24.2 应用技巧专题 圆的基本性质的应用-【学海风暴】2025-2026学年九年级下册数学同步备课（沪科版 安徽专版）

应用技巧专题 圆的基本性质的应用 题型① 利用半径相等解题 4.如下图，AB为⊙O的弦，点C在AB上，AC 1.如下图，已知AB交⊙O于点A,D,BD= =4,BC=2,CD⊥OC交⊙O于点D.求CD OD,∠B=38°，求∠AOD的度数. 的长 2.(教材变式)如下图，点O是同心圆的圆心， 大圆半径OA,OB分别交小圆于点C,D.求 证：ABCD. 题型③ 利用圆心角、弧、弦、弦心距间的关系 解题 5.(1)如图①，AB是⊙O的直径，OD∥AC CD与BD的大小有什么关系？为什么？ (2)如图②，AB,DE是⊙O的直径，AC∥ DE,AC与⊙O相交于点C.BE与EC的大 小有什么关系？为什么？ 题型②利用垂径定理解题 3.(2025准南月考)如下图，AB和CD分别是 ⊙O上的两条弦，过点O分别作ON⊥CD 于点N,OM⊥AB于点M.若ON=号AB, 图① 图② 求证：OM=2CD. 下册第24章 6.如下图，∠AOB=90°，C,D是以点O为圆8.在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,⊙O是 心的AB的三等分点，连接AB分别交OC, △ABC的外接圆。 OD于点E,F. (1)求出∠AEC的度数. 0 (2)求证：AE=BF=CD 图① (1)如图①，求⊙O的半径长 (2)如图②，∠ABC的平分线交半径OA于点 E,交⊙O于点D.OE的长为 题型⑤利用隐圆求最值 题型④三角形的外接圆、外心及其性质 9.在矩形ABCD中，AB=8,AD=6,E是BC 7.(2025赣州期中)如下图，已知△ABC内接 右侧一点且CE⊥BE,G是AB上一点，F 于⊙O,且AB=AC. 是DE的中点.已知∠DGE=90°，则FG的 (1)请仅用无刻度的直尺画出BC的中点F 最大值为 () (保留画图痕迹，不写画法)， (2)若BD,CE分别是△ABC的高，求证： A.丽+3B.历+3c.俪+4D.+4 2 2 2 B,C,D,E四点在同一个圆上 0. B 第9题图 第10题图 10.模型观念如图，已知正方形ABCD的边长 为2，P是射线AD上的一个动点，点Q在 BP上，且满足∠BCQ=∠BPC,则线段 CQ的最小值为 金18 九年级数学HK版DE-TAC.EF-TAB.DF-C.DE+ EF+DF=7(AC+AB+BC)=7×21=10.5. DE+DF=6.5,.EF=10.5-6.5=4. 7.C 8.证明：如图，设AB,CD交于点P,连接OP 假设AB与CD能互相平分，则CP =DP,AP=BP. 0. AB,CD是⊙O内非直径的两弦， ∴OP⊥AB,OP⊥CD. 这与“过一点有且只有一条直线与已 知直线垂直”相矛盾， ∴.假设不成立，∴.AB与CD不能互相平分 9.D 变式题C【解析】如图，等边三角形 ABC中，三边的垂直平分线交于一 点O,则点O是△ABC外接圆的圆 心，.∠OBC=∠OCB=30°，BF CF-7 BC-1.:.OF 1 0B=20F-2E 5 3 10.A【解析】如图，，点O为△ABC的外心，∴.OA= OB=OC,∴.BC=/3+3=3√2. 11.5【解析】如图，分别作AB,BC的中 垂线，两直线的交点为O.以点O为 圆心、OA长为半径作圆，则⊙O即为 过A,B,C三点的外接圆，由图可知， ⊙O还经过点D,E,F,G,H这5个 格点， 12.8或2【解析】分以下两种情况讨论：①当△ABC是 锐角三角形时，如图①，连接OB,则AD一定经过圆 心0，在R△0BD中.BD=号C=宁×8=40D =√OB-BD=-4=3.则AD=OA+OD 5+3=8:②当△ABC是纯角三角形时，如图②.同理 可得，OD=3,则AD=OA-OD=5-3=2.综上所 述，△ABC的高AD的长为8或2. 图② 九年级数学HK版 13.证明：连接FG,GH,HI,IF,FH,IG, 设FH,1G交于点O如图所示 F,G,H,I分别是四边形ABCD各边 中点， .GH是△BCD的中位线，FI是△ABD的中位线， FG是△ABC的中位线， GH∥BD,GH=含BD,FH∥BD,FH=BD, FG∥AC,∴.GHFI,GH=FI, .四边形FGHI是平行四边形. AC⊥BD,∴.FG⊥GH,.四边形FGHI是矩形. ∴.OF=OG=OH=O1, ∴F,G,H,1四个点在同一个圆上 14.证明：(1)：D,E,F分别是AC,AB,BC的中点， ∴.DE和EF都是△ABC的中位线， ∴，ED∥BC,EF∥AC, .ED∥FC,EF∥DC, ∴.四边形EFCD是平行四边形. (2)假设线段EC与FD垂直. 四边形EFCD是平行四边形， ∴.□EFCD是菱形. ..EF=DE. :DE和EF都是△ABC的中位线， 1 ∴.DE=zBC,EF=zAC, ∴.BC=AC,这与BC,AC均不相等相矛盾， ,该假设不成立， ∴，线段EC与FD不垂直 应用技巧专题圆的基本性质的应用 1.解：：BD=OD,∠B=38°. ∠DOB=∠B=38°， ∠ADO=∠DOB+∠B=76. OA=OD. ∴∠A=∠AD0=76, .∠AOD=180°-∠A-∠AD0=180°-76°-76 =28°. 2.证明：OC=OD, ∴.∠OCD=∠ODC, ∠0CD=z180°-∠0. OA=OB,.∠OAB=∠OBA. 1 六∠0AB=2180°-∠0)， .∠OCD=∠OAB.AB∥CD. 3.证明：如图，连接OA,OC.设⊙O的 半径是r,ON=x,则AB=2x. 在Rt△CON中，CN=√OC-ON =n-x. ON⊥CD,.CD=2CN=2-x OM⊥AB..AM=2AB=x 在R△AOM中，OM=OA-AM=-x .OM-CD. 4.解：如图，过点O作OE⊥AB于点E, 连接OA,OD. AC=4,BC=2, .AB=6. :OE⊥AB, .AE=BE=3, ∴.CE=3-2=1. 设OE=x由勾股定理，得OA=x+9,OC=x +1. ,CD⊥OC, ∴.CD2=OD-OC=OA2-0C=x2+9-(x2+1) =8, ∴.CD=22 5.解：(1)CD=BD.理由：如图①，连接OC. ·OD∥AC,∴.∠A=∠BOD,∠C=∠COD. OC=OA.∴.∠C=∠A,.∠BOD=∠COD,∴CD =BD (2)BE=EC.理由：如图②，连接OC AO=CO,∴∠A=∠OCA. :ACDE,∴.∠BOE=∠A,∠COE=∠OCA. .∠BOE=∠COE,.BE=EC 图① 2 6.解：(1)连接AC,DB.如图. C,D是AB三等分点， ..AC=CD=DB. 又：∠AOB=90°， ∴.∠AOC=∠COD=∠DOB=30° OA=OB,∠AOB=90°， ∠OAB=∠OBA=45°， ∴.∠AEC=∠AOC+∠OAB=30°+45°=75 (2)证明：，∠AOC=∠COD=∠DOB=30°，∠AEC =75°，0A=0C, 1 六∠AC0=2(180°-∠A0C)=Z×(180°-30) =75°， .∠AEC=∠ACO, ∴AE=AC. 同理可得BF=DB. .AC=CD=BD...AE=BF=CD. 7.解：(1)如图，点F即为所求。 (2)证明：如图，连接EF,DF,OB,OC. ,BD,CE是△ABC的高， ∴.BD⊥AC,CE⊥AB,.∠BDC ∠CEB=90°. F是BC的中点，.EF=DF=BF=CF, ∴.B,C,D,E四点都在以BC为直径的圆上 即B,C,D,E四点在同一个圆上. 8.解：(1)过点A作AH⊥BC于点日，连接OB,如图①. AB=AC. ÷BH=CH=ZBC=3, 即AH垂直平分BC, ,点O在AH上. 在R1△ABH中，AH=AB-BT 图① =5-3=4. 设⊙O的半径为r,则OB=r,OH=AH一OA=4-r 在R△0BH中+-r)=r.解得-号 故⊙0的半径长为号 28 【解析】(2)过点E作EF⊥AB于点F,延长AO交BC 于点G,如图②. 由(1)可知，OG⊥BC,AG=4,BG =3. BD平分∠ABC,∴.EG=EF. 又：S-宁G·AE AR器0- EG=AG=×4= 3 3 G-ac-0A=4-答-g :OE=G-0G=2-8=8 375 9.A【解析】如图，取BC的中点 D O,连接OE,∴.OE=(OC=OB, 点E在以点O为圆心，BC长 为直径的半圆上运动.当点D,O, E共线时，DE有最大值.在△C0D中，0C=专5C =3,则OD=/CD+OC=√/8+3=/73，故DE 的最大值为/T3+3.在R1△DEG中，FG是斜边DE 上的中线，.FG= DE∴FG的最大值为厅+ 2 下册参考答案 9△ 10.5-1【解析】如图，连接AQ.,∠BCQ=∠BPC, 且∠CBQ=∠PBC,,∴.△BCQ∽△BPC,.BQ：BC BC:BP.AB=BC..BQ:AB=AB:BP. 又：∠ABQ=∠PBA,∴.△ABQO△PBA, .∠AQB=∠PAB=90°. 取AB的中点O,连接(OQ,则OQ=OA=OB,∴.点Q 在以点O为圆心，AB长为直径的半圆上运动.当O, Q,C三点共线时，CQ有最小值. AB=2,.0B=1.∴.OC=+2=5 0Q=1.∴CQ=5-1. 应用技巧专题垂径定理的应用 1.解：如图，连接OB.设OB=OD=r,则 DG=OD+0G=r+2. ED-EG.EG-DG- r+1. :.0E=EG-0G=2-1. :CD为直径，AB⊥CD∴.BE=AB=F. 在Rt△OEB中，OE+BE=OB. (宁-1)+()=户，解得r=等（负值已舍去). 故⊙0的半径长为受 2.解：(1)AD⊥OC,,AD=DF. ,AB=6,,.OA=OC=3,∴.OD=OC一CD=3-1 =2. 在Rt△AOD中，AD=OA-OD=5,∴AF= 2AD=25. (2)AF=BC.:.AF=BC. 即AC+CF=CF+BF,∴.AC=BF :AD⊥OC.AD=DF,AC=CF。 ∴AC=F=BF.∠A0D=7×180=60 在Rt△AOD中，∠AOD=60° 00-0A=兰AD=50-3E ,AF 2AD=35 3.证明：连接AC,如图. :直径AB垂直弦CD于点E, .AC=AD ..AC=AD CF LAD. 410 九年级数学HK版 ..AC=CD. ..AC=CD. .AC=AD=CD,则△ACD是等边三 角形， 1 六∠FCD=z∠ACD=30 在R△COE中，0E=0C, 0E-0B.即E为0B的中点 变式题证明：如图，连接BD :AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB, .D是AB的中点，.AD=BD .AD=BD,∠A=∠ABD. BC⊥AB.∴.∠ABC=90°， .∠A+∠C=90°，∠ABD+∠DBC=90°， ∴∠C=∠DBC,.BD=CD. ∴.AD=CD,∴D为AC的中点 4.解：如图，连接OD 设⊙O的半径为r. CD⊥OC..∠DCO=90°. ∴.CD=OD-OC=P-OC 当OC的值最小时，CD的值最大， 而OC⊥AB时，OC最小，此时D,B两点重合， :CD-号AB=号×1=方：即CD的最大值为宁 5.解：如图，连接AD,交MN于点P,连 接PC,过点D作DH⊥AB于点H, 连接OA,OC.此时PA十PC最小， 且PA+PC=AD. 由垂径定理，得AE=BE=2AB=4,CF=DF= CD-3. .0A=0C=5. ∴.在Rt△AE0中，OE=OA-AE=3: 在Rt△CFO中，OF=OC-CF=4. :∠FEH=∠EHD=∠DFE=9O°. .四边形HEFD为矩形， .DH=EF=OE+OF=7.EH=DF=3. 又：AH=AE+EH=7, :.AD=AH+DH=72. 即PA十PC的最小值为72. 6.解：设圆心为点O,过点O作OC AB于点C,交⊙O于点D,连接 OA,如图所示， 0 则AC=7AB=子×10=5（寸.