专题07 抛物线14大重点题型（举一反三期中专项训练）高二数学上学期人教A版选择性必修第一册

专题07 抛物线14大重点题型（期中专项训练） 【人教A版】 题型归纳 题型1 抛物线的定义的理解 1．（24-25高二上·福建三明·期中）已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点，为坐标原点，，则（    ） A．2 B．3 C．5 D．7 2．（24-25高二上·江西抚州·期中）若抛物线上的一点A到焦点的距离为2，则点A的纵坐标是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·河南焦作·期中）设抛物线的焦点为，过抛物线上的点作准线的垂线，设垂足为，若，且，则（    ） A．2 B． C．1 D． 4．（24-25高二上·重庆·期中）若抛物线上的点到焦点的距离为9，则它到轴的距离是 ． 5．（24-25高二上·山西晋城·期中）已知点是抛物线：（）上一点，若点到抛物线焦点的距离为10，且点到轴的距离为6，则 ． 题型2 求抛物线的轨迹方程 6．（24-25高二上·浙江宁波·期中）若点到直线和它到点的距离相等，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·安徽滁州·期中）在平面直角坐标系中，动点到直线的距离比它到定点的距离小2，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高二上·河南南阳·期中）在平面直角坐标系中，点P到点的距离比点P到直线的距离小2，记动点P的轨迹为W． (1)求W的方程； (2)已知A，B是W上不同的两点，，若A，B，C三点共线，求的值． 10．（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知动点与点的距离比其到直线的距离小1. (1)求动点的轨迹方程； (2)求点与点的距离的最小值，并指出此时的坐标. 题型3 抛物线上的点到定点的距离及最值 11．（24-25高二上·陕西渭南·期中）已知，P为抛物线上任一点，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 12．（24-25高二上·广东江门·期末）已知M是抛物线上的一点且在x轴上方，F是抛物线的焦点，以为始边，FM为终边的角，则等于（    ） A．16 B．20 C．4 D．8 13．（2025·全国·模拟预测）已知A是抛物线C：上的点，，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 14．（24-25高二上·湖南·期中）已知为抛物线上的任意一点，为其焦点，为圆上的一点，则的最小值为 、 15．（24-25高二上·河北沧州·期中）已知，点与点的横坐标相等，点在直线上，且. (1)求点的轨迹方程； (2)若，求的最小值. 题型4   抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 16．（24-25高二上·广东·期中）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，定点，则的最小值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 17．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知抛物线的焦点为，定点为抛物线上一动点，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 18．（24-25高二上·江苏南京·期中）抛物线的准线为l，M为上的动点，则点到与到直线的距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 19．（24-25高二上·陕西榆林·期中）设是抛物线上的一个动点，为抛物线的焦点，若点，则的最小值为 . 20．（24-25高二上·河南南阳·期中）已知抛物线，焦点为. (1)求的坐标及抛物线的准线方程； (2)已知点是抛物线上的一个动点，定点，则当点在抛物线C上移动时，求的最小值. 题型5 抛物线的焦点坐标及准线方程 21．（24-25高二上·陕西·期中）已知点在抛物线上，则抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 22．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）抛物线的焦点坐标为(    ) A． B． C． D． 23．（24-25高二上·河南商丘·期中）抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 24．（24-25高二上·云南曲靖·期中）抛物线的焦点坐标为 ． 25．（24-25高二上·吉林通化·期中）已知是抛物线上的一点. (1)求的焦点坐标与准线方程； (2)若直线经过的焦点，且与交于两点，求的最小值. 题型6 求抛物线的标准方程 26．（24-25高二上·江苏淮安·期中）过点且焦点在y轴上的抛物线方程为（  ） A．或 B． C．或 D． 27．（24-25高二上·全国·课后作业）顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 28．（24-25高二上·吉林四平·期中）已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 29．（24-25高二上·江苏淮安·期中）准线为的抛物线的标准方程是 . 30．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期中）分别求满足下列条件的抛物线的标准方程. (1)焦点为； (2)焦点到准线的距离为. 题型7 抛物线的焦半径公式 31．（24-25高二上·江苏泰州·期中）已知为抛物线的焦点，点在上，且，则点到轴的距离为（    ） A． B． C． D． 32．（24-25高二上·河南·期中）已知为抛物线的焦点，点，，在抛物线上，为的重心，则 （    ） A． B． C． D． 33．（24-25高二上·四川凉山·期末）已知抛物线的焦点为，若抛物线上一点到直线的距离为5，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 34．（24-25高二上·广东东莞·期中）已知点在焦点为F的抛物线上，若，则 ． 35．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知拋物线的顶点在坐标原点，其焦点与双曲线的上焦点重合，A，B为拋物线上两点. (1)求拋物线的标准方程及其准线方程； (2)若，求线段AB的中点到轴的距离. 题型8 实际问题中的抛物线 36．（24-25高二上·江苏扬州·期中）如图，一座抛物线形拱桥，当桥洞内水面宽16m时，拱顶距离水面4m，当水面下降1m后，桥洞内水面宽为（    ） A． B． C． D． 37．（24-25高二上·陕西渭南·期中）图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，则焦点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 38．（24-25高二上·广西玉林·期中）图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为拋物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy，若是该抛物线上一点，点是圆上一点，则的最小值为（   ） A．4 B．3 C． D．5 39．（24-25高二上·河南·期中）如图是正在施工建设的济新黄河三峡大桥鸟瞰图，该桥是世界首座独塔地锚式回转缆悬索桥，大桥主跨长约500米，主塔的高约100米.缆悬索是以为顶点并开口向上的抛物线的一部分，则主塔顶端点到抛物线的焦点的距离为 米. 40．（24-25高二上·山东·期中）如图，赵州桥是一座位于河北省石家庄市赵县城南洨河之上的石拱桥，因赵县古称赵州而得名．赵州桥始建于隋代，是世界上现存年代最久远、跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥．小明家附近的一座桥是仿赵州桥建造的抛物线形拱桥．这座桥的拱顶离水面时，水面宽，当水面的宽度为时，水面下降了 ． 题型9 抛物线的对称性及其应用 41．（24-25高二上·陕西汉中·期中）关于抛物线，下列说法正确的是（        ） A．开口向右 B．焦点坐标为 C．准线为 D．对称轴为x轴 42．（24-25高二上·江苏盐城·期中）已知抛物线上一点到其准线及对称轴的距离分别为3和，则（    ） A．2 B．2或4 C．1或2 D．1 43．（24-25高二上·浙江温州·期中）已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（    ） A． B． C． D． 44．（2025高二上·全国·专题练习）已知抛物线，直线与抛物线交于，两点，则 . 45．（24-25高二·全国·课后作业）正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个三角形的边长是 ． 题型10 直线与抛物线的位置关系 46．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 47．（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线C的方程为，过点和点的直线l与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是（　　） A． B． C． D． 48．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线，抛物线，l与有一个公共点的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．1条、2条或3条 49．（24-25高二上·全国·课后作业）过点与抛物线只有一个公共点的直线有 条． 50．（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线的方程为，直线l过定点，斜率为k.当k为何值时，直线l与抛物线有一个公共点，有两个公共点，没有公共点？ 题型11 抛物线的弦长与焦点弦问题 51．（24-25高二上·河南安阳·期中）过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，设为的中点，为坐标原点.若，则（  ） A． B． C． D． 52．（24-25高二上·重庆·期中）过抛物线焦点的直线与交于、两点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 53．（24-25高二上·山西·期中）已知抛物线，过点的直线l与C相交于A，B两点，且M为弦的中点，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 54．（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，且A、B中点的横坐标为5，则 . 55．（24-25高二上·山东菏泽·期中）已知过点的抛物线方程为，过此抛物线的焦点的直线与该抛物线交于，两点，且． (1)求该抛物线的方程、焦点坐标、准线方程； (2)求所在的直线方程． 题型12 抛物线中的面积问题 56．（24-25高二下·湖南·期中）如图，为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为（   ） A． B． C．8 D．12 57．（24-25高二上·河北·期中）已知的顶点均在抛物线上，且，过分别作抛物线的切线，则三条切线围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D．2 58．（24-25高二上·湖南永州·期中）已知为抛物线的焦点，斜率为的直线与抛物线交于，两点，且位于轴的两侧（在的上方），（其中为坐标原点），则（    ） A． B． C． D． 59．（24-25高二上·山东德州·期中）已知直线与抛物线交于、两点，且（为坐标原点），则 ；的面积为 . 60．（24-25高二上·广西·期中）已知点的坐标为，过点的直线与抛物线：交于两点，且， 连接，直线斜率与直线的斜率之积为.    (1)求的值； (2)若线段的垂直平分线与抛物线交于，两点，求的面积. 题型13 抛物线中的参数范围及最值 61．（24-25高二上·广东东莞·期中）设抛物线，直线与抛物线交于、两点且，则的中点到轴的最短距离为（    ） A． B．1 C． D．2 62．（24-25高二上·天津武清·阶段练习）抛物线：焦点为，准线与轴交于K，点P为抛物线上任意一点，的角平分线与轴交点为，则m最大值为（ ） A． B． C． D． 63．（24-25高二上·浙江宁波·期末）已知A，B，C是抛物线上的三点，且，若，则点A到直线BC的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 64．（24-25高二上·上海·期中）已知抛物线与直线相交于不同的、两点．记点、的横坐标分别为、且，若存在以、、为边长的三角形，则的取值范围是 ． 65．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知点为抛物线的焦点，为抛物线上两点，且直线与直线斜率之和为0． (1)求抛物线的方程； (2)若为抛物线上一动点，直线，且，求到直线距离的最小值． 题型14 抛物线中的定点、定值、定直线问题 66．（24-25高二上·重庆·期中）已知抛物线，过点的直线与抛物线交于、两点，若为定值，则实数的值为 ． 67．（24-25高二上·河南安阳·期中）已知动点在曲线上运动，为坐标原点，为线段中点，记的轨迹为曲线. (1)求的轨迹方程. (2)已知及曲线上的两点和，直线和直线的斜率分别为和，且，求证：直线过定点. 68．（24-25高二上·云南昆明·期中）已知抛物线的焦点为． (1)求的方程； (2)若过点的直线与抛物线交于，两点．是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，请说明理由． 69．（24-25高二上·浙江宁波·期中）设抛物线：，F是其焦点，已知抛物线上一点，且 (1)求该抛物线的方程； (2)过点F作两条互相垂直的直线和，分别交曲线C于点A，B和K，N.设线段AB，KN的中点分别为P，Q，求证:直线恒过一个定点. 70．（24-25高二上·云南丽江·阶段练习）已知抛物线Ω：焦点为F，过F作两条互相垂直的直线，，且直线与Ω交于M，N两点，直线与Ω交于E，P两点，M，E均在第一象限，设A，B分别为弦MN，EP的中点，直线ME与直线NP交于点H． (1)直线AB是否过定点？请说明理由； (2)证明：点H在直线上． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 抛物线14大重点题型（期中专项训练） 【人教A版】 题型归纳 题型1 抛物线的定义的理解 1．（24-25高二上·福建三明·期中）已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点，为坐标原点，，则（    ） A．2 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【解题思路】先求出准线方程，再设点，，根据点P在抛物线上和得到方程组，求出m的值，根据抛物线的定义求出答案. 【解答过程】抛物线的准线方程为， 设，，点P在抛物线上，， 则，解得或（舍去）， 由抛物线定义可得. 故选：B． 2．（24-25高二上·江西抚州·期中）若抛物线上的一点A到焦点的距离为2，则点A的纵坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】将抛物线方程标准化，可得其准线方程 ，运用抛物线的定义转化求解即可. 【解答过程】将标准化为，所以抛物线的准线方程为， 由抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点的距离等于点到准线的距离. 如图所示， 所以，解得. 故选：C. 3．（24-25高二上·河南焦作·期中）设抛物线的焦点为，过抛物线上的点作准线的垂线，设垂足为，若，且，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【解题思路】结合图形，根据抛物线的定义，到焦点的距离等于到准线的距离，在直角三角形中用三角函数即可求得. 【解答过程】设为准线与轴的交点，    因为，且，所以. 因为，所以，在中，，所以，解得. 故选：A. 4．（24-25高二上·重庆·期中）若抛物线上的点到焦点的距离为9，则它到轴的距离是 ． 【答案】5 【解题思路】根据抛物线的定义可求得结果. 【解答过程】根据抛物线的形式可得，中，则， 所以准线方程为，焦点坐标为， 根据抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离， 因为点到焦点的距离为9，所以点到准线的距离为9， 设点的横坐标为，则，解得， 所以点到轴的距离是5， 故答案为：5. 5．（24-25高二上·山西晋城·期中）已知点是抛物线：（）上一点，若点到抛物线焦点的距离为10，且点到轴的距离为6，则 ． 【答案】2或18 【解题思路】由抛物线的定义求得坐标，代入抛物线方程即可求解. 【解答过程】由题意，，则． 又点在抛物线上，所以，将和代入可得，解得或18． 故答案为：2或18. 题型2 求抛物线的轨迹方程 6．（24-25高二上·浙江宁波·期中）若点到直线和它到点的距离相等，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】分析可知点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线，即可得解. 【解答过程】因为点到直线和它到点的距离相等， 所以，点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线， 设其方程为，则，可得， 故点的轨迹方程为. 故选：D. 7．（24-25高二上·安徽滁州·期中）在平面直角坐标系中，动点到直线的距离比它到定点的距离小2，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据抛物线的定义即可求解. 【解答过程】由题意知动点到直线的距离与它到定点的距离相等， 由抛物线的定义知，点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以，点的轨迹方程为. 故选：B. 8．（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设 ，根据，整理即可得解. 【解答过程】设 ，则，整理得， 所以动点的轨迹方程是. 故选：A. 9．（24-25高二上·河南南阳·期中）在平面直角坐标系中，点P到点的距离比点P到直线的距离小2，记动点P的轨迹为W． (1)求W的方程； (2)已知A，B是W上不同的两点，，若A，B，C三点共线，求的值． 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）根据给定条件，利用抛物线的定义求出方程. （2）设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合数量积的坐标表示计算得解. 【解答过程】（1）由点P到点的距离比点P到直线的距离小2， 得点P到点的距离等于点P到直线的距离， 因此点P的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线， 所以点P的轨迹W的方程为. （2）显然直线不垂直于轴，设其方程为，， 由消去得，恒成立，， 所以. 10．（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知动点与点的距离比其到直线的距离小1. (1)求动点的轨迹方程； (2)求点与点的距离的最小值，并指出此时的坐标. 【答案】(1) (2)最小值为，或 【解题思路】（1）利用抛物线的定义得解； （2）设，求出即得解. 【解答过程】（1）由题意知动点到的距离与它到的距离小1即与到直线的距离相等， 所以动点M的轨迹为以为焦点、以直线为准线的抛物线， 因此动点的轨迹方程为. （2）设， 由两点间的距离公式得：， 当，即时，， 即当或时，点与点的距离最小，最小值为. 题型3 抛物线上的点到定点的距离及最值 11．（24-25高二上·陕西渭南·期中）已知，P为抛物线上任一点，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意，由两点间距离公式表示出，再由二次函数的最值，即可得到结果. 【解答过程】依题意，是抛物线上的点，设， 则， 对于函数，当时，， 所以的最小值是， 即的最小值为. 故选：C. 12．（24-25高二上·广东江门·期末）已知M是抛物线上的一点且在x轴上方，F是抛物线的焦点，以为始边，FM为终边的角，则等于（    ） A．16 B．20 C．4 D．8 【答案】A 【解题思路】作出抛出线与焦半径及辅助线，利用直角三角形角所对的边等于斜边的一半及抛物线的定义，得到关于的方程，从而求得的值. 【解答过程】如图所示，抛物线的准线 与轴相交于点，作于，过作于， 因为，所以，设， 在中，， 显然，又由抛物线的定义得， 所以，解得：，即. 故选：A. 13．（2025·全国·模拟预测）已知A是抛物线C：上的点，，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【解题思路】由抛物线的方程，利用二次函数的性质求最值. 【解答过程】设， 则， 当且仅当时，等号成立． 故选：D． 14．（24-25高二上·湖南·期中）已知为抛物线上的任意一点，为其焦点，为圆上的一点，则的最小值为 、 【答案】 【解题思路】取点，根据相似三角形得，则，再通过设点，结合两点距离公式和二次函数性质即可求出最小值. 【解答过程】由题意得，取点，设圆的圆心为， 则，所以，又因为， 所以，则， . ，即求得最小值， 设，则， 令. 当时，，即的最小值为. 故答案为：.    15．（24-25高二上·河北沧州·期中）已知，点与点的横坐标相等，点在直线上，且. (1)求点的轨迹方程； (2)若，求的最小值. 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）设，利用向量数量积的坐标运算列出方程，化简即得. （2）由（1）的信息，利用两点间距离公式列式求出最小值. 【解答过程】（1）设，则，而， 则， 由，得，整理得， 所以点的轨迹方程是. （2）点，由（1）知， 所以当时，取得最小值. 题型4   抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 16．（24-25高二上·广东·期中）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，定点，则的最小值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【解题思路】利用抛物线的定义、性质及数形结合判定选项即可. 【解答过程】因为等于点到准线的距离，作垂直于准线于,根据抛物线的定义可知， 所以当PQ垂直于准线时交准线于,，有最小值，,最小值为. 当且仅当在与抛物线的交点时取得等号. 故选：C. 17．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知抛物线的焦点为，定点为抛物线上一动点，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【解题思路】根据抛物线的定义，结合图形求解即可． 【解答过程】抛物线的焦点为，准线方程是， 过点作准线的垂线，垂足为，过点作准线的垂线，垂足为， ∵点在抛物线上，∴根据抛物线的定义得， ∴，当且仅当共线时取等号， ∴的最小值为8． 故选：A． 18．（24-25高二上·江苏南京·期中）抛物线的准线为l，M为上的动点，则点到与到直线的距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用抛物线的定义将问题转化为焦点到直线的距离即可求解. 【解答过程】 如图，抛物线的焦点为, 根据抛物线的定义可知，点到的距离等于, 所以点到与到直线的距离之和即为与到直线的距离之和， 由图可知，与到直线的距离之和的最小值为焦点到直线的距离， 所以即为所求， 故选: D. 19．（24-25高二上·陕西榆林·期中）设是抛物线上的一个动点，为抛物线的焦点，若点，则的最小值为 . 【答案】6 【解题思路】过作准线的垂线垂足为，交抛物线于，根据抛物线的定义可得，当、、三点共线时，小值． 【解答过程】抛物线，所以焦点为，准线方程为， 当时，所以，因为，所以点在抛物线内部， 如图，    过作准线的垂线垂足为，交抛物线于， 由抛物线的定义，可知， 故． 即当、、三点共线时，距离之和最小值为． 故答案为：． 20．（24-25高二上·河南南阳·期中）已知抛物线，焦点为. (1)求的坐标及抛物线的准线方程； (2)已知点是抛物线上的一个动点，定点，则当点在抛物线C上移动时，求的最小值. 【答案】(1)，准线方程为. (2)3 【解题思路】（1）根据抛物线方程求得焦点坐标以及准线方程. （2）根据抛物线的定义求得正确答案. 【解答过程】（1）将抛物线：化为标准方程得，， 其焦点坐标为，准线方程为. （2）由抛物线的定义知，点P到焦点的距离即为点P到准线的距离， 为点P到定点的距离与点P到准线的距离之和， 要使得最小， 则点P，A在一条垂直于准线的直线上， 故最小值即为点到准线的距离为3， 所以，的最小值为3. 题型5 抛物线的焦点坐标及准线方程 21．（24-25高二上·陕西·期中）已知点在抛物线上，则抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】代入点可得，即可得抛物线方程为，进而可得准线方程. 【解答过程】因为点在抛物线上，则， 可得抛物线，即， 可知，且焦点在y轴正半轴上， 所以抛物线的准线方程为. 故选：D. 22．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）抛物线的焦点坐标为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】将方程化成标准式，即可求解. 【解答过程】由可得，故，则， 故焦点坐标为， 故选：C. 23．（24-25高二上·河南商丘·期中）抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】将方程化为标准式，即可求出其准线方程. 【解答过程】抛物线可化为， 故抛物线的准线方程为. 故选：D. 24．（24-25高二上·云南曲靖·期中）抛物线的焦点坐标为 ． 【答案】 【解题思路】化成标准方程即可求解. 【解答过程】由可得，所以焦点坐标为． 故答案为：. 25．（24-25高二上·吉林通化·期中）已知是抛物线上的一点. (1)求的焦点坐标与准线方程； (2)若直线经过的焦点，且与交于两点，求的最小值. 【答案】(1)焦点坐标为， (2) 【解题思路】（1）将点代入抛物线，求出的值，即可得到结果. （2）联立直线和抛物线，表示弦长，利用基本不等式求解即可. 【解答过程】（1）∵是抛物线上的一点， ∴，解得，， ∴的焦点坐标为，准线方程为. （2） 由（1）得抛物线. ∵直线经过的焦点，∴. 由得. 设，，则， ∴， ∴， 当且仅当，即时，等号成立， ∴的最小值为. 题型6 求抛物线的标准方程 26．（24-25高二上·江苏淮安·期中）过点且焦点在y轴上的抛物线方程为（  ） A．或 B． C．或 D． 【答案】D 【解题思路】根据抛物线焦点的位置设抛物线为，结合所过点求方程. 【解答过程】由题意，可设抛物线为，又点在抛物线上， 所以，故所求抛物线为. 故选：D. 27．（24-25高二上·全国·课后作业）顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由抛物线的标准方程中参数的几何意义即可列式求解. 【解答过程】设抛物线方程为或， 依题意知，∴. ∴抛物线方程为. 故选：C. 28．（24-25高二上·吉林四平·期中）已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求出椭圆的焦点坐标，写出抛物线的焦点坐标，列出等量关系，求出，即可得抛物线的标准方程. 【解答过程】对于椭圆，，，则， 椭圆的焦点坐标为和， 抛物线的焦点的坐标为， 因为抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合， 所以，解得，所以抛物线的标准方程为. 故选：B. 29．（24-25高二上·江苏淮安·期中）准线为的抛物线的标准方程是 . 【答案】 【解题思路】根据准线方程写出抛物线方程即可. 【解答过程】由抛物线的准线为，故，则抛物线方程为. 所以抛物线标准方程为. 故答案为：. 30．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期中）分别求满足下列条件的抛物线的标准方程. (1)焦点为； (2)焦点到准线的距离为. 【答案】(1) (2)或或或. 【解题思路】（1）根据条件确定焦点的位置，求出的值，得抛物线的标准方程； （2）根据条件求出的值，得抛物线的标准方程. 【解答过程】（1）由于焦点在轴的负半轴上，且，， 抛物线的标准方程为. （2）由焦点到准线的距离为，可知. 所求抛物线的标准方程为或或或. 题型7 抛物线的焦半径公式 31．（24-25高二上·江苏泰州·期中）已知为抛物线的焦点，点在上，且，则点到轴的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据焦半径公式求点的坐标，即可求解. 【解答过程】设，，，得， 所以点到轴的距离为. 故选：B. 32．（24-25高二上·河南·期中）已知为抛物线的焦点，点，，在抛物线上，为的重心，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据重心坐标公式，焦半径公式求解． 【解答过程】由题意，， 设，，， 是的重心，则， ， 故选：A． 33．（24-25高二上·四川凉山·期末）已知抛物线的焦点为，若抛物线上一点到直线的距离为5，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解题思路】根据抛物线的定义，结合焦半径公式即可求解. 【解答过程】由于抛物线的准线方程为，抛物线上点到直线的距离为5， 故点到直线的距离为4，故， 故选：B. 34．（24-25高二上·广东东莞·期中）已知点在焦点为F的抛物线上，若，则 ． 【答案】3 【解题思路】根据抛物线的焦半径公式求解． 【解答过程】由焦半径公式得，解得， 故答案为：3. 35．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知拋物线的顶点在坐标原点，其焦点与双曲线的上焦点重合，A，B为拋物线上两点. (1)求拋物线的标准方程及其准线方程； (2)若，求线段AB的中点到轴的距离. 【答案】(1)， (2)2 【解题思路】（1）利用双曲线的焦点来求抛物线方程； （2）利用抛物线定义推导的焦半径公式为，即可求解问题. 【解答过程】（1）由题知双曲线, 所以，所以，即双曲线的上焦点为， 由抛物线的焦点为，可设抛物线的标准方程为：， 则，， 所以抛物线的标准方程为：， 其准线方程为：； （2）设，，线段AB的中点记为， 由，结合抛物线的焦半径公式得：， 即，所以， 即线段AB的中点到轴的距离为2. 题型8 实际问题中的抛物线 36．（24-25高二上·江苏扬州·期中）如图，一座抛物线形拱桥，当桥洞内水面宽16m时，拱顶距离水面4m，当水面下降1m后，桥洞内水面宽为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为轴，过原点且垂直于轴的直线为轴建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为，分析可知点在该抛物线上，求出的值，可得出抛物线的方程，将代入抛物线方程，即可得出结果. 【解答过程】以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为轴，过原点且垂直于轴的直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的方程为，由题意可知点在抛物线上， 所以，可得，所以抛物线的方程为， 当水面下降后，即当时，，可得， 因此，当水面下降后，桥洞内水面宽为. 故选：D. 37．（24-25高二上·陕西渭南·期中）图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，则焦点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意，设抛物线方程为且，结合点在抛物线上求参数，即可得焦点坐标. 【解答过程】由题意，设抛物线方程为且，显然点在抛物线上， 所以，则，故焦点的坐标为. 故选：B. 38．（24-25高二上·广西玉林·期中）图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为拋物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy，若是该抛物线上一点，点是圆上一点，则的最小值为（   ） A．4 B．3 C． D．5 【答案】A 【解题思路】由题意设抛物线的方程，将点的坐标代入，可得抛物线的方程，因为在抛物线的内部，由抛物线的性质可得，可得结果． 【解答过程】由题意设抛物线的方程为， 因为，， 所以点在抛物线上， 将的坐标代入到抛物线的方程中，可得，故， 所以抛物线的方程为， 所以抛物线的焦点的坐标为，准线方程为， 圆的圆心位,半径位，可知圆在抛物线内部，如图： 如图，过点作与准线垂直，为垂足， 点作与准线垂直，为垂足，则， 所以， 当且仅当，，三点共线时，所以的最小值为4． 故选：A. 39．（24-25高二上·河南·期中）如图是正在施工建设的济新黄河三峡大桥鸟瞰图，该桥是世界首座独塔地锚式回转缆悬索桥，大桥主跨长约500米，主塔的高约100米.缆悬索是以为顶点并开口向上的抛物线的一部分，则主塔顶端点到抛物线的焦点的距离为 米. 【答案】725 【解题思路】建系，得到相应抛物线方程即可求解. 【解答过程】以为坐标原点，过且与主塔AB平行的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则， 设抛物线的方程为，则100，解得， 所以抛物线的准线方程为 . 故答案为：725. 40．（24-25高二上·山东·期中）如图，赵州桥是一座位于河北省石家庄市赵县城南洨河之上的石拱桥，因赵县古称赵州而得名．赵州桥始建于隋代，是世界上现存年代最久远、跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥．小明家附近的一座桥是仿赵州桥建造的抛物线形拱桥．这座桥的拱顶离水面时，水面宽，当水面的宽度为时，水面下降了 ． 【答案】 【解题思路】建系，设抛物线方程为，从而可得在抛物线上，从而可求出抛物线方程，再令，即可求解． 【解答过程】建系如图，设抛物线方程为， 则根据题意可知图中坐标为， ，， 抛物线方程为， 令，可得， 则水面下降了米 故答案为：. 题型9 抛物线的对称性及其应用 41．（24-25高二上·陕西汉中·期中）关于抛物线，下列说法正确的是（        ） A．开口向右 B．焦点坐标为 C．准线为 D．对称轴为x轴 【答案】D 【解题思路】根据抛物线的方程结合抛物线的性质逐项分析判断. 【解答过程】因为抛物线方程为，则，即， 所以开口向左，焦点坐标为，准线为，对称轴为x轴， 即D正确，ABC错误. 故选：D. 42．（24-25高二上·江苏盐城·期中）已知抛物线上一点到其准线及对称轴的距离分别为3和，则（    ） A．2 B．2或4 C．1或2 D．1 【答案】B 【解题思路】由题意，得到，结合抛物线方程，即可求出结果. 【解答过程】因为抛物线上一点到其准线及对称轴的距离分别为3和， 所以，即，代入抛物线方程可得， 整理得，解得或. 故选：B. 43．（24-25高二上·浙江温州·期中）已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设另外两个顶点的坐标分别为，由图形的对称性可以得到方程，解此方程得到的值，即可得到答案. 【解答过程】由题意，依据抛物线的对称性，及等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上， 可设另外两个顶点的坐标分别为， ，解得， 故这个等边三角形的边长为. 故选：A. 44．（2025高二上·全国·专题练习）已知抛物线，直线与抛物线交于，两点，则 . 【答案】 【解题思路】利用抛物线的对称性得到，从而得解. 【解答过程】因为抛物线关于轴对称，直线与轴垂直， 故，即. 故答案为：. 45．（24-25高二·全国·课后作业）正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个三角形的边长是 ． 【答案】 【解题思路】根据正三角形和抛物线的对称性求得正三角形的边长. 【解答过程】设正三角形的顶点，边长为， 由于正三角形的两个顶点在抛物线上， 根据正三角形和抛物线的对称性可设， 将点坐标代入抛物线得. 所以正三角形的边长为. 故答案为：. 题型10 直线与抛物线的位置关系 46．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 【答案】D 【解题思路】根据直线和抛物线只有一个公共点确定正确答案. 【解答过程】直线与抛物线的对称轴平行或与抛物线相切时有一个公共点， 所以D选项正确. 故选：D. 47．（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线C的方程为，过点和点的直线l与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】首先求直线的方程，与抛物线方程联立，利用，即可求解的取值范围. 【解答过程】当时，直线，与抛物线有交点，所以， 设直线的方程为， 联立直线与抛物线方程，得，消元整理，得， 由于直线与抛物线无公共点，即方程无解，故有，解得或. 故选：A. 48．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线，抛物线，l与有一个公共点的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．1条、2条或3条 【答案】C 【解题思路】将直线方程和抛物线方程联立，使得方程仅有一个实数根，求出对应的的取值个数即可. 【解答过程】联立直线和抛物线方程可得， 整理可得， 直线l与有一个公共点等价于方程只有一个实数根， 当时，方程为仅有一解，符合题意； 当时，一元二次方程仅有一解， 即，解得， 所以满足题意得直线有三条，即，和. 故选：C. 49．（24-25高二上·全国·课后作业）过点与抛物线只有一个公共点的直线有 条． 【答案】3 【解题思路】根据斜率存在和不存在两种情况讨论，当斜率存在时直线方程联立抛物线方程消元，对二次系数讨论，结合判别式求解可得. 【解答过程】①当斜率不存在时，过点的直线为y轴，显然符合题意． ②当斜率存在时，设直线方程为． 联立得， 当时，解得，此时方程有唯一实数解，符合题意； 当时，由解得，此时方程有唯一实数解，符合题意． 综上共有3条直线． 故答案为：3.    50．（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线的方程为，直线l过定点，斜率为k.当k为何值时，直线l与抛物线有一个公共点，有两个公共点，没有公共点？ 【答案】答案见解析 【解题思路】设直线的方程为，联立方程组求得，结合，和，三种情况，求得实数的值（范围），即可求解. 【解答过程】由题意，可设直线的方程为，即， 联立方程组，整理得， 则， 当时，即，解得或，此时方程只有一个实数解， 即直线与抛物线只有一个公共点； 当时，即，解得或，此时方程两个不等的实数解， 即直线与抛物线两个公共点； 当时，即，解得，此时方程没有实数解， 即直线与抛物线没有公共点， 综上可得：当或，直线与抛物线只有一个公共点； 当或，直线与抛物线两个公共点； 当，直线与抛物线没有公共点. 题型11 抛物线的弦长与焦点弦问题 51．（24-25高二上·河南安阳·期中）过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，设为的中点，为坐标原点.若，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设直线的方程为并于抛物线联立，利用中点坐标公式以及可得，再由弦长公式可得答案. 【解答过程】易知抛物线的焦点， 由题意可知直线斜率显然不为0，可设直线的方程为，， 联立，整理可得， 所以显然成立， 又为的中点，可得，即; 所以，整理可得， 解得或（舍）； 因此. 故选：B. 52．（24-25高二上·重庆·期中）过抛物线焦点的直线与交于、两点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】分析可知，直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用抛物线的焦点弦长公式结合韦达定理可求得的最小值. 【解答过程】易知抛物线焦点为， 若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意， 设直线的方程为，设点、， 联立可得，则，所以，， 由抛物线焦点弦长公式可得， 当且仅当时，等号成立， 故的最小值为. 故选：D. 53．（24-25高二上·山西·期中）已知抛物线，过点的直线l与C相交于A，B两点，且M为弦的中点，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设出直线l的方程，与抛物线方程联立，结合中点坐标求出直线l的方程. 【解答过程】显然直线l不垂直于，设直线l的方程为， 由消去得，，由弦的中点为， 得，此时方程有两个不等实根， 所以直线的方程为，即. 故选：D. 54．（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，且A、B中点的横坐标为5，则 . 【答案】12 【解题思路】设，根据A、B中点的横坐标为5得到，由焦点弦长公式得到答案. 【解答过程】由题意得， 设， 因为A、B中点的横坐标为5，所以， 由焦点弦长公式得 故答案为：12. 55．（24-25高二上·山东菏泽·期中）已知过点的抛物线方程为，过此抛物线的焦点的直线与该抛物线交于，两点，且． (1)求该抛物线的方程、焦点坐标、准线方程； (2)求所在的直线方程． 【答案】(1)抛物线的方程为，焦点，准线方程为：； (2)或 【解题思路】（1）根据给定条件求出p值即可求解； （2）设出直线AB的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理并借助弦长公式求解即得. 【解答过程】（1） 因点在抛物线方程上，则，所以， 所以抛物线的方程为，焦点，准线方程为：； （2）显然，直线不垂直y轴，设直线方程为：， 由消去x得：， 设，则有， 因为， 则， 解得，即直线AB：， 所以所在的直线方程：或. 题型12 抛物线中的面积问题 56．（24-25高二下·湖南·期中）如图，为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为（   ） A． B． C．8 D．12 【答案】B 【解题思路】根据抛物线定义求出，再代入回抛物线方程求出其纵坐标，最后计算面积即可. 【解答过程】由可得抛物线的焦点，准线方程为， 如图：过点作准线的垂线，垂足为， 根据抛物线的定义可知，设，则，解得， 将代入可得， 所以的面积为. 故选：B. 57．（24-25高二上·河北·期中）已知的顶点均在抛物线上，且，过分别作抛物线的切线，则三条切线围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解题思路】设，分别求出直线的方程，两两联立求出交点的坐标，继而求得直线的方程，过点垂直于轴的直线交直线于点，求得，过点垂直于轴的直线交直线于点，求得，计算和的面积之比即得. 【解答过程】依题意，设，过点的切线， 联立得， 令，解得，故得， 同理可得， 记交于点交于点交于点，联立､的方程解得， 同理可得，则． 另外直线，化简得：; 直线,化简得：．    如图，过点垂直于轴的直线交直线于点，则 过点垂直于轴的直线交直线于点，解得， 因为， 所以，即切线围成的三角形的面积为． 故选：A. 58．（24-25高二上·湖南永州·期中）已知为抛物线的焦点，斜率为的直线与抛物线交于，两点，且位于轴的两侧（在的上方），（其中为坐标原点），则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设出直线方程，直曲联立，由韦达定理和向量的数量积为零求出直线方程，再由三角形面积公式求出面积可解； 【解答过程】    设点，，直线， 联立，化简为，， ，， ， ， ，， ，， ，，， 又，直线与横轴交点的横坐标为2， ，， 则. 故选：B. 59．（24-25高二上·山东德州·期中）已知直线与抛物线交于、两点，且（为坐标原点），则 ；的面积为 . 【答案】1； 【解题思路】设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，由题意可得出，结合韦达定理可求得的值，然后利用三角形的面积公式可求得的面积. 【解答过程】设点、， 联立可得， ，由韦达定理可得，， 所以，，解得， 所以，，，则， 直线交轴于点， 所以，. 故答案为：；. 60．（24-25高二上·广西·期中）已知点的坐标为，过点的直线与抛物线：交于两点，且， 连接，直线斜率与直线的斜率之积为.    (1)求的值； (2)若线段的垂直平分线与抛物线交于，两点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题意可得直线的方程为，联立方程，利用韦达定理结合向量垂直的坐标表示运算求解即可； （2）由（1）可得直线的方程为，联立方程利用韦达定理求弦长，进而可得面积. 【解答过程】（1）设，直线斜率为， 由题可知：点，则直线的斜率为：； 因为直线斜率与直线的斜率之积为， 则，解得， 又因为点，过点的直线与抛物线交于两点， 故直线的方程为，即， 联立方程，消去可得， 则，可得， 因为，则， 整理可得，即，解得. （2）由题可知，直线垂直平分线段，    设线段的中点为，直线的斜率为， 由（1）知，则，即， 且，所以直线的方程为，即， 联立方程，消去可得， 可得， 设，则， 所以， 且点到直线的距离为， 所以的面积为. 题型13 抛物线中的参数范围及最值 61．（24-25高二上·广东东莞·期中）设抛物线，直线与抛物线交于、两点且，则的中点到轴的最短距离为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【解题思路】设直线的方程并联立抛物线方程，可得根与系数关系，结合化简可得的关系式，表示出的中点到轴的距离的表达式，换元后利用函数的单调性即可求得答案. 【解答过程】由题意知直线l的斜率存在，设直线的方程为， 与抛物线方程联立得，，需满足， 设，，则， 则由弦长公式得， 两边平方得，，因为， 代入得，， 令，，则，而根据对勾函数性质知在单调递增， 因此当时，， 即的中点到轴的最短距离为， 故选：A. 62．（24-25高二上·天津武清·阶段练习）抛物线：焦点为，准线与轴交于K，点P为抛物线上任意一点，的角平分线与轴交点为，则m最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求出抛物线的焦点坐标，利用抛物线的定义，转化求出比值，，求出等式左边式子的范围，将等式右边代入，从而求解． 【解答过程】解：由题意可得，焦点F，准线方程为x＝−1，过点P作PM垂直于准线，M为垂足， 由抛物线的定义可得|PF|＝|PM|＝x＋1， 记∠KPF的平分线与轴交于，， 根据角平分线定理可得， ， 当时，， 当时，， ， 综上：． 故选：B． 63．（24-25高二上·浙江宁波·期末）已知A，B，C是抛物线上的三点，且，若，则点A到直线BC的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】将代入抛物线方程，得到，得到，设，由求出，设直线的方程为，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，从而得到，得到直线恒过定点，求出距离最大值. 【解答过程】将代入中得，，解得，故， 设，由题意得， 其中，， 故，即， 故，即， 设直线的方程为，联立抛物线方程得， ，则， 故，解得， 所以直线的方程为，恒过定点， 故点A到直线BC的距离最大值. 为取等号，，因为，以，满足, 故选：C. 64．（24-25高二上·上海·期中）已知抛物线与直线相交于不同的、两点．记点、的横坐标分别为、且，若存在以、、为边长的三角形，则的取值范围是 ． 【答案】 【解题思路】将直线方程与抛物线的方程联立，可得出，可得出，由以及，，可求出实数的取值范围. 【解答过程】由于存在以、、为边长的三角形，则、、都为正数， 联立可得， 由题意可知，关于的方程有两个不等的实根、， 则，可得， 将代入不等式，得，可得， 由得，可得， 由得，则，即，可得， 由可得，可得， 又因为，即，即，可得， 由于，可得， 显然，则显然成立， 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 65．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知点为抛物线的焦点，为抛物线上两点，且直线与直线斜率之和为0． (1)求抛物线的方程； (2)若为抛物线上一动点，直线，且，求到直线距离的最小值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）关于轴的对称点与三点在同一直线上，设直线的方程为，与抛物线联立方程组，利用根与系数的关系可求，进而求得抛物线的方程； （2）求得直线的方程，设，利用点到直线的距离公式可求到直线距离的最小值. 【解答过程】（1）抛物线的焦点 因为直线与直线斜率之和为0， 所以点关于轴的对称点与三点在同一直线上，    设直线的方程为， 与抛物线联立可得，消去得， 由是方程的两根， 所以，解得，所以抛物线的方程为； （2）因为在抛物线上，所以，所以， 所以，又，所以，又且直线， 所以的方程为， 设，所以点到直线距离； 当时，到直线距离取最小值，最小值为. 题型14 抛物线中的定点、定值、定直线问题 66．（24-25高二上·重庆·期中）已知抛物线，过点的直线与抛物线交于、两点，若为定值，则实数的值为 ． 【答案】 【解题思路】设直线的方程为，联立直线方程和抛物线方程可得，，然后得到，再根据为定值列方程，解方程即可. 【解答过程】若直线与轴重合，则该直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意， 设直线的方程为，联立得， 设、，则，， ，同理可得， 所以， 因为为定值，所以，解得. 故答案为：. 67．（24-25高二上·河南安阳·期中）已知动点在曲线上运动，为坐标原点，为线段中点，记的轨迹为曲线. (1)求的轨迹方程. (2)已知及曲线上的两点和，直线和直线的斜率分别为和，且，求证：直线过定点. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）借助为线段中点，利用相关点法求轨迹方程； （2）设直线：，联立抛物线方程，设，，可得根与系数的关系式，结合化简可得参数之间的关系，进而利用直线方程求得定点坐标. 【解答过程】（1）设，， 是的中点， ，，又， 代入得．故点的轨迹方程是． （2）由题意点坐标适合，即点A在C上， 由题意可知BD斜率不会为0，设直线：， 联立，消去并整理得， 需满足，即， 设，，则，， 因为，， 所以 ， 所以，将，代入得， 即， 所以直线：，即， 所以直线BD经过定点. 68．（24-25高二上·云南昆明·期中）已知抛物线的焦点为． (1)求的方程； (2)若过点的直线与抛物线交于，两点．是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，请说明理由． 【答案】(1)； (2)为定值. 【解题思路】（1）根据抛物线焦点写出抛物线方程即可； （2）设直线的方程为，，，联立抛物线，应用韦达定理及两点距离公式化简目标式，即可证结论. 【解答过程】（1）抛物线的焦点为，依题意，解得， 所以抛物线． （2）由题意，直线斜率不为0，设直线的方程为，，， 联立抛物线有，消去得，则， ∴，，又，， ∴ ，为定值. 69．（24-25高二上·浙江宁波·期中）设抛物线：，F是其焦点，已知抛物线上一点，且 (1)求该抛物线的方程； (2)过点F作两条互相垂直的直线和，分别交曲线C于点A，B和K，N.设线段AB，KN的中点分别为P，Q，求证:直线恒过一个定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据题意可得，进而求解即可； （2）分别建立的方程，再分别与抛物线联立方程组，求出弦中点为的坐标，最后借助斜率的变化确定直线经过定点. 【解答过程】（1）由题意，得，解得，， 所以该抛物线的方程为. （2）证明：设两点坐标分别为，则点的坐标为. 由题意可设直线的方程为. 由，得， 则， ， 所以点的坐标为. 同理可得，点的坐标为. 当时，有，此时直线的斜率. 所以，直线的方程为，整理得. 于是，直线恒过定点； 当时，直线的方程为，也过点. 综上所述，直线恒过定点.    70．（24-25高二上·云南丽江·阶段练习）已知抛物线Ω：焦点为F，过F作两条互相垂直的直线，，且直线与Ω交于M，N两点，直线与Ω交于E，P两点，M，E均在第一象限，设A，B分别为弦MN，EP的中点，直线ME与直线NP交于点H． (1)直线AB是否过定点？请说明理由； (2)证明：点H在直线上． 【答案】(1)过定点，理由见解析； (2)证明见解析. 【解题思路】（1）设直线和的方程，与抛物线联立方程组，利用韦达定理表示出A，B两点坐标，得直线AB方程，由方程判断所过定点坐标； （2）表示出直线ME与直线NP方程，联立方程组求交点坐标即可. 【解答过程】（1）抛物线Ω：的焦点， 互相垂直的直线，与抛物线各有两个交点，知直线，斜率存在且不为0， 设直线的斜率为，则直线，设， 由，消去并整理得，， ，，弦MN的中点， 由垂直的条件，可将换为，设， 同理得，，有， 当或时，直线的方程为， 当且时，直线的斜率为，方程为， 即，当时，恒有， 所以直线过定点，其坐标为. （2）直线的斜率，同理得直线的斜率， 此时直线的方程为，即， 同理，直线的方程为，即，整理得， 由，消去解得， 所以直线ME与直线NP的交点在直线上. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $