期中重难点检测卷（提高卷）（考试范围：21～23章 二次根式+一元二次方程+图形的相似全部内容）-2025-2026学年华东师大版九年级数学上册重难点专题提升精讲精练

期中重难点检测卷（提高卷） （满分120分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：21~ 23章（二次根式+一元二次方程+图形的相似全部内容）； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25九年级上·四川遂宁·阶段练习）如图，网格中小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似图形的为（    ）．    A．甲和乙 B．丙和丁 C．乙和丙 D．甲和丁 2．（24-25九年级上·福建厦门·期中）在函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·四川内江·模拟预测）将分式方程去分母，整理后得（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·四川巴中·开学考试）对于代数式、，定义新运算，则下列说法正确的个数为（    ） ①若，则或1 ②若方程的解为、，则的值为 ③若关于的方程有两个不相等的实数解，则 A．0 B．1 C．2 D．3 5．（24-25九年级上·山西临汾·阶段练习）如图，这是运动会颁奖台的贴纸，在矩形内绘制三个紧邻的正方形并标注相应的名次，三个正方形的面积从左到右依次为3，4，2，将剩余阴影部分剪掉，则剪掉的面积为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·广西桂林·阶段练习）顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形，则对角线互相垂直的四边形ABCD的中点四边形的形状是（   ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形 7．（24-25九年级上·四川眉山·阶段练习）某电商销售一款进价为80元/台的电吹风，若按每台120元出售，当月可销售50台，经调查发现这款电吹风的售价每下降3元，其销售数量增加10台．设售价为x元/台．若使该电商销售这款电吹风的利润为2500元，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·全国·单元测试）幻方是古老的数学问题，它是一种将数字安排在正方形格子中，使每行、每列和每条对角线上的数字和都相等的方法．类比幻方，我们给出如图所示的方格，要使方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘结果都相等，则的值为（   ） A B 5 C 10 D A． B． C． D． 9．（2025九年级上·全国·专题练习）图，与位似，点为位似中心，若的周长等于周长的，，则的长度为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 10．（24-25九年级上·山西长治·期中）如图，在中，，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形的面积为时，则点P运动的时间是（   ） A． B． C．或 D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（25-26九年级上·四川巴中·阶段练习）若，且，那么 ． 12．（2025九年级上·四川内江·模拟预测）化简的结果为 ． 13．（25-26九年级上·四川宜宾·阶段练习）有一元二次方程（）的两根分别是与，则这两根分别是 ． 14．（25-26九年级上·四川遂宁·阶段练习）如图，点G是的重心，，垂足为点H，若，则点A到的距离为 ． 15．（25-26九年级上·四川眉山·阶段练习）对于两个互不相等的实数，我们规定符号表示两个数中最大的数．按照这个规定解决下列问题： （1）方程的解为 ； （2）方程的解为 ． 16．（2025九年级上·湖南衡阳·模拟预测）人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚的优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设，得，记，……，．则 ． 三、解答题（9小题，共72分） 17．（25-26九年级上·河南新乡·阶段练习） 计算： (1) (2) (3) (4) (5) 18．（25-26九年级上·四川内江·阶段练习）解下列方程： (1)（配方法）； (2)（公式法）； (3)； (4)（用因式分解法）； (5)； (6)． 19．（25-26九年级上·福建漳州·阶段练习）已知一元二次方程有解，求c的取值范围；若是方程的一个根，求方程的另一个根及的值． 20．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）如图，在中，，点D在上，，和是对应边．    (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的长． 21．（24-25九年级上·四川眉山·阶段练习）在中，，，，依次作正方形，正方形，正方形，…，正方形，顶点，，，…，在边上，顶点，，，…，在边上． 【探究】 (1)正方形的边长为______； (2)正方形的边长______； (3)写出正方形的边长______（用含的代数式表示）． 22．（25-26九年级上·四川宜宾·阶段练习）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的羊圈？ (2)羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 23．（25-26九年级上·四川眉山·阶段练习）认识概念： ①两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 如：，，我们称的一个有理化因式是，的一个有理化因式是． ②如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 如：． (1)填空：的一个有理化因式是______；的一个有理化因式是______； (2)将分母有理化； (3)计算：． 24．（24-25九年级上·吉林长春·期中）【发现问题】小明在课外书上遇到了下面这道题：已知点，求线段的长度．小明经过思考以后，发现这类问题可以通过勾股定理来解决．思路如下：在平面直角坐标系中，设 要求线段．的长度可以用如下的方法，如图，过 作x轴的垂线，垂足为A，过作x轴的垂线，垂足为B，线段长度可表示，作y轴的垂线，垂足为C，过 作y轴的垂线，垂足为D，延长交 于点E，则线段的长度可以表示，，中，，据勾股定理可得： (1)【解决问题】 ①则线段长度是______； ②如果点， 点 ，线段长度是______． (2)【知识迁移】 ①点，在x轴上找一点P，使得的值最大，请直接写出这个最大值是______； ②点 ，在x轴上找一点，使得最小，请直接写出这个最小值是______． (3)【拓展延伸】 ①代数式 的最小值是______； ②代数式 的最大值是______． 25．（2025·四川宜宾·模拟预测）阅读下面材料，完成(1)-(3)题． 数学课上，老师出示了这样一道题： 如图1，在△ABC中，BA=BC，．点F在AC上，点E在BF上，．点D在BC延长线上，连接AD、AE，∠ACD+∠DAE=180゜．探究线段AD与AE的数量关系并证明． 同学们经过思考后，交流了自己的想法： 小明：“通过观察和度量，发现∠CAD与∠EAB相等．” 小亮：“通过观察和度量，发现∠FAE与∠D也相等．” 小伟：“通过边角关系构造辅助线，经过进一步推理，可以得到线段AD与AE的数量关系．” 老师：“保留原题条件，延长图1中的AE，与BC相交于点H(如图2)，若知道DH与AH的数量关系，可以求出的值．” （1）求证：∠CAD=∠EAB； （2）求的值（用含k的式子表示）； （3）如图2，若，则的值为________（用含k的式子表示）．    学科网（北京）股份有限公司 $ 期中重难点检测卷（提高卷） （满分120分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：21~ 23章（二次根式+一元二次方程+图形的相似全部内容）； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25九年级上·四川遂宁·阶段练习）如图，网格中小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似图形的为（    ）．    A．甲和乙 B．丙和丁 C．乙和丙 D．甲和丁 【答案】D 【分析】本题考查了相似图形，正确理解相似图形的概念是解题的关键．根据“对应角相等，对应边成比例的图形是相似图形”进行判断即可． 【详解】解：由图可知，只有选项甲和丁中的对应角相等，且对应边成比例，它们的形状相同，大小不同，是相似图形． 故选：D． 2．（24-25九年级上·福建厦门·期中）在函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数为非负数求解即可． 【详解】解：根据被开方数为非负数，可知 解得： 故选：C． 3．（2025·四川内江·模拟预测）将分式方程去分母，整理后得（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程中的去分母化简．先确定最简公分母，方程两边同乘公分母去分母，再整理得到整式方程，最后判断选项即可． 【详解】解：由题意知，分式方程的分母分别为x和，最简公分母是各分母的乘积，即， 因此，方程两边同乘，得：， 展开合并同类项得到：， 故选：D． 4．（25-26九年级上·四川巴中·开学考试）对于代数式、，定义新运算，则下列说法正确的个数为（    ） ①若，则或1 ②若方程的解为、，则的值为 ③若关于的方程有两个不相等的实数解，则 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，解题的关键是正确理解题意，明确新定义的运算顺序和运算法则，根；当时，方程没有实数根． 根据新定义得，则得出或，即可判断①；根据一元二次方程根与系数的关系得出，，则，求出，即可判断②；根据新定义和绝对值可得，根据一元二次方程的判别式，即可判断③． 【详解】解：①， 整理得：， ∴， ∴或， 故①正确，符合题意； ②， ∵方程的解为、， ∴，， ∴， ∴，则 当时， ， 当时， ， ∴的值为或， 故②不正确，不符合题意； ③∵，方程有两个不相等的实数解， ∴， 当时，整理得：， ∴，解得：； 当时，整理得：， ∴，解得：； ∴， 故③不正确，不符合题意； 综上：正确的有①，共1个； 故选：B． 5．（24-25九年级上·山西临汾·阶段练习）如图，这是运动会颁奖台的贴纸，在矩形内绘制三个紧邻的正方形并标注相应的名次，三个正方形的面积从左到右依次为3，4，2，将剩余阴影部分剪掉，则剪掉的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握并能根据图形列出关系式是关键． 依据题意，由三个正方形的面积从左到右依次为3，4，2，则三个正方形的边长从左到右依次为，2，，可得矩形的长为，宽为2，进而阴影部分的面积，即剪掉的面积＝矩形的面积﹣三个正方形的面积和，从而可以列式计算得解． 【详解】解：由题意，∵三个正方形的面积从左到右依次为3，4，2， ∴三个正方形的边长从左到右依次为，2，． ∴矩形的长为，宽为2． ∴阴影部分的面积，即剪掉的面积＝矩形的面积﹣三个正方形的面积和． 故选：D． 6．（24-25九年级上·广西桂林·阶段练习）顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形，则对角线互相垂直的四边形ABCD的中点四边形的形状是（   ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形中位线定理和矩形的判定，掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解题的关键，注意矩形的判定定理的正确运用． 本题根据、分别是、边的中点，得到，，再求证，然后即可求解； 【详解】解：如图： ， 由题意得：， ∵、分别是、边的中点， ∴，， 同理，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵、分别是、边的中点， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形； 故选：A； 7．（24-25九年级上·四川眉山·阶段练习）某电商销售一款进价为80元/台的电吹风，若按每台120元出售，当月可销售50台，经调查发现这款电吹风的售价每下降3元，其销售数量增加10台．设售价为x元/台．若使该电商销售这款电吹风的利润为2500元，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设售价为x元/台，根据利润销售量每台风扇的利润，列方程即可． 【详解】解：设售价为x元/台， 根据题意可得：， 故选：D． 8．（25-26九年级上·全国·单元测试）幻方是古老的数学问题，它是一种将数字安排在正方形格子中，使每行、每列和每条对角线上的数字和都相等的方法．类比幻方，我们给出如图所示的方格，要使方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘结果都相等，则的值为（   ） A B 5 C 10 D A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先根据幻方规则和二次根式的混合运算分别求得A、B、C、D，然后代值求解即可． 【详解】解：∵方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等，其值为， ∴， ， ， ， ∴． 故选：D． 9．（2025九年级上·全国·专题练习）图，与位似，点为位似中心，若的周长等于周长的，，则的长度为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了位似变换，相似三角形的性质，由位似的性质得出，结合的周长等于周长的，得出相似比为，计算即可得出答案． 【详解】解：∵ 与位似， ∴， ∵的周长等于周长的， ∴相似比为，即， ∵， ∴， 故选：C． 10．（24-25九年级上·山西长治·期中）如图，在中，，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形的面积为时，则点P运动的时间是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的应用，借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题．设点P运动的时间是，用t分别表示出和的长，利用三角形的面积计算公式即可解答． 【详解】解：设点P运动的时间是， ， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去， ∴， 故答案为：A． 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（25-26九年级上·四川巴中·阶段练习）若，且，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键．根据题意可设，，代入分式，将分子分母分别因式分解再约分，即可计算求值． 【详解】解：， 设，， 又∵，∴，即， ∴， ， 故答案为：． 12．（2025九年级上·四川内江·模拟预测）化简的结果为 ． 【答案】5 【分析】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确应用完全平方公式是解题关键． 直接利用完全平方公式将根号内部分变形开平方得出答案． 【详解】解： 故答案为：5． 13．（25-26九年级上·四川宜宾·阶段练习）有一元二次方程（）的两根分别是与，则这两根分别是 ． 【答案】 【分析】本题考查了直接开方法解一元二次方程以及解一元一次方程，灵活运用一元二次方程的两根互为相反数是解题的关键．根据一元二次方程的解互为相反数，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值，再将其分别代入与，中即可求出结论． 【详解】解：∵一元二次方程的两根分别是与， ∴， 解得：， ∴，． 故答案为：． 14．（25-26九年级上·四川遂宁·阶段练习）如图，点G是的重心，，垂足为点H，若，则点A到的距离为 ． 【答案】6 【分析】本题考查三角形重心的性质，三角形相似的判定和性质．过点A作．利用重心的性质可得，又易证，从而得出，将代入，求出的长即可． 【详解】如图，过点A作于点E． ∵点G是的重心， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． ∴点A到的距离为6． 故答案为：6． 15．（25-26九年级上·四川眉山·阶段练习）对于两个互不相等的实数，我们规定符号表示两个数中最大的数．按照这个规定解决下列问题： （1）方程的解为 ； （2）方程的解为 ． 【答案】 或1 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据因式分解法可进行求解方程； （2）由题意可分为当时，当时和当时，然后进行分类求解即可． 【详解】解：（1）由题意得：， ， ， 解得：； （2）当时，即， ∴， 解得：（均不符合题意，舍去）； 当时，即， 此时可有，方程成立， 所以是方程的解； 当时，即， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）； 综上所述：方程的解为或1． 16．（2025九年级上·湖南衡阳·模拟预测）人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚的优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设，得，记，……，．则 ． 【答案】15 【分析】本题考查的是数字的变化规律，以及二次根式的混合运算，根据，，可计算出，因此． 【详解】解：∵，， ， ， 故答案为：15． 三、解答题（9小题，共72分） 17．（25-26九年级上·河南新乡·阶段练习） 计算： (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查二次根式的运算及负整数指数幂和零次幂的内容，熟练掌握二次根式的运算法则和运算顺序是解题的关键．（1）先依次计算零次幂、去绝对值、负整数指数幂和化简，最后根据实数的运算法则化简即可；（2）先进行二次根式的化简后再合并同类二次根式即可；（3）先依次算除法、乘法和乘方，再化简二次根式，最后进行有理数的计算即可；（4）先根据乘法公式计算，再化简即可；（5）先把除法运算转化为乘法运算，再化简即可． 【详解】（1）原式； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ； （5）原式 ． 18．（25-26九年级上·四川内江·阶段练习）解下列方程： (1)（配方法）； (2)（公式法）； (3)； (4)（用因式分解法）； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3)无实数根 (4) (5) (6) 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方程，是解题的关键： （1）移项，方程两边同时加上一次项系数的一半的平方，配方后，直接开方法求方程的解即可； （2）将方程化为一般式，利用公式法进行求解即可； （3）利用公式法进行求解即可； （4）提公因式法因式分解后，进行求解即可； （5）将方程化为一般式，因式分解法解方程即可； （6）利用配方法解方程即可． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ∴； （2）， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）， ∴， ∴， ∴方程没有实数根； （4）， ， ∴或， ∴； （5）原方程整理，得， ， ∴或， ∴； （6）， ， ， ， ∴， ∴， ∴． 19．（25-26九年级上·福建漳州·阶段练习）已知一元二次方程有解，求c的取值范围；若是方程的一个根，求方程的另一个根及的值． 【答案】，方程的另一个根为， 【分析】本题考查了一元二次方程有解的条件（判别式）及根与系数的关系（韦达定理），解题的关键是利用判别式求参数的取值范围，再通过韦达定理（两根之和、两根之积）快速求解方程的另一个根及的值，避免复杂的代入计算． 先根据一元二次方程有解的条件（），确定方程中、，代入计算得的取值范围；再利用韦达定理（两根之和为），已知一个根为，用和减去已知根得另一个根；最后通过韦达定理（两根之积为），将两个根相乘得的值． 【详解】解：对于一元二次方程，其中，，常数项为． ∵方程有解， ∴判别式，即． 代入得：，化简为． 移项：，两边除以（不等号变向）：． 设方程的另一个根为，已知一个根． 根据两根之和， ∴． 再根据两根之积， ∴． ∴的取值范围是；方程的另一个根为，的值为． 20．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）如图，在中，，点D在上，，和是对应边．    (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的长． 【答案】(1)垂直，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查相似三角形的性质： （2）运用相似性质证出即可得出结论； （2）运用相似三角形的性质列出比例式，代入数据进行计算即可得解 【详解】（1）垂直．理由： ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 即； （2）∵， ∴． ∴． ∴． 21．（24-25九年级上·四川眉山·阶段练习）在中，，，，依次作正方形，正方形，正方形，…，正方形，顶点，，，…，在边上，顶点，，，…，在边上． 【探究】 (1)正方形的边长为______； (2)正方形的边长______； (3)写出正方形的边长______（用含的代数式表示）． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题侧重考查知相似三角形的判定与性质、及正方形的性质等知识，掌握其性质定理是解决此题的关键． （1）根据题意可得，进而可知，根据相似三角形的性质可得，设正方形的边长为x，接下来将已知线段的长度代入比例中，求出x的值即可； （2）根据（1）中的方法可得，所以有，设正方形的边长为y，代入比例中，求出x的值即可； （3）根据（1）和（2）的规律得到正方形的边长与n之间的关系即可． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ， ， ， ， 设正方形的边长为x， ， ， 解得， 即正方形的边长为； （2）由（1）得，， 设正方形的边长为y， 同理（1），得到， 得到， 解得， 即正方形的边长为． （3）根据（1）和（2）的规律得到正方形的边长与n之间的关系为：． 22．（25-26九年级上·四川宜宾·阶段练习）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的羊圈？ (2)羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)当长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈 (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程是解题的关键． （1）设矩形的边，则边，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）同（1）的方法建立方程，根据方程无实根即可求解． 【详解】（1）解：设矩形的边，则边． 根据题意，得． 化简，得． 解得，． 当时，,不符合题意，舍去； 当时，． 答：当长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈． （2）不能，理由如下： 由题意，得． 化简，得． ∵， ∴一元二次方程没有实数根． ∴羊圈的面积不能达到． 23．（25-26九年级上·四川眉山·阶段练习）认识概念： ①两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 如：，，我们称的一个有理化因式是，的一个有理化因式是． ②如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 如：． (1)填空：的一个有理化因式是______；的一个有理化因式是______； (2)将分母有理化； (3)计算：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的混合运算，平方差公式． （1）根据有理化因式的定义求解即可； （2）分子分母同时乘，按照平方差公式计算化简即可； （3）先分母有理化，然后合并即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的一个有理化因式是， ∵， ∴的一个有理化因式是． 故答案为：，． （2）解： ． （3）解： ． 24．（24-25九年级上·吉林长春·期中）【发现问题】小明在课外书上遇到了下面这道题：已知点，求线段的长度．小明经过思考以后，发现这类问题可以通过勾股定理来解决．思路如下：在平面直角坐标系中，设 要求线段．的长度可以用如下的方法，如图，过 作x轴的垂线，垂足为A，过作x轴的垂线，垂足为B，线段长度可表示，作y轴的垂线，垂足为C，过 作y轴的垂线，垂足为D，延长交 于点E，则线段的长度可以表示，，中，，据勾股定理可得： (1)【解决问题】 ①则线段长度是______； ②如果点， 点 ，线段长度是______． (2)【知识迁移】 ①点，在x轴上找一点P，使得的值最大，请直接写出这个最大值是______； ②点 ，在x轴上找一点，使得最小，请直接写出这个最小值是______． (3)【拓展延伸】 ①代数式 的最小值是______； ②代数式 的最大值是______． 【答案】(1)； (2)​​​​​​​； (3)； 【分析】本题考查坐标与轴对称，两点间的距离公式，熟练掌握两点间的距离公式，是解题的关键： （1）直接利用两点间的距离公式进行计算即可； （2）①连接并延长，交轴与点，此时最大为的长，利用两点间的距离公式进行求解即可；②作关于轴的对称点，连接，得到的最小值即为的长，进行求解即可； （3）利用数形结合结合的思想，将代数式的最值转换为坐标系中两点间的距离，进行求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴； 故答案为：； ②点， 点 ， ∴； 故答案为：； （2）①如图所示，连接并延长，交轴与点， ∴最大为的长， ∵， ∴的最大值； ②作关于轴的对称点，连接交轴于点， 此时的值最小，为：的长， ∵， ∴， ∴的最小值为：； （3）①， 可转化为：已知点，在轴上找一点，使的值最小， 由（2）②可知，作点关于轴的对称点，的最小值即为的长， ， ∴代数式 的最小值是； ②， 参考（2）①中的图形，点，点， ∴代数式的最大值为：． 25．（2025·四川宜宾·模拟预测）阅读下面材料，完成(1)-(3)题． 数学课上，老师出示了这样一道题： 如图1，在△ABC中，BA=BC，．点F在AC上，点E在BF上，．点D在BC延长线上，连接AD、AE，∠ACD+∠DAE=180゜．探究线段AD与AE的数量关系并证明． 同学们经过思考后，交流了自己的想法： 小明：“通过观察和度量，发现∠CAD与∠EAB相等．” 小亮：“通过观察和度量，发现∠FAE与∠D也相等．” 小伟：“通过边角关系构造辅助线，经过进一步推理，可以得到线段AD与AE的数量关系．” 老师：“保留原题条件，延长图1中的AE，与BC相交于点H(如图2)，若知道DH与AH的数量关系，可以求出的值．” （1）求证：∠CAD=∠EAB； （2）求的值（用含k的式子表示）； （3）如图2，若，则的值为________（用含k的式子表示）．    【答案】（1）见解析；（2）；（3）． 【分析】（1）根据BA=BC得出∠BAC=∠BCA，再根据三角形外角和的知识与∠ACD+∠DAE=180゜，∠ACD+∠ACB=180゜得出∠DAC=∠BAE； （2）方法一：过点C做∠ACM=∠ABE，交AD于点M，证明出△AEB∽△AMC，根据相似比得出，，再根据条件求证△DCM∽△AFE，根据相似比得到，AD=AM+DM=进而得出结果； 方法二：过点B做BN∥AC交AE延长线于点N，证明△AFE∽△NBE，△ACD∽△ABN，根据相似比求解即可； （3）过点B做BN∥AC交AE延长线于点N，求证△AHC∽DHA，利用相似比得到，再由，，得出，设AH=2a，AB=BC=b， 根据EH=AH-AE=EN-NH和相似得出，；再由△ADH∽△NBH，根据以上所求得出，求解b即可． 【详解】(1)∵BA=BC， ∴∠BAC=∠BCA， ∵∠ACD+∠DAE=180゜， ∠ACD+∠ACB=180゜， ∴∠DAE=∠ACB， ∴∠DAE=∠BAC， ∴∠DAC=∠BAE； (2)方法一： 过点C做∠ACM=∠ABE，交AD于点M：      ∵∠DAC=∠BAE， ∴△AEB∽△AMC， ∴， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ∵∠AEF=∠EAB+∠ABE， ∠DMC=∠MAC+∠ACM， ∴∠DMC=∠AEF， ∵∠ACB=∠D+∠DAC， ∠DAE=DAC+∠FAE， ∠DAE=∠ACB， ∴∠D=∠FAE， ∴△DCM∽△AFE， ∴， ∴， ∴AD=AM+DM=， ∴； 方法二： 过点B做BN∥AC交AE延长线于点N：    ∴∠N=∠FAE， ∠AFE=∠EBN， ∴△AFE∽△NBE， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵∠ACB=∠D+∠DAC， ∠DAE=DAC+∠FAE， ∠DAE=∠ACB， ∴∠D=∠FAE， ∵∠DAC=∠BAE， ∴△ACD∽△ABN， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）同方法二辅助线    ∵∠D=∠CAH，∠AHC=∠DHA， ∴△AHC∽DHA， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 设AH=2a，AB=BC=b， ∴DH=3a,， ∵NE=2AE， ∴NE=b， ∵EH=AH-AE=EN-NH， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴由方法二相似得： ， ∵△ADH∽△NBH， ∴， ∴， ∴， ∴（舍），， ∴； 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质和三角形的基本概念． 学科网（北京）股份有限公司 $