高二数学上学期期中模拟卷02（人教A版，举一反三）【测试范围：人教A版选择性必修第一册第一章～第三章】

2025-2026学年高二数学上学期期中模拟卷02 【人教A版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：人教A版选择性必修第一册第一章~第三章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）若经过，两点的直线的倾斜角为，则（    ） A． B． C． D．2 2．（5分）抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 3．（5分）设，，向量，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（5分）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，离心率分别为，，点P为椭圆与双曲线在第一象限的公共点，且，若，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 5．（5分）已知圆，直线，点在直线上运动，直线分别与圆相切于点，则四边形的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（5分）已知为平行四边形外的一点，且，，，则下列结论正确的是（    ） A．与是共线向量 B．与同向的单位向量为 C．与夹角的正弦值为 D．平面的一个法向量为 7．（5分）已知点、是椭圆的左、右焦点、点为椭圆上一点，点关于的角平分线的对称点也在椭圆上，若，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 8．（5分）如图，点在正方体的面对角线上运动（点异于，点），则下列结论不正确的是（ ） A．异面直线与所成角为60° B．平面 C．三棱锥的体积不变 D．直线与平面所成角正弦值的取值范围为 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）已知直线：，直线：，则（    ） A．当时，与的交点是 B．直线与都恒过 C．若，则 D．，使得 10．（6分）已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，过两点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为，则下列结论正确的是（    ） A．抛物线的方程为 B．线段的长度为 C． D．线段的中点到轴的距离为 11．（6分）如图，菱形的边长为为边的中点，将沿折起，折叠后点的对应点为，使得平面平面，连接，则下列说法正确的是（    ） A．点到平面的距离为 B．三棱锥的体积为 C．与所成角的余弦值为 D．直线与平面所成角的正弦值为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）如图，在四面体OABC中，，，，点在OA上，且，点为BC的中点，设，则 . 13．（5分）已知曲线与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是 . 14．（5分）已知双曲线的左焦点为，过的直线交圆于，两点，交的右支于点，若，则的离心率为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线： (1)求圆的方程； (2)若过定点的直线被圆所截得的弦长为8，求直线的方程. 16．（15分）如图，在正方体中分别为的中点，点在棱上，且. (1)证明：四点共面； (2)设平面与棱的交点为求与平面所成角的正弦值. 17．（15分）已知双曲线的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为. (1)求双曲线的方程； (2)设为坐标原点，若直线过点，与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，且的面积为，求直线的方程. 18．（17分）如图，四棱锥中，平面，，，，，，是的中点． (1)求证：平面； (2)若， ①求平面与平面所成角的余弦值； ②在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19．（17分）已知为坐标原点，椭圆：的两个顶点坐标为，，短轴长为2，直线交椭圆于，两点，直线与轴不平行，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知. (1)求椭圆C的方程； (2)求证：直线恒过定点； (3)斜率为的直线交椭圆于，两点，记以，为直径的圆的面积分别为，，的面积为，求的最大值. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学上学期期中模拟卷02 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）若经过，两点的直线的倾斜角为，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【解题思路】由斜率公式与斜率的定义求解即可 【解答过程】由题意斜率， 解得：， 故选：D. 2．（5分）抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】化为标准方程：，根据准线方程的定义求解． 【解答过程】抛物线的方程为：， 则其焦点坐标为：，准线方程为：． 故选：D. 3．（5分）设，，向量，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解题思路】利用空间向量的坐标运算来表示向量垂直与共线，即可求解参数，再用空间向量的坐标运算去求模即可. 【解答过程】设、，向量，且， ，解得， 又因为，所以，解得， 所以， 故选：． 4．（5分）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，离心率分别为，，点P为椭圆与双曲线在第一象限的公共点，且，若，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设，根据椭圆定义以及余弦定理计算可得，再由双曲线定义可得，即可得双曲线的方程. 【解答过程】不妨设，椭圆长半轴长为，双曲线实轴长为，如下图所示：    根据椭圆定义可知，由离心率定义可得， 解得； 又，可得， 解得； 由易知，可得； 又，可得， 因此可得双曲线的方程为. 故选：D. 5．（5分）已知圆，直线，点在直线上运动，直线分别与圆相切于点，则四边形的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由圆的方程可确定圆心和半径，根据切线长与圆心到定点距离和半径之间关系，即切线长可知当时，最小，可确定四边形面积的最小值. 【解答过程】由圆的方程知：圆心，半径， 四边形的面积， 则当最小时，四边形的面积最小， 点到直线的距离， ， 此时. 故选：A. 6．（5分）已知为平行四边形外的一点，且，，，则下列结论正确的是（    ） A．与是共线向量 B．与同向的单位向量为 C．与夹角的正弦值为 D．平面的一个法向量为 【答案】C 【解题思路】利用向量共线的坐标关系，夹角公式及法向量的特点可以判断选项. 【解答过程】对于A，因为，，所以， 因为，所以与不是共线向量，A不正确； 对于B，，所以与同向的单位向量为，B不正确； 对于C，，,所以， 所以与夹角的正弦值为，C正确； 对于D，，因为，所以平面的一个法向量一定不是，D不正确. 故选：C. 7．（5分）已知点、是椭圆的左、右焦点、点为椭圆上一点，点关于的角平分线的对称点也在椭圆上，若，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】确定在上，设，由椭圆的定义用表示出，由余弦定理确定的关系，然后在中用余弦定理求得关系，得离心率． 【解答过程】点关于的角平分线的对称点N必在上，因此共线，， ，设，则，，， 又，则， 中，由余弦定理得：， 即，化简得，则，， 中，，由余弦定理得， 整理得，所以离心率. 故选：D. 8．（5分）如图，点在正方体的面对角线上运动（点异于，点），则下列结论不正确的是（ ） A．异面直线与所成角为60° B．平面 C．三棱锥的体积不变 D．直线与平面所成角正弦值的取值范围为 【答案】D 【解题思路】选项A：利用异面直线的夹角求解即可，选项B：利用线面垂直的定义结合线面垂直的判定定理求解即可.选项C：利用等体积法求解即可，选项D：利用空间直角坐标系使用代数法求解线面角的取值范围. 【解答过程】 对于A，因为正方体中，且为等边三角形，故异面直线与夹角为，故A正确； 对于B，由正方体的性质可知，，平面， 平面，又因为平面 ，同理可得平面，又因为平面 ， 又因为平面， 平面，故B正确； 对于C，因为平面， 平面，所以平面 所以为定值，故C正确； 对于D，建立如图所示直角坐标系，设正方体的棱长为1，设， ，，，，，则， 所以， 由正方体的性质知：平面， 故平面的法向量为， 直线与平面所成角正弦值为， 因为，，所以当时取得最大值， 若时取得为，所以，故D错误. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）已知直线：，直线：，则（    ） A．当时，与的交点是 B．直线与都恒过 C．若，则 D．，使得 【答案】ABC 【解题思路】将代入，联立两直线方程即可求得交点，则A可解；由直线过定点问题可求B；由直线垂直的条件可判断C；由直线平行的条件可判断D. 【解答过程】对于A，当时，直线，直线， 联立，解得， 所以两直线的交点为，故A正确； 对于B，将点代入的方程，两方程对任意参数都成立，所以直线与都恒过，故B正确； 对于C：若，则，解得，故C正确； 对于D，假设存在，使，则， 解得或， 当，，，两直线重合，舍去， 当时，，即， ，即，两直线重合，舍去， 所以不存在，使，故D错误. 故选：ABC. 10．（6分）已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，过两点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为，则下列结论正确的是（    ） A．抛物线的方程为 B．线段的长度为 C． D．线段的中点到轴的距离为 【答案】AC 【解题思路】求出抛物线的焦点坐标得，即可判断A；联立方程求出坐标得，判断B；确定坐标计算，判断C；求出线段的中点坐标，即可判断D. 【解答过程】由题意，不妨设点A在B点上方，直线与x轴交点， 又经过的焦点，可得，即抛物线方程为，A正确． 由，可得，解得或， 可得交点分别为，所以或4，B错误． 由上，若，可知， 可得，则，即，C正确． 由上，线段的中点为，则线段的中点到轴的距离为，D错误. 故选：AC. 11．（6分）如图，菱形的边长为为边的中点，将沿折起，折叠后点的对应点为，使得平面平面，连接，则下列说法正确的是（    ） A．点到平面的距离为 B．三棱锥的体积为 C．与所成角的余弦值为 D．直线与平面所成角的正弦值为 【答案】ABD 【解题思路】根据题意利用线面垂直判定定理证明平面，建立空间直角坐标系利用点到平面距离的向量求法可得A正确，利用等体积法计算可知B正确，由异面直线夹角的向量求法可判断C错误，再由线面角的向量求法可得D正确. 【解答过程】由菱形的边长为为边的中点可得为正三角形， 且，即； 又平面平面，平面平面， 可得平面， 又平面，所以; 因此可得两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 易知，则， 对于A，易知，； 设平面的一个法向量为， 可得，解得，令； 即； 又， 所以点到平面的距离为，即A正确； 对于B，易知，所以点到平面的距离与点到平面的距离相等，也为； 又因为平面，所以平面； 易知，所以， 即三棱锥的体积为，即B正确； 对于C，易知，又， 所以 即与所成角的余弦值为，可得C错误； 对于D，易知，由选项A可知平面的一个法向量为， 所以直线与平面所成的角的正弦值为，即D正确. 故选：ABD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）如图，在四面体OABC中，，，，点在OA上，且，点为BC的中点，设，则 . 【答案】1 【解题思路】根据空间向量的线性运算结合空间向量的基本定理运算求解. 【解答过程】在四面体OABC中， ，而， 所以，. 故答案为：1. 13．（5分）已知曲线与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解题思路】对曲线进行变形整理，观察发现曲线为圆的一部分，画出对应范围内的图形，接着计算直线的恒过点，当直线与对应的图形有两个交点讨论范围即可. 【解答过程】曲线整理得，则该曲线表示圆心为，半径为1的圆的上半部分， 直线，即，令解得则其过定点，如图所示： 当时，曲线与直线有两个不同的交点，由， 得或，所以，，所以实数的取值范围是. 故答案为：. 14．（5分）已知双曲线的左焦点为，过的直线交圆于，两点，交的右支于点，若，则的离心率为 . 【答案】 【解题思路】作出辅助线，结合题目条件得到方程组，求出，结合双曲线定义得到方程，求出离心率. 【解答过程】设的半焦距为，如图，设为坐标原点，的中点为的右焦点为，连接，.    因为，所以也是的中点.设， 由双曲线的定义得，所以， 在中，由，得，所以， 在中，由，得. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线： (1)求圆的方程； (2)若过定点的直线被圆所截得的弦长为8，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【解题思路】（1）先设圆的标准方程，再代入点列式计算求解； （2）设直线方程分斜率存在及斜率不存在，分别再应用点到直线距离求解即可. 【解答过程】（1）设圆的标准方程为. 圆经过点和，且圆心在直线：上， ，解得，，， 圆的标准方程为. （2）当直线斜率存在时，设，圆心到直线的距离为， 根据点到直线的距离公式得， 解得：，即直线的方程为； 当直线斜率不存在时，，满足条件. 故直线的方程为或. 16．（15分）如图，在正方体中分别为的中点，点在棱上，且. (1)证明：四点共面； (2)设平面与棱的交点为求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量线性运算的坐标形式可得，故可证四点共面； （2）利用向量法可求线面角的正弦值. 【解答过程】（1）在正方体中，以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 令，则， 则， 于是， 即向量共面，又向量有公共点， 所以，，，四点共面. （2）设，则，由点平面，得， 即， 则，解得， 即，，而， 则， 设平面的法向量，则， 令，得，令与平面所成的角为， 则， 所以与平面所成角的正弦值为. 17．（15分）已知双曲线的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为. (1)求双曲线的方程； (2)设为坐标原点，若直线过点，与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，且的面积为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）利用渐近线的斜率及点到直线的距离公式求出即可； （2）由题意直线的斜率存在，设其方程为，联立直线与双曲线的方程，利用弦长公式求出，再利用点到直线的距离求出点到的距离，利用三角形的面积公式建立等式求出，即可求出直线的方程． 【解答过程】（1）∵双曲线的一条渐近线方程为， ∴，即， ∵双曲线的焦点坐标为，焦点到渐近线的距离为， ∴，即， 又，则，解得， 所以双曲线的方程为． （2）由题意直线的斜率存在，设直线方程为，设， 由得， 由题意得，解得， 因为， 所以 ， 又点O到直线的距离， 所以的面积， 则，即，解得或， 又因为，所以， 所以直线的方程为或．    18．（17分）如图，四棱锥中，平面，，，，，，是的中点． (1)求证：平面； (2)若， ①求平面与平面所成角的余弦值； ②在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②存在， 【解题思路】（1）取中点，根据线线平行证明线面平行； （2）建立空间直角坐标系，①利用坐标法可求得两平面法向量，即可得两平面夹角余弦值；②设，利用坐标法表示点到平面距离，列方程，即可得解. 【解答过程】（1） 取中点，连接，， 又点是中点， ，且， ，， ，且， 四边形为平行四边形， ， 平面，平面， 平面； （2） 平面，且，则以点为坐标原点建立空间直角坐标系， ①，，，，，， 易知平面的一个法向量为， 在平面中，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，的， ， 即平面与平面所成角的余弦值为； ②设，， 又，， 则， 又， 设平面的一个法向量为， 则， 令，得， 则， 解得， 即存在点使得点到平面的距离为， 此时. 19．（17分）已知为坐标原点，椭圆：的两个顶点坐标为，，短轴长为2，直线交椭圆于，两点，直线与轴不平行，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知. (1)求椭圆C的方程； (2)求证：直线恒过定点； (3)斜率为的直线交椭圆于，两点，记以，为直径的圆的面积分别为，，的面积为，求的最大值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3). 【解题思路】（1）由已知易知的值，得椭圆C的方程； （2）设直线方程为，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理及，可得，即可得证； （3）设直线，联立直线与椭圆，结合韦达定理可得弦长，再根据点到直线距离可得，再根据点在椭圆上，可得，进而可得，再利用二次函数的性质求得最值. 【解答过程】（1）由已知两个顶点坐标为，，短轴长为2，得，，    则椭圆方程：. （2）设直线方程为，，， 由，消去x得，， ， 则，， ， ， 又点在椭圆上，则，即， 则， 即，则， 即 ， 解得，此时， 即直线的方程为， 所以直线恒过定点. （3）设直线的方程为，，，    由，消去得， ，即， 则，， 所以 ， 点到直线的距离， 所以， 又，， 所以 ， 所以 则当即时，取最大值为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $