周测二(24.2 圆的基本性质)-【学海风暴】2025-2026学年九年级下册数学同步备课（沪科版 安徽专版）

9.(1)2(2)52.5°【解析】(1)由旋转的性质可知 △ABE≌△A'BE',∴.AE=AB=A'E'=A'B=5, ∠E=45,∴.BE=√6，∴.BE'=6,∴.BF=BE' EF=6-(6-2)=2, ∴AF=BF-AB=A-3=1.:F为AD的中 点，AD=2 (2)在△BAG和△BA'G中，BA'=BA,∠BAG= ∠A'=90°，BG=BG,.Rt△BAG≌Rt△BA'G(HL), .∠ABG=∠A'BG. 在R△AFB中，AF=1=乞BF,∠ABF=30 .∠ABA'=∠ABF+∠EBA'=30°+45°=75， ∴∠A'BG=Z∠A'BA=37.5,∠A'GB=90- ∠A'BG=52.5. 10.解：(1)如图，△A,B,C,即为所求. (2)如图，△ABC:即为所求. 11.解：(1)连接PP,如图.由旋转的性质可知，AP AP=6,∠P'AB=∠PAC. ∴.∠P'AP=∠BAC=60°， ∴△P'AP是等边三角形， ∴.Pp'=6. (2),P'B=PC=10,PB=8,PP =6, ∴.P'B2=p'P2+PB2. .△P‘PB为直角三角形，且∠P'PB=90°， .∠APB=∠P'PB+∠P'PA=90°+60°=150°. 12.解：(1)2 (2)AB1∥AB.理由： 如图，过点A作AE∥A,B:交BA:于 点E,则∠AEB=∠B,A,B=a. 由旋转的性质可得AB=BA,= A,B1,∠ABA1=∠BA,B:=a, .∠AEB=∠ABE=a.∴AB=AE,C ..A B=AE. 又：AE∥A,B,∴四边形AEA,B,为平行四边形， .AB1∥A,B. 13.解：(1)证明：：△ABC是等边三角形，∴.BC=AC, ∠ACB=60. :将线段CE绕点C顺时针旋转60得到线段CF, 140 九年级数学HK版 .CE=CF,∠FCE=60°，∴，∠BCE=∠ACF=60 -∠ACE, .△BCE≌△ACF(SAS),.BE=AF (2)CE=2MF+DE. 证明：如图，作AH∥BC交CF 的延长线于点H,则∠H= ∠GCM.∠CAH=∠ACB =60°， M为AG的中点，.AM =GM. :∠AMH=∠GMC,∴.△AMH≌△GMC(AAS), ,∴.HM=CM. :∠CBD=60..∠CBD=∠CAH. 由旋转得∠BCD=∠ACH. 又：BC=AC,.△BCD≌△ACH(ASA),.CD =CH. CE=CF,∴CD-CE=CH-CF,∴.DE=HF. CF=MF+CM=MF+HM=MF+MF+HF= 2MF+DE.∴.CE=2MF+DE. 周测二(24.2) 1.D2.C3.D 4.B【解析】如图，作OD⊥AB于点 D,如图所示，则OD是AB的弦心 距AD=BD=2AB.由题意可 知，AC=6,BC=2,AB=AC+ BC=8...AD=BD=4...CD= BD-BC=2.在R1△OCD中，OC=3,.OD= 0C-CD-√/(/13)2-2=3. 5.D【解析】点P的坐标为(1,0)，点 B的坐标为（一1,0），∴.O是BP的中《 点.Q为BC的中点，∴.OQ是 △CBP的中位线，iOQ=专PC, B OP ∴当PC长的值最大时，OQ长的值最大，如图.：点A 的坐标为（一3,3），点P的坐标为(1,0)， .AP=1+3)+3=5,∴PC长的最大值为AP+ 1=60Q长的最大值为2×6=3. 6.40° 7.5【解析】如图，作弦AB和BC 的垂直平分线交于点O,连接 OB,点O即为圆心，设BC的中 点为D.BD=1.OD=2,∴.OB =/BD+OD=5. 01234 8.5【解析】如图，连接OD,设⊙O 的半径为r.AB⊥CD,.BC=BD.CF=DF.:C 是BE的中点.∴CE=BC,BE DCD=BE=6DF=合CD =3.BF=1.OD=r...OF=r- 1,.3十(r一1)=r2,解得r=5, .⊙0的半径长是5. 9.17或7【解析】如图，作OE⊥AB 于点E,OF⊥CD于点F,连接OA,C 0C.则AE=2AB=5,CF=CD 1 =12.由题意得OA=OC=13.AB CD.∴E,O,F三点共线.在R△COF中，OF= √OC-CF=/13-12=5.在R△AOE中，OE= √OA一AE=/13-5=12.当圆心0在弦AB与 CD之间时，AB与CD的距离=OE+OF=12+5= 17:当圆心O在弦A'B与CD的外部时，AB与CD的 距离=OE-OF=12一5=7.综上所述，AB与CD之 间的距离是17cm或7cm. 10.5+1【解析】连接DF,设AD 的中点为O,连接OF,如图 所示. 在R1△ABC中，AC=BC= 22...AB=VAC+BCT=4. :AC=BC,CD⊥AB于点D, ÷D为AB的中点CD=AD=BD=宁AB=2. F为AE的中点，∴DF为△ABE的中位线，DF ∥BE.:∠E=90,.∠AFD=∠E=90°.在 R△AFD中，AD=2,O为AD的中点，.OF=OD =OA=7AD=1点F始终在以点O为圆心，0A 长为半径的圆上运动.连接OC.在R1△COD中，CD =2.0D=1,..OC=CD+OD=5, ∴.OC十OF=5十1.根据“两点之间线段最短”，得 CF≤OC十OF,即CF5十1. .CF的最大值为5+1. 11.证明：假设□ABCD是菱形 :SAm=BC·AE=CD·BF,AE≠BF, ∴，BC≠CD, 这与菱形ABCD中，BC=CD相矛盾， ∴.口ABCD不是菱形. 12.解：如图，连接CD. :∠ACB=90°，∠B=25°， ∴.∠A=65 .CA-CD. .∠ADC=∠A=65 .∠ACD=50°，.AD的度数为50 ◆一题多解法、 如图，过点C作CE⊥AB于点 E,交AD于点F, 则DF=AF」 又∠ACB=90°，∠B=25°. ÷∠FCA=25, .AF的度数为25， .AD的度数为50 13.解：(1)证明：，E,F是AB,CD的中点， ,EO⊥AB,FO⊥CD, ∴.∠AEO=∠CFO=90°. 又：AB,CD是⊙O的两条弦，AB=CD, ..OE=OF. ∴∠OEF=∠OFE, ∴.∠AEO-∠FEO=∠CFO-∠OFE,即∠AEF =∠CFE. (2)如图，过点O作OM⊥EF于点M,则∠EMO =90 OE=OF,∠EOF=120°， ,∠EOM=∠FOM= ∠EOE =60°， ∴.∠OEF=30. ∴M0-7E0=2. ∴.EM=/EO-MO=25, ∴.EF=45. 14.解：(1)如图，过点O作OD⊥AB,垂足为C,交⊙O 于点D.由题意可知，CD=1m,AB=6m. 水面 OD⊥AB,AB=6m, 1 ·AC=BC=zAB=3m. 设圆的半径为rm,即OA=OD=rm,则OC=(r一 1)m. 在R1△AOC中，OC+AC=OA,即(r-1)2+3= r2,解得r=5. 故该圆的半径长为5m. (2)如图，设水面升到EF的位置，连接OE,OD与 EF相交于点G,则EF∥AB. OD1AB.OD1EF,∴BG=FG=EF=× 1 8=4(m). 在R1△EOG中，OE=5m,EG=4m, 下册参考答案 41△ ∴.OG=OE-EG=3m, ,.CG=0C-0G=4-3=1(m). 即水面上漾的高度为1m. 周测三（24.3) 1.A2.C 3.D【解析】如图，连接AC.:AB为 ⊙O的直径，.∠ACB=90°，.∠A +∠ABC=90°.∠D=∠A=20°， .∠ABC=70°.，BD平分∠ABC. ∴∠ABD=Z∠ABC=35 4.C【解析】如图，取圆上一点F,连接 AO,DO,AF,DF.四边形ABCD为 正方形，∴∠AOD=90°，.∠AFD ∠A0D=45,∠E=135. 1 5.B【解析】连接OA,在优弧AB上取 一点P,连接AP,BP,如图. C为弦AB的中点，(OC⊥AB,.∠AOC=∠COB 一号∠AOB=∠P.:四边形ADBP是圆内接四边 形，∴.∠P+∠D=180°.∠D=126°，∴.∠P=54 .∠C0B=∠P=54. 6.4厘7.4 8.3【解析】∠A=180°-∠M=60°，∴.∠AB0=90 一∠A=30°，.AB=2AO=6,∴.⊙C半径的长为3. 9.36°【解析】连接AC,如图.AB是 ⊙O的直径，∴∠ACB=90°.：∠BCD =126°，.∠ACD=126°-90=36 ∴.∠AED=∠ACD=36 10.108°【解析】：AB∥CD,∴AD BC...AD BC.AB =BC..AB BC AD. ∴.∠ADB=∠ABD=∠BAC=∠BCA=∠ACD= ∠BDC,∴.∠ADC=2∠ACD.:AC=CD.∠CAD =∠ADC=2∠ACD,∴.2∠ACD+2∠ACD+ ∠ACD=180°..∠ACD=36.,∠CAD=∠CBD, ∠AEB=∠ACB+∠CBD..∠AEB=3∠ACD =108° 11.证明：连接AC,如图. ,四边形ABCD内接于⊙O, ∴.∠EBC=∠D. ,AD是⊙O的直径， .∠ACD=∠ACE=90 42 九年级数学HK版 ,C是BD的中点， .∠1=∠2. ∴∠E=∠D, ∴.∠EBC=∠E, ..BC=EC. 12.解：(1)证明：如图，连接AD :AB是⊙O的直径， .∠ADB=90°，即AD⊥BC. 又BD=CD, ∴，AD垂直平分线段BC ∴.AB=AC,∴，△ABC是等腰三角形 (2):∠BAC=36°，AB=AC, ∴.∠B=∠C=(180°-∠BAC)÷2=72°， ∴.∠AOD的度数为72°×2=144 13.解：(1)证明：如图，连接AC BC=CD.:.BC=CD. ∴∠BAC=∠EAC. :CD=CE,∴.∠E=∠CDE. ,四边形ABCD内接于⊙O, ∴∠ABC+∠ADC=180 :∠ADC+∠CDE=180°， .∠ABC=∠CDE.∴.∠ABC=∠E. ∠BAC=∠EAC, 在△ABC与△AEC中，∠ABC=∠AEC, AC=AC. ∴.△ABC≌△AEC(AAS),.AB=AE (2),AD=DE=2, ..AE=AD+DE=2+2=4...AB=AE=4. BD为⊙O的直径，∴.∠BAD=90 在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD=AB+AD =+2=25. 14.解：(1)CD为直径，∠CAD=90°. ￥∠F=∠ADC=60°，∴.∠ACD=90°-60°=30°， ∴.∠ABD=∠ACD=30. (2)证明：①如图，延长AB至 点M. :四边形ABCD是圆内接四 边形.∠CBM=∠ADC. 又：∠F=∠ADC,.∠F=∠CBM, ∴.EF∥BC ②如图，过点D作DG∥BC交⊙O于点G,则DG∥ BC∥EF,连接AG,CG, ∴BD=CG,∠GDE=∠E,∴BD=CG 四边形ACGD是圆内接四边形， ∴∠GDE=∠ACG,∠E=∠ACG. :∠F=∠ADC,∠ADC=∠AGC,∴.∠F=∠AGC. :AE=AC,△AEF≌△ACG(AAS), ..EF=CG...EF=BD.周测二 (时间：60分钟 一、选择题（每小题5分，共25分）】 1.用反证法证明“若⊙O的半径为r,点P到圆 心的距离d大于r,则点P在⊙O外”，首先 应假设 A.d≤r B.点P在⊙O外 C.点P在⊙O上 D.点P在⊙O上或点P在⊙O内 2.已知点A,B,且AB<6,画经过A,B两点 且半径为3的圆有 A.0个B.1个C.2个D.无数个 3.(2025合肥瑶海区期末)如图，在两个同心圆 中，大圆半径OA是小圆半径OC的2倍，点 D,E,B均在圆上.若∠AOB=∠COD= ∠DOE,连接AB,CD,DE和CE,则下列说 法不正确的是 () A.点O到弦CD的距离等于点O到弦DE 的距离 B.CE=2DE C.AB=2DE D.AB=CE BO P 第3题园 第5题图 4.已知点C在⊙O的弦AB上，AC=6,BC 2,OC=3,则AB的弦心距为 ( A.TT B.3 C.22D.2 5.如图，点A的坐标为（一3,3），点P的坐标 为(1,0)，点B的坐标为（一1,0），⊙A的半 径为1.C为圆上一动点，Q为BC的中点， 连接PC,OQ,则OQ长的最大值为() A.5 B.2.5C.6 D.3 (24.2) 满分：100分) 二、填空题（每小题5分，共25分） 6.如图，在⊙O中AC=BD,若∠AOB=40°， 则∠COD的度数为 012343 第6图 第7题图 7.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A,B,C 的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条 圆弧，则此圆弧所在圆的半径长是 8.如图，AB为⊙O的直径，点C是BE的中 点，过点C作CD⊥AB于点F,交⊙O于点 D.若BE=6,BF=1,则⊙O的半径长是 D 第8题图 第10题图 9.分类讨论思想(2025淮南潘集区月考)⊙O 的半径为13cm,弦AB∥CD,AB=10cm. 若CD=24cm,则AB与CD之间的距离是 cm. 10.如图，等腰直角三角形ABC中，∠ACB 90°，AC=BC=22,CD⊥AB于点D,E 为平面内一动点，且∠E=90°，F为AE的 中点.连接CF,则CF的最大值为 三、解答题（第11,12小题各10分，第13小题 14分，第14小题16分，共50分) 1L.如下图，已知AE,BF是□ABCD的两条 444444 下册限时周测 93 高，且AE≠BF,用反证法证 明：□ABCD不是菱形. 12.一题多解法(2025淮北濉溪期末)如下图， 在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=25°，以 点C为圆心，AC长为半径作⊙C,交AB 于点D.求AD的度数 13.如右图，已知⊙O中，AB,CD 是弦，E,F是AB,CD的中 点，并且AB=CD (1)求证：∠AEF=∠CFE (2)若∠EOF=120°，OE=4,求EF的长. 94 九年级数学HK版 14.古代数学文化“筒车”（如图①）是一种以 水流作动力，取水灌田的工具.据史料记 载，它发明于隋而盛于唐，距今已有1000 多年的历史，是我国古代劳动人民的一项 伟大创造.如图②，“筒车”盛水筒的运行轨 迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心在水 面上方，且当圆被水面截得的弦AB为6m 时，水面下盛水简的最大深度为1m(水面 下方圆上部分一点距离水面的最大距离). (1)求该圆的半径长。 (2)当水面上涨导致圆被水面截得的弦AB 从原来的6m变为8m时，水面上涨的高 度为多少米？ 0 水面 图① 图②