高二数学上学期期中模拟卷03（苏教版，测试范围：第1章～第3章 直线与方程+圆与方程+圆锥曲线与方程）

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二上学期期中模拟卷03 数 学 （考试时间：120分钟，试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：苏教版2019选择性必修第一册第1~3章（直线与方程+圆与方程+圆锥曲线与方程） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．双曲线 的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知，则直线经过 （    ） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 3．实轴长为6，虚轴长为8，焦点在x轴上的双曲线方程为（  ） A． B． C． D． 4．平行直线与之间的距离为（    ） A． B． C． D． 5．将直线绕点顺时针旋转得到直线，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 6．直线与圆交于、两点，则的面积为（    ） A．2 B． C． D． 7．已知椭圆的左、右焦点分别为，，右顶点为，点在椭圆上，且，若，则（   ） A．1 B．2 C． D．3 8．如图，设抛物线的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在该抛物线上，点C在y轴上，若，，则（    ） A． B．3 C． D．4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线，下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．当时，关于轴的对称直线为 C．直线一定经过第四象限 D．点到直线的最大距离为 10.已知椭圆，双曲线的离心率分别为，，则（    ） A．的焦距小于的焦距 B．可能为等轴双曲线 C． D．与恰有四个公共点 11．如图，曲线可以看作“蝴蝶结”的一部分，已知曲线上除原点外的所有点均满足其到原点的距离的立方与该点横纵坐标之积的绝对值的商恒为定值（），则（    ） A．曲线关于直线对称 B．曲线经过点，其方程为 C．曲线围成的图形面积小于 D．存在，使得曲线上有5个整点（即横、纵坐标均为整数的点） 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分． 12．抛物线C：经过点，则点P到C的焦点的距离为 ． 13．已知圆的圆心在直线上，且圆经过点，，则圆的方程是 . 14．如图，斜率为的直线与椭圆交于，两点，与轴、轴分别交于点，，若，则椭圆的焦距为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知点，直线. (1)求点到直线的距离； (2)求点关于直线l的对称点的坐标. 16．（本小题满分15分）已知顶点在原点，焦点在坐标轴上的抛物线过点. (1)求拋物线的标准方程； (2)若抛物线的焦点在轴上且与直线交于、两点（、两点异于原点），以为直径的圆经过原点，求的值. 17．（本小题满分15分）已知双曲线C：（，）的一条渐近线为，且一个焦点到渐近线的距离为2． (1)求双曲线方程； (2)过点（的直线与双曲线左、右两支分别交于两点，动点M满足，求点M的轨迹方程． 18．（本小题满分17分）已知椭圆的离心率为，右焦点为，是E上一点． (1)求的方程； (2)过F的直线交于两点，求（为坐标原点）的面积的最大值． 19．（本小题满分17分）已知，，，， (1)求证：，，，四点共圆； (2)，，，所在圆记为，点是上一点，从点向作切线，，切点为，． ①若，求点坐标并求此时切线，的直线方程； ②求证：经过，，三点的圆必经过定点，并求出所有定点坐标． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二上学期期中模拟卷03 数 学 （考试时间：120分钟，试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：苏教版选择性必修第一册第1~3章（直线与方程+圆与方程+圆锥曲线与方程） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．双曲线 的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为双曲线 ，所以，即渐近线方程为：，故选B. 2．已知，则直线经过 （    ） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 【答案】B 【解析】由于，故直线可变形为，故，因此直线经过第一、三、四象限，故选B 3．实轴长为6，虚轴长为8，焦点在x轴上的双曲线方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题设，双曲线方程可设为，且，即， 所以双曲线方程为.故选A 4．平行直线与之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为直线与平行，所以，即， 则，也就是，所以两直线间的距离为.故选D 5．将直线绕点顺时针旋转得到直线，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由方程可知：的斜率为，由题意可知：，所以，所以，因为过点，所以由直线点斜率式方程可知的方程为：， 即.故选：C. 6．直线与圆交于、两点，则的面积为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解析】圆的圆心，半径， 点到直线的距离， 则，所以的面积为，故选C 7．已知椭圆的左、右焦点分别为，，右顶点为，点在椭圆上，且，若，则（   ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】D 【解析】依题意，，故，故， 在中，，且，故为等边三角形， 故，得，则，故选D. 8．如图，设抛物线的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在该抛物线上，点C在y轴上，若，，则（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】A 【解析】如图所示，设，由，， 由可知准线方程为，根据抛物线定义可得，，故，， 过A，B分别作y轴的垂线垂足为，过B作的垂线，垂足为E， 明显，所以，故选A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线，下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．当时，关于轴的对称直线为 C．直线一定经过第四象限 D．点到直线的最大距离为 【答案】ABD 【解析】对于选项A，由直线，得所以直线过定点，所以选项A正确； 对于选项B，当时，直线，所以关于轴的对称直线为，所以选项B正确； 对于选项C，当时，直线，不经过第四象限，所以选项C错误； 对于选项D，点到定点的距离为到直线的最大距离为，所以选项D正确．故选ABD． 10.已知椭圆，双曲线的离心率分别为，，则（    ） A．的焦距小于的焦距 B．可能为等轴双曲线 C． D．与恰有四个公共点 【答案】AC 【解析】根据题意，椭圆，半焦距， 的焦距为， 双曲线，半焦距， 的焦距为，显然，A正确； 因为，所以不可能为等轴双曲线，B错误； ，则，C正确； 因为椭圆中， 双曲线中， 则与只有和两个交点，D错误，故选AC 11．如图，曲线可以看作“蝴蝶结”的一部分，已知曲线上除原点外的所有点均满足其到原点的距离的立方与该点横纵坐标之积的绝对值的商恒为定值（），则（    ） A．曲线关于直线对称 B．曲线经过点，其方程为 C．曲线围成的图形面积小于 D．存在，使得曲线上有5个整点（即横、纵坐标均为整数的点） 【答案】ACD 【解析】对于A，先求曲线方程，设曲线上一点（）， 由已知，即. 若点在曲线上，则也满足曲线方程， 所以曲线关于直线对称，A选项正确. 对于B，将代入曲线方程，得，即，，此时方程为，B选项错误. 对于C，，则， 所以C在以圆心为O，半径为的圆内，结合图形知道，C选项正确. 对于D，由于，所以， 由曲线的对称性可知，要使曲线上有5个整点， 则曲线在第一象限内有两个整点，当整点为时，， 此时整点都在曲线上，其有3个整点，不满足题意; 当整点为时，，此时整点均在曲线上， 且均不在曲线上，其有5个整点，满足题意，D正确. 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分． 12．抛物线C：经过点，则点P到C的焦点的距离为 ． 【答案】2 【解析】把代入得，所以C的焦点为， 所以． 13．已知圆的圆心在直线上，且圆经过点，，则圆的方程是 . 【答案】 【解析】点和点的中点为， 点和点的斜率为， 则点和点的垂直平分线的斜率为， 可得点和点的垂直平分线的方程为 设圆心为，由题意联立方程： 解得，，半径，圆方程为. 14．如图，斜率为的直线与椭圆交于，两点，与轴、轴分别交于点，，若，则椭圆的焦距为 . 【答案】 【解析】设，又因为， 所以，则，则， 由，两式相减得， 即，因为，所以，所以， ，所以，解得， 所以，所以椭圆的焦距为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知点，直线. (1)求点到直线的距离； (2)求点关于直线l的对称点的坐标. 【解】（1）因为点，直线， 所以点到直线的距离为 .……………………………6分 （2）设，则， 即，解得， 所以点关于直线l的对称点的坐标为. ……………………………13分 16．（本小题满分15分）已知顶点在原点，焦点在坐标轴上的抛物线过点. (1)求拋物线的标准方程； (2)若抛物线的焦点在轴上且与直线交于、两点（、两点异于原点），以为直径的圆经过原点，求的值. 【解】（1）当抛物线焦点在轴上时，设抛物线方程为， 过点，即，解得， 即此时抛物线方程为； ……………………………3分 当抛物线焦点在轴上时，设抛物线方程为， 过点，即，解得， 即此时抛物线方程为； ……………………………6分 （2） 由（1）得当抛物线焦点在轴上时，抛物线方程为， 设，， 联立直线与抛物线，得， 则，解得， 且，， ……………………………9分 ， ……………………………11分 又以为直径的圆经过原点， 即，， 解得. ……………………………15分 17．（本小题满分15分）已知双曲线C：（，）的一条渐近线为，且一个焦点到渐近线的距离为2． (1)求双曲线方程； (2)过点（的直线与双曲线左、右两支分别交于两点，动点M满足，求点M的轨迹方程． 【解】（1）因为双曲线渐近线的方程为：，则， 而焦点到渐近线的距离为2，故（为半焦距），故 ……………………………3分 故，故双曲线方程为：. ……………………………6分 （2）由题设可得的斜率必定存在，设直线，， 由可得 ， 因为直线与双曲线左、右两支分别交于两点， 故，故， 又，而， ……………………………10分 因，故， 所以，故，故，代入后可得， ……………………………14分 因为，故， ……………………………16分 故的轨迹方程为： .……………………………17分 18．（本小题满分17分）已知椭圆的离心率为，右焦点为，是E上一点． (1)求的方程； (2)过F的直线交于两点，求（为坐标原点）的面积的最大值． 【解】（1）因为是E上一点，代入椭圆方程解得， 又，解得， 所以椭圆的方程为. ……………………………5分 （2）由（1）得半焦距，点，显然的斜率不为零， 设直线的方程为，， 由消去，得，显然， 则，， ……………………………8分 所以，……………………………10分 则的面积，…………………………13分 令，函数在上单调递增，当时，取得最小值4， 则当时，取得最小值4，， …………………………16分 所以的面积的最大值为. ……………………………17分    19．（本小题满分17分）已知，，，， (1)求证：，，，四点共圆； (2)，，，所在圆记为，点是上一点，从点向作切线，，切点为，． ①若，求点坐标并求此时切线，的直线方程； ②求证：经过，，三点的圆必经过定点，并求出所有定点坐标． 【解】（1）因为，，，， 易知点到四个点的距离相等，均为， 所以四点都在圆上， 即四点共圆； ……………………………5分 （2）①，又， 所以，（负值舍去）， ，，即，所以， ……………………………7分 设，则，解得， …………………………8分 所以，显然切线斜率存在， 设切线方程为，即， 则，解得， 所以切线方程为， 即或； ……………………………11分    ②因为，所以四点共圆，为圆直径， 设，则圆心为的中点，半径为， 所以圆方程为， ……………………………14分 化为一般式方程为， 整理为关于的方程为：， 由，得或，定点为和， 所以经过，，三点的圆必经过定点，定点坐标为和．……………………………17分 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二上学期期中模拟卷03 数 学 （考试时间：120分钟，试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：苏教版选择性必修第一册第1~3章（直线与方程+圆与方程+圆锥曲线与方程） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．双曲线 的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知，则直线经过 （    ） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 3．实轴长为6，虚轴长为8，焦点在x轴上的双曲线方程为（  ） A． B． C． D． 4．平行直线与之间的距离为（    ） A． B． C． D． 5．将直线绕点顺时针旋转得到直线，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 6．直线与圆交于、两点，则的面积为（    ） A．2 B． C． D． 7．已知椭圆的左、右焦点分别为，，右顶点为，点在椭圆上，且，若，则（   ） A．1 B．2 C． D．3 8．如图，设抛物线的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在该抛物线上，点C在y轴上，若，，则（    ） A． B．3 C． D．4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线，下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．当时，关于轴的对称直线为 C．直线一定经过第四象限 D．点到直线的最大距离为 10.已知椭圆，双曲线的离心率分别为，，则（    ） A．的焦距小于的焦距 B．可能为等轴双曲线 C． D．与恰有四个公共点 11．如图，曲线可以看作“蝴蝶结”的一部分，已知曲线上除原点外的所有点均满足其到原点的距离的立方与该点横纵坐标之积的绝对值的商恒为定值（），则（    ） A．曲线关于直线对称 B．曲线经过点，其方程为 C．曲线围成的图形面积小于 D．存在，使得曲线上有5个整点（即横、纵坐标均为整数的点） 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分． 12．抛物线C：经过点，则点P到C的焦点的距离为 ． 13．已知圆的圆心在直线上，且圆经过点，，则圆的方程是 . 14．如图，斜率为的直线与椭圆交于，两点，与轴、轴分别交于点，，若，则椭圆的焦距为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知点，直线. (1)求点到直线的距离； (2)求点关于直线l的对称点的坐标. 16．（本小题满分15分）已知顶点在原点，焦点在坐标轴上的抛物线过点. (1)求拋物线的标准方程； (2)若抛物线的焦点在轴上且与直线交于、两点（、两点异于原点），以为直径的圆经过原点，求的值. 17．（本小题满分15分）已知双曲线C：（，）的一条渐近线为，且一个焦点到渐近线的距离为2． (1)求双曲线方程； (2)过点（的直线与双曲线左、右两支分别交于两点，动点M满足，求点M的轨迹方程． 18．（本小题满分17分）已知椭圆的离心率为，右焦点为，是E上一点． (1)求的方程； (2)过F的直线交于两点，求（为坐标原点）的面积的最大值． 19．（本小题满分17分）已知，，，， (1)求证：，，，四点共圆； (2)，，，所在圆记为，点是上一点，从点向作切线，，切点为，． ①若，求点坐标并求此时切线，的直线方程； ②求证：经过，，三点的圆必经过定点，并求出所有定点坐标． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二上学期期中模拟卷03 数 学 数学·参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 B B A D C C D A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABD AC ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.2 13. 14. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 【解】（1）因为点，直线， 所以点到直线的距离为 .……………………………6分 （2）设，则， 即，解得， 所以点关于直线l的对称点的坐标为. ……………………………13分 16．（本小题满分15分） 【解】（1）当抛物线焦点在轴上时，设抛物线方程为， 过点，即，解得， 即此时抛物线方程为； ……………………………3分 当抛物线焦点在轴上时，设抛物线方程为， 过点，即，解得， 即此时抛物线方程为； ……………………………6分 （2） 由（1）得当抛物线焦点在轴上时，抛物线方程为， 设，， 联立直线与抛物线，得， 则，解得， 且，， ……………………………9分 ， ……………………………11分 又以为直径的圆经过原点， 即，， 解得. ……………………………15分 17．（本小题满分15分） 【解】（1）因为双曲线渐近线的方程为：，则， 而焦点到渐近线的距离为2，故（为半焦距），故 ……………………………3分 故，故双曲线方程为：. ……………………………6分 （2）由题设可得的斜率必定存在，设直线，， 由可得 ， 因为直线与双曲线左、右两支分别交于两点， 故，故， 又，而， ……………………………10分 因，故， 所以，故，故，代入后可得， ……………………………14分 因为，故， ……………………………16分 故的轨迹方程为： .……………………………17分 18．（本小题满分17分） 【解】（1）因为是E上一点，代入椭圆方程解得， 又，解得， 所以椭圆的方程为. ……………………………5分 （2）由（1）得半焦距，点，显然的斜率不为零， 设直线的方程为，， 由消去，得，显然， 则，， ……………………………8分 所以，……………………………10分 则的面积，…………………………13分 令，函数在上单调递增，当时，取得最小值4， 则当时，取得最小值4，， …………………………16分 所以的面积的最大值为. ……………………………17分    19．（本小题满分17分） 【解】（1）因为，，，， 易知点到四个点的距离相等，均为， 所以四点都在圆上， 即四点共圆； ……………………………5分 （2）①，又， 所以，（负值舍去）， ，，即，所以， ……………………………7分 设，则，解得， …………………………8分 所以，显然切线斜率存在， 设切线方程为，即， 则，解得， 所以切线方程为， 即或； ……………………………11分    ②因为，所以四点共圆，为圆直径， 设，则圆心为的中点，半径为， 所以圆方程为， ……………………………14分 化为一般式方程为， 整理为关于的方程为：， 由，得或，定点为和， 所以经过，，三点的圆必经过定点，定点坐标为和．……………………………17分 59万，按照时间成本来看，第一个方案更好，因为用时更短， 方案①较为合算. …………………………………………………17分 19．（本小题满分17分） 【解】（1）由题意知，函数满足：， 令，则，解得， 令，则，解得， 函数为偶函数，理由如下： 由题意，函数的定义域为， 令，则，即， 所以函数为偶函数. …………………………………………………5分 （2）函数在上单调递减，证明如下： 任取，令，， 则，即， 因为，则，由题意知， 所以，即， 所以函数在上单调递减. …………………………………………………11分 （3）由，得； 令，则，所以， 因为函数为偶函数，所以， 当时，因为函数在上单调递减， 所以由，得，即，解得； 因为函数为偶函数，且函数在上单调递减， 所以函数在上单调递增， 当时，由，得， 所以，解得； 综上所述，不等式的解集为或.………………………………………17分 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $