专题06 函数的基本性质14大重点题型（举一反三期中专项训练）高一数学上学期人教A版必修第一册

专题06 函数的基本性质14大重点题型（期中专项训练） 【人教A版】 题型归纳 题型1 函数单调性的判断与证明 1．（24-25高一上·云南大理·期中）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．是奇函数 D．是偶函数 2．（24-25高一上·北京丰台·期中）下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·全国·课后作业）设，，则（    ） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减 4．（24-25高一上·河南郑州·期中）已知函数，其中，．求的值并用定义法证明函数在区间上单调递减． 5．（24-25高一上·福建福州·期中）给定，，且， (1)求的定义域以及的解析式 (2)判断在区间上的单调性，在区间上的单调性，并利用单调性的定义证明 题型2 求函数的单调区间 6．（24-25高一上·福建泉州·期中）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·吉林长春·期中）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·陕西西安·期中）已知函数，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C．和 D．和 9．（24-25高一上·浙江·期中）函数的单调递增区间是 ． 10．（24-25高一上·重庆·期中）已知函数 (1)求实数a值； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明； (3)求函数的单调区间． 题型3 根据函数的单调性求参数 11．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 12．（24-25高一上·安徽·期中）函数是增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高一上·辽宁大连·期中）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 14．（24-25高一上·天津·期中）已知函数，若在单调递增，则m的范围为 . 15．（24-25高一上·内蒙古·期中）已知函数. (1)若恒成立，求的最大值； (2)若在上单调，求的取值范围； (3)求在上的最小值为，求. 题型4 利用函数的单调性比较大小 16．（24-25高一上·河南郑州·期中）函数在区间上单调递减，则有（    ） A． B． C． D． 17．（24-25高一上·北京·期中）已知函数在上单调递增，且函数的图象关于直线对称，设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 18．（24-25高一上·江苏宿迁·期中）已知定义在上的函数满足，且在上单调递减，则，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 19．（24-25高一上·四川成都·期中）定义在区间上的函数满足，时，，若，，，则三个实数a，b，c的大小关系为 ．（用“＜”连接） 20．（24-25高一上·吉林长春·期中）已知函数的定义域为，且，均有．当时，． (1)证明：为减函数； (2)若，求不等式的解集； (3)若且，比较与的大小并证明． 题型5 利用函数的单调性解不等式 21．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数是定义在的增函数，则满足的x取值范围（    ） A． B． C． D． 22．（24-25高一上·山西·期中）已知定义域为的增函数满足，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 23．（24-25高一上·江西鹰潭·期中）已知定义在上的函数满足对，都有，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 24．（24-25高一上·云南昆明·期中）已知的定义域为，对任意的，且都有且，则不等式的解集为 . 25．（24-25高一上·广东广州·期中）已知函数是定义在区间上的增函数，满足． (1)求和的值 (2)解关于的不等式． 题型6 求函数的最值或值域 26．（24-25高一上·福建泉州·期中）当时，下列函数的最小值不为4的有（    ） A． B． C． D． 27．（24-25高一上·浙江绍兴·期中），，记，函数 的最大值（    ） A． B．1 C． D．2 28．（24-25高一上·河北邯郸·期中）定义：函数，即表示函数，中的较大者．已知函数，，则的最小值为（    ） A．0 B．7 C．4 D．2 29．（24-25高一上·广东东莞·期中）函数在上的最小值是 ． 30．（24-25高一上·广东汕头·期中）已知函数. (1)函数单调性的定义证明：函数在上单调递增； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 题型7 根据函数的最值求参数 31．（24-25高一上·陕西咸阳·期中）若函数在区间内存在最大值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 32．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知函数的最小值为8.则实数的值是（   ） A．-1 B．1 C．2 D．3 33．（24-25高一上·浙江宁波·期中）已知函数的最小值为0，则（    ） A． B． C． D． 34．（24-25高一上·江苏泰州·期中）是定义在上的奇函数，且当时，．若在上有最大值，则实数的取值范围为 . 35．（24-25高一上·河南新乡·期中）已知函数． (1)若，求不等式； (2)若，函数在上的最小值大于－3，求的取值范围． 题型8 函数不等式恒、能成立问题 36．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）已知函数．若“，使得成立”为真命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 37．（24-25高一上·四川绵阳·期中）已知函数，对任意，使得关于的不等式成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 38．（24-25高一上·湖南·期中）已知函数对任意，总有.若存在使得不等式成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 39．（24-25高一上·广西·期中）已知函数.对于任意的，存在，使得，则的取值范围是 . 40．（24-25高一上·浙江台州·期中）已知函数 (1)当时，解不等式； (2)若任意，都有成立，求实数的取值范围； (3)若，使得不等式成立，求实数的取值范围． 题型9 函数奇偶性的定义与判断 41．（24-25高一上·四川眉山·期中）下列函数中既奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 42．（24-25高一上·浙江·期中）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 43．（24-25高一上·江苏扬州·期中）已知函数，则下列函数中为奇函数且在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 44．（24-25高一上·北京海淀·期中）已知函数，其中，下列结论正确的是 ． ①存在实数a，使得函数为奇函数 ②存在实数a，使得函数为偶函数 ③当时，的单调增区间为 ④当时，若方程有三个不等实根，则 45．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数； (1)求函数的定义域; (2)判断函数的奇偶性，并证明. 题型10 由函数奇偶性求解析式 46．（24-25高一上·四川遂宁·期中）已知函数为偶函数，当时，则当时，（    ） A． B． C． D． 47．（24-25高一上·重庆·期中）已知为上的奇函数，当时，，则时，的解析式为（   ） A． B． C． D． 48．（24-25高一上·浙江绍兴·期中）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 49．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则当时， . 50．（24-25高一上·广东江门·期中）函数是上的奇函数，且当时，函数的解析式为. (1)求，的值； (2)用定义证明在上是减函数； (3)求函数的解析式. 题型11 由函数奇偶性解不等式 51．（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）已知定义域为的奇函数，对任意，有，的解集为（    ） A． B． C． D． 52．（24-25高一上·广东江门·期中）定义在R上的偶函数满足：对任意的，有且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 53．（24-25高一上·陕西渭南·期中）已知偶函数的定义域为，对于任意 均有，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 54．（24-25高一上·山东德州·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且对任意的、且，满足，若，则的取值范围是 . 55．（24-25高一上·辽宁朝阳·期中）函数是定义在上的奇函数，且． (1)确定函数的解析式； (2)用定义证明在上是增函数； (3)解不等式． 题型12 函数的对称性及其应用 56．（24-25高一上·山东威海·期中）已知函数，则下列函数的图象关于原点对称的是（   ） A． B． C． D． 57．（24-25高一上·江苏无锡·期中）已知定义在上的函数，对，都有，若函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B． C．2 D．1 58．（24-25高一上·浙江温州·期中）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，可将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．则函数图象的对称中心为（   ） A． B． C． D． 59．（24-25高一上·江苏无锡·期中）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．若的对称中心为，则 ． 60．（24-25高一上·山东日照·期中）已知函数的图象关于点对称的充要条件是是奇函数.给定函数. (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； (2)求函数图象的对称中心； (3)已知函数的图象关于点对称，且当时，.若不等式在区间上有解，求实数m的取值范围. 题型13 函数图象的识别与判断 61．（24-25高一上·新疆·期中）函数的部分图象是（    ） A． B． C． D． 62．（24-25高一上·四川南充·期中）函数的大致图象如图所示，则可能是（    ） A． B． C． D． 63．（24-25高一上·福建莆田·期中）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 64．（24-25高一上·四川·期中）若函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 65．（24-25高一上·天津·期中）定义在上的函数为奇函数，且当时，. (1)求和的值； (2)求函数的解析式； (3)作的图象，并写出单调区间和值域（直接写出单调区间和值域）. 题型14 函数基本性质的综合应用 66．（24-25高一上·四川成都·期中）已知函数满足，对任意，且，都有成立，且，则的解集是（   ） A． B． C． D． 67．（24-25高一上·福建龙岩·期中）已知是上的偶函数，对于任意的，都有成立，且，当且时，都有成立.现给出下列命题：①；②函数图象的一条对称轴为；③函数在上为严格增函数；④方程在上有4个根.其中正确的命题个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 68．（24-25高一上·福建福州·期中）已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，且在上单调递增，则下列错误的是（　　） A． B．为函数图象的一条对称轴 C．函数在上单调递减 D． 69．（24-25高一上·重庆·期中）已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有 (1)求函数的解析式； (2)判断的单调性，并利用定义证明； (3)若对 ，都有对恒成立，求实数的取值范围． 70．（24-25高一上·云南昆明·期中）已知函数的定义域为．对任意的非零实数恒有，且当时，． (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)证明：函数在区间上单调递减； (3)若，函数的图象关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 函数的基本性质14大重点题型（期中专项训练） 【人教A版】 题型归纳 题型1 函数单调性的判断与证明 1．（24-25高一上·云南大理·期中）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．是奇函数 D．是偶函数 【答案】C 【解题思路】利用单调性定义可判断AB；利用奇偶性定义可判断CD. 【解答过程】对于B，定义域为，在上不具备单调性，故B错误； 对于A，，且，则． ，且，，，， ，即， 在上单调递增，所以A错误； 对于C，定义域为，关于原点对称， ，． 是奇函数，不是偶函数，故C正确，D错误. 故选：C. 2．（24-25高一上·北京丰台·期中）下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据一次函数，二次函数，反比例函数，绝对值函数及单调性定义判断． 【解答过程】在上，是增函数，是增函数， 在上是减函数，在上是增函数， 时，是减函数， 故选：D． 3．（24-25高一上·全国·课后作业）设，，则（    ） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减 【答案】A 【解题思路】根据正比例函数、反比例函数的单调性，结合函数单调性的性质、定义逐一判断即可. 【解答过程】函数在区间上均单调递增，因此当时，单调递增，A正确，B错误； 令，任取， 则， 当时，，，故在区间内单调递减； 当时，，故在上单调递增，C错误，D错误． 故选：A. 4．（24-25高一上·河南郑州·期中）已知函数，其中，．求的值并用定义法证明函数在区间上单调递减． 【答案】，证明见解析 【解题思路】由可得，然后由单调性定义可完成证明. 【解答过程】由于，所以，解得．所以. 下面证明在区间上单调递减． 在上任取，且， 则， 因为，所以，，， 所以，即， 故函数在区间上单调递减． 5．（24-25高一上·福建福州·期中）给定，，且， (1)求的定义域以及的解析式 (2)判断在区间上的单调性，在区间上的单调性，并利用单调性的定义证明 【答案】(1)答案见解析 (2)在区间上单调递减，在区间上单调递增；证明见解析 【解题思路】（1）利用二次根式的性质和分式的性质求解定义域，结合给定条件利用待定系数法求解解析式即可. （2）先判断函数的单调性，再利用定义法证明即可. 【解答过程】（1）令，解得， 令，解得，则的定义域为, 因为，所以，， 因为，所以， 解得，得到，令，解得， 则的定义域为. （2）判断：在区间上单调递减， 我们任取，且使， 则， ， 因为，所以， 因为，所以，得到， 即，故在区间上单调递减， 判断：在区间上单调递增， 我们任取，且使， 则， ， ，因为，所以， 因为，所以，， 得到，即， 故在区间上单调递增. 题型2 求函数的单调区间 6．（24-25高一上·福建泉州·期中）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据复合函数单调性“同增异减”的原则可确定答案. 【解答过程】由得或. 令，则. 幂函数在上单调递减， 二次函数对称轴为直线，函数在上单调递减，在上单调递增， 根据复合函数单调性可得函数的单调递增区间为. 故选：A. 7．（24-25高一上·吉林长春·期中）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】化函数为分段函数，再结合二次函数单调性求出单调递增区间. 【解答过程】函数， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递增区间为. 故选：A. 8．（24-25高一上·陕西西安·期中）已知函数，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C．和 D．和 【答案】C 【解题思路】作出函数的图象，可得出函数的单调递增区间. 【解答过程】因为函数的对称轴为直线， 由可得或，作出函数的图象如下图所示： 由图可知，函数的单调递增区间为和. 故选：C. 9．（24-25高一上·浙江·期中）函数的单调递增区间是 ． 【答案】和 【解题思路】作出的图象，根据图象直接判断出单调递增区间. 【解答过程】作出的图象如下图所示， 由图象可知，的单调递增区间是和， 故答案为：和. 10．（24-25高一上·重庆·期中）已知函数 (1)求实数a值； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明； (3)求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)单调递增，证明见解析 (3)增区间是，单调递减区间是和 【解题思路】（1）代入，即可求解； （2）根据函数单调性的定义，作差，即可证明； （3）根据（2）的过程和结果，再分区间讨论. 【解答过程】（1）由条件可知，，得； （2）， 设， ， ， 因为，所以，，且，则， 所以， 所以，即， 所以函数在上单调递增； （3）由（2）可知， ， 当时，，，，则， 所以，，即， 所以函数在上单调递减， 当，，，，则， 所以，，即， 所以函数在上单调递减， 综上可知，函数的增区间是，单调递减区间是和. 题型3 根据函数的单调性求参数 11．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据二次函数的性质得到或，解得即可. 【解答过程】因为函数在上具有单调性， 所以或，解得或， 即实数的取值范围是. 故选：B. 12．（24-25高一上·安徽·期中）函数是增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用一次函数和二次函数的图象和性质及分段函数的单调性求解即可. 【解答过程】由题意可知当时，单调递增，则①， 当时，是对称轴为，开口向下的抛物线，则②， 因为函数是增函数，所以③， 由①②③解得， 故选：C. 13．（24-25高一上·辽宁大连·期中）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意函数解析式可化为，利用反比例函数图象的平移和性质可得，解不等式即可得到结果. 【解答过程】由题意得，. ∵函数在区间上单调递减， ∴，解得，即的取值范围是. 故选：C. 14．（24-25高一上·天津·期中）已知函数，若在单调递增，则m的范围为 . 【答案】. 【解题思路】由题意，结合二次函数性质得单调区间，进一步结合已知即可列不等式求解. 【解答过程】由题意， 所以在单调递减，在单调递增，在单调递减，在单调递增， 若在单调递增， 则或，解得或. 故答案为：. 15．（24-25高一上·内蒙古·期中）已知函数. (1)若恒成立，求的最大值； (2)若在上单调，求的取值范围； (3)求在上的最小值为，求. 【答案】(1) (2) (3)或5 【解题思路】（1）由一元二次不等式恒成立，结合图象推得，解之即得； （2）先求函数的单调区间，依题使为其单调区间的子集，解不等式即得； （3）由函数的单调性，根据给定区间与其对称轴的关系，分类考虑分别求解即得. 【解答过程】（1）由题意得恒成立，则， 解得， 所以a的最大值为. （2）由题意得图象的对称轴为直线， 所以在上单调递减，在上单调递增. 因为在上单调，所以或， 解得或，即a的取值范围为. （3）当，即时，在上单调递减，， 解得，舍去； 当，即时，在上单调递增，， 解得，符合题意； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， ，解得或0（，舍去）. 故或5. 题型4 利用函数的单调性比较大小 16．（24-25高一上·河南郑州·期中）函数在区间上单调递减，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据函数单调性的性质逐一判断即可. 【解答过程】A：因为 ，所以不能判断的大小关系； B：因为，且函数在区间上单调递减， 所以有，因此本选项不正确； C：因为 ，所以不能判断的大小关系； D：由B可知本选项正确， 故选：D. 17．（24-25高一上·北京·期中）已知函数在上单调递增，且函数的图象关于直线对称，设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】首先利用对称性将不在上的自变量值转化到上对应的自变量值，再根据单调性比较函数值大小. 【解答过程】因为函数的图象关于直线对称，所以有. 那么，. 已知函数在上单调递增. 在上，，根据单调性，当时，，所以. 即，也就是. 故选：A. 18．（24-25高一上·江苏宿迁·期中）已知定义在上的函数满足，且在上单调递减，则，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据给定条件可得，再利用单调性比较大小即得. 【解答过程】依题意，，由在上单调递减，，得， 所以. 故选：C. 19．（24-25高一上·四川成都·期中）定义在区间上的函数满足，时，，若，，，则三个实数a，b，c的大小关系为 ．（用“＜”连接） 【答案】 【解题思路】利用已知的恒等式进行赋值，由函数单调性的定义判断函数的单调性，由恒等式将转化为，利用单调性比较大小即可． 【解答过程】因为定义在区间上的函数满足：， 设，且满足， 由，有，则， 可得，则， 因为时， 所以，即，所以， 故函数在上为单调递增函数， 因为，所以， 取，，则， 则， 因为，所以，即． 故答案为：． 20．（24-25高一上·吉林长春·期中）已知函数的定义域为，且，均有．当时，． (1)证明：为减函数； (2)若，求不等式的解集； (3)若且，比较与的大小并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3),证明见解析 【解题思路】（1）根据减函数的定义证明； （2）根据函数的单调性解不等式； （3）根据为减函数，以及即可证明. 【解答过程】（1），且， 令，则， 所以， 即， 则，所以函数为减函数. （2）因为， 所以由，可得， 因为，均有， 所以， 所以， 又因为函数为减函数，且定义域为， 所以，解得， 所以原不等式的解集为. （3）因为，， 所以， 所以，即， 又因为函数为减函数， 所以， 根据，均有， 可将化为， 即. 题型5 利用函数的单调性解不等式 21．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数是定义在的增函数，则满足的x取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据函数的定义域与单调性将原不等式化为，从而可得答案. 【解答过程】因为函数是定义在上的增函数， 由，得， 解得，即， 故选：B. 22．（24-25高一上·山西·期中）已知定义域为的增函数满足，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用函数的单调性，再求解不等式. 【解答过程】因为，且， 令，得； 又因为， 所以即 因为在为增函数. 所以解得或. 即不等式的解集为 故选：A. 23．（24-25高一上·江西鹰潭·期中）已知定义在上的函数满足对，都有，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】依题意根据函数单调性定义可得在上单调递增，原不等式等价于，即可解出. 【解答过程】由，得， 令，则，因此函数在上单调递增， 由，得， 由，得， 即，则，解得， 所以原不等式的解集为. 故选：C. 24．（24-25高一上·云南昆明·期中）已知的定义域为，对任意的，且都有且，则不等式的解集为 . 【答案】 【解题思路】由不等关系构造新的函数并得到单调性，对已知不等式按构造函数进行转换，利用单调性列出不等式后解得的解集. 【解答过程】不妨设，则， 令，则，∴在上单调递增， 可得， ∵，∴， 则，. 故答案为：. 25．（24-25高一上·广东广州·期中）已知函数是定义在区间上的增函数，满足． (1)求和的值 (2)解关于的不等式． 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）利用赋值法直接求解即可； （2）转化不等式，根据函数单调性直接求解. 【解答过程】（1）由题知，是定义在区间上的增函数， 且， 令，则，， 令，则， 即，. （2）因为是定义在区间上的增函数， 且，， 所以，等价于， 所以，解得， 即该不等式解集为. 题型6 求函数的最值或值域 26．（24-25高一上·福建泉州·期中）当时，下列函数的最小值不为4的有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据基本不等式可得选项A、B错误；利用函数的单调性可得选项C正确、选项D错误. 【解答过程】A．， 取等号时，即，所以函数的最小值为，故不符合题意； B．， 取等号时，即，所以函数的最小值为，故不符合题意； C．根据对勾函数的单调性可知：在上单调递增， 所以函数最小值为：，故符合题意； D．因为在为单调增函数，所以函数的最小值为，故不符合题意. 故选：C． 27．（24-25高一上·浙江绍兴·期中），，记，函数 的最大值（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【解题思路】根据与的大小确定的表达式，同时得出其单调性，再求最大值． 【解答过程】由得或， 当时，，，在上单调递增， 当时，，，在上单调递增， 当时，，，在上单调递减， 因此在上单调递增，在上单调递减，， 故选：B． 28．（24-25高一上·河北邯郸·期中）定义：函数，即表示函数，中的较大者．已知函数，，则的最小值为（    ） A．0 B．7 C．4 D．2 【答案】D 【解题思路】根据函数的解析式，由一次函数和二次函数的图象作图，即可求出函数的最小值，从而可得出答案. 【解答过程】令，即，解得或； 令，即，解得． 故 作出的图象（图中的实线部分）． 由图象结合函数解析式可知，在上单调递减，在上单调递增， 当时，的最小值为2． 故选：D. 29．（24-25高一上·广东东莞·期中）函数在上的最小值是 ． 【答案】 【解题思路】根据对勾函数的单调性得出最小值. 【解答过程】因为函数在上单调递减，函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 所以. 故答案为：. 30．（24-25高一上·广东汕头·期中）已知函数. (1)函数单调性的定义证明：函数在上单调递增； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)最大值为1，最小值为. 【解题思路】（1）任取，且，然后化简变形，判断符号，从而可得结论； （2）由（1）知在区间上单调递增，从而利用其单调性可求出其最值. 【解答过程】（1）证明：任取，且， 则 因为，，所以，，， 所以，即， 所以在上单调递增. （2）由（1）知在区间上单调递增， 所以，， 所以函数在区间上的最大值为1，最小值为. 题型7 根据函数的最值求参数 31．（24-25高一上·陕西咸阳·期中）若函数在区间内存在最大值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，利用二次函数的性质列式计算即可. 【解答过程】函数图象的对称轴为直线， 由函数在区间内存在最大值，得，解得， 所以的取值范围是. 故选：D. 32．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知函数的最小值为8.则实数的值是（   ） A．-1 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解题思路】将原函数分离常数，由题意，结合反比例函数的性质建立方程，解之即可. 【解答过程】由， 而函数在上单调递减，所以函数在上单调递减， 又其在上的最小值为8， 所以，解得. 故选：C. 33．（24-25高一上·浙江宁波·期中）已知函数的最小值为0，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设，计算可得，再结合图象即可求出答案. 【解答过程】设，则， 则， 在同一坐标系内作出函数的大致图象，得的图象， 函数的最小值为0，结合图象，或，解得， 所以. 故选：C. 34．（24-25高一上·江苏泰州·期中）是定义在上的奇函数，且当时，．若在上有最大值，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解题思路】根据函数的奇偶性的性质求出的解析式，作出函数的图象，数形结合可得结果. 【解答过程】∵是定义在上的奇函数，∴， ∴，得， 若，则，则， 所以 作出函数的图象，如图所示． 当时，， 由图知在区间上有最大值，满足题意； 当时，，由图知在区间上无最大值，不满足题意； 当时，由图知在区间上有最大值，满足题意． 综上，实数的取值范围为． 故答案为：． 35．（24-25高一上·河南新乡·期中）已知函数． (1)若，求不等式； (2)若，函数在上的最小值大于－3，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据单调性和奇偶性解不等式即可； （2）分和两种情况讨论的单调性得到最值，然后列不等式求解即可. 【解答过程】（1）因为的诶R，， 所以是偶函数． 当时，，则由，得在上单调递增． 因为是偶函数，所以由，得， 解得，故不等式的解集为． （2）， 若，则，，则在和上单调递增， 在上单调递减， 由在上的最小值大于－3，得， 解得； 若，则，，则在上单调递增， 由在上的最小值大于－3，得，则． 综上所述，的取值范围为． 题型8 函数不等式恒、能成立问题 36．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）已知函数．若“，使得成立”为真命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由题意，根据一次函数的单调性求得，从而对恒成立，分离参数，利用二次函数性质求解即可. 【解答过程】，使得成立，， 又由在上单调递增，， 即对恒成立，， 即对恒成立，， 又由在上单调递增， 时，时，， . 故选：B． 37．（24-25高一上·四川绵阳·期中）已知函数，对任意，使得关于的不等式成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】首先判断函数的单调性，不等式转化为，结合函数的单调性，利用参变分离，转化为函数的最值问题，即可求解. 【解答过程】，在区间和都是增函数，且， 所以函数在上单调递增， 且， 所以不等式， 即，在恒成立， 即，恒成立，即，得或. 故选：C. 38．（24-25高一上·湖南·期中）已知函数对任意，总有.若存在使得不等式成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】依题意可得在上单调递增，利用单调性解不等式可得存在使不等式成立即可，解可得结果. 【解答过程】根据题意由任意，总有可得在上单调递增， 若不等式成立可得，可得， 即存在时使不等式成立，因此即可； 解得或； 即实数的取值范围是. 故选：C. 39．（24-25高一上·广西·期中）已知函数.对于任意的，存在，使得，则的取值范围是 . 【答案】 【解题思路】由题意，需满足，继而结合函数单调性求出两函数的最小值，讨论的范围，并解不等式即可求得答案. 【解答过程】由题意知，对于任意的，存在，使得， 即需满足， 函数在上单调递减，所以， 当时，在区间上单调递增，则， 所以，解得，所以， 当时，在区间上单调递减，则， 所以，解得，所以， 当时，符合题意， 综上，的取值范围是. 故答案为：. 40．（24-25高一上·浙江台州·期中）已知函数 (1)当时，解不等式； (2)若任意，都有成立，求实数的取值范围； (3)若，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)R． (2) (3)． 【解题思路】（1）利用作差法计算可得，即可求解； （2）由题意可得在恒成立.法一：根据一元二次不等式恒成立问题计算即可求解；法二：利用分离参数法可得，结合基本不等式求出即可； （3）由题意可知，结合二次函数的图象与性质分别求出，建立不等式，解之即可求解. 【解答过程】（1）当时，， 所以，即， 所以的解集为R． （2）若对任意，都有成立，即在恒成立， 解法一：设，对称轴， 由题意，只须， ①当即时，在上单调递增， 所以，符合题意，所以； ②当即时，在上单调递减，在单调递增， 所以，解得且， 所以． 综上，． 解法二：不等式可化为，即， 设， 由题意，只须， 当且仅当即时等号成立，则， 所以，即． （3）若对任意，存在，使得不等式成立， 即只需满足， ，对称轴在上递减，在上递增， 所以； ，对称轴， ①即时，在递增， 所以恒成立； ②即时，在递减，在递增， ， 所以，故； ③即时，在递减，， 所以，解得. 综上：． 题型9 函数奇偶性的定义与判断 41．（24-25高一上·四川眉山·期中）下列函数中既奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解答过程】对于A，函数为偶函数，故A错误； 对于B，函数为奇函数，在上单调递减，故B错误； 对于C，函数为偶函数，故C错误； 对于D，函数的定义域为，，所以为奇函数，易知其为增函数，故D正确. 故选：D. 42．（24-25高一上·浙江·期中）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用奇函数的定义与函数的性质逐一判断即可得结论. 【解答过程】对于A，函数的定义域为， 其定义域不关于原点对称，所以函数不是奇函数，故A错误； 对于B，函数的定义域为R且，为偶函数，故B错误； 对于C，函数的定义域为R且，为偶函数，故C错误； 对于D，函数的定义域为R，关于原点对称， 当时，；，， 所以； 当时，；，， 所以； 当时，，满足； 综上所述，函数为奇函数， 又当时，在上单调递增， 由奇函数的性质可知在R上为增函数，故D正确. 故选：D. 43．（24-25高一上·江苏扬州·期中）已知函数，则下列函数中为奇函数且在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意求出各选项的解析式，结合奇函数的定义及单调性判断即可. 【解答过程】对于A，， 定义域为，在上单调递减； 对于B，， 定义域为，在上单调递减； 对于C，， 定义域为，在上单调递增， 设，则， 所以函数不为奇函数； 对于D，， 定义域为，在上单调递增， 设，则， 所以函数为奇函数，符合题意. 故选：D. 44．（24-25高一上·北京海淀·期中）已知函数，其中，下列结论正确的是 ． ①存在实数a，使得函数为奇函数 ②存在实数a，使得函数为偶函数 ③当时，的单调增区间为 ④当时，若方程有三个不等实根，则 【答案】①③④ 【解题思路】①、②利用奇偶性定义及解析式判断是否存在实数使或；③、④写出的分段函数性质，结合参数的范围，应用二次函数的性质判断单调区间，进而确定时方程根的情况求参数范围. 【解答过程】由，显然当a＝0时有， 但不存在实数a使成立，所以存在实数a，使得函数为奇函数， 不存在实数，使得函数为偶函数.所以①正确，②错误； 且在处连续，当时， 易知：在上递增，递减，上递增，③正确； 由解析式，当时在上递增，递减，上递增， 又，，要使有三个不等实根，即与有三个交点， 所以，又，可得，④正确. 故答案为：①③④. 45．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数； (1)求函数的定义域; (2)判断函数的奇偶性，并证明. 【答案】(1) (2)偶函数，证明见解析 【解题思路】（1）根据具体函数的解析式得出函数的定义域； （2）先根据定义域关于原点对称，再化简解析式应用偶函数的定义即可证明. 【解答过程】（1）因为函数，所以且不等于2， 所以且不等于0，所以函数的定义域为； （2）函数是偶函数. 函数的定义域为关于原点对称， 又因为, , 所以是偶函数. 题型10 由函数奇偶性求解析式 46．（24-25高一上·四川遂宁·期中）已知函数为偶函数，当时，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】当，则代入利用偶函数的性质可求解. 【解答过程】当，则，所以， 根据偶函数性质可知. 故选：C. 47．（24-25高一上·重庆·期中）已知为上的奇函数，当时，，则时，的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用奇函数的定义计算即可. 【解答过程】因为为上的奇函数，当时， 因为，所以， 所以. 故选：C. 48．（24-25高一上·浙江绍兴·期中）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用函数的奇偶性即可求出函数的解析式. 【解答过程】由题意知，，， 当时，， 则， 所以， 即当时，. 故选：B. 49．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则当时， . 【答案】 【解题思路】根据题意结合奇函数定义求解即可. 【解答过程】若，则，可得， 又因为函数是定义在R上的奇函数， 所以. 故答案为：. 50．（24-25高一上·广东江门·期中）函数是上的奇函数，且当时，函数的解析式为. (1)求，的值； (2)用定义证明在上是减函数； (3)求函数的解析式. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【解题思路】（1）先求，然后结合奇函数定义可求； （2）设，然后利用作差法比较与的大小即可判断； （3）由奇函数定义可知.设时，，根据已知函数式及奇函数定义即可求解. 【解答过程】（1）因为时，，所以. 因为为上的奇函数，所以. （2）证明：因为时，， ，，且， ， 因为，，，所以，， 所以，即， 所以在上是减函数. （3）当时，； 当时，，则，所以. 综上，. 题型11 由函数奇偶性解不等式 51．（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）已知定义域为的奇函数，对任意，有，的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先根据已知条件判断函数的单调性，再利用奇函数的性质将不等式进行转化，最后求解不等式. 【解答过程】已知对任意，有，这表明当时，；当时，. 即当时，，所以函数在上是减函数. 因为是定义域为的奇函数，所以，那么. 所以可化为，即. 由于在上是减函数，且，根据减函数的性质可得. 得到.可得. 所以不等式的解集为. 故选：B. 52．（24-25高一上·广东江门·期中）定义在R上的偶函数满足：对任意的，有且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据已知可得函数在上单调递减，由为偶函数，可得在上单调递增，进而可得，然后利用单调性即可求解不等式． 【解答过程】由对任意的，，可知函数在上单调递减， 因为为偶函数， 所以在上单调递增， 因为，所以， 所以当或时，，当时，， 因为， 所以或， 所以或，即． 故选：D． 53．（24-25高一上·陕西渭南·期中）已知偶函数的定义域为，对于任意 均有，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由题意可得在单调递减，又函数为偶函数，且 所以不等式等价于,即，解之即可. 【解答过程】因为的定义域为，且对于任意 均有， 所以在单调递减， 又函数为偶函数，且 由，得，等价于， 所以， 即， 解得：， 所以实数的取值范围是：， 故选：B. 54．（24-25高一上·山东德州·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且对任意的、且，满足，若，则的取值范围是 . 【答案】 【解题思路】根据偶函数的定义域关于原点对称可求得的值，分析函数的单调性，利用所求不等式可得出关于的不等式组，解之即可. 【解答过程】因为函数是定义在上的偶函数，则，解得， 故函数的定义域为， 且对任意的、且，满足， 不妨设，则，所以，函数在上为增函数， 由可得， 所以，，解得， 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 55．（24-25高一上·辽宁朝阳·期中）函数是定义在上的奇函数，且． (1)确定函数的解析式； (2)用定义证明在上是增函数； (3)解不等式． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【解题思路】（1）由奇函数的性质及已知函数值，列方程求参数值即可； （2）应用单调性定义求证函数的区间单调性即可； （3）根据奇偶性和单调性解不等式. 【解答过程】（1）是定义在上的奇函数， ，即， ，则， ， ， 函数解析式为． （2）任取，且， ， ，则，，， ，即， 是上的增函数． （3）， ， 是上的奇函数， ， ， 为上的增函数， ，解得， 不等式的解集为． 题型12 函数的对称性及其应用 56．（24-25高一上·山东威海·期中）已知函数，则下列函数的图象关于原点对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据函数图象的平移可得解. 【解答过程】因为， 所以当函数图象向左平移2个单位，再向下平移一个单位， 可得函数的图象， 由反比例函数图象知，关于原点对称. 故选：C. 57．（24-25高一上·江苏无锡·期中）已知定义在上的函数，对，都有，若函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【解题思路】由函数的奇偶性和周期性求出即可； 【解答过程】由函数的图象关于直线对称，可得， 即，为偶函数， 由得，即是以4为周期的偶函数， 所以， 由,令可得， 所以. 故选：D. 58．（24-25高一上·浙江温州·期中）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，可将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．则函数图象的对称中心为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意设对称中心为，令，化简得，利用，计算化简得对于定义域内的任意恒成立，联立方程组，计算即得. 【解答过程】设函数图象的对称中心为， 则函数 是奇函数，则， 即：， 化简得：对于定义域内的任意恒成立， 则，解得，即对称中心为. 故选：B. 59．（24-25高一上·江苏无锡·期中）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．若的对称中心为，则 ． 【答案】 【解题思路】利用给定性质求出的对称中心，再利用中心对称函数的性质求解即可. 【解答过程】令，因为， 所以，因为的对称中心为， 所以是奇函数， 故，化简得， 当时，有定义，故， 即得到，而， ， 故， 解得，，可得关于中心对称， 故，即， ，， 故， . 故答案为：. 60．（24-25高一上·山东日照·期中）已知函数的图象关于点对称的充要条件是是奇函数.给定函数. (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； (2)求函数图象的对称中心； (3)已知函数的图象关于点对称，且当时，.若不等式在区间上有解，求实数m的取值范围. 【答案】(1)函数在上单调递增，证明见解析 (2) (3). 【解题思路】（1）利用单调性定义按照步骤进行证明即可得在区间上单调递增； （2）根据成中心对称图形的充要条件代入解方程组可得对称中心； （3）依题意利用对称中心并对函数的对称轴进行分类讨论，得出两函数对应值域的包含关系解不等式即可得实数m的取值范围. 【解答过程】（1）函数在上单调递增， 证明：任取，且，则 ， 所以且， 所以，即， 所以在上单调递增. （2）设函数图象的对称中心为， 则， 即， 整理得， 于是，解得， 所以的对称中心为. （3）因为的图象关于点对称，由题可知：， 任取，则，所以， 故，； 所以在上有解，转化为在能成立， 令，， 所以原问题等价于，； ①当时，不成立； ②时，即，此时， 解得：或，与无交集，舍去； ③当，即时，符合题意， 综上，. 题型13 函数图象的识别与判断 61．（24-25高一上·新疆·期中）函数的部分图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据函数单调性的性质可排除BC；根据时，的奇偶性可排除A. 【解答过程】， 当和时，单调递增，单调递减， 所以在，上单调递减，可排除BC； 当时，，所以图象不关于轴对称，可排除A. 故选：D. 62．（24-25高一上·四川南充·期中）函数的大致图象如图所示，则可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据函数图象，易得函数的定义域和对称性，奇偶性，再逐一判断各选项即得. 【解答过程】由图象可知，为奇函数且定义域为. 对于A,函数的定义域为关于原点对称，但，是偶函数，故A错误； 对于B，函数定义域为，与图象不符，故B错误； 对于C，函数定义域为关于原点对称，且，是奇函数，与图象符合，故C正确； 对于D，函数定义域为，与图象不符，故D错误； 故选：C. 63．（24-25高一上·福建莆田·期中）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先判断函数的奇偶性，再取特殊值验证结合函数单调性即可判断. 【解答过程】 (x) , ∴函数为奇函数，故排除A，D， 因为x在上单调递增，在 上单调递增， 即在上单调递增， 故排除B, 故选:C. 64．（24-25高一上·四川·期中）若函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用函数图象对称性、定义域、特殊函数值可利用排除法得出结论. 【解答过程】观察函数的图象，由图象关于原点对称，可知为奇函数， 图象与轴有两个交点，且，并且函数在处无定义. 函数在单调递减，在单调递增. A项，若，则，不符合图象，故A错误； B项，若，由图象可知函数在处无定义，而此选项中，故B错误； D项，若，，故D项错误； C项，若，由的定义域为，关于原点对称. 且，故为奇函数，图象关于原点对称， 且， 当时，，故在单调递减； 当时，，故在单调递增； 综上分析，函数的性质与所给图象性质吻合， 所以的解析式可能是. 故选：C. 65．（24-25高一上·天津·期中）定义在上的函数为奇函数，且当时，. (1)求和的值； (2)求函数的解析式； (3)作的图象，并写出单调区间和值域（直接写出单调区间和值域）. 【答案】(1)，； (2)； (3)作图见解析，答案见解析. 【解题思路】（1）根据解析式及奇函数性质，将自变量代入求值即可； （2）利用奇函数的性质求解析式即可； （3）根据解析式画出图象，数形结合确定单调区间和值域. 【解答过程】（1）由题设，； （2）若，则，故， 由在上的函数为奇函数，则，且时，， 所以； （3） 由图知，的单调增区间为，单调减区间为，且值域为R. 题型14 函数基本性质的综合应用 66．（24-25高一上·四川成都·期中）已知函数满足，对任意，且，都有成立，且，则的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由已知条件得到的图象关于对称，从而可知在上为增函数，在上为减函数，且，再画出折线图表示出函数的单调性，即可得到答案. 【解答过程】令，由，所以， 所以是偶函数，的图象关于轴对称， 所以，的图象关于轴对称， 所以的图象关于对称. 因为函数对任意，且，都有成立， 所以在上为增函数.又因为的图象关于对称，， 所以在为减函数，且. 用折线图表示函数的单调性，如图所示： 由，可得或， 结合图象可得或， 所以的解集是. 故选：C. 67．（24-25高一上·福建龙岩·期中）已知是上的偶函数，对于任意的，都有成立，且，当且时，都有成立.现给出下列命题：①；②函数图象的一条对称轴为；③函数在上为严格增函数；④方程在上有4个根.其中正确的命题个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解题思路】①在中，令即可判断①；②由.所以的周期为4，再利用是偶函数，可得，从而可判断②；③依题意知，函数在上为增函数，利用的周期为4，且是偶函数，从而可判断③；根据可判断④． 【解答过程】对于任意，都有成立， 令，则，即， 又因为是上的偶函数，所以， 则，即函数是周期为4的周期函数． ①，正确； ②的周期为4，又是上的偶函数，所以， 故直线是函数的图象的一条对称轴，即②正确； ③：且时，都有成立则函数在上为增函数， 是上的偶函数，函数在上为单调递减函数 而的周期为4，函数在上为减函数，故③不正确； ④，的周期为4，函数在上为增函数，在上为减函数， 在上只有一个零点2， 则， 所以，函数在上有4个零点，故④正确． 故选：C. 68．（24-25高一上·福建福州·期中）已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，且在上单调递增，则下列错误的是（　　） A． B．为函数图象的一条对称轴 C．函数在上单调递减 D． 【答案】D 【解题思路】由为奇函数可得，取，即可判断A；由为偶函数可得，即可判断B；分析可得在上单调递增，结合B选项可判断C；由，取，即可判断D． 【解答过程】A选项，因为奇函数，则， 令，得，可得，故A正确； B选项，因为偶函数，则， 即为函数图象的一条对称轴，故B正确； C选项，由，得为图象的一个对称中心， 又在上单调递增，则在[2,4]上单调递增， 所以在当单调递增， 又由B选项可知函数在上单调递减，故C正确； D选项，由B选项，，令，可得，故D错误． 故选：D． 69．（24-25高一上·重庆·期中）已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有 (1)求函数的解析式； (2)判断的单调性，并利用定义证明； (3)若对 ，都有对恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)在上为增函数，证明见解析 (3) 【解题思路】（1）根据，求出，，再检验即得解； （2）函数在为单调递增函数，再利用函数的单调性定义证明； （3）分析得到对任意的恒成立，解不等式组即得解. 【解答过程】（1）函数是定义在上的奇函数， 则，即，解得， 又因为，即，解得， 经检验可得，符合题意． 所以当时，， 令则， 所以， 则当 综上所述，； （2）函数在上是增函数． 证明如下： 任取，且， 则 ， 因为 ， 所以，， 则，即， 故在上为增函数； （3）由（2）可知，函数在区间上单调递增， 所以， 由于对恒成立， 则 对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 构造函数，其中， 所以，即， 解得或或， 所以实数的取值范围是. 70．（24-25高一上·云南昆明·期中）已知函数的定义域为．对任意的非零实数恒有，且当时，． (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)证明：函数在区间上单调递减； (3)若，函数的图象关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)偶函数，证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【解题思路】（1）采用赋值法可求得，取即可得到奇偶性； （2）任取，令，结合已知等式和在上的正负即可得到结论； （3）记在上的值域为在上的值域为，将问题转化为；根据的单调性可求得；分别在和的情况下，结合二次函数单调性和函数对称性求得，根据包含关系可构造不等式求得结果． 【解答过程】（1）是偶函数； 证明：令，则； 令，则； 取，则； 为定义在上的偶函数． （2）任取， 令，则，即； ， 又当时，，即， 在上单调递减． （3）由（1）（2）知：在上单调递减且，又， 当时，，记； 对任意，总存在，使得， 记在上的值域为； ①当，即时， 当时，在上单调递增， ，即， 的图象关于点中心对称， 当时，，即， 当时，， 则，，即， 由得：，又，解得：； ②当，即时， 当时，在上单调递减，在上单调递增， ，即， 的图象关于点中心对称， 当时，，即， 当时，， ，即， 由得：，又，解得：； ③当，即时， 当时，在上单调递减，在上单调递增， ，即， 的图象关于点中心对称， 当时，，即， 时，，， 由得：，又，解得：； ④当，即时， 当时，在上单调递减， ，即， 的图象关于点中心对称， 当时，，即， 当时，， 则，，即， 由得：，又，解得：， 综上所述：实数的取值范围为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $