24.4 第2课时 切线的性质与判定-【学海风暴】2025-2026学年九年级下册数学同步备课（沪科版 安徽专版）

第2课时 切线的性质与判定 点理 1.切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径. 2.切线的判定定理：经过半径外端，点并且垂直于这条半径的直线是圈的切线， 色课内基础闯关 知识点② 切线的判定 知识点① 切线的性质 3.如图，点M在⊙O上，点P在⊙O外，OP 1.如图，MN是⊙O的切线，M是切点，连接 交⊙O于点N,以下条件不能判定PM是 OM,ON.若⊙O的半径为3，ON=5,则切 ⊙O的切线的是 () 线MN的长为 ( A.∠O+∠P=909 A.2 B.3 C.4 D.5 B.∠O+∠P=∠OMP B C.OM2+PM2=OP2 D.V是OP的中点 第1题图 变式题图 变式题求切线长→求角度 (2025安徽)如图，AB是⊙O的弦，PB与 第3题图 第4题图 ⊙O相切于点B.圆心O在线段PA上， 4.如图，点A,B,D在⊙O上，∠A=25°，OD的延 已知∠P=50°，则∠PAB的大小为 长线交直线BC于点C,且∠OCB=40°，连接 OB.直线BC与⊙O的位置关系为 2.如右图，AB是⊙O的直 5.(2025六安裕安区期末)如下图，△ABC是 径，E是BA延长线上的一 ⊙O的内接三角形，AE是⊙O的直径，延长 点，CE是⊙O的切线，C AE到点D,连接BD,且AB=BD,∠BAD 是切点，D是BC上的一个点，连接AD, =30°.求证：直线BD是⊙O的切线， CD.AC. (1)求证：2∠D+∠E=90° (2)若CD∥AB,CD=AE,AB=4,则CE的 长为 下册第24罩 29△ ⊙课外拓展提高 (2)若⊙O的半径是3，∠D=31°，求切线 6.(2025阜阳太和期未)如图， DC的长（结果取整数，参考数据：sin31°≈ PA,PB分别与⊙O相切于 0.52,cos31°≈0.86，tan31°≈0.6). A,B两点，C是优弧ACB 上的一个动点.若∠P= 第6题图 50°，则∠ACB的度数为 A.50° B.65° C.55 D.60 7.如图，在Rt△AOB中，OA=OB=42.⊙O 的半径为2，P是AB边上的动点，连接OP 过点P作⊙O的一条切线PQ(Q为切点)， @综合能力提升 0 则线段PQ的最小值为 ( ) 10.推理能力如下图，AB与⊙O相切于点B, A.25 B.3 C.2 D.22 AO交⊙O于点C,AO的延长线交⊙O于 点D,E是BCD上不与点B,D重合的点， ∠A=30°. (1)求∠BED的大小 (2)若点F在AB的延长线上，且AF 2AB,求证：DF与⊙O相切. 第7题图 第8题图 8.古代数学文化如图所示的是我国明末《崇祯 历书》之《割圆勾股八线表》中所绘的割圆八 线图的简化图.在扇形AOB中，∠AOB= 90°，AC和BE都是⊙O的切线，A和B是切 点，BE交OC于点E,OC交⊙O于点D,AD =CD.若OA=3,则CE的长为 9.如下图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点 点D在BA延长线上，且∠DCA=∠ABC. (1)求证：DC是⊙O的切线， 30 九年级数学HK版图① 图② 第2课时切线的性质与判定 1.C变式题20 2.解：(1)证明：连接OC,如图 :CE是⊙O的切线，则∠OCE=90°， ∠COE+∠E=90 :∠AOC=2∠D, .2∠D+∠E=90 (2)23【解析】(2)CD∥AB,CD=AE, .四边形ADCE是平行四边形， ∠D=∠E. 由(1)可知，2∠D+∠E=90°，则3∠E=90°， .∠E=30°， 在R△C0E中，0C=7AB=2.则0E=4, ∴.CE=√OE-OC=/4-2=25. 3.D 4.相切【解析】，∠O=2∠A=50°，∠OCB=40.∴.在 △OBC中，∠OBC=180°-50°-40°=90°，∴.直线BC 与⊙0相切. 5.证明：如图，连接OB. AB=BD,∠BAD=30°，∴.∠D =∠BAD=30°. ∠BOD=2∠BAD=60°， ∠OBD=180°-∠D-∠BOD=90°. OB是⊙O的半径，且BD⊥OB. .直线BD是⊙O的切线. 6.B【解析】如图，连接OB,OA. :PA,PB分别与⊙O相切于A,BC 两点， .OB⊥PB.OA⊥PA,∴.∠OBP =∠OAP=90°，六∠A0B=180-∠P=180°-50°= 130,∠ACcB=7∠A0B=7×130=65 7.A【解析】连接OQ,如图.：PQ是⊙O 的切线，OQ⊥PQ.根据勾股定理可 知，PQ=OP一OQ.,OQ为定值. ∴当OP的值最小时，PQ的值最小，.当台 OP⊥AB时，线段PQ最短.在R1△AOB中，OA=OB= AB=OA=8.OP-0AOB=.PQ AB =√OP-(0Q=25.即PQ的最小值为2. 8.6-2尽【解析】OA=OD..∠OAD=∠ODA. ,CD=AD,∴.∠C=∠CAD,.∠OAD=∠ODA= ∠C+∠CAD=2∠CAD.:AC是⊙O的切线，A是 切点，∴.∠OAC=90°，即3∠CAD=90°，∴.∠CAD= 30°=∠C=∠BOD.在Rt△AOC中.OA=3,∠C= 30°，.OC=2OA=6.在R△BOE中.OB=3,∠BOE =300E-O-25iCE=0c-0E=6 25. 9.解：(1)证明：如图，连接O℃ ,AB是⊙O的直径，.∠ACB =90°， ,OC=OB,.∠ABC=∠OCB. :∠DCA=∠ABC,:∠DCA=∠OCB, ∴.∠DCA+∠ACO=∠OCB+∠ACO, ∴.∠DCO=∠ACB=90°，∴.OC⊥DC :OC是⊙O的半径，∴.DC是⊙O的切线. OC (2)在Rt△DCO中，∠D=31°，OC=3,tanD= DC' 0C3 ∴DC= an3T≈0.6 =5,.切线DC的长约是5， 10.解：(1)如图，连接OB. ,AB与⊙O相切于点B, ∴.∠AB0=90° ,∠A=30°， ∴.∠BOD=∠AB0+∠A=120°， 1 ·∠BED=Z∠BOD=60, (2)证明：如图，连接OF. ,AB是⊙O的切线，∠OBF=90 AF=2AB,∴.OA=OF, .∠BFO=30,∴.∠BOF=60 ,∠BOD=120°，∴，∠BOF=∠DOF=60°. OB=OD. 在△BOF和△DOF中， ∠BOF=∠DOF, OF=OF. ,∴.△BOF≌△DOF(SAS). ∴.∠OBF=∠ODF=90°，.OD⊥DF. ,OD是⊙O的半径，∴DF与⊙O相切. 方法技巧专题切线的判定方法 1.解：PB是⊙O的切线. 理由：如图，连接OA,OB。 OA=OB,.∠BAO=∠ABO. PA=PB,.∠PAB=∠PBA. ,PA是⊙O的切线， .∠PAO=∠BAO+∠PAB =90°， ∴.∠PBO=∠ABO+∠PBA=90. 又，OB是⊙O的半径， ∴PB是⊙O的切线. 下册参考答案 15△