24.2 应用技巧专题 垂径定理的应用-【学海风暴】2025-2026学年九年级下册数学同步备课（沪科版 安徽专版）

10.5-1【解析】如图，连接AQ.,∠BCQ=∠BPC, 且∠CBQ=∠PBC,,∴.△BCQ∽△BPC,.BQ：BC BC:BP.AB=BC..BQ:AB=AB:BP. 又：∠ABQ=∠PBA,∴.△ABQO△PBA, .∠AQB=∠PAB=90°. 取AB的中点O,连接(OQ,则OQ=OA=OB,∴.点Q 在以点O为圆心，AB长为直径的半圆上运动.当O, Q,C三点共线时，CQ有最小值. AB=2,.0B=1.∴.OC=+2=5 0Q=1.∴CQ=5-1. 应用技巧专题垂径定理的应用 1.解：如图，连接OB.设OB=OD=r,则 DG=OD+0G=r+2. ED-EG.EG-DG- r+1. :.0E=EG-0G=2-1. :CD为直径，AB⊥CD∴.BE=AB=F. 在Rt△OEB中，OE+BE=OB. (宁-1)+()=户，解得r=等（负值已舍去). 故⊙0的半径长为受 2.解：(1)AD⊥OC,,AD=DF. ,AB=6,,.OA=OC=3,∴.OD=OC一CD=3-1 =2. 在Rt△AOD中，AD=OA-OD=5,∴AF= 2AD=25. (2)AF=BC.:.AF=BC. 即AC+CF=CF+BF,∴.AC=BF :AD⊥OC.AD=DF,AC=CF。 ∴AC=F=BF.∠A0D=7×180=60 在Rt△AOD中，∠AOD=60° 00-0A=兰AD=50-3E ,AF 2AD=35 3.证明：连接AC,如图. :直径AB垂直弦CD于点E, .AC=AD ..AC=AD CF LAD. 410 九年级数学HK版 ..AC=CD. ..AC=CD. .AC=AD=CD,则△ACD是等边三 角形， 1 六∠FCD=z∠ACD=30 在R△COE中，0E=0C, 0E-0B.即E为0B的中点 变式题证明：如图，连接BD :AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB, .D是AB的中点，.AD=BD .AD=BD,∠A=∠ABD. BC⊥AB.∴.∠ABC=90°， .∠A+∠C=90°，∠ABD+∠DBC=90°， ∴∠C=∠DBC,.BD=CD. ∴.AD=CD,∴D为AC的中点 4.解：如图，连接OD 设⊙O的半径为r. CD⊥OC..∠DCO=90°. ∴.CD=OD-OC=P-OC 当OC的值最小时，CD的值最大， 而OC⊥AB时，OC最小，此时D,B两点重合， :CD-号AB=号×1=方：即CD的最大值为宁 5.解：如图，连接AD,交MN于点P,连 接PC,过点D作DH⊥AB于点H, 连接OA,OC.此时PA十PC最小， 且PA+PC=AD. 由垂径定理，得AE=BE=2AB=4,CF=DF= CD-3. .0A=0C=5. ∴.在Rt△AE0中，OE=OA-AE=3: 在Rt△CFO中，OF=OC-CF=4. :∠FEH=∠EHD=∠DFE=9O°. .四边形HEFD为矩形， .DH=EF=OE+OF=7.EH=DF=3. 又：AH=AE+EH=7, :.AD=AH+DH=72. 即PA十PC的最小值为72. 6.解：设圆心为点O,过点O作OC AB于点C,交⊙O于点D,连接 OA,如图所示， 0 则AC=7AB=子×10=5（寸. 设该圆材的半径为x寸 在Rt△ACO中，OC=(r-1)寸，OA=r寸. 则有r=5+(r-1). 解得r=13,.2r=26. 故该圆材的直径为26寸. 7.解：(1)连接OA,如图. AB=24m,OC⊥AB. AD-2AB-12 m. OA=OC=r..'CD=8 m...OD=(r-8)m. 在Rt△AOD中，AD+OD=OA, 即122+(r一8)=r2,解得r=13. 故该圆弧形拱桥所在圆的半径长为13m. (2)不能.理由如下： :r=13m,CD=8m, ∴.OD=OC-CD=5m. 构造如图所示的矩形MEFN,MN交CD于点H,连 接OM. 当EF=MN=10m时， OC⊥AB,∴.OC⊥MN, 六MH=2MN=5m. 根据勾股定理，得OH=√OM一MT=12m, ∴.DH=OH-OD=12-5=7(m). 7<7.5, ∴此货船不能顺利通过这座桥 24.3圆周角 第1课时圆周角定理及其推论 1.C2.9∠ADB,∠ACB∠A,∠B,∠E 3.B4.C5.C6.A变式题D 7.解：：AB为⊙O的直径，∠CDB=32°， .∠ACB=90°，.∠A+∠ABC=90° :BC=BC.∠A=∠CDB=32, ∴∠ABC=90°-∠A=90°-32°=58 :BD平分∠ABC.∠ABD=号∠ABC=29. ∴.∠ACD=∠ABD=29 8.D【解析】如图，连接BE.:∠BEC= ∠BAC=15°，∠CED=30°，∴.∠BED =∠BEC十∠CED=45°，，.∠BOD 2∠BED=90. 9.B【解析】如图，连接BD.CD是⊙O 的直径，∴.∠CBD=90°.：∠BDC =∠BEC,∠BEC=∠A+∠ACE =22°+16°=38°.∴.∠BDC=38°，A .∠BCD=90°-∠BDC=90°-38 =52°..∠BCE=∠BCD-∠ACE=52°-16°=36 10.25°【解析】如图，连接AD.,AB是 直径，∴.∠ADB=90°，即AD⊥BC. ,BD=CD,∴.AB=AC,∠BAD Z∠BAC=25.∴.∠BED=∠BAD =25. 11.解：(1)证明：：D是BC的中点，.CD=BD. ∴.∠CAD=∠BAD,∴∠CAB=2∠BAD. :BD=BD,∠BOD=2∠BAD, .∠CAB=∠BOD,∴.ACOD. (2)如图，连接BC交OD于点 M,连接BD. :AB是半圆O的直径， ∴∠ACB=∠ADB=90 在R△ABC中，BC=AB-AC=/10-8=6. :CD=BD0D垂直平分BC,dBM=号BC=3. 在Rt△OBM中，OM=√OB-BF=√5-3=4， ∴.DM=5-4=1. 在R1△DBM中，BD°=BMP+DM=3+1=10. 在R1△ABD中，AD=AB-BDF=√10-1G= 3/10. 12.解：(1)证明：如图①，连接BC. :∠PCB的度数等于BD的度数的一半，∠PBC的 度数等于AC的度数的一半，AC的度数为a,BD的 度数为B.·∠PCB=乞A∠PBC=2a :∠APC=∠PBC+∠PCB.∠APC=2a+zB 1 =2a+B. 0 图① 图② (2)1)中的结论不成立，类似的结论为∠BPC=2g -a). 证明：如图@，连接BC :∠APC+∠PBC=∠BCD..∠APC=∠BCD -∠PBC. :∠BCD的度数等于BD的度数的一半，∠PBC的 度数等于AC的度数的一半，AC的度数为a,BD的 度数为B, 1.11 ·∠APC=zA-za=2g-a. 下册参考答案应用技巧专题 题型① 利用垂径定理求线段长 1.(2025马鞍山花山区校级一模)如下图，在 ⊙O中，AB,AC为弦，CD为直径，AB⊥ CD于点E,BF⊥AC于点F,BF与CD相 交于点G,ED=EG.若AB=27,OG=2, 求⊙O的半径长 2.(2025合肥蜀山区校级期末)已知AB是半 圆O的直径，AB=6,点C在半圆O上，过 点A作AD⊥OC,垂足为D,AD的延长线 与弦BC交于点E,与半圆O交于点F(点F 不与点B重合). (1)如图①，若CD=1,求AF的长. (2)如图②，若BC=AF,求AF的长， 图① 图② 垂径定理的应用 题型②利用垂径定理证明 3.如下图，已知⊙O的直径AB垂直弦CD于 点E,连接CO并延长交AD于点F,且CF ⊥AD.求证：E是OB的中点. 变式题(2025六安金安区 校级月考)如右图，AB是 H ⊙O的弦，半径OD⊥AB, 垂足为H,BC⊥AB,交 AD延长线于点C.求证：D是AC的中点. 下册第24章 19 题型③利用垂径定理求最值 4.如下图，在⊙O中，弦AB=1,点C在AB上 移动，连接OC,过点C作CD⊥OC交⊙O 于点D.求CD的最大值. B 5.转化思想如右图，AB,CD 是半径为5的⊙O的两条 弦，AB=8,CD=6,MN是 直径，AB⊥MN于点E, CD⊥MN于点F,P为直线EF上的任意 一点.求PA十PC的最小值 题型④利用垂径定理解决实际问题 6.古代数学文化《九章算术》中记载了一个问 题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小.以锯锯 之，深一寸，锯道长一尺.问径几何.”小辉同 20 九年级数学HK版 学根据原文题意，画出圆材 截面示意图如右图所示.已 知锯口深1寸，锯道AB=1 尺(1尺=10寸)，求该圆材 的直径. 7.情境应用某地有一座圆弧形拱桥，其横截 面如下图所示，桥下水面宽度AB为24m, 拱顶高出水面8m(CD=8m),圆弧所在圆 的圆心为O,OC⊥AB. (1)求出该圆弧形拱桥所在圆的半径长. (2)现有一艘宽10m、船舱高出水面7.5m 的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座 桥吗？请说明理由。