24.2 第4课时 圆的确定-【学海风暴】2025-2026学年九年级下册数学同步备课（沪科版 安徽专版）

第4课时 圆的确定 森便点说理 1.不在同一条直线上的三个点确定一个圆 2.经过三角形三个项点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫微三角形的外心，这个三角形叫微圆的 内接三角形，三角形的外心到三角形的三个顶点距高相等， 忘课内基础闯关 A.(3,2)B.(2,3)C.(2,2)D.(3,3) 知识点①圆的确定 6.如下图，⊙O是锐角三角形ABC的外接圆， 过点O分别作OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥ 1.下列条件不一定能确定一个圆的是 AC,垂足分别为D,E,F,连接DE,EF, A.圆心与半径 DF.若DE+DF=6.5,△ABC的周长为 B.三角形的三个顶点 21,求EF的长 C.直径 D.平面上的三个已知点 2.如图，点A,B,C在同一条直线上，点D在 直线AB外，过这四点中的任意三个点，能画 出的圆的个数是 D A.1 B.2 ABC石 C.3 D.4 第2题图 3.已知直线a和直线外的两点A,B,经过点 知识点③ 反证法 A,B作一个圆，使它的圆心在直线a上（保 留作图痕迹，不写作法) 7.乐乐想运用反证法证明下面这个命题：如果 B △ABC中，AB=AC,那么∠C<90°.第一 步他应先假设成立的结论是 ) A.∠C<90 B.AB≠AC 知识点②三角形的外接圆和外心 C.∠C≥90 4.三角形的外心是 ( ) D.AB≠AC且∠C≥90 A.该三角形三条角平分线的交点 8.如下图，AB,CD是⊙O内非直径的两条弦， B.该三角形三条高线的交点 用反证法证明：AB与CD不能互相平分. C.该三角形三条中线的交点 D.该三角形三边垂直平分线的交点 0 5.如图，在平面直角坐标系 xOy中，△ABC的三个 顶点都在格点上，则 △ABC外接圆的圆心坐 标为 ( 第5题图 下册第24章 15△ 色课外拓展提高 是四边形各边中点.求证：F,G,H,I四个点 9.已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm, 在同一个圆上 BC=8cm,则Rt△ABC的外接圆的半径是 A.10 B.8 C.6 D.5 变式题边长为2的等边三角形的外接圆 的半径是 ( A.25 B.2 c. R号 10.(2025合肥模拟)如图，点A,O在网格中小 正方形的顶点处，每个小正方形的边长为 1,在此网格中找两个格点（小正方形的顶 产综合能力提升 点)B,C,使点O为△ABC的外心，则BC 14.如下图，在△ABC中，AB,BC,AC均不相 的长度是 等，D,E,F分别是AC,AB,BC的中点， A.32 B.25 连接EC,FD.求证： C.4 D.7 (1)四边形EFCD是平行四边形， (2)线段EC与FD不垂直（用反证法）. 第10题图 第11题国 11.如图，点A,B,C均在6×6的正方形网格 格点上，过A,B,C三点的外接圆除经过 A,B,C三点外还能经过的格点数为 易错点△ABC的形状不确定导致出错 12.已知△ABC外接圆半径为5，AB=AC, BC=8,则△ABC的高AD的长为 13.(教材变式)如下图，四边形ABCD的对角 线AC⊥BD,垂足为E,且F,G,H,I分别 416 九年级数学HK版第3课时圆心角、弧、弦、弦心距间的关系 1.B2.A3.D4.B变式题B5.D 6.证明：，AB=AC. ÷∠A0B=∠A0=360-/B0C=120, 2 .∠AOB=∠AOC=∠BOC, .AB=AC=BC,∴·△ABC是等边三角形. 7.证明：连接AF,如图」 AB=AF. ·∠ABF=∠AFB. :四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC, ∴∠DAF=∠AFB,∠GAE=∠ABF, ∴∠GAE=∠EAF, ∴GE=EF 8.C【解析】如图，连接OC,OD.,AB是 ⊙O的直径，四边形ABCD的四个顶点 都在⊙O上，BC=CD=AD=4,∴.AD =CD=BC,∴.∠AOD=∠DOC=∠BOC=60° 又：OA=OD,∴△AOD是等边三角形，∴.OA=AD =4,.⊙0的周长为2×4x=8元 变式题x【解析】：AB=BC,CD=DE,∴AB BC.CD=DE.:.AB+DE=BC+CD.../BOD= 90°∴求阴影部分面积可转化为求年个圆的面积， ∴Sm=子×xX(4÷2)=元 9.D【解析】如图，连接OA.AB= CD.:.AB=CD.:.AB-AD=CD- AD,∴.AC=BD,∴∠AOC=∠BOD =84°.OA=OC,∴.∠AC0= ∠CA0-7180-∠A0c)-7X180-84D=48. 1 10.<【解析】如图，连接AB,BC.在⊙O 中，AB=BC=CD.∴.AB=BC=CD, 又：在△ABC中，AB+BC>AC ∴.AC<2CD. 11.35【解析】如图.连接OB,OE, OC.OD.'AB=AE...AB=AE. :AB所对的圆心角为90°.∴AE 所对的圆心角为90°，.BAE所对 的圆心角为180°，又：BC=CD= DE,∴.BC=CD=DE,∠BOC=∠COD=∠DOE =L80=60,又：OC=0D,·△C0D是等边三角 3 形，∴∠ODF=60.由题意可得OF⊥CD,.OF= OD·sin∠ODF=6×sin60°=35. 12.解：(1)证明：如图①，连接OC. ,D,E分别是半径OA,OB的中点， OA=OB...OD=OE. OD-OE. 在△OCD和△OCE中，CD=CE, OC=OC. .△OCD2△OCE(SSS).∴.∠COD ① =∠COE.∴AC=BC (2)4【解析】(2)如图②，连接 OC.AC. ,∠AOB=120°，AC=BC, ∴.∠COD=∠COE=60 ,OC=OA,∴△AOC是等边三 图② 角形. CD ,D是OA的中点，∴CD⊥OA,∴OC= sin6D 25 =40A=4 2 13.解：小滨的猜想是正确的，小江的猜想是错误的. 理由： 小滨：如图①，作∠AOB的平分线OD. :OD是∠AOB的平分线， ∴.∠AOB=2∠AOD=2∠BOD. 又，∠AOB=2∠BOC, ∴.∠AOD=∠BOD=∠BOC, ∴AD=BD=BC,即AB=2BC 小江：如图②，取AB的中点E,连接OE并延长交 ⊙O于点D,由垂径定理可知，AD=BD ..AD=BD. AD+BD>AB,即2AD>AB,而AB=2BC, ∴AD>BC,∴.AD>BC,∴.AB>2BC 图① 周② 第4课时圆的确定 1.D2.C 3.解：如图，⊙O即为所求 4.D5.A 6.解：：OD⊥AB,OE⊥BC.OF⊥AC.∴AD=BD,BE =CE,AF=CF,∴DE,EF,DF均是△ABC的中位 下册参考答案 ⑦△ DE-TAC.EF-TAB.DF-C.DE+ EF+DF=7(AC+AB+BC)=7×21=10.5. DE+DF=6.5,.EF=10.5-6.5=4. 7.C 8.证明：如图，设AB,CD交于点P,连接OP 假设AB与CD能互相平分，则CP =DP,AP=BP. 0. AB,CD是⊙O内非直径的两弦， ∴OP⊥AB,OP⊥CD. 这与“过一点有且只有一条直线与已 知直线垂直”相矛盾， ∴.假设不成立，∴.AB与CD不能互相平分 9.D 变式题C【解析】如图，等边三角形 ABC中，三边的垂直平分线交于一 点O,则点O是△ABC外接圆的圆 心，.∠OBC=∠OCB=30°，BF CF-7 BC-1.:.OF 1 0B=20F-2E 5 3 10.A【解析】如图，，点O为△ABC的外心，∴.OA= OB=OC,∴.BC=/3+3=3√2. 11.5【解析】如图，分别作AB,BC的中 垂线，两直线的交点为O.以点O为 圆心、OA长为半径作圆，则⊙O即为 过A,B,C三点的外接圆，由图可知， ⊙O还经过点D,E,F,G,H这5个 格点， 12.8或2【解析】分以下两种情况讨论：①当△ABC是 锐角三角形时，如图①，连接OB,则AD一定经过圆 心0，在R△0BD中.BD=号C=宁×8=40D =√OB-BD=-4=3.则AD=OA+OD 5+3=8:②当△ABC是纯角三角形时，如图②.同理 可得，OD=3,则AD=OA-OD=5-3=2.综上所 述，△ABC的高AD的长为8或2. 图② 九年级数学HK版 13.证明：连接FG,GH,HI,IF,FH,IG, 设FH,1G交于点O如图所示 F,G,H,I分别是四边形ABCD各边 中点， .GH是△BCD的中位线，FI是△ABD的中位线， FG是△ABC的中位线， GH∥BD,GH=含BD,FH∥BD,FH=BD, FG∥AC,∴.GHFI,GH=FI, .四边形FGHI是平行四边形. AC⊥BD,∴.FG⊥GH,.四边形FGHI是矩形. ∴.OF=OG=OH=O1, ∴F,G,H,1四个点在同一个圆上 14.证明：(1)：D,E,F分别是AC,AB,BC的中点， ∴.DE和EF都是△ABC的中位线， ∴，ED∥BC,EF∥AC, .ED∥FC,EF∥DC, ∴.四边形EFCD是平行四边形. (2)假设线段EC与FD垂直. 四边形EFCD是平行四边形， ∴.□EFCD是菱形. ..EF=DE. :DE和EF都是△ABC的中位线， 1 ∴.DE=zBC,EF=zAC, ∴.BC=AC,这与BC,AC均不相等相矛盾， ,该假设不成立， ∴，线段EC与FD不垂直 应用技巧专题圆的基本性质的应用 1.解：：BD=OD,∠B=38°. ∠DOB=∠B=38°， ∠ADO=∠DOB+∠B=76. OA=OD. ∴∠A=∠AD0=76, .∠AOD=180°-∠A-∠AD0=180°-76°-76 =28°. 2.证明：OC=OD, ∴.∠OCD=∠ODC, ∠0CD=z180°-∠0. OA=OB,.∠OAB=∠OBA. 1 六∠0AB=2180°-∠0)， .∠OCD=∠OAB.AB∥CD. 3.证明：如图，连接OA,OC.设⊙O的 半径是r,ON=x,则AB=2x. 在Rt△CON中，CN=√OC-ON =n-x.