高一数学上学期期中模拟卷01（人教A版，举一反三）【测试范围：人教A版必修第一册第一章～第三章】

2025-2026学年高一数学上学期期中模拟卷01 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解答过程】根据条件，利用集合的运算，即可求解. 【解题思路】因为，， 所以， 故选：B. 2．（5分）命题p:，则它的否定为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】本题所给的是一个全称命题，对于全称命题的否定，既要注意量词的变化，还要注意命题中结论的变化． 【解答过程】因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以只需将原命题中的全称量词改为存在量词，并对结论进行否定． 故. 故选：A. 3．（5分）下列不等式中成立的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 【答案】B 【解题思路】利用特值法和不等式的性质即可一一判断各选项. 【解答过程】对于A，当时，，故A错误； 对于B，若，由不等式的性质可知，故B正确； 对于C，若，取，得，则，故C错误； 对于D,若且，取，得，则，故D错误. 故选：B. 4．（5分）下列各组函数是同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【解题思路】函数相等的充要条件是对应法则、定义域相同，由此逐一判断各个选项即可得解. 【解答过程】对于A，与的定义域分别为，故A错误； 对于B，与的定义域分别为，故B错误； 对于C，与的定义域都是，且，故C正确； 对于D，与的定义域分别为，故D错误. 故选：C. 5．（5分）已知x，y为正实数，且，则 的最小值为（    ） A．2 B． C． D．9 【答案】B 【解题思路】利用乘“1”法即可求出最值. 【解答过程】， 当且仅当，即时等号成立. 故选：B. 6．（5分）“或”是“幂函数在上是减函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解题思路】根据幂函数定义及其单调性可得符合题意，可得结论. 【解答过程】由是幂函数可得，解得或； 当时，在上是减函数， 当时，在上是增函数,不合题意， 即可得“幂函数在上是减函数”的等价条件为“”； 而“”仅是“或”的一部分， 因此“或”是“幂函数在上是减函数”的必要不充分条件. 故选：C. 7．（5分）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的解集为 【答案】D 【解题思路】根据不等式与方程的关系，结合韦达定理，求得的关系，再分析选项即可求解. 【解答过程】对于A，由已知可得开口向下，即，故A错误； 对于BCD，是方程的两个根， 所以， 所以， ，故BC错误，D正确； 故选：D. 8．（5分）已知函数是定义域为的奇函数，且，若对任意的，，且，都有成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由在单调递增，又结合为奇函数得出上递增，再由等价于或，即可求解集. 【解答过程】对任意的，，且，都有成立，所以在单调递增， 又因为函数是定义域为的奇函数，所以在单调递增， 由， 当时，，即； 当时，，即； 由可得. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）下列命题中是真命题的有（    ） A． B． C．“”是“”的充分不必要条件 D．“四边形为菱形”是“四边形为正方形”的充分不必要条件 【答案】ABC 【解题思路】对A配方即可判断；对B，求解方程即可判断；对C，解出一元二次不等式即可判断；对D，根据菱形和正方形关系即可判断. 【解答过程】对于A项，因为，所以，此命题为真命题，A正确； 对于B项，由，解得或1，所以命题“”为真命题，B正确； 对于C项，由，解得或， 所以“”是“”的充分不必要条件，C正确； 对于D项，由“四边形为菱形”不能推出“四边形为正方形”，充分性不成立， 但由“四边形为正方形”可以推出“四边形为菱形”，必要性成立，D错误， 故选：ABC. 10．（6分）已知，为正数，且，则（   ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为3 【答案】BC 【解题思路】对于A，对平方后利用基本不等式分析判断，对于B，利用基本不等式分析判断，对于C，由于，再结合基本不等式分析判断，对于D，利用乘“1”法及基本不等式判断. 【解答过程】对于A：由，则， 当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故A错误； 对于B：因为，，且， 所以，当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故B正确； 对于C：由， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为，故C正确； 对于D：， 当且仅当，即，时取等号，故D错误. 故选：BC. 11．（6分）已知函数的定义域为，对任意实数，满足：，且．当时，．则下列选项正确的是（   ） A． B． C．为上的增函数 D．为奇函数 【答案】BD 【解题思路】A：通过赋值法先计算出的值，然后可计算出的值，根据可得结果；B：赋值法直接求得结果；C：根据得到，结合条件判断正负可得单调性；D：通过赋值可得，然后通过变形可判断是否为奇函数. 【解答过程】对于A：令，则，令，则， 令，则，故错误； 对于B：由A选项的计算可知，故正确； 对于C：，则，则， 因为，所以，又时，， 所以，所以， 所以为上的减函数，故错误； 对于D：令，则，则， 所以，所以，且定义域为关于原点对称， 所以为奇函数，故正确； 故选：BD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）函数的定义域是 . 【答案】且 【解题思路】根据根式、分式的性质求函数的定义域. 【解答过程】由题设，可得且， 所以定义域为且. 故答案为：且. 13．（5分）若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解题思路】根据已知条件及一元二次不等式的解法即可求解 【解答过程】不等式，可化为 当，即时，， 解集中含有两个整数解，， 当，不等式解集为，不符合题意， 当，即时，， 解集中含有两个整数解，， 综上得. 故答案为：. 14．（5分）“高斯函数”为：对于实数，符号表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，，定义函数，则下列命题中正确的序号是 . ①函数的最大值为；②函数的最小值为； ③函数的图象与直线有无数个交点；④. 【答案】②③④ 【解题思路】根据高斯函数的定义可得解析式，画出图形，根据函数图象逐个命题判断即可. 【解答过程】由题意得：， 由解析式可得函数图形如下图所示， 对于①，函数，①错误； 对于②：函数的最小值为，②正确； 对于③，函数的图象与直线有无数个交点，③正确； 对于④，由图象函数满足， 也可利用定义推导，，④正确； 故答案为：②③④. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据集合的并集运算即可求解； （2）由得，根据集合的包含关系即可求解； （3）根据和分类讨论即可求解. 【解答过程】（1）当时，，则； （2）由得，所以， 解得，即m的取值范围是； （3）当时，符合题意，此时有，即 当时，有或，解得 综上，实数的取值范围为. 16．（15分）如图所示，某高中校运动会，拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左右两个矩形宣传栏发布预赛成绩与决赛成绩，宣传栏的面积之和为，为了美观，要求海报上四周空白的宽度均为，两个宣传栏之间的空隙的宽度为，设海报纸的长和宽分别为. (1)求y关于x的函数表达式； (2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸是最少？ 【答案】(1) (2)海报长，宽时，用纸量最少 【解题思路】（1）根据宣传栏的面积列出解析式； （2）结合基本不等式求解出海报面积的最小值即的最小值； 【解答过程】（1）由题知，两个矩形宣传栏的长为，宽为， ， 整理得. （2）由（1）知，即，     ，由基本不等式可得，       令，则， 解得（舍去）或. ，当且仅当，即时等号成立， ∴海报长，宽时，用纸量最少，最少用纸量为. 17．（15分）已知函数是定义域在上的奇函数，且. (1)求a，b的值； (2)用定义法证明函数在上单调递增； (3)解不等式. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【解题思路】（1）由及列方程求参数值，注意验证； （2）根据单调性定义，应用作差法比较大小，即可证； （3）由奇函数、单调性得，求解即可. 【解答过程】（1）由题设，，则， 所以，则，满足题设， 所以； （2）由（1），令， 则 ， 由，则， 所以函数在上单调递增； （3）由题设， 则， 所以，即. 18．（17分）设函数. (1)若关于的不等式的解集为，求实数的值； (2)若不等式对于实数时恒成立，求的取值范围； (3)解关于的不等式：. 【答案】(1)2 (2)： (3)答案见解析 【解题思路】（1）由二次不等式与二次方程的关系，得到方程的解，即可求出实数的值； （2）整理不等式，将不等式左边看成关于的一次函数，代入两端点不等式成立即可解出的解集； （3）整理不等式，讨论参数的取值，得到相应不等式的解集即可. 【解答过程】（1）由题意知，是方程的两个根， 则，则. （2）， 则对于实数时恒成立， 则，即， 解得，∴ 则的取值范围为. （3）依题意，等价丁， 当时，不等式可化为，解集为. 当时，不等式可化为，此时， 所以不等式的解集为. 当时，不等式化为， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，，不等式的解集为或； ③当时，，不等式的解集为或； 综上，当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为. 19．（17分）定义在上的函数满足：对任意的，都有，且当时，． (1)判断的奇偶性； (2)求证：函数在上是减函数； (3)若，且，，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)奇函数 (2)证明见解析 (3) 【解题思路】（1）根据所给关系式令，即可求出，再令，即可得到与的关系，即可判断； （2）利用定义法证明，结合时，即可证明； （3）求出的值域，从而得到恒成立，设，即可得到，解得即可. 【解答过程】（1）为奇函数， 证明：因为的定义域为，且对，，， 令，则，则； 令，则，则，即， 所以函数是奇函数. （2）设任意的且，由， 则. 又当时，，所以当时，有， 所以，即， 所以函数在上是减函数. （3）因为，所以， 又在上单调递减，所以 ， 所以恒成立， 等价于：恒成立， 即恒成立， 设，是关于的一次函数， 所以，即，则， 所以. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期期中模拟卷01 【人教A版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：人教A版必修第一册第一章~第三章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（5分）命题p:，则它的否定为（    ） A． B． C． D． 3．（5分）下列不等式中成立的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 4．（5分）下列各组函数是同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 5．（5分）已知x，y为正实数，且，则 的最小值为（    ） A．2 B． C． D．9 6．（5分）“或”是“幂函数在上是减函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 7．（5分）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的解集为 8．（5分）已知函数是定义域为的奇函数，且，若对任意的，，且，都有成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）下列命题中是真命题的有（    ） A． B． C．“”是“”的充分不必要条件 D．“四边形为菱形”是“四边形为正方形”的充分不必要条件 10．（6分）已知，为正数，且，则（   ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为3 11．（6分）已知函数的定义域为，对任意实数，满足：，且．当时，．则下列选项正确的是（   ） A． B． C．为上的增函数 D．为奇函数 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）函数的定义域是 . 13．（5分）若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是 ． 14．（5分）“高斯函数”为：对于实数，符号表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，，定义函数，则下列命题中正确的序号是 . ①函数的最大值为；②函数的最小值为； ③函数的图象与直线有无数个交点；④. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 16．（15分）如图所示，某高中校运动会，拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左右两个矩形宣传栏发布预赛成绩与决赛成绩，宣传栏的面积之和为，为了美观，要求海报上四周空白的宽度均为，两个宣传栏之间的空隙的宽度为，设海报纸的长和宽分别为. (1)求y关于x的函数表达式； (2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸是最少？ 17．（15分）已知函数是定义域在上的奇函数，且. (1)求a，b的值； (2)用定义法证明函数在上单调递增； (3)解不等式. 18．（17分）设函数. (1)若关于的不等式的解集为，求实数的值； (2)若不等式对于实数时恒成立，求的取值范围； (3)解关于的不等式：. 19．（17分）定义在上的函数满足：对任意的，都有，且当时，． (1)判断的奇偶性； (2)求证：函数在上是减函数； (3)若，且，，恒成立，求实数的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $