24.4 第3课时 切线长定理-【学海风暴】2025-2026学年九年级下册数学同步备课（沪科版 安徽专版）

第3课时 切线长定理 要固梳理 1.切线上一点到切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长 2.切线长定理：过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角. 已课内基础闯关 知识点切线长定理 1.如图，P为⊙O外一点，PA,PB分别切⊙O 于A,B两点.若PA=5,则PB=( D 第3题图 第4题图 A.2 B.3 C.4 D.5 4.如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O外一点， CA,CD是⊙O的切线，A,D为切点，连接 0 BD,AD.若∠BAD=30°，AD=2,则CA的 长为 第1题图 变式题图 5.如下图，PA切⊙O于点A,PB切⊙O于点 B,∠APB=90°，OP=4.求⊙O的半径， 变式题如图，PA,PB是⊙O的切线，A, B为切点，AB是⊙O的切弦.若∠P 40°，则∠PAB= 2.如图，PA,PB分别切⊙O于点A,B, ∠APB=50°，则∠AOP= () A.25° B.40° C.50° D.65 6.(教材变式)如右图，直线AB, BC,CD分别与⊙O相切于点 E,F,G,且AB∥CD,OB= 第2题图 变式题图 6 cm.OC=8 cm. (1)求∠BOC的度数. 变式题如图，PA,PB是⊙O的切线，切 (2)BE+CG的长为 cm. 点为A,B.若OP=2,PA=5,则 ∠APB的度数为 3.如图，AB,AC,BD是⊙O的切线，切点分别 为P,C,D.若AB=4,AC=3,则BD的长 是 ( ) A.1 B.1.5C.2 D.2.5 下册第24罩 33 ⊙课外拓展提高 (2)若EB=6,CD=4,求⊙O的半径. 7.如图，在四边形ABCD中，边AD,DC,BC, AB均与⊙O相切，且AB=10,CD=12,则 四边形ABCD的周长为 ) A.44 B.42 C.46 D.47 第？题图 变式题因 变式题如图，在四边形ABCD中，AD∥ BC,AB⊥BC,边AB,BC,CD,AD均与 ⊙O相切.若AD=3,BC=6,⊙O的半径 为2，则CD的长为 8.如图所示的是用直尺、含60°角的直角三角 已综合能力提升 板和光盘摆放而成的，直角三角板的短直角 11.推理能力如下图，PA,PB,CD是⊙O的 边与直尺紧靠，A为60°角的顶点，B,C分别 切线，A,B,E为切点。 为光盘与直尺和直角三角板唯一的交点.若 (1)如果△PCD的周长为10，求PA的长. AB=,则光盘的直径为 ( (2)如果∠P=40°， A.63 B.35 ①求∠COD的度数： C.6 D.3 ②连接AE,BE,则∠AEB的度数为 60 第8题图 第9题图 9.如图，半径为3的⊙O与边长为8的等边三 角形ABC的两边AB,BC都相切，连接 OC,则tan∠OCB= 10.如下图，AB为⊙O的直径，过圆外一点E 作⊙O的两条切线EC,EB,切点分别为 D,B,EC交BA的延长线于点C,连接 OE,AD.OD. (1)试判断AD与OE的位置关系，并说明 理由. 九年级数学HK版2.证明：如图，连接OF,OC :四边形ABCD是矩形， .AD∥BC.AD=BC,∠ADC=90° ,E是BC边的中点，AO=DO, .AO=CE, .四边形OAEC是平行四边形，，∴.AE∥OC ∴.∠DOC=∠OAF,∠FOC=∠OFA. OA=OF.∴∠OAF=∠OFA, .∠DOC=∠FOC. OD=OF. 在△ODC和△OFC中，∠DOC=∠FOC, OC=OC. .△ODC≌△OFC(SAS),∴.∠ODC=∠OFC=90. 即OF⊥CF. 又：OF是⊙O的半径，∴.CF与⊙O相切. 3.证明：(1)：ADC=BCD,∴ADC-CD=BCD-CD ∴AD=BC,∴∠ABD=∠BDC, .ABCD,∴.∠BAD+∠ADC=180 (2)如图，连接BO并延长交⊙O 于点F,连接CF, 则∠FCB=90°，.∠F十∠FBC =90°. '∠BDC=∠F=∠CBE, ∠CBE+∠FBC=90°，∴.∠FBE=90 OB是⊙O的半径，BE是⊙O的切线. 4.解：(1)证明：如图，连接OE,则OE =0D. ∴.∠OED=∠ODE. ∠ODE=∠BDC, .∠OED=∠BDC. CE=BC. ∴∠CEB=∠CBE. :∠ACB=90°， .∠OEC=∠OED+∠CEB=∠BDC+∠CBE= 90°.即CE⊥OE. 又：OE是⊙O的半径， .CE是⊙O的切线 (2)∠OEC=90°. .OE+CE=OC. .CD=2.BC=4.OE=0D. :.CE=BC=4.OC=OD+CD=OD+2. ∴OD+4=(OD+2)2,解得OD=3, .AD=2×3=6, ∴.AC=AD+CD=6+2=8 5.证明：过点O作OE⊥AC于点E,连接 OD,OA,如图 ,AB与⊙O相切于点D .AB⊥OD 16 九年级数学HK版 :△ABC是等腰三角形，O是底边BC的中点， ∴.AO是∠BAC的平分线， .OE=OD,即OE是⊙O的半径， .AC是⊙O的切线. 6.证明：如图，过点O作OG⊥DFD 于点G. ,OA=OC,∠OAC=∠OCA. :∠BDO=∠ACO,∴.∠BDO =∠OAC. :DF∥AC.∴∠ODF=∠OAC, ∴.∠BDO=∠ODF,即DO是∠BDF的平分线. BD⊥BC,OG⊥DF,∴.OG=OB, .OG为⊙O的半径，∴.DF是⊙O的切线. 7.证明：如图，连接OE,OA,OC,过点O作 OF⊥CD于点F :AB与小圆O相切于点E ,.OE⊥AB AB=CD.OE⊥AB,OF⊥CD, AE-7AB-7CD-CF. (OA=OC. 在R1△AOE和R△COF中， AE=CF. ∴.Rt△AOE≌R1△COF(HL), .OE=OF,即OF为小圆O的半径， .CD与小圆O相切. 8.证明：在矩形ABCD中，∠ABO=∠OCE=90 .OE⊥OA,..∠AOE=90°， .∠BAO+∠AOB=∠AOB+∠COE=90°. .∠BAO=∠COE,∴.△ABOc∽△OCE, 授提 :0B=0c…0记即铝是 又.·∠ABO=∠AOE=90°，∴.△ABO∽△AOE, ∠BAO=∠OAE. .AO平分∠BAE 如图，过点O作OF上AE于点F BO⊥AB,.OB=OF,即OF是 半圆O的半径， AE是半圆O的切线. 第3课时切线长定理 1.D变式题70°2.D变式题60°3.A4.2 5.解：PA切⊙O于点A,PB切⊙O于点B, .∠OAP=∠OBP=90,PA=PB. 又：∠APB=90°， .四边形OAPB为正方形. ∴.OA=PA. 在Rt△AOP中，2OA'=OP,即OA°=8， .OA=22(负值已舍去)，即⊙0的半径为22. 6.解：(1)连接OF,如图. 根据切线长定理，得BE=BF,CF=CG, ∠OBF=∠OBE.∠CF=∠OG. :AB//CD. .∠ABC+∠BCD=180°， ∴.∠OBF+∠OCF=90°， ∴.∠BOC=90 (2)10 7.A 变式题5【解析】如图，设⊙O与 A H D AB,BC,CD,AD分别相切于点E, F.G.H.AH=AE.BE BF.E CF=CG.DH=DG...AH+DH BF+CF=AE+BE+DG+ CG,即AD+BC=AB+CD.AD∥BC,AB⊥BC, ⊙O的半径为2，∴.AB=4,.CD=AD+BC一AB =5. 8.C【解析】如图，连接OA,OB.由 切线长定理，得AC=AB=3,AO 0 平分∠BAC,∴.∠OAB=60°.在 70 Rt△ABO中.OB=AB·tan∠OAB B =3×=3,.光盘的直径为6. 9.尽【解桥】如图连接OB,设⊙O与B○ 的切点为D,连接OD,则OD⊥BC :⊙O与等边三角形ABC的两边AB, BC都相切，，.∠OC=∠OBA= 2∠ABC=30 O 'tan∠OBC BD·BD OD 5 tan30° =3,CD= 3 BC-BD=8-3=5...tanZOCB= OD CD 5 10.解：(1)AD/∥OE.理由如下： CE,BE是⊙O的切线， ∴.DE=BE,∠DEO=∠BEO. 又OE=OE, ∴.△DOE≌△BOE,∴·∠DOE=∠BOE. :OA=OD.∴.∠ODA=∠OAD. 又：∠IDOB=∠DOE+∠BOE=∠ODA+∠OAD, ∴.∠DOE=∠ODA,.AD∥OE. (2):CE,BE是⊙O的切线， :.ED=EB=6...CE=DE+CD=6+4=10. 在Rt△CBE中，由勾股定理，得BC=√CE一BE =8. 设OB=OD=r,则OC=8一r. 在Rt△CDO中，由勾股定理，得CD'+OD=OC, .4十r2=(8-r),解得r=3,即⊙0半径的长为3. 11.解：(1)：PA,PB,CD是⊙O的切线，A,B.E为 切点， .PA=PB.AC=CE,ED=BD. △PCD的周长为10， ..PC+CD+PD=10. ∴，PC+CE+DE+PD=PC+AC+PD+BD=PA +PB=2PA=10. ∴.PA=5. (2)①∠P=40°. .∴∠PCD+∠PDC=180°-40°=140°， ∴∠ACD+∠BDE=360°-140°=220， :PA,PB,CD是⊙O的切线，A,B,E为切点， 1 ·∠ACO=∠DCO=Z∠ACD,∠BD0=∠ED0= ∠BDE, ∠0D+∠0DC=z×20°=110°.∴∠C0D= 180°-110°=70 @110 【解析】(2)②∠AEB=180°-∠AEC-∠BED=180 180°-∠ACD180-∠BDE 2 2 =180-90+7∠ACD-90+7∠BDE=专× 、1 220°=110. 24.5三角形的内切圆 1.C 2.解：如图所示，⊙P即为所求. 3.D4.D变式题65.110° 6.解：作OE⊥BC,OD⊥AB,OF⊥ AC,如图.由题意得OD=OE=OF =2. △ABC的周长为12， ∴.AB+BC+AC=12, Sam=zAB·0D+ZBC·OE+2AC·OF= 2(AB+BC+AC)×2=含×12X2=12. 1 7.B【解析】：点O为△ABC的外心，·∠A= 名∠B0C=0.∠ABc+∠ACB=180r-70 110°.：点I为△ABC的内心，.BI平分∠ABC,CI 下册参考答案 17△