高一数学上学期期中模拟卷01（苏教版，举一反三）【测试范围：苏教版必修第一册第1章～第5章】

2025-2026学年高一数学上学期期中模拟卷01 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）设集合，则，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据交集的定义，画出数轴，可求出结果. 【解答过程】集合，，在数轴上表示如图所示：由图可得. 故选：B. 2．（5分）命题“，”的否定为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解题思路】根据特称命题的否定为全称命题判断即可. 【解答过程】命题“，”的否定为“，”. 故选：B. 3．（5分）下列命题是真命题的为（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解题思路】举反例可说明选项A，B 错误；令可知选项C错误；由不等式的性质可得选项D正确. 【解答过程】A.令，满足，但，选项A错误. B.令，满足，但，选项B错误. C.当时，，选项C错误. D.由可知，由不等式的性质得，选项D正确. 故选：D. 4．（5分）老子《道德经》有云“天下难事，必作于易；天下大事，必作于细”，根据这句话，说明 “做容易题”是“做难题”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解题思路】根据充分条件和必要条件的定义判断即可. 【解答过程】由题意可知，“做容易题”不一定能推出“做难题”， 但“做难题”一定可以推出“做容易题”， 故“做容易题”是“做难题”的必要不充分条件， 故选：B. 5．（5分）已知函数，且函数的定义域为，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解题思路】根据配凑法求出的解析式，并求出定义域判断得解. 【解答过程】由，则， 又函数的定义域为，即， ， 所以函数的定义域为. 故选：D. 6．（5分）牛顿冷却定律（Newton's law of cooling）是牛顿在1701年用实验确定的：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，环境温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：.已知环境温度为，一块面包从温度为的烤箱里拿出，经过10分钟温度降为，那么大约再经过多长时间，温度降为？（参考数据：）（   ） A．33分钟 B．28分钟 C．23分钟 D．18分钟 【答案】C 【解题思路】根据题意列出方程，指数对数互化，解出即可． 【解答过程】解：依题意，得， 化简得，解得. 设这块面包总共经过分钟，温度降为30°， 则，化简得， 解得， 故大约再经过（分钟），这块面包温度降为30°， 故选：C. 7．（5分）已知正实数，满足，则代数式的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据条件等式再利用基本不等式中“1”的应用即可计算的出结果. 【解答过程】由可得，可得； 所以； 因此， 当且仅当时，即时，等号成立； 此时. 故选：A. 8．（5分）设奇函数的定义域为R，对任意的，且，都有不等式 ，且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】令，分析函数的奇偶性与单调性，计算可得出，然后分情况解不等式，即可得出原不等式的解集. 【解答过程】对任意的，且，都有不等式 ， 不妨设，则， 令，则，即函数在上为增函数， 因为函数的定义域上是奇函数，即， 则，所以偶函数， 所以函数在上为增函数，在上为减函数， 因为，则， 当时，即时， 由可得， 则，解得， 当时，即时， 由可得， 则，解得， 综上：不等式的解集是. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）设全集，集合，，，则（    ） A．集合的真子集个数是 B． C． D． 【答案】ABD 【解题思路】利用真子集的个数公式可判断A选项；利用并集运算可判断B选项； 利用补集和交集运算可判断C选项；利用集合的包含关系可判断D选项. 【解答过程】对于A选项，集合的元素个数为，则集合的真子集个数是，A对； 对于B选项，因为，，则，B对； 对于C选项，因为全集，集合，， 则，，则，C错； 对于D选项，由C选项可知，因为，，则，D对. 故选：ABD. 10．（6分）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为或 【答案】AD 【解题思路】根据不等式的解集与不等式的关系可判断A选项；利用韦达定理可得出、与的等量关系，利用一次不等式的解法可判断B选项；代值计算可判断C选项；利用二次不等式的解法可判断D选项. 【解答过程】对于A选项，因为关于的不等式的解集为，则，A对； 对于B选项，由题意可知，关于的二次方程的两根分别为、， 由韦达定理可得，可得， 所以，不等式即为，即，解得， 故不等式的解集为，B错； 对于C选项，，C错； 对于D选项，不等式即为，即， 即，解得或， 因此，不等式的解集为或，D对. 故选：AD. 11．（6分）已知定义在的函数满足，且，当时，，则（    ） A． B．在上单调递增 C．是偶函数 D．不等式的解集是 【答案】ABD 【解题思路】令可求出判断A；由单调性定义判断B；根据定义域可判断函数的奇偶性，即可判断C；由条件可得等价于，利用函数的单调性求解可判断D． 【解答过程】令，得，即，则A正确； 设，，令，其中，， 因为，所以， 即，则在上单调递增，故B正确； 由题意可知的定义域是，则为非奇非偶函数，故C错误； 令，得，因为．所以． 因为，所以， 所以， 所以等价于， 因为在上单调递增，所以，解得， 所以不等式的解集是，故D正确． 故选：ABD． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）若命题“，使”是假命题，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解题思路】利用含有一个量词命题的否定的真假，由判别式即可求得实数的取值范围. 【解答过程】根据题意可得“，使”是假命题等价于“，”是真命题， 因此可得，解得； 即可得实数的取值范围为. 故答案为：. 13．（5分）计算： . 【答案】 【解题思路】根据指数幂运算性质以及对数运算性质求解出结果. 【解答过程】原式 ， 故答案为：. 14．（5分）已知定义在上的函数是奇函数，且在上是增函数，，则不等式的解集是 . 【答案】 【解题思路】根据的奇偶性和单调性分析出的取值正负，然后分析不等式求解出解集. 【解答过程】因为定义在上的函数是奇函数， 所以，在上单调递增， 所以当时，；当时，； 当时，；当时，； 因为， 所以或，解得， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）计算下列各式的值： (1)； (2). 【答案】(1)77 (2) 【解题思路】（1）利用指数幂的运算性质计算即可； （2）利用对数的运算性质计算即可. 【解答过程】（1） . （2） . 16．（15分）设全集为实数集，集合，. (1)当时，求，； (2)若命题，命题，且p是q的充分且不必要条件，求实数a的取值范围. 【答案】(1)，或 (2) 【解题思路】（1）求得集合，进而可求得，； （2）根据给定条件得到集合是集合的真子集，再利用集合的包含关系即可得解. 【解答过程】（1）解，得，所以， 当时，， 所以，或， 所以或， （2）由（1）知，，而必为非空集合， 因为是的充分不必要条件，则集合是集合的真子集， 所以（等号不同时成立），解得. 17．（15分）某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为立方米，深为米.甲工程队参与投标，给出的报价为：池底每平米的造价为元，池壁每平米造价为元.设总造价为元，池底一边长为米，另一边长为米. (1)若按照甲工程队的报价，怎样设计能使水池造价最低？最低造价是多少？ (2)现有乙工程队也参与投标，其给出的整体报价为元，其中，试问甲工程队一定能中标吗？（报价总低于对手即为中标） 【答案】(1)答案见解析 (2)能，理由见解析 【解题思路】（1）由贮水池的容积可求得，然后利用基本不等式可求出甲工程队的造价的最小值，利用等号成立的条件求出、的值，即可得出结论； （2）由题意可知对任意的、，不等式恒成立，可得出，令，可得出，利用基本不等式求出的最大值，可得出实数的取值范围，结合题意判断可得出结论. 【解答过程】（1）解：由题意可知，水池的容积为，可得， 甲工程队的造价为 （元）， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，将贮水池的池底涉及为边长为米的正方形时，总造价最低，最低造价是元. （2）解：若甲工程队一定能中标成功，则对任意的、， 不等式恒成立， 即对任意的、，恒成立， 因为，当且仅当时，等号成立， 令，则， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，即当时，等号成立，所以，， 所以，要使得甲工程队一定能竞标成功，则， 又因为，所以，甲工程队一定能竞标成功. 18．（17分）已知二次函数的图象与直线有且仅有一个公共点，且不等式的解集为. (1)求此二次函数的解析式； (2)关于的不等式的解集中恰有一个正整数，求实数的取值范围； (3)对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据给定条件，可得，是方程的两个根，写出解析式，再结合顶点坐标求解即得. （2）由（1）的结论，分类求解不等式，进而确定的范围. （3）依题意可得对，不等式恒成立，令，，则，解得即可. 【解答过程】（1）由不等式的解集为，得且是关于的方程的两个根， 因此， 所以函数的图象开口向上，其对称轴为， 而该图象与直线有且仅有一个公共点，则图象的顶点为， 于是，解得， 所以此二次函数的表达式为，即. （2）由（1）知不等式为， 整理得，即， 依题意，不等式的解集中恰有一个正整数，则， 当时，解得，即不等式的解集为，此时解集中不含正整数，故舍去； 当时，解得，不等式的解集为，要使解集中恰有一个正整数， 则， 所以实数的取值范围是. （3）对，不等式恒成立， 即对，不等式恒成立， 令，，则，解得， 即实数的取值范围为. 19．（17分）设定义在R上的函数满足：①对，R，都有；②时，；③不存在R，使得. (1)求证：为奇函数； (2)求证：在R上单调递增； (3)若，不等式对恒成立，试求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【解题思路】（1）赋值法求得，然后再令可证得奇函数； （2）由已知先证得，再根据单调性定义可得答案； （3）由已知求出，然后已知不等式化简后由函数的单调性转化为二次不等式恒成立，从而求得的范围，最后再由二次函数性质可得答案． 【解答过程】（1）的定义域为R，关于原点对称， 令，得，解得或， 又不存在R，使得，∴， 令，得， ∴，， ∴为奇函数； （2）时，，， ∴，当且仅当，等号成立， 又不存在，使得，∴，∴时，， 又∵为奇函数，∴时，， ∴对，， 任取，则，， 而， ∴， 又，∴，∴， ∴，，∴在上单调递增； （3）， ∴， ， ∵不等式对恒成立， ∴对恒成立， 又在R上单调递增， ∴对恒成立， 即对恒成立， 设，，即对成立 当时，符合题意； 当时，，解得：. 综上可知：的取值范围是. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期期中模拟卷01 【苏教版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：苏教版必修第一册第1章~第5章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）设集合，则，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（5分）命题“，”的否定为（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（5分）下列命题是真命题的为（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（5分）老子《道德经》有云“天下难事，必作于易；天下大事，必作于细”，根据这句话，说明 “做容易题”是“做难题”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（5分）已知函数，且函数的定义域为，则（   ） A．， B．， C．， D．， 6．（5分）牛顿冷却定律（Newton's law of cooling）是牛顿在1701年用实验确定的：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，环境温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：.已知环境温度为，一块面包从温度为的烤箱里拿出，经过10分钟温度降为，那么大约再经过多长时间，温度降为？（参考数据：）（   ） A．33分钟 B．28分钟 C．23分钟 D．18分钟 7．（5分）已知正实数，满足，则代数式的最小值为（   ） A． B． C． D． 8．（5分）设奇函数的定义域为R，对任意的，且，都有不等式 ，且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）设全集，集合，，，则（    ） A．集合的真子集个数是 B． C． D． 10．（6分）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为或 11．（6分）已知定义在的函数满足，且，当时，，则（    ） A． B．在上单调递增 C．是偶函数 D．不等式的解集是 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）若命题“，使”是假命题，则实数的取值范围为 . 13．（5分）计算： . 14．（5分）已知定义在上的函数是奇函数，且在上是增函数，，则不等式的解集是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）计算下列各式的值： (1)； (2). 16．（15分）设全集为实数集，集合，. (1)当时，求，； (2)若命题，命题，且p是q的充分且不必要条件，求实数a的取值范围. 17．（15分）某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为立方米，深为米.甲工程队参与投标，给出的报价为：池底每平米的造价为元，池壁每平米造价为元.设总造价为元，池底一边长为米，另一边长为米. (1)若按照甲工程队的报价，怎样设计能使水池造价最低？最低造价是多少？ (2)现有乙工程队也参与投标，其给出的整体报价为元，其中，试问甲工程队一定能中标吗？（报价总低于对手即为中标） 18．（17分）已知二次函数的图象与直线有且仅有一个公共点，且不等式的解集为. (1)求此二次函数的解析式； (2)关于的不等式的解集中恰有一个正整数，求实数的取值范围； (3)对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 19．（17分）设定义在R上的函数满足：①对，R，都有；②时，；③不存在R，使得. (1)求证：为奇函数； (2)求证：在R上单调递增； (3)若，不等式对恒成立，试求的取值范围. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $