24.4 方法技巧专题 切线的判定方法-【学海风暴】2025-2026学年九年级下册数学同步备课（沪科版 安徽专版）

方法技巧专题 题型① 利用“连半径，证垂直”判定圆的切线 1.(2025达州节选)如下图，在⊙O中，AB是 弦，PA是⊙O的切线，PA=PB,C,D,E 分别是线段AB,AP,BP上的动点，连接 CD,CE,∠DCE=∠P=a.试判断PB与 ⊙O的位置关系，并说明理由. 2.如下图，四边形ABCD是矩形，E是BC边 的中点，连接AE,以AD为直径的⊙O交 AE于点F,连接CF,求证：CF与⊙O相切. 切线的判定方法 3.(2025宿州萧县一模)如下图，四边形ABCD 内接于⊙O,ADC=BCD,AB=AD, ∠CBE=∠CDB. (1)求证：∠BAD+∠ADC=180°. (2)求证：BE是⊙O的切线. 4.如右图，在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，D为边AC上 的点，以AD为直径作⊙O, 连接BD并延长交⊙O于 点E,连接CE,CE=BC 1)求证：CE是⊙O的切线。 下册第24章 31△ (2)若CD=2,BC=4,求AC的长. 题型②利用“作垂直，证半径”判定圆的切线 5.(2025滁州凤阳期未)如下图，△ABC是等 腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与 ⊙O相切于点D.求证： AC是⊙O的切线. 6.如下图，已知⊙O为△ABC的外接圆，且 BC为⊙O的直径，连接OA,过点B作BD ⊥BC,交OA的延长线于点D,过点D作 DF∥AC,交BC的延长线于点F.若∠BDO =∠ACO,求证：DF是⊙O的切线. 432 九年级数学HK版 7.如右图，在以点O为圆心的两个 同心圆中，大圆O的弦AB和 CD相等，且AB与小圆O相切 于点E.求证：CD与小圆O 相切 8.如右图，在矩形ABCD中，以 BC边为直径作半圆O,连接 OA,作OE⊥OA交CD边于 B 点E,连接AE.求证：AE是半圆O的切线.图① 图② 第2课时切线的性质与判定 1.C变式题20 2.解：(1)证明：连接OC,如图 :CE是⊙O的切线，则∠OCE=90°， ∠COE+∠E=90 :∠AOC=2∠D, .2∠D+∠E=90 (2)23【解析】(2)CD∥AB,CD=AE, .四边形ADCE是平行四边形， ∠D=∠E. 由(1)可知，2∠D+∠E=90°，则3∠E=90°， .∠E=30°， 在R△C0E中，0C=7AB=2.则0E=4, ∴.CE=√OE-OC=/4-2=25. 3.D 4.相切【解析】，∠O=2∠A=50°，∠OCB=40.∴.在 △OBC中，∠OBC=180°-50°-40°=90°，∴.直线BC 与⊙0相切. 5.证明：如图，连接OB. AB=BD,∠BAD=30°，∴.∠D =∠BAD=30°. ∠BOD=2∠BAD=60°， ∠OBD=180°-∠D-∠BOD=90°. OB是⊙O的半径，且BD⊥OB. .直线BD是⊙O的切线. 6.B【解析】如图，连接OB,OA. :PA,PB分别与⊙O相切于A,BC 两点， .OB⊥PB.OA⊥PA,∴.∠OBP =∠OAP=90°，六∠A0B=180-∠P=180°-50°= 130,∠ACcB=7∠A0B=7×130=65 7.A【解析】连接OQ,如图.：PQ是⊙O 的切线，OQ⊥PQ.根据勾股定理可 知，PQ=OP一OQ.,OQ为定值. ∴当OP的值最小时，PQ的值最小，.当台 OP⊥AB时，线段PQ最短.在R1△AOB中，OA=OB= AB=OA=8.OP-0AOB=.PQ AB =√OP-(0Q=25.即PQ的最小值为2. 8.6-2尽【解析】OA=OD..∠OAD=∠ODA. ,CD=AD,∴.∠C=∠CAD,.∠OAD=∠ODA= ∠C+∠CAD=2∠CAD.:AC是⊙O的切线，A是 切点，∴.∠OAC=90°，即3∠CAD=90°，∴.∠CAD= 30°=∠C=∠BOD.在Rt△AOC中.OA=3,∠C= 30°，.OC=2OA=6.在R△BOE中.OB=3,∠BOE =300E-O-25iCE=0c-0E=6 25. 9.解：(1)证明：如图，连接O℃ ,AB是⊙O的直径，.∠ACB =90°， ,OC=OB,.∠ABC=∠OCB. :∠DCA=∠ABC,:∠DCA=∠OCB, ∴.∠DCA+∠ACO=∠OCB+∠ACO, ∴.∠DCO=∠ACB=90°，∴.OC⊥DC :OC是⊙O的半径，∴.DC是⊙O的切线. OC (2)在Rt△DCO中，∠D=31°，OC=3,tanD= DC' 0C3 ∴DC= an3T≈0.6 =5,.切线DC的长约是5， 10.解：(1)如图，连接OB. ,AB与⊙O相切于点B, ∴.∠AB0=90° ,∠A=30°， ∴.∠BOD=∠AB0+∠A=120°， 1 ·∠BED=Z∠BOD=60, (2)证明：如图，连接OF. ,AB是⊙O的切线，∠OBF=90 AF=2AB,∴.OA=OF, .∠BFO=30,∴.∠BOF=60 ,∠BOD=120°，∴，∠BOF=∠DOF=60°. OB=OD. 在△BOF和△DOF中， ∠BOF=∠DOF, OF=OF. ,∴.△BOF≌△DOF(SAS). ∴.∠OBF=∠ODF=90°，.OD⊥DF. ,OD是⊙O的半径，∴DF与⊙O相切. 方法技巧专题切线的判定方法 1.解：PB是⊙O的切线. 理由：如图，连接OA,OB。 OA=OB,.∠BAO=∠ABO. PA=PB,.∠PAB=∠PBA. ,PA是⊙O的切线， .∠PAO=∠BAO+∠PAB =90°， ∴.∠PBO=∠ABO+∠PBA=90. 又，OB是⊙O的半径， ∴PB是⊙O的切线. 下册参考答案 15△ 2.证明：如图，连接OF,OC :四边形ABCD是矩形， .AD∥BC.AD=BC,∠ADC=90° ,E是BC边的中点，AO=DO, .AO=CE, .四边形OAEC是平行四边形，，∴.AE∥OC ∴.∠DOC=∠OAF,∠FOC=∠OFA. OA=OF.∴∠OAF=∠OFA, .∠DOC=∠FOC. OD=OF. 在△ODC和△OFC中，∠DOC=∠FOC, OC=OC. .△ODC≌△OFC(SAS),∴.∠ODC=∠OFC=90. 即OF⊥CF. 又：OF是⊙O的半径，∴.CF与⊙O相切. 3.证明：(1)：ADC=BCD,∴ADC-CD=BCD-CD ∴AD=BC,∴∠ABD=∠BDC, .ABCD,∴.∠BAD+∠ADC=180 (2)如图，连接BO并延长交⊙O 于点F,连接CF, 则∠FCB=90°，.∠F十∠FBC =90°. '∠BDC=∠F=∠CBE, ∠CBE+∠FBC=90°，∴.∠FBE=90 OB是⊙O的半径，BE是⊙O的切线. 4.解：(1)证明：如图，连接OE,则OE =0D. ∴.∠OED=∠ODE. ∠ODE=∠BDC, .∠OED=∠BDC. CE=BC. ∴∠CEB=∠CBE. :∠ACB=90°， .∠OEC=∠OED+∠CEB=∠BDC+∠CBE= 90°.即CE⊥OE. 又：OE是⊙O的半径， .CE是⊙O的切线 (2)∠OEC=90°. .OE+CE=OC. .CD=2.BC=4.OE=0D. :.CE=BC=4.OC=OD+CD=OD+2. ∴OD+4=(OD+2)2,解得OD=3, .AD=2×3=6, ∴.AC=AD+CD=6+2=8 5.证明：过点O作OE⊥AC于点E,连接 OD,OA,如图 ,AB与⊙O相切于点D .AB⊥OD 16 九年级数学HK版 :△ABC是等腰三角形，O是底边BC的中点， ∴.AO是∠BAC的平分线， .OE=OD,即OE是⊙O的半径， .AC是⊙O的切线. 6.证明：如图，过点O作OG⊥DFD 于点G. ,OA=OC,∠OAC=∠OCA. :∠BDO=∠ACO,∴.∠BDO =∠OAC. :DF∥AC.∴∠ODF=∠OAC, ∴.∠BDO=∠ODF,即DO是∠BDF的平分线. BD⊥BC,OG⊥DF,∴.OG=OB, .OG为⊙O的半径，∴.DF是⊙O的切线. 7.证明：如图，连接OE,OA,OC,过点O作 OF⊥CD于点F :AB与小圆O相切于点E ,.OE⊥AB AB=CD.OE⊥AB,OF⊥CD, AE-7AB-7CD-CF. (OA=OC. 在R1△AOE和R△COF中， AE=CF. ∴.Rt△AOE≌R1△COF(HL), .OE=OF,即OF为小圆O的半径， .CD与小圆O相切. 8.证明：在矩形ABCD中，∠ABO=∠OCE=90 .OE⊥OA,..∠AOE=90°， .∠BAO+∠AOB=∠AOB+∠COE=90°. .∠BAO=∠COE,∴.△ABOc∽△OCE, 授提 :0B=0c…0记即铝是 又.·∠ABO=∠AOE=90°，∴.△ABO∽△AOE, ∠BAO=∠OAE. .AO平分∠BAE 如图，过点O作OF上AE于点F BO⊥AB,.OB=OF,即OF是 半圆O的半径， AE是半圆O的切线. 第3课时切线长定理 1.D变式题70°2.D变式题60°3.A4.2 5.解：PA切⊙O于点A,PB切⊙O于点B, .∠OAP=∠OBP=90,PA=PB. 又：∠APB=90°， .四边形OAPB为正方形. ∴.OA=PA. 在Rt△AOP中，2OA'=OP,即OA°=8， .OA=22(负值已舍去)，即⊙0的半径为22.