24.2 第2课时 垂径分弦-【学海风暴】2025-2026学年九年级下册数学同步备课（沪科版 安徽专版）

第2课时 理 1,垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对 2.平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所 色课内基础闯关 知识点①圆的轴对称性 1.有下列说法：①圆是轴对称图形：②圆有无数条 对称轴：③圆的任意一条直径都是圆的对称轴： ④圆所在平面内任意一条经过圆心的直线都是 圆的对称轴.其中正确的个数是 () A.1 B.2 C.3 D.4 知识点②垂径定理 2.(2025宜宾)如图，AB是⊙O的弦，半径OC ⊥AB于点D.若AB=8,OC=5,则OD的 长是 A.3 B.2 C.6 0. 第2题国 第3题图 3.(2025蚌埠蚌山区期末)如图，⊙O的弦AB 垂直平分半径OC.若弦AB=2,则⊙O 的半径为 A.2 B.22 C.5 D.2 4.如右图，在⊙O中，直径AB ⊥CD于点M.若AM=18, BM=8,求CD的长. 垂径分弦 的两条孤 对的两条孤。 知识点③垂径定理的推论 5.(教材变式)如下图，已知M是AB的中点， N是弦AB的中点，AB=25,MN=1,求 圆心O到AB的距离. 0。 知识点④垂径定理的应用 6.(2025安庆期末)“圆”在中式建筑中有着广 泛的应用，例如古典园林中的门洞，如图① 如图②，某地园林中的一个圆弧形门洞的高 为2.5m,地面入口宽为1m.求该门洞的 半径 25m B 地面 1 m 图① 图② 下册第24章 ⊙课外拓展提高 7.如图，A,B是⊙O上两点， AB=10,P是⊙O上的动点 (点P不与点A,B重合)，连 接AP,PB,过点O分别作 OE⊥AP交AP于点E,OF 第7题图 ⊥PB交PB于点F,则EF等于 A.2 B.3 C.5 D.6 易错点 弦的位置不确定 8.分类讨论思想已知⊙O的直径CD 10,AB是⊙O的弦，AB=8,且AB⊥CD 垂足为M,则AC的长为 9.古代数学文化《周礼》中有记载：“…故兵 车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三寸， 乘车之轮六尺有六寸…”如图，在车轮上 取A,B两点，设AB所在圆的圆心为O,经 测量，弦AB=120cm,过弦AB的中点C作 CD⊥AB交圆弧于点D,且CD=30cm.该 车轮的半径等于 cm. /P 0 少 第9题图 第10题图 10.安徽中考特色·双空题如图，在⊙O中， 已知AB是直径，P为AB上一点（点P不 与A,B两点重合)，弦MN过点P, ∠NPB=45°. (1)若AP=2,BP=6,则MN的长为 (2)当点P在AB上运动时（保持∠NPB M2+PN2 =45°不变)，则 AB 11.(2025准南田家庵区期中)如下图，⊙O的 直径AB垂直于弦CD,垂足为E,AE=2, CD=8. 112 九年级数学HK版 (1)⊙O的半径为 (2)连接BC,作OF⊥BC于点F,求OF的长 冠综合能力提升 12.应用意识(2025准北期末)如图①，装有水 的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以 AB为直径的半圆O,AB=26cm,MN为 水面截线，MN=24cm,GH为桌面截线， MN∥GH. (1)作OC⊥MN于点C,求OC的长. (2)将图①中的水倒出一部分得到图②，水 面截线变为EF,水面高度下降了？cm.此 时水面截线减少了多少？ 图① 图②变式题140°【解析】连接OB,如图. OA=OB,.∠OBA=∠A=80° :OB=OC..∠OBC=∠C=60°. ∴.∠ABC=∠OBA+∠OBC=80°+60 =140°. 5.证明：，AB,CD为⊙O的两条直径， ..OA=OB.OC=OD. CE=DE. ..OC-CE=OD-DF..OE=OF. OA=OB. 在△AOF和△BOE中，∠AOF=∠BOE, OF=OE. △AOF≌△BOE(SAS),.AF=BE. 6.A7.B 8.解：(1)AC=3,AC>r,∴.当0<r<3时，点A,B都 在圆外。 (2)AC=3,BC=4, .当AC<r<BC,即3<r<4时，点A在圆内，点B 在圆外. 9.C【解析】连接AC,如图.：AB=6,AD =8,.BC=8,∴.AC=10.以点A为 圆心作⊙A,使B,C,D三点中至少有一 个点在圆内，且至少有一个点在圆外， ∴.⊙A的半径r的取值范围是6<r<10 变式题A【解析】，在Rt△ABC中，BC=3,AC=4, AB=5,:D为AB的中点∴AD=号AB=2.5, B,C.D三点中只有一点在⊙A内..⊙A的半径 的取值范围是2.5<r≤4. 10.C【解析】在Rt△ABC中，AC=6,BC=8,∴.AB AC+BC=10.:CP,CM分别是AB上的高和 中线7AB·CP=号AC·BC,AM=专AB=5 .CP=4.8..AP=VAC-CPT=3.6.AP=3.6 <4,AM=5>4,.点P在⊙A内，点M在⊙A外. 变式题C【解析】如图，连接PB. PC.AB AC 10 cm,BC= 12cm,AD⊥BC于点D,.BD= CD=6cm..AD=√AB-BD=B 8cm,∴.PA=AD-DP=6cm.在Rt△PBD中，BD= 6 cm,PD=2 cm..'PB =BD+PD=2 /10 cm. PB=PC=2 /10 cm>>6 cm,PD=2 cm<6 cm, AP=6cm,.点A在⊙P上，点B,C在⊙P外，点D 在⊙P内. 11.1或4【解析】①如图①，点P在圆内.，AP=3cm, BP=5cm,∴.AB=8cm,∴.OA=4cm:②如图②，点 P在圆外，：AP=3cm.BP=5cm,∴.AB=2cm, ∴.OA=1cm.综上，⊙O的半径为1cm或4cm. 0 图① 图 12.25°【解析】如图，连接OC. :CE=AO,而OA=OC, .OC=C.∴.∠E=∠1， ∴∠2=∠E+∠1=2∠E OC=OD,∴∠D=∠2=2∠E :∠BOD=∠E+∠D, .∠E+2∠E=75°，∴.∠E=25. 13.证明：如图，连接BD,取BD的中点 O.连接OA.(0C :∠BAD=∠BCD=90°，OB= 0D0A=00=BD. ..0A=0B=OD=0C. .A,B,C,D四个点在同一个圆上. 14.解：如图，连接AO 四边形ABCD是正方形， ∠DCO=90°，AB=BC=CD. :∠POM=45°. .∠CDO=45. ..CD=CO. ∴.BO=BC+CO=BC+CD, .∴.BO=2AB. :MN=10,∴.A0=5. 在R1△ABO中，AB2+BO2=AO°，即AB+ (2AB)2=5, .AB=5. 第2课时垂径分弦 1.C2.A3.D 4.解：连接OC,如图 AM=18,BM=8. ÷0C=OA=OB=ZAM+BM)= 名×08+8=1B. ..OM=0B-BM=5. :AB⊥CD于点M, ∴.CD=2CM=2DM. 在R1△OCM中，由勾股定理，得CM=√I3-5丽 =12, .CD=24. 5.解：如图，连接OA,OM. M是AB的中点，N是弦AB的中点， 下册参考答案 5 ,.OM必过点N,.OM⊥AB :AB=2F,AN=号AB=原. 设⊙O的半径为r,则ON=r-1. 在R1△ANO中，AN2+ON=OA2, 即(5)2十(r-1)2=r2,解得r=2, ∴.0N=2-1=1. 故圆心O到AB的距离为1. 6.解：设该门洞的半径为rm 如图，过点O作OC⊥AB于点C, 延长CO交⊙O于点D,连接OA, 2.5m 则CD=2.5m,OC=(2.5-r)m, 1 1 地厨 AC-BC-7AB-7X1-0.5 (m) 在R1△A0C中，由勾股定理得0.5+(2.5-r)产=r2, 解得r=1.3. 故该门洞的半径为1.3m. 7.C【解析】OE⊥AP于点E,OF⊥PB于点F,AB =IO,∴AE=PE,PF=BF,∴.EF是△APB的中位 线dBEF-号AB=号×10=5， 8,25或45【解析】：AB⊥CD,AM=BM=2AB =号X8=4.在R△0AM中，0A=CD=5,0M =√OA一AM=√一4=3.分以下两种情况讨 论：①当CM=OC+OM=5十3=8时，如图①，连接 OA.在Rt△ACM中，AC=AM+CMF=A+8 =45:②当CM=OC一OM=5一3=2时，如图②，连 接OA.在Rt△ACM中，AC=√AM+CM +2=25.综上所述，AC的长为25或45. 图0D 图2 9.75【解析】如图，连接OC,设⊙O的 半径为Rcm.,C为AB的中点且 CD LAB.AB=120 cm.CD=30 cm. ,.O,C,D三点共线，，OC=OD CD=(R-30)em.AC=BC=AB= ×120=60 (em).在R1△AOC中，OA2=AC+OC,即R2=60 +(R-30)2,解得R=75. 10.1)2爪(2)2 【解析】(I)作OH⊥MN于点 H,如图，则HN=MH.:AP=2,BP=6,AB= 6 九年级数学HK版 AP+PB=8,∴.ON=OA=4.∴.PO =OA-AP=4-2=2.:∠NPB= 45..△POH是等腰直角三角形， 0 OH 2 PO=.:NH= /ON-OH=14..MN=2NH=214. (2)由(1)知MH=NH,OH=PH,,PM=MH- PH=NH-OH,PN=NH+PH=NH+OH, ..PM+PN (NH-OH)+(NH+OH)= 2(NH:+OH2).OH+NH ON=OA. ..PM+PN:=20A2..AB=(20A )=40A'. .PM+PN 1 AB 11.解：(1)5 (2)由(1)可知，AB=8.在R1△BCE中.CE=4,BE =AB-AE=8, ∴.BC=+8=45. :OF⊥BC, ÷BF=CF=ZBC=2E,∠OFB=90. 在R△OBF中，OF=/OB-BF产=√5-(2,5) =5. 【解析】(1)如图，连接OD.设⊙O 的半径为r. AB⊥CD,.∠OED=90°，DE -E-cn-7×8-4 在Rt△ODE中，OE=r-2.OD=r.DE=4. .(r-2)+4=r2,解得r=5,∴.⊙0的半径为5. 12.解：(1)如图①，连接ON. .AB=26 cm, ∴0N=2AB=13cm OC⊥MN, ∴CN=号MN=号×24=12(em, ∴.OC=√/ON-CNT=5(cm). (2)如图②，过点O作OP⊥EF,则EF=2FP. :水面高度下降了？cm .OP=5+7=12(cm). OF=- AB-13 cm. .Fp=√OF-OP=5(em). ∴.EF=10cm, ∴.此时水面截线减少了24一10=14(cm). B 国① 周②