精品解析：江西省景德镇市乐平中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题

2025—2026学年江西省乐平中学高一10月月考 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知命题：，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列两个函数是相同函数的有（   ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 4. 已知集合，，则满足条件且CB的集合的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 8 D. 7 5. 下列不等式中正确的是（     ） A. B. C. D. 6. 已知集合，，则的必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 7. 若函数的值域为，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 8. 已知两个正数，满足，则下列选项错误的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值3 C. 的最小值为2 D. 的最小值为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（    ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 关于的一元二次不等式的解集为或，则（     ） A. 且 B. 不等式的解集为 C. D. 不等式的解集为 11. 对表示不超过x的最大整数，如，我们把叫做取整函数，也称之为高斯（Gaussian）函数，也有数学爱好者形象的称其为“地板函数”．在现实生活中，这种“截尾取整”的高斯函数有着广泛的应用，如停车收费、EXCEL电子表格，在数学分析中它出现在求导、极限、定积分、级数等等各种问题之中，以下关于“高斯函数的命题，其中是真命题有（ ） A. B. C. ，若，则 D. 不等式的解集为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数的定义域为，则函数的定义域是______ 13. 已知，，且，则的最小值为________． 14. 已知，集合中的元素恰有个整数，则的取值范围是_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合 （1）若，求实数的取值范围； （2）设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围． 16. （1）已知，，，求证：． （2）已知，，，且. 求证：. 17. 已知函数. （1）对任意恒成立，求实数的取值范围； （2）求不等式的解集. 18. 设集合． （1）若，求实数a的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 19. 给定数集A，若对于任意，有，，则称集合A为闭集合． （1）判断集合，是否为闭集合，并给出证明； （2）若集合为闭集合，则是否一定为闭集合？请说明理由； （3）若集合为闭集合，且，，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年江西省乐平中学高一10月月考 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知命题：，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】利用全称命题的否定可得出结论. 【详解】命题为全称命题，则命题的否定为，， 故选：A． 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解分式不等式化简集合，解一元二次不等式化简集合，最后根据补集、交集的定义计算可得. 【详解】由，即，等价于，解得， 所以， 由，即，解得， 所以， 所以或，则. 故选：B 3. 下列两个函数是相同函数的有（   ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的定义域和对应法则、判断函数是否相同的方法分析运算判断即可得解. 【详解】对于选项A，的定义域为，的定义域为， 两函数定义域不同，故不是相同函数，故A错误； 对于选项B，， 两函数定义域不相同，故不是相同函数，故B错误； 对于选项C，与定义域不同， 故不是相同函数，故C错误； 对于选项D，，函数的定义域、对应法则均相同， 所以两函数是相同函数，故D正确. 故选：D． 4. 已知集合，，则满足条件且CB的集合的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 8 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的包含关系确定集合的元素，再根据集合的元素个数分类判断可得. 【详解】由，再由，得，. 由CB，根据集合C中的元素个数分3类： ①集合C中有2个元素时，集合C只能是，共1个； ②集合C中有3个元素时，集合C可以是，，，共3个； ③集合C中有4个元素时，集合C可以是，，，共3个； 所以满足且C⫋B的集合的个数为个. 故选：D. 5. 下列不等式中正确的是（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本不等式成立的条件和性质进行逐一判断即可. 【详解】对于选项A： 当时，根据基本不等式的性质可得，当且仅当时取得等号， 而当时，不等式不成立，所以A错误； 对于选项B： ，因为，. 所以，即，所以B错误； 对于选项C： 当时，根据基本不等式的性质可得，当时取等号， 而当或或时，不等式不成立，所以C错误； 对于选项D： ， 当且仅当时，即时等号成立，所以D正确. 故选：D. 6. 已知集合，，则的必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分集合和讨论求解，先确定的充要条件，再确定其必要不充分条件. 【详解】因为或. 若，则，此时； 若，由，此时. 所以的充要条件为：. 所以的必要不充分条件为：.（因为，但，所以是的必要不充分条件） 故选：A 7. 若函数的值域为，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，通过换元法将表示为，然后根据二次函数的性质求解出的值域. 【详解】令，得，，则， 所以，对称轴，开口向上且，所以， 所以函数的值域为. 故选：C. 8. 已知两个正数，满足，则下列选项错误的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值3 C. 的最小值为2 D. 的最小值为 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件，利用基本不等式、二次函数性质等方法对各选项进行逐一分析判断． 【详解】选项A：，， ，故，当且仅当，即时等号成立，故A正确， 选项B：，， ， 当且仅当，即时等号成立，故B正确， 选项C：由选项A知，，当且仅当，即时等号成立， ，当且仅当，即时取等号，故C正确， 对于D： ， 当且仅当时，结合得时等号成立， 的最小值为，故D错误， 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（    ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】举出反例即可判断AD；利用作差法即可判断BC. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，因为，所以，， 则， 所以，故B正确. 对于C，因为，所以， 所以，，C正确； 对于D，若，则，故D错误； 故选：BC. 10. 关于的一元二次不等式的解集为或，则（     ） A. 且 B. 不等式的解集为 C. D. 不等式的解集为 【答案】AD 【解析】 【分析】由一元二次方程根与系数的关系逐项判断可得. 【详解】因为关于的一元二次不等式的解集为或， 所以，则， 对于A，所以且，故A正确； 对于B，不等式， 又，可得，所以或，故B错误； 对于C，， 故C错误； 对于D，不等式，故D正确； 故选：AD. 11. 对表示不超过x的最大整数，如，我们把叫做取整函数，也称之为高斯（Gaussian）函数，也有数学爱好者形象的称其为“地板函数”．在现实生活中，这种“截尾取整”的高斯函数有着广泛的应用，如停车收费、EXCEL电子表格，在数学分析中它出现在求导、极限、定积分、级数等等各种问题之中，以下关于“高斯函数的命题，其中是真命题有（ ） A. B. C. ，若，则 D. 不等式的解集为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据的值，分析每个选项，A项可以举出反例，B项可以在中找出存在令命题成立的一对实数，，C项根据，可以得到，属于相同区间，D项先解出的范围，再解出的取值范围. 【详解】对于A，，，所以A为假命题； 对于B，，，，所以B为真命题； 对于C，因为，所以，，所以，C为真命题； 对于D，解不等式，得或，所以不等式的解集为，D为真命题. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数的定义域为，则函数的定义域是______ 【答案】 【解析】 【分析】由求解即可. 【详解】由题意可得：， 解得：， 所以定义域是， 故答案为： 13. 已知，，且，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】结合对进行化简，再利用基本不等式求最小值． 【详解】， ， 又，即， ， 当且仅当，即时等号成立， 的最小值为． 故答案为：． 14. 已知，集合中的元素恰有个整数，则的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】分析可知集合对应的区间长度在之间，可得出关于的取值范围，然后对的取值进行分类讨论，确定集合中的整数元素，可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为集合中的元素恰有两个整数， 所以，解得， 当时，集合中的两个整数分别为、， 则，解得； 当时，，此时，集合中元素为整数的只有、，合乎题意， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键就是根据集合中整数元素的个数，确定集合对应区间长度的取值范围，列出不等式求解，同时一定要注意确定集合中的整数元素，进而对集合的左端点和右端点值进行限制求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合 （1）若，求实数的取值范围； （2）设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由推出，对集合是否为分类讨论，求解即得； （2）由是成立的必要不充分条件可得是的真子集，列出不等式组，求解即得. 【小问1详解】 由，可得， 因为， 当时，，解得，符合题意； 当时，则，解得， 综上，. 故实数的取值范围为． 【小问2详解】 由题意可得，是的充分不必要条件，故是的真子集， 又，， 则，解得， 故实数的取值范围是． 16. （1）已知，，，求证：． （2）已知，，，且. 求证：. 【答案】（1）因为，，， 所以，，， 所以， 即，故， 当且仅当，即时，等号成立． （2）由，两边平方得， 故， 所以 其中， 即，解得. 当且仅当时，等号成立. 【解析】 【分析】（1）根据不等式，可得，，，相加后化简即可得证； （2）将等式两边平方，整理得，再根据不等式，， 即，解不等式即可得证. 【详解】（1）略 （2）略 17. 已知函数. （1）对任意恒成立，求实数的取值范围； （2）求不等式的解集. 【答案】（1） （2） 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）分和两种情况讨论，结合根的判别式即可得解； （2）先因式分解，再分，和三种情况讨论，结合一元二次不等式的解法求解即可. 【小问1详解】 由题有恒成立，即恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时，则，解得， 综上可得，的取值范围是； 【小问2详解】 由题，即， 当时，则，即，所以不等式的解集为； 当时，令，解得或， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，不等式的解集为， ③当时，，不等式的解集为； 当时，则，不等式的解集为， 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 18. 设集合． （1）若，求实数a的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）实数a的取值范围 （2）实数的取值范围 【解析】 【分析】（1）求出集合，由给定，求出. （2）求出集合，由给定，求出. 【小问1详解】 对于集合，解得：或，所以， 因为,所以，那么可能是，也可能是，或， 对于 当时，方程变为，方程无解，此时，满足； 当时，解方程，解得，即， 若 ，则，解得；若，则，解得； 若，则不可能同时等于，这种情况不成立； 综上，实数a的取值范围 【小问2详解】 因为，所以，那么可能是，也可能是，或， 对于集合， 其方程的判别式 当时，，即，解得：； 当是单元素集时，，即，解得：或， 当时，方程变为， 解得，此时，满足， 当时，方程变为， 解得，此时，不满足，舍去； 当时，是方程的两个根， 根据韦达定理可得 ，即 解第一个方程得，解第二个方程得，两个方程的解不一致，这种情况不成立. 综上，实数的取值范围. 19. 给定数集A，若对于任意，有，，则称集合A为闭集合． （1）判断集合，是否为闭集合，并给出证明； （2）若集合为闭集合，则是否一定为闭集合？请说明理由； （3）若集合为闭集合，且，，证明：． 【答案】（1） A不是闭集合，B是闭集合． ∵，，，∴A不是闭集合； 任取，设，，，则且，∴，同理，，故B为闭集合； （2） 结论：不一定，理由如下： 不妨令，， 则由（1）可知，为闭集合，同理可证为闭集合， ∵，， 因此，不是闭集合， ∴若集合为闭集合，则不一定为闭集合； （3） 假设， 由，可得存在且，故； 同理，存在且，故， ∵，∴或． 若，则由为闭集合且，得，与矛盾， 若，则由为闭集合且，得，与矛盾， 综上，不成立，故． 【解析】 【分析】（1）集合A：直接根据题干定义验证即可；集合B：可任取，设，，，然后验证与集合B的关系即可； （2）令，，然后取特值进行验证即可； （3）可采用反证法，假设，由，可得存在且，故；同理，存在且，故；然后讨论和两种情况，得到矛盾，从而判断假设不成立，从而得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $