+2）2＝16． 【考点】立方根；平方根 【分析】（1）直接利用立方根的定义化简求出答案； （2）直接利用平方根的定义化简求出答案． 【解答】解：（1）27x3+125＝0 则x3 解得：x； （2）（x+2）2＝16 则x+2＝±4， 解得：x1＝﹣6，x2＝2． 【点评】此题主要考查了立方根以及平方根，正确把握相关定义是解题关键． 14．计算 （1）； （2） （3）（） （4）14． 【考点】实数的运算 【分析】（1）利用根号外乘除，根号内乘除进行计算即可； （2）先算乘法，后算减法即可； （3）用括号里的每一项分别除以，再化简合并即可； （4）先算乘除，后化简合并同类二次根式即可． 【解答】解：（1）原式＝（1×1÷3）； （2）原式6﹣7＝﹣1； （3）原式2； （4）原式2222＝2． 【点评】此题主要考查了实数运算，关键是掌握二次根式的乘除和加减计算法则． 15．【探索新知】 如图1，点C将线段AB分成AC和BC两部分，若BC＝πAC，则称点C是线段AB的圆周率点，线段AC、BC称作互为圆周率伴侣线段． （1）若AC＝3，则AB＝　3π+3　 ； （2）若点D也是图1中线段AB的圆周率点（不同于C点），则AC　＝　 DB；（填“＝”或“≠”） 【深入研究】 如图2，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动地滚动1周，该点到达点C的位置． （3）若点M、N均为线段OC的圆周率点，求线段MN的长度． 【考点】实数与数轴 【分析】（1）根据线段之间的关系代入解答即可； （2）根据线段的大小比较即可； （3）由题意可知，C点表示的数是π+1，设M点离O点近，且OM＝x，根据长度的等量关系列出方程求得x，进一步得到线段MN的长度． 【解答】解：（1）∵AC＝3，BC＝πAC， ∴BC＝3π， ∴AB＝AC+BC＝3π+3． （2）∵点D、C都是线段AB的圆周率点且不重合， ∴BC＝πAC，AD＝πBD， ∴设AC＝x，BD＝y，则BC＝πx，AD＝πy， ∵AB＝AC+BC＝AD+BD， ∴x+πx＝y+πy， ∴x＝y， ∴AC＝BD． （3）由题意可知，C点表示的数是π+1， M、N均为线段OC的圆周率点，不妨设M点离O点近，且OM＝x， x+πx＝π+1， 解得x＝1， ∴MN＝π+1﹣1﹣1＝π﹣1． 故答案为：3π+3；＝． 【点评】考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 2 / 32 学科网（北京）股份有限公司 $