专题04 与角平分线有关的五大题型-2025-2026学年人教版八年级上册数学重难点培优专题【题型分类+知识梳理+能力提升】

人教版八上 重难点题型突破 培优专题 专题04 与角平分线有关的五大题型目录 A · 重难点题型分类 题型1：角平分线的证明………………………………………………………… 1 题型2：角平分线中的证明题…………………………………………………… 2 题型3：角平分线的性质与判定综合…………………………………………… 6 题型4：尺规作图——作角平分线……………………………………………… 9 题型5：角平分线与全等三角形的综合………………………………………… 13 B · 能力提升 ………………………………………………………………………… 16 知识梳理 1、角平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等 . 2、角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． 3、角平分线的判定扩展： 已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P. 结论：①点P到三边AB，BC，CA的距离相等； ②△ABC的三条角平分线交于一点. 重难点题型分类 【题型1：角平分线的证明】 【例1】如图，在中，，，于点，点在上，． 求证：平分． 【变式1-1】如图，在中，和的平分线交于点，过点作，，，垂足分别为． (1)求证：点在的平分线上； (2)若的周长和面积都为24，求的长． 【变式1-2】如图，中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且，连接． (1)求证：平分； (2)若，，，且，求的面积． 【题型2：角平分线中的证明题】 【例1】的平分线与的平分线交于点E，．求证：． 【变式1-1】如图，在直角中，，的平分线交于，于点E，交于点F，取，连结，求证：． 【变式1-2】如图，在三角形中，，，于点G． (1)求证：； (2)若平分，平分交于点H，求的度数． 【例2】如图，在中，，是的平分线，于E，F在上，，求证：． 【变式2-1】如图，点C是的角平分线上一点，，，垂足分别为E，F．过点C作，交于点D，在射线上取一点B，使． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式2-2】问题提出：已知，在四边形中，对角线平分，，求证：． (1)问题解决：小明说他可以用截长的方法解决，如图①，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接．小刚说他用补短的方法也可以证明，如图②，延长到，使，连接．请你从小明和小刚的证明思路中任选一种进行证明． (2)问题拓展：如图③，在四边形中，对角线平分，，过点作，垂足为点，探究线段之间的数量关系，并说明理由． 【例3】如图，四边形中，，平分，于点F，的延长线于点E． (1)求证：． (2)若，求的长． 【变式3-1】如图，在中，平分，且，垂足分别为E，F．求证： (1)， (2)． 【变式3-2】如图1，已知，，，点D是第二象限内一动点，满足． (1)证明：； (2)证明：是的平分线； (3)如图2，连接，作，，Q是 与的交点，若，求． 【变式3-3】如图1，，点A，D在上，点B，C在上，平分，与交于点 (1)若，线段与相等吗？请说明理由． (2)如图2，在的条件下，，E为上一点，且，求的长． (3)如图3，过点D作于点F，H为上一动点，G为上一动点．当点H在上移动，点G在上移动时，始终满足，试判断这三者之间的数量关系，并说明理由． 【题型3：角平分线的性质与判定综合】 【例1】如图，已知四边形中，对角线平分，并且，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，在中，，点D在的外部，且平分，过点D作，交的延长线于点E，，交于点F，连接．若，，则的度数为 ． 【变式1-2】如图，在四边形中，对角线平分，，，，那么的度数为 （用含α、β的关系式表示）． 【变式1-3】如图，在中，，点在的外部，且平分，过点作，交的延长线于点，，交于点，连接．若，，求的度数 【例2】如图，在中，，分别平分和，，相交于点P，则下列结论不一定成立的是（   ） A． B．与的面积比等于边与之比 C． D．若，则 【变式2-1】如图，在中，分别是，的平分线，相交于点F，且，的周长为21，关于甲、乙、丙三人的结论，下列判断正确的是（   ）甲：；乙；点F到的距离为2；丙：连接，则平分 A．只有甲对 B．甲、乙、丙都对 C．乙错，丙对 D．甲错，乙对 【变式2-2】如图，已知点D是△ABC的两外角平分线的交点，下列说法： （1） AD=CD；（2）D到AB、BC的距离相等；（3） D到△ABC的三边的距离相等；（4） 点D在∠B的平分线上； 其中正确的说法的序号是 . 【例3】如图，点D在边的延长线上，，的平分线交于点E，过点E作于点H，且． (1)证明：平分； (2)若，，，且，求的面积． 【变式3-1】如图，点在边的延长线上，，的平分线交于点，过点作于点，且． (1)证明：平分； (2)若，，，且，求的面积． 【变式3-2】如图，中，，点D在边延长线上，的平分线交于点E，过点E作，垂足为H，且. (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，且，求的面积. 【题型4：尺规作图——作角平分线】 【例1】如图，用直尺和圆规作图，以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OB，OA于点E、D，再分别以点E、D为圆心，大于ED的长为半径画弧，两弧交于点C，连接OC，则△ODC≌OEC的理由是（　　） A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA 【变式1-1】角平分线的作法（尺规作图） ①以点为圆心，任意长为半径画弧，交、于、两点； ②分别以、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点； ③过点作射线，射线即为所求． 作角平分线的作法依据的是 ． 【例2】如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交边、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是（　　）    A．120 B．60 C．45 D．30 【变式2-1】如图，在中，按以下步骤作图： ①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点； ②分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点； ③作射线，交于点． 如果的面积为9，则的面积为 ． 【变式2-2】如图，在中，，以点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交于点M、N，分别以M，N为圆心，以大于的长为半径画弧交于点P，连接交于点，点为线段上一点，连接，若，则当最小时，的面积为 ． 【例3】如图，已知中，点E在上，且． (1)请用无刻度的直尺与圆规进行基本作图：作的角平分线交于点D（不写作法，保留作图痕边） (2)在（1）所作的图形中，连接，试说明：． 【变式3-1】尺规作图：已知点和． (1)画直线； (2)在直线上求作点P，使点P到的两边的距离相等． 【变式3-2】如图，在四边形中，． (1)利用尺规作的平分线，交于点，连接（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若，求证：平分． 【例4】已知：如图，是的角平分线． (1)在边求作点E，使得（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，请画出的平分线，点F在上，并证明：． 【变式4-1】如图，中，，以顶点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交边于点E，F；再分别以E，F为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P，作射线，交边于点G． (1)的度数为____________； (2)若，H是边上一动点，则线段的最小值为____________； (3)若的面积为4，则的面积为____________；（不必写出解答过程） 【变式4-2】如图，在中，，以顶点为圆心、适当长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，    (1)可知是的角平分线，理由是（    ） A．     B．       C．        D． (2)若，，求的面积． 【题型5：角平分线与全等三角形的综合】 【例1】如图，是的角平分线，，垂足为，点E、G分别在上且，和的面积分别为50和40，则的面积为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式1-1】如图，在中，，平分，，，垂足分别为E，F，已知，．求阴影部分面积为（　　）      A．12 B．24 C．18 D．20 【例2】如图，在四边形中，，为的中点，连接，，并延长交的延长线于点． (1)与全等吗？请说明理由； (2)若． ①试说明； ②若，，，求点到的距离． 【变式2-1】图1是一个平分角的仪器，其中． (1)如图2，将仪器放置在上，使点与点重合，、分别在边、上，沿画射线交于．则是的平分线，说明理由． (2)如图3，在（1）的条件下，过点作于，若，，则_______． 【变式2-2】在中，，分别是，的平分线，，相交于点F． (1)①如图（1），当，时，　　　　． ②如图（2），如果不是直角，，请问①中所得的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． (2)在②的条件下，请猜想与的数量关系，并证明你的猜想． 【变式2-3】如图，直线，平分，过点作交于点；动点、同时从点出发，其中动点以的速度沿射线方向运动，动点以的速度沿直线上运动；已知，设动点，的运动时间为． (1)若，试求动点的运动时间的值； (2)试问当动点，在运动过程中，是否存在某个时间，使得与全等？若存在，请求出时间的值；若不存在，请说出理由． 能力提升 一、单选题 1．（2025·内蒙古·中考真题）如图，直线，点，分别在直线，上，连接，以点为圆心，适当长为半径画弧．交射线于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在的内部相交于点，画射线交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·吉林长春·二模）如图，在中，，，按下列步骤作图：①以点A为圆心、小于的长为半径作弧，分别交边、于点D、E；②分别以点D、E为圆心、大于的长为半径作弧，两弧交于点M；③作射线交边于点F．则的大小为（　　） A． B． C． D． 3．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在中，为边上的中线，于点，，相交于点，连接．若平分，，，则的面积为（    ） A． B． C． D．6 4．（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库，要求油库到这三条公路（）的距离都相等，则油库的位置可以设计在（    ） A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 5．（24-25八年级下·四川达州·期末）如图，△ABC的三条角平分线交于点O，若，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·河北保定·期末）已知，求作：的平分线，甲、乙、丙三位同学的方案如图所示，则正确的方案是（   ） 甲   ①利用直尺和三角板画； ②在上截取； ③作射线，即为所求． 乙   ①利用圆规截取，； ②连接，相交于点； ③作射线，即为所求． 丙     ①在上取点，利用圆规截取； ②过点M，N作； ③作射线，即为所求． A．只有甲、乙正确 B．只有甲、丙正确 C．只有乙、丙正确 D．甲、乙、丙都正确 7．（24-25八年级上·江西上饶·期末）如图，已知平分，于E，，则下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 8．（24-25八年级上·湖南湘西·期末）如图，在中，平分交于点于点E，且的周长为，则 ． 9．（24-25七年级下·宁夏银川·期末）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点和．再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接并延长交于点，，，则 ． 10．（24-25七年级下·四川遂宁·期末）如图，在中，，按以下步骤作图： ①以点A为圆心，以小于长为半径作弧，分别交 于点； ②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，在内两弧交于点； ③作射线，交于点， 若，则 ． 11．（24-25七年级下·云南昆明·期末）如图，在的边、上取点、，连接，平分，平分，若，的面积是6，的面积是9，则的长是 ．      12．（23-24七年级下·上海浦东新·期末）如图，在中，，平分，于E，周长为8，，则的周长是 ．    13．（24-25八年级下·福建三明·期末）如图，点为的平分线上的一个定点，且与互补．若在绕点旋转的过程中，其两条边分别与，相交于，两点．则以下结论： ①的值不变； ②； ③的长度不变； ④四边形的面积不变； 其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 14．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，其内角和外角的角平分线，交于点，过点作，交的延长线于点，连接，若，则的度数为 ． 15．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）如图，在中，与的角平分线相交于点，点M、N分别在边上，且，连接，若的周长为4，则的面积为 ． 三、解答题 16．（2025·云南昆明·三模）证明命题“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程．下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．请你补全已知和求证，并写出证明过程． 已知：如图，平分，点在上，___________． 求证：___________． 17．（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图，地块中，边，． (1)尺规作图：现要在地块中修建绿化带，使是的角平分线，请作出，保留作图痕迹； (2)若地块的面积为，求地块的面积． 18．（24-25八年级上·宁夏吴忠·期末）【综合与实践】 数学课上，王老师开展了一节以角平分线为主题的数学活动． 【作图】（1）请你根据所学知识，作出的角平分线．（保留作图痕迹，不写作法） （2）请你通过证明说明，角平分线的画法是根据全等三角形的______判定．（填“”或“”或“”或“”）； 【应用】王老师告诉同学们，利用角平分线作图的原理，我国古代工匠设计出如图的平分角的仪器，其中，，利用它，将仪器放置在上，使点与顶点重合，，分别在，上，沿画一条射线，交于点，是的平分线．此时所得的四边形被称为“筝形”，如图二． 【解惑】（3）快下课时，王老师让同学们利用课余时间连接筝形的两条对角线，如图三，探究这两条对角线，的位置关系，小明认为它们互相垂直，小方认为没有角的度数无法判定，应该是相交，请你运用三角形的知识，判断谁的说法正确并说明理由． 19．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，点在同一条直线上，，，． (1)与全等吗？请说明理由； (2)尺规作图：作的角平分线，与交于点（不要求写作法，保留作图痕迹）； (3)在条件（2）下，若，，求的面积． 20．（24-25八年级下·山东青岛·期末）探索新知：如图①，是的角平分线，与之间有怎样的关系呢？过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H． 平分 ， 即． 新知应用： (1)如图②，是的角平分线，若，则_________； (2)如图②，是的角平分线，若，则_________； (3)如图③，平分，平分，若，，则_________（用含m的式子表示）． 21．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）如图，为的中线，为的角平分线，过点E作于点N，为的高． (1)若，，求的度数； (2)若，，的面积为64，求的长． 22．（24-25七年级下·河南周口·期末）（1）如图1，平分，．当时，根据角平分线的性质，我们可知与之间的数量关系为______； （2）如图2，平分，．当时，试说明与之间的数量关系； （3）如图3，平分，若，，求的度数． 23．（24-25八年级上·广西贺州·期末）如图，平分，为上的一点，的两边分别与，相交于点、． (1)如图1，若，，过点作于点，作于点，请判断与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，若，，判断线段、、的数量关系，并说明理由． 24．（24-25七年级下·山东青岛·期末）【模型解读】 角平分线在数学中都占据着重要的地位，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法． 【模型证明】 常见模型1 条件：如图，为的角平分线，，垂足为点A，，垂足为点B． 结论：，． 常见模型2 条件：如图，在中，，为的角平分线，过点，垂足为点E． 结论：，且（当是等腰直角三角形时，有）． 常见模型3 条件：如图，是的角平分线，． 结论：． 根据模型3的条件，请证明上述结论． 【模型运用】 如图，，分别为和的平分线，，则，，的数量关系是 ． 【解决问题】 如图，是一个四边形人工湖，，米，米，甲、乙两人同时从点C出发，甲沿方向以2米/秒的速度前进，乙沿方向以1米/秒的速度前进，30秒后，甲、乙分别到达E，F处，此时测得，，此时甲、乙两人的距离为 米． 1 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $人教版八上 重难点题型突破 培优专题 专题04 与角平分线有关的五大题型目录 A · 重难点题型分类 题型1：角平分线的证明………………………………………………………… 1 题型2：角平分线中的证明题…………………………………………………… 4 题型3：角平分线的性质与判定综合…………………………………………… 19 题型4：尺规作图——作角平分线……………………………………………… 30 题型5：角平分线与全等三角形的综合………………………………………… 41 B · 能力提升 ………………………………………………………………………… 50 知识梳理 1、角平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等 . 2、角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． 3、角平分线的判定扩展： 已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P. 结论：①点P到三边AB，BC，CA的距离相等； ②△ABC的三条角平分线交于一点. 重难点题型分类 【题型1：角平分线的证明】 【例1】如图，在中，，，于点，点在上，． 求证：平分． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理，首先根据可证，根据全等三角形的性质可证，根据到角两边距离相等的点在角的平分线上可证结论成立． 【详解】证明：于点， ， ， ， 在和中， ， ， 平分． 【变式1-1】如图，在中，和的平分线交于点，过点作，，，垂足分别为． (1)求证：点在的平分线上； (2)若的周长和面积都为24，求的长． 【分析】本题考查角平分线的性质和判定，三角形的面积，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． （1）利用角平分线的性质证得，然后利用角平分线的判定定理，即可得出结论； （2）连接，由（1）知，然后由求得，根据的周长和面积都为24列式求解即可． 【详解】（1）证明：∵和的平分线交于点，过点作，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴点在的平分线上； （2）解：连接， 由（1）知， ∴ ， ∵的周长和面积都为24， ∴， ∴． 【变式1-2】如图，中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且，连接． (1)求证：平分； (2)若，，，且，求的面积． 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、角平分线的判定定理、三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）过点作于，于，由题意可得平分，由角平分线的性质定理可得，即可得证； （2）设，由（1）得：，再由三角形面积公式计算即可得解． 【详解】（1）证明：过点作于，于，如图： ， 平分， 又，， ， 平分的平分线，，， ， ， 点在的平分线上， 平分； （2）解：设， 由（1）得：， ，，， ， 即：， 解得：， ， ． 【题型2：角平分线中的证明题】 【例1】的平分线与的平分线交于点E，．求证：． 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，平行线的判定定理，解题的关键是熟练掌握以上性质． 根据角平分线的性质和得出，，即可得出结论． 【详解】证明：、平分、． ，． ， ， ． 【变式1-1】如图，在直角中，，的平分线交于，于点E，交于点F，取，连结，求证：． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，平行线的判定，熟练掌握这些知识点是本题解题的关键． 如图，作于H，证得，则；由平分，可知，根据等角的余角相等可知，所以；由可知；由根据以上条件可证，得到，所以． 【详解】证明：如图所示，作于H， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中 ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1-2】如图，在三角形中，，，于点G． (1)求证：； (2)若平分，平分交于点H，求的度数． 【分析】本题考查了平行线判定与性质，角平分线性质，需熟练掌握平行线的判定定理与性质，根据角平分线的性质求解度数是解决本题的关键． （1）根据平行线的判定，由“同位角相等，两直线平行”可得，再由平行的性质可得再由等量代换即可证明； （2）根据平行可得，再由垂直可得直角，再由角平分线的性质可求解的度数，即可求解的度数． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， 平分， ， ， 交于点F， ， ， 平分， ， ∴的度数是． 【例2】如图，在中，，是的平分线，于E，F在上，，求证：． 【分析】此题重点考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，根据，是的平分线，于，得到，结合，证明即可． 【详解】证明：，是的平分线，于， ， ， ， ． 【变式2-1】如图，点C是的角平分线上一点，，，垂足分别为E，F．过点C作，交于点D，在射线上取一点B，使． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【分析】本题考查的是角平分线的性质，以及全等三角形的判定与性质，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． （1）根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质得到； （2）证明，得到，进而求解即可． 【详解】（1）证明：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式2-2】问题提出：已知，在四边形中，对角线平分，，求证：． (1)问题解决：小明说他可以用截长的方法解决，如图①，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接．小刚说他用补短的方法也可以证明，如图②，延长到，使，连接．请你从小明和小刚的证明思路中任选一种进行证明． (2)问题拓展：如图③，在四边形中，对角线平分，，过点作，垂足为点，探究线段之间的数量关系，并说明理由． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质定理；熟练掌握角平分线性质定理，证明三角形全等是解决问题的关键． （1）小明的证明方法：证出，由证明，即可得出结论；小刚的证明方法：证出，得出，，再证明，即可得出结论； （2）作于M，先根据角平分线的性质得出，证明，得出，证明，得出，再根据线段的和差即可得出答案． 【详解】（1）解：小明的证明方法： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 小刚的证明方法： ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： 证明：作于M，如图所示： ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即． 【例3】如图，四边形中，，平分，于点F，的延长线于点E． (1)求证：． (2)若，求的长． 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，角平分线的性质定理，掌握这两个知识点是解题的关键． （1）由角平分线的性质定理得，再由可证明，从而有；由即可求证结论成立； （2）证明，则；由得，则，由此即可求解． 【详解】（1）证明：∵平分，，, ∴； ∴， ∴， ∴； ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式3-1】如图，在中，平分，且，垂足分别为E，F．求证： (1)， (2)． 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关判定和性质，是解题的关键： （1）根据角平分线的性质，利用证明即可； （2）证明，即可得证． 【详解】（1）证明：∵平分，， ∴， 又∵， ∴； （2）∵， ∴， ∴． 【变式3-2】如图1，已知，，，点D是第二象限内一动点，满足． (1)证明：； (2)证明：是的平分线； (3)如图2，连接，作，，Q是 与的交点，若，求． 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，角平线性质的逆定理，中线的定义和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据题意得到，证明即可得到结论； （2）过点C分别作，的垂线，垂足分别为M，N，点E为与的交点，证明，得到，，角平分线的逆定理证明结论； （3）根据题意证明和，再根据中线的性质定理进行计算即可． 【详解】（1）证明：，， ， 在与中， ， ； （2）证明：如图，过点C分别作，的垂线，垂足分别为M，N，点E为与的交点， ， ， ，， ． 在与中， ， ． ，， 是的平分线． （3）解：， ，，． ， ． 在与中， ， ． 在与中， ， ． 为的中线， ． ， ． 是的中线， ， ． 【变式3-3】如图1，，点A，D在上，点B，C在上，平分，与交于点 (1)若，线段与相等吗？请说明理由． (2)如图2，在的条件下，，E为上一点，且，求的长． (3)如图3，过点D作于点F，H为上一动点，G为上一动点．当点H在上移动，点G在上移动时，始终满足，试判断这三者之间的数量关系，并说明理由． 【分析】先证明，进而可依据判定和全等，再根据全等三角形的性质即可得出答案； 过点D作于点H，根据角平分线性质得，依据判定和全等得，则，再证明和全等得，则，由此即可得出的长； 在的延长线上截取，连接，证明和全等得，，由此根据已知条件得，进而依据判定和全等得，然后根据即可得出这三者之间的数量关系． 【详解】（1）解：线段与相等，理由如下： ， ， 在中，， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ； （2）过点D作于点H，如图2所示： ，， ， 平分，， ， 在和中， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3），，这三者之间的数量关系是：，理由如下： 在的延长线上截取，连接，如图3所示： 平分，， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 【点睛】此题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，正确地添加辅助线，构造全等三角形是解决问题的难点． 【题型3：角平分线的性质与判定综合】 【例1】如图，已知四边形中，对角线平分，并且，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理、角平分线的判定定理、三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．延长，，过点作、，垂足为，过点作于点，首先根据“角平分线上的点到角的两边的距离相等”可得，再证明，由“角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上”可知，进而可得，易得 平分，然后分别计算，的值，利用三角形内角和定理计算的度数即可． 【详解】解：如下图，延长，，过点作、，垂足为， 过点作于点， ∵平分，、， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴平分，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【变式1-1】如图，在中，，点D在的外部，且平分，过点D作，交的延长线于点E，，交于点F，连接．若，，则的度数为 ． 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，三角形的外角性质等知识点，熟练掌握其性质并能正确进行计算是解决此题的关键．如图，连接，过点作，交的延长线于点，证明平分平分，利用三角形的外角性质求得，进一步计算即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点作，交的延长线于点， ，，， 平分， 平分，，， ， ， 平分， ， ， ， 故答案为：． 【变式1-2】如图，在四边形中，对角线平分，，，，那么的度数为 （用含α、β的关系式表示）． 【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．过点作于点，过点作于点，过点作于点，判定为的平分线，为的平分线，即可得出的度数． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，过点作于点， 又是的平分线， ， 又，， ， 为的平分线， ， ． 为的平分线， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式1-3】如图，在中，，点在的外部，且平分，过点作，交的延长线于点，，交于点，连接．若，，求的度数 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，三角形的外角性质，连接，过点作，交的延长线于点，证明平分，平分，利用三角形的外角性质求得，进一步计算即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点作，交的延长线于点， ，，， 平分， 平分， ，， ， ， 平分， ， ， ． 【例2】如图，在中，，分别平分和，，相交于点P，则下列结论不一定成立的是（   ） A． B．与的面积比等于边与之比 C． D．若，则 【分析】本题考查角平分线的判定及性质，三角形的内角和定理，三角形的面积公式． 过点P作于点M，作于点N，作于点H，根据角平分线的性质及判定可证明选项A；根据三角形的面积公式可证明选项B，根据三角形的内角和定理可证明选项D，据此即可解答． 【详解】解：过点P作于点M，作于点N，作于点H， ∵平分，，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∵，， ∴平分， ∴．故选项A的结论一定成立； ．故选项B的结论一定成立； ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴．故选项D的结论一定成立． 根据题意无法证明选项C的结论一定成立． 故选：C 【变式2-1】如图，在中，分别是，的平分线，相交于点F，且，的周长为21，关于甲、乙、丙三人的结论，下列判断正确的是（   ）甲：；乙；点F到的距离为2；丙：连接，则平分 A．只有甲对 B．甲、乙、丙都对 C．乙错，丙对 D．甲错，乙对 【分析】本题考查角平分线的性质和判定，连接，过点作，根据角平分线的性质，得到，进而得到平分，利用分割法求面积法，求出的的长，进行判断即可． 【详解】解：连接，过点作， ∵分别是，的平分线， ∴， ∴， ∴平分，故丙说法正确； ∵， ∵的周长为21， ∴， ∴， ∴点F到的距离为4，故乙说法错误； 条件不足，无法得到，故甲说法错误； 故选C． 【变式2-2】如图，已知点D是△ABC的两外角平分线的交点，下列说法： （1） AD=CD；（2）D到AB、BC的距离相等；（3） D到△ABC的三边的距离相等；（4） 点D在∠B的平分线上； 其中正确的说法的序号是 . 【详解】试题解析：如图，过点D作交BA的延长线于E，作交BC的延长线于F，作于G， ∵点D是的两外角平分线的交点， 故正确； 故正确； ∴点在的平分线上，故正确； 只有时， ，故错误. 综上所述，说法正确的是. 故答案为. 点睛:角平分线上的点到角两边的距离相等. 【例3】如图，点D在边的延长线上，，的平分线交于点E，过点E作于点H，且． (1)证明：平分； (2)若，，，且，求的面积． 【分析】本题考查角平分线的性质与判定、直角三角形两锐角互余、三角形的面积，掌握角平分线的性质与判定定理是解题的关键． （1）过点作于于，根据角平分线的性质定理以及角平分线的定义可得、，即可得到，根据角平分线的判定定理即可解答； （2）根据结合已知条件可得的长，最后运用即可解答． 【详解】（1）解：证明：过点作于于， 平分， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：，且， ， ， ， ， 的面积为32． 【变式3-1】如图，点在边的延长线上，，的平分线交于点，过点作于点，且． (1)证明：平分； (2)若，，，且，求的面积． 【分析】本题考查角平分线的性质与判定、直角三角形两锐角互余、三角形的面积，掌握角平分线的性质与判定定理是解题的关键． （1）如图，过点分别作于，于，根据角平分线的性质定理以及角平分线的定义可得、平分、，最后根据角平分线的判定定理即可解答； （2）根据结合已知条件可得，最后运用三角形的面积公式即可解答； 【详解】（1）证明：如图，过点分别作于，于， ∵平分，， ∴，， ∵，， ∴， ∴平分， ∴， ∴， 又，， ∴点在的角平分线上， ∴平分；    （2）解：∵，，，且， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 【变式3-2】如图，中，，点D在边延长线上，的平分线交于点E，过点E作，垂足为H，且. (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，且，求的面积. 【分析】本题考查了角的平分线判定定理和性质定理，三角形内角和定理，一元一次方程的应用，熟练掌握角的平分线的判定和性质是解题的关键． （1）利用平角的定义和三角形内角和定理分别求出的度数即可得到答案； （2）过点作于点，作于点，利用角平分线的性质定理，推出，再利用角的平分线的判定证明即可． （3）设，利用，求出，从而求出的面积即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）证明：如图，过点作于点，作于点， ∵平分，， ， 由（1）可知，，即平分， ，， ， ， 又点在的内部， 平分； （3）解：如上图，过点作于点，作于点， 由（2）已得：， 设， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， ， ∵， ∴的面积为． 【题型4：尺规作图——作角平分线】 【例1】如图，用直尺和圆规作图，以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OB，OA于点E、D，再分别以点E、D为圆心，大于ED的长为半径画弧，两弧交于点C，连接OC，则△ODC≌OEC的理由是（　　） A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA 【分析】连接EC，CD．根据全等三角形的判定方法解决问题即可． 【详解】解：连接EC，CD． 在△ODC和△OEC中， ， ∴△ODC≌△OEC（SSS）． 故选：A． 【点睛】本题考查作图-基本作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【变式1-1】角平分线的作法（尺规作图） ①以点为圆心，任意长为半径画弧，交、于、两点； ②分别以、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点； ③过点作射线，射线即为所求． 作角平分线的作法依据的是 ． 【分析】本题考查了角平分线的作图方法与作图原理，解题的关键是要理解作图过程得出，，． 连接、，由作图可证，则，而证明的条件就是作图的依据． 【详解】解：如图④所示：连接、 在与中，由作图可知： 故答案为：． 【例2】如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交边、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是（　　）    A．120 B．60 C．45 D．30 【分析】根据题意可知为的平分线，由角平分线的性质得出，再由三角形的面积公式可得出结论． 【详解】解：由题意可知为的平分线，过点D作于点H， ∵，， ∴， ∵， ∴，故正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线的性质、基本作图，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 【变式2-1】如图，在中，按以下步骤作图： ①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点； ②分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点； ③作射线，交于点． 如果的面积为9，则的面积为 ． 【分析】本题考查三角形综合，涉及尺规作图-角平分线、角平分线的性质、三角形面积等知识，先根据题中的尺规作图得到是的角平分线，过点作于，过点作于，如图所示，由角平分线的性质得到，结合已知条件，根据三角形的面积求出，进而得到，即可得到答案，熟记尺规作图-角平分线、角平分线的性质是解决问题的关键． 【详解】解：过点作于，过点作于，如图所示： 由题中的尺规作图可知，是的角平分线， ， 的面积为9， ，即，解得，则， ， ， ， 故答案为：． 【变式2-2】如图，在中，，以点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交于点M、N，分别以M，N为圆心，以大于的长为半径画弧交于点P，连接交于点，点为线段上一点，连接，若，则当最小时，的面积为 ． 【分析】本题考查了作图﹣基本作图，角平分线的性质，直角三角形全等的判定和性质．根据点为线段上的一个动点，最短，则，由基本尺规作图可知，是的角平分线，根据角平分线的性质可得，证明可得，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：点为线段上的一个动点，最短， ，如图， 由基本尺规作图可知，是的角平分线， ， ， ，，平分， ， 又，， ， ， 当最小时，， 故答案为：30． 【例3】如图，已知中，点E在上，且． (1)请用无刻度的直尺与圆规进行基本作图：作的角平分线交于点D（不写作法，保留作图痕边） (2)在（1）所作的图形中，连接，试说明：． 【分析】本题考查尺规作图——作角平分线，三角形全等的判定及性质． （1）根据作角平分线的尺规作图的方法作图即可； （2）证明，得到． 【详解】（1）解：如图，为所求； （2）证明：平分， ． 在与中， ， ， ． 【变式3-1】尺规作图：已知点和． (1)画直线； (2)在直线上求作点P，使点P到的两边的距离相等． 【分析】此题考查了作直线，尺规作角平分线，角平分线的性质定理，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据直线的定义求解即可； （2）尺规作出的平分线与交于点P即为所求． 【详解】（1）如图所示，直线即为所求； （2）如图所示，点P即为所求； 【变式3-2】如图，在四边形中，． (1)利用尺规作的平分线，交于点，连接（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若，求证：平分． 【分析】本题考查了作角平分线，角平分线的性质与判定． （1）根据题意作的平分线，交于点，连接； （2）过点作交于点，根据角平分线的性质可得，结合已知可得，即可证明平分．即可得证． 【详解】（1） （2）证明：如图，过点作交于点， ∵是的平分线， ∴， ∵ ∴ 又∵，即 ∴平分． 【例4】已知：如图，是的角平分线． (1)在边求作点E，使得（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，请画出的平分线，点F在上，并证明：． 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，平行线的尺规作图： （1）根据平行线的尺规作图方法作图即可； （2）先根据题意作图，再根据平行线的性质和角平分线的定义证明，即可证明． 【详解】（1）解：如图所示，点E即为所求； （2）解：如图所示，点F即为所求， ∵， ∴， ∵是的角平分线，平分， ∴， ∴， ∴． 【变式4-1】如图，中，，以顶点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交边于点E，F；再分别以E，F为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P，作射线，交边于点G． (1)的度数为____________； (2)若，H是边上一动点，则线段的最小值为____________； (3)若的面积为4，则的面积为____________；（不必写出解答过程） 【分析】（1）根据作图方法可得是的角平分线，则，再由三角形外角的性质可得； （2）如图所示，过点G作于D，先求出，再证明，得到，根据垂线段最短可知线段的最小值为3； （3）证明，得到，进而求出，则． 【详解】（1）解：由作图方法可知是的角平分线， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：如图所示，过点G作于D， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵H是边上一动点， ∴当点H与点D重合时，最小， ∴线段的最小值为3， 故答案为：3； （3）解：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，角平分线的尺规作图等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【变式4-2】如图，在中，，以顶点为圆心、适当长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，    (1)可知是的角平分线，理由是（    ） A．     B．       C．        D． (2)若，，求的面积． 【分析】本题考查了角平分线的作图过程与性质，全等三角形的判定与性质，熟记角平分线的性质是解题关键． （1）连接，证明即可； （2）作于E，利用基本作图得到平分，根据角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接，    由作图可得：， ∵， ∴， ∴， ∴是的角平分线. 故选：C （2）解：作于E，如图，    ∵， 由作法得平分， ∴， ∵， ∴的面积=． 【题型5：角平分线与全等三角形的综合】 【例1】如图，是的角平分线，，垂足为，点E、G分别在上且，和的面积分别为50和40，则的面积为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，直角三角形的判定定理，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质． 过点作交于点，得到和，然后利用三角形面积的和差即可求解． 【详解】解：如图，过点作交于点， ∵是的角平分线，， 又∵， ∴ ． 故选：B． 【变式1-1】如图，在中，，平分，，，垂足分别为E，F，已知，．求阴影部分面积为（　　）      A．12 B．24 C．18 D．20 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键．在上取点G，使得，连结，根据角平分线的性质定理证明，得到，再证明，即可根据三角形面积公式求解． 【详解】解：在上取点G，使得，连结， ，，， ， ， 平分，，， ，， ， ，，， ， ， ， ， 即阴影部分面积为12． 故选：A． 【例2】如图，在四边形中，，为的中点，连接，，并延长交的延长线于点． (1)与全等吗？请说明理由； (2)若． ①试说明； ②若，，，求点到的距离． 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据题意及全等三角形的判定证明即可； （2）①根据全等三角形的性质得出，，结合题意及全等三角形的判定即可得出结果；②根据全等三角形的性质及角平分线的性质即可求解． 【详解】（1）解：全等；     理由：因为， 所以. 因为为的中点， 所以.     在与中， 因为，，， 所以； （2）①由（1）知， 所以， 因为， 所以， 即.     在与中， 因为，，， 所以；     所以， 所以；     ②由①知道， 所以， 所以平分， 所以点到的距离等于点到的距离. 因为，， 所以，即，且， 所以点到的距离为4． 【变式2-1】图1是一个平分角的仪器，其中． (1)如图2，将仪器放置在上，使点与点重合，、分别在边、上，沿画射线交于．则是的平分线，说明理由． (2)如图3，在（1）的条件下，过点作于，若，，则_______． 【分析】本题主要考查三角形全等的判定方法及角平分线的性质，能够熟练运用角平分线的性质得到高的长度是解题关键． （1）利用三条对应边相等证明来得到即可． （2）利用角平分线上的点到角两边的距离相等得到的高，再运用割补法及面积计算公式解题即可． 【详解】（1）解：是的平分线，理由如下： 在和中， ， ∴ ∴， ∴平分． （2）解：如图，过作于， ∵平分，， ∴， ∵，， ∴，即， ∴． 【变式2-2】在中，，分别是，的平分线，，相交于点F． (1)①如图（1），当，时，　　　　． ②如图（2），如果不是直角，，请问①中所得的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． (2)在②的条件下，请猜想与的数量关系，并证明你的猜想． 【分析】（1）①根据角平分线的定义求出，再根据三角形的内角和定理列式计算即可得解；②根据三角形内角和定理和角平分线的定义求出，再利用三角形内角和定理列式计算即可得解； （2）过点F作于G，作于H，作于M，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再求出，然后利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等证明即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∵分别是的平分线， ∴，， ∴； 故答案为：； ②成立，证明如下： ∵分别是的平分线， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）猜想， 证明：如图，过点F作于G，作于H，作于M， ∵分别是的平分线， ∴， 由（1）可知，， ∴， 在四边形中，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判断与性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，四边形的内角和等，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 【变式2-3】如图，直线，平分，过点作交于点；动点、同时从点出发，其中动点以的速度沿射线方向运动，动点以的速度沿直线上运动；已知，设动点，的运动时间为． (1)若，试求动点的运动时间的值； (2)试问当动点，在运动过程中，是否存在某个时间，使得与全等？若存在，请求出时间的值；若不存在，请说出理由． 【分析】本题是三角形综合题，考查等腰直角三角形的性质、角平分线的性质定理、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题． （1）作，则，根据可得的值，分别用表示，即可求得的值，即可解题； （2）当点在点上方时，易得时，，分别用表示，即可求得的值；当点在点下方时，进行求解即可． 【详解】（1）解：作，，则， ， ， 当点在点左侧时， ∴, 即， 解得：； 当点在点右侧时，， ∴，解得， 综上动点的运动时间或； （2）当点在点上方时， ，， ∴当时，， 即或， 解得：或（舍去）， 当点在点下方时， ， ∴， ， ∴； 答：或时，与全等． 能力提升 一、单选题 1．（2025·内蒙古·中考真题）如图，直线，点，分别在直线，上，连接，以点为圆心，适当长为半径画弧．交射线于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在的内部相交于点，画射线交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查角平分线的作图，平行线的性质，熟练掌握角平分线的作法和平行线的性质是解题的关键．由作图可知，结合，求出，再利用平行线的性质即可求解， 【详解】解：由作图可知， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 2．（2025·吉林长春·二模）如图，在中，，，按下列步骤作图：①以点A为圆心、小于的长为半径作弧，分别交边、于点D、E；②分别以点D、E为圆心、大于的长为半径作弧，两弧交于点M；③作射线交边于点F．则的大小为（　　） A． B． C． D． 【分析】由三角形内角和定理可得，由作法得：平分，从而可得，即可得到答案． 本题主要考查了三角形内角和定理，尺规作图—角平分线，角平分线的性质，熟练掌握三角形内角和定理，角平分线的性质，是解题的关键． 【详解】解：∵在中，，， ， 由作法得：平分， ， 故选：B． 3．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在中，为边上的中线，于点，，相交于点，连接．若平分，，，则的面积为（    ） A． B． C． D．6 【分析】本题考查角平分线的性质定理、三角形的中线性质、三角形的面积公式，熟练掌握角平分线的性质定理以及三角形一边上的中线将三角形面积平分是解答的关键． 过F作于G，根据角平分线的性质求得，再根据三角形一边上的中线将三角形面积平分求解即可． 【详解】解：过F作于G， ∵平分，，， ∴， ∵为的边上的中线， ∴为的边上在中线， 又∵， ∴， 故选：C． 4．（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库，要求油库到这三条公路（）的距离都相等，则油库的位置可以设计在（    ） A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 【分析】本题考查了角平分线的性质，依照题意画出图形，利用数形结合解决问题是解题的关键． 要使到三边的距离相等，根据角平分线的性质，即可得出油库的位置在角平分线的交点处，依此画出图形，由此即可得出结论． 【详解】解：三条公路两两相交，要求油库到这三条公路的距离都相等， 油库在角平分线的交点处，画出油库位置如图所示． 故选：B． 5．（24-25八年级下·四川达州·期末）如图，△ABC的三条角平分线交于点O，若，则（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据题意可得点到三边的距离相等，设点到的距离为，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：的角平分线相交于点， 点到三边的距离相等， 设点到的距离为， ∵ 故选：D． 6．（24-25七年级下·河北保定·期末）已知，求作：的平分线，甲、乙、丙三位同学的方案如图所示，则正确的方案是（   ） 甲   ①利用直尺和三角板画； ②在上截取； ③作射线，即为所求． 乙   ①利用圆规截取，； ②连接，相交于点； ③作射线，即为所求． 丙     ①在上取点，利用圆规截取； ②过点M，N作； ③作射线，即为所求． A．只有甲、乙正确 B．只有甲、丙正确 C．只有乙、丙正确 D．甲、乙、丙都正确 【分析】本题考查了尺规作角平分线，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，甲：根据平行线的性质得到，根据等边对等角得到，则，由此即可求解；乙：根据题意可证，得，证明，得，再证明，得，即可求解；丙：条件不足，不能证明，得不到是的平分线，即可得解． 【详解】解：甲：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的平分线， 故甲的方案正确； 乙：∵，，， ∴， ∴， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是的平分线， 故乙的方案正确； 丙：∵， ∴， ∵， ∴， 不能证明，得不到是的平分线， 故丙的方案不正确． 综上所述，只有甲、乙正确， 故选：A． 7．（24-25八年级上·江西上饶·期末）如图，已知平分，于E，，则下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】此题重点考查角平分线的性质、同角的补角相等、全等三角形的判定与性质等知识，作交的延长线于点F，则，，即可证明，得，所以，可推导出，则，可判断①正确；证明，得，，可判断③正确；由，得，所以，可判断②正确；由，，，可推导出，可判断④正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，作交的延长线于点F， ∵平分，于E， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故①正确； 在和中， ， ∴， ∴，， 故③正确； ∵， ∴， ∴， 故②正确； ∵，，， ∴， 故④正确， 综上所述，正确的有①②③④，一共4个． 故选：D． 二、填空题 8．（24-25八年级上·湖南湘西·期末）如图，在中，平分交于点于点E，且的周长为，则 ． 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，得到的周长等于是解题的关键． 根据角平分线的性质可得，再利用“”证明可得，然后求出的周长等于即可． 【详解】解：∵，平分，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴的周长， ∵的周长为， ∴． 故答案为． 9．（24-25七年级下·宁夏银川·期末）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点和．再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接并延长交于点，，，则 ． 【分析】本题考查作图—基本作图、角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解答本题的关键．过点作于点，由作图可知，为的平分线，结合角平分线的性质可得，进而可得，由此即可求解． 【详解】解：过点作于点， 由作图可知，为的平分线， ， ， ∵，， ∴， ∵，， ∴ 故答案为：． 10．（24-25七年级下·四川遂宁·期末）如图，在中，，按以下步骤作图： ①以点A为圆心，以小于长为半径作弧，分别交 于点； ②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，在内两弧交于点； ③作射线，交于点， 若，则 ． 【分析】本题考查了角平分线的定义、尺规作图、三角形外角的性质、三角形内角和定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 由三角内角和定理可得，由尺规作图可得平分，即，然后根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：如图，在中，，， ∴ 由作图可得：平分，即， ∴． 故答案为：65． 11．（24-25七年级下·云南昆明·期末）如图，在的边、上取点、，连接，平分，平分，若，的面积是6，的面积是9，则的长是 ．      【分析】本题考查了角平分线的性质、三角形面积公式． 过点作于，于，于，连接，根据角平分线的性质及三角形的面积得出，再根据，代入数据进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作于，于，于，连接，   ， 平分，，， ， 同理可得， ， ，的面积是6， ， ， ， 的面积是9， ， ，即， ， 故答案为：． 12．（23-24七年级下·上海浦东新·期末）如图，在中，，平分，于E，周长为8，，则的周长是 ．    【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质解决线段相等．根据角平分线的性质可得，根据周长为8，得出，证明，得出，即可求出结果． 【详解】解：是的平分线，，， ∴， ∵周长为8， ∴， ∵在和中， ∴， ∴， ∴的周长为： ． 故答案为：． 13．（24-25八年级下·福建三明·期末）如图，点为的平分线上的一个定点，且与互补．若在绕点旋转的过程中，其两条边分别与，相交于，两点．则以下结论： ①的值不变； ②； ③的长度不变； ④四边形的面积不变； 其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 【分析】本题考查全等三角形的性质、角平分线的性质定理、四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．作于，于，如图所示，根据题中条件，只要证明，，根据三角形全等的性质得到结论，逐项判断即可得到答案． 【详解】解：作于，于，如图所示： ， ， ， ， ， 平分，于，于， ， 在和中， ， ∴， ， 在和中， ， ， ，， ， 为定值，故①正确， ∵，设，则， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵， ， 定值，故④正确， 在旋转过程中，是顶角不变的等腰三角形， 的长度是变化的， 的长度是变化的，故③错误； 则正确的有①②④． 故答案为：①②④． 14．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，其内角和外角的角平分线，交于点，过点作，交的延长线于点，连接，若，则的度数为 ． 【分析】如图，过点作于点，过点作于点，过点作于点，设，根据角平分线的定义及性质得，，，，继而得到，，，进一步证明平分，得，最后根据三角形外角的性质得． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，过点作于点，设， ∵平分，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴点在在的角平分线上，即平分， ∴， ∴， 即的度数为． 故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的定义及性质等知识点，解题的关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，据此作辅助线． 15．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）如图，在中，与的角平分线相交于点，点M、N分别在边上，且，连接，若的周长为4，则的面积为 ． 【分析】过点作于，于，于，在上截取，连接，根据角平分线的性质得到，证明得到，证明得到，证明，得到，再证明，得到．则可求出，设，根据，可得；根据，可得，据此可得答案． 【详解】解：如图，过点作于，于，于，在上截取，连接， 平分， ， 同理可得， ， 在和中， ， ， ， 同理可得， ， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ，（平行线间间距相等）， ， ， 在和中， ， ， ． 的周长 ， ∴， 设， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，添加适当的辅助线是解题的关键． 三、解答题 16．（2025·云南昆明·三模）证明命题“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程．下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．请你补全已知和求证，并写出证明过程． 已知：如图，平分，点在上，___________． 求证：___________． 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．结合题意补全已知和求证，证明，由全等三角形的性质可证明结论． 【详解】已知：如图，平分，点在上， ，，垂足分别为点，． 求证：． 证明：∵，， ∴； ∵在和中， ， ∴， ∴． 17．（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图，地块中，边，． (1)尺规作图：现要在地块中修建绿化带，使是的角平分线，请作出，保留作图痕迹； (2)若地块的面积为，求地块的面积． 【分析】本题考查角平分线的性质定理，三角形面积公式，解题的关键是掌握角平分线的性质定理，求出． （1）根据角平分线的作图步骤，作的角平分线即可； （2）利用角平分线的性质定理证明，再根据地块的面积为，求出，即可求出的面积． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求； （2）解：作，，垂足分别为，； ∵是的角平分线， ∴， ∵边，，地块的面积为， ∴， 解得：， ∴， ∴的面积为． 18．（24-25八年级上·宁夏吴忠·期末）【综合与实践】 数学课上，王老师开展了一节以角平分线为主题的数学活动． 【作图】（1）请你根据所学知识，作出的角平分线．（保留作图痕迹，不写作法） （2）请你通过证明说明，角平分线的画法是根据全等三角形的______判定．（填“”或“”或“”或“”）； 【应用】王老师告诉同学们，利用角平分线作图的原理，我国古代工匠设计出如图的平分角的仪器，其中，，利用它，将仪器放置在上，使点与顶点重合，，分别在，上，沿画一条射线，交于点，是的平分线．此时所得的四边形被称为“筝形”，如图二． 【解惑】（3）快下课时，王老师让同学们利用课余时间连接筝形的两条对角线，如图三，探究这两条对角线，的位置关系，小明认为它们互相垂直，小方认为没有角的度数无法判定，应该是相交，请你运用三角形的知识，判断谁的说法正确并说明理由． 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，尺规作图——作角平分线，垂直的定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意作出角平分线即可求解； （）根据证明，即可求解； （）证明和，然后通过全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：（）如图所示，射线即为所求； （）由作图可知：，， ∵ ∴， ∴， ∴平分； 故答案为：； （）小明的说法正确，理由， 设与交于点， 如图， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故小明的说法正确． 19．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，点在同一条直线上，，，． (1)与全等吗？请说明理由； (2)尺规作图：作的角平分线，与交于点（不要求写作法，保留作图痕迹）； (3)在条件（2）下，若，，求的面积． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的尺规作图和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）利用证明即可； （2）根据尺规作角平分线的步骤画图即可； （3）作，利用角平分线的性质可得，再用面积公式求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴，即， ∵， ∴， 在和中 ∵， ∴ （2）如图，就是所求作的射线； （3）作于点，如图所示， ∵平分，，， ∴， 由，得， ∴． 20．（24-25八年级下·山东青岛·期末）探索新知：如图①，是的角平分线，与之间有怎样的关系呢？过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H． 平分 ， 即． 新知应用： (1)如图②，是的角平分线，若，则_________； (2)如图②，是的角平分线，若，则_________； (3)如图③，平分，平分，若，，则_________（用含m的式子表示）． 【分析】本题考查角平分线性质（角平分线分对边的比等于邻边比、角平分线关联三角形面积比与邻边比），解题关键是运用探索新知得出的角平分线性质，建立边与面积的比例关系． （1）依据探索新知结论，代入、得；设、，由，推出． （2）根据探索新知中，结合已知，直接得． （3）用平分的性质，结合，及，算；同理，由平分，结合，算．连接，因点到三边距离相等，结合，得，算出 由，代入计算得结果． 【详解】（1）解：过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H 由探索新知，是的角平分线时， ， ∵，， ∴． 设，， ∴， ∴． （2）解：过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H 由探索新知可知，对于，是角平分线时： ， ， ∵ ∴． ∵， ∴． 故答案为； （3）∵平分， ∴点D到，的距离相等， ∴， ∵， ∴，， 同理平分， ∴， ∴，， 连接，过点F作,，分别垂直于，，， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ∴平分， ∴点F到，，三边的距离相等， ∴， ∵ ∴，，， ∴ ． 故答案为． 21．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）如图，为的中线，为的角平分线，过点E作于点N，为的高． (1)若，，求的度数； (2)若，，的面积为64，求的长． 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质、角平分线的定义、角平分线的性质、中线的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）由三角形外角的性质可得，再根据角平分线的定义即可解答； （2）由三角形中线的性质可得的面积为32，再根据角平分线的性质可得，再根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵为的角平分线， ∴． （2）解：∵为的中线，的面积为64， ∴的面积为32， ∵为的角平分线，，为的高， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴，解得：． 22．（24-25七年级下·河南周口·期末）（1）如图1，平分，．当时，根据角平分线的性质，我们可知与之间的数量关系为______； （2）如图2，平分，．当时，试说明与之间的数量关系； （3）如图3，平分，若，，求的度数． 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了全等三角形的判定与性质． （1）直接根据角平分线的性质可判断； （2）过点D作于E，交延长线于F，如图2，先根据角平分线的性质得到，再利用等角的补角相等得到，然后证明得到； （3）过点D作于E，交延长线于F，如图3，先根据角平分线的性质得到，再根据判断，所以，然后根据邻补角的定义计算的度数． 【详解】解：（1）如图1， ∵，， ∴， ∴，， ∵平分， ∴； 故答案为：； （2）， 如图2，过点D作于E，交延长线于F， 平分，，， ， ，， ， 在和中， ， ． ∴； （3）如图3，过点D作于E，交延长线于F， ∵平分， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴． 23．（24-25八年级上·广西贺州·期末）如图，平分，为上的一点，的两边分别与，相交于点、． (1)如图1，若，，过点作于点，作于点，请判断与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，若，，判断线段、、的数量关系，并说明理由． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据角平分线的性质可得，再根据，，可得，进一步可得，可证，根据全等三角形的性质即可证明； （2）过点P作于点E，过点P作于点F，根据角平分线的性质可得，，可证，可得，再根据含角的直角三角形的性质可得，，进一步可证． 【详解】（1）解：，理由如下： 平分，，， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ． （2）解：理由如下： 过点作于点，过点作于点，如图所示．    平分， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ． ，平分， ， ， ，， ， ． 24．（24-25七年级下·山东青岛·期末）【模型解读】 角平分线在数学中都占据着重要的地位，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法． 【模型证明】 常见模型1 条件：如图，为的角平分线，，垂足为点A，，垂足为点B． 结论：，． 常见模型2 条件：如图，在中，，为的角平分线，过点，垂足为点E． 结论：，且（当是等腰直角三角形时，有）． 常见模型3 条件：如图，是的角平分线，． 结论：． 根据模型3的条件，请证明上述结论． 【模型运用】 如图，，分别为和的平分线，，则，，的数量关系是 ． 【解决问题】 如图，是一个四边形人工湖，，米，米，甲、乙两人同时从点C出发，甲沿方向以2米/秒的速度前进，乙沿方向以1米/秒的速度前进，30秒后，甲、乙分别到达E，F处，此时测得，，此时甲、乙两人的距离为 米． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 模型证明：作于，于，则，，证明，即可得证； 模型运用：在上截取点，使得，连接，由角平分线的定义可得，证明，得出，，再证明，得出，即可得证； 解决问题：由题意可得米，米，延长至点，使得，连接，证明，得出米，，，再证明，即可得解． 【详解】模型证明：证明：如图，作于，于， 则， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴； 模型运用：如图，在上截取点，使得，连接， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； 解决问题：由题意可得：米，米，米，米， ∴米，米， 如图，延长至点，使得，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴米，，， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴米， 即此时甲、乙两人的距离为米． 故答案为：50． 1 / 83 学科网（北京）股份有限公司 $