期中重难点检测卷（培优卷）（考试范围：21～23章 二次根式+一元二次方程+图形的相似全部内容）-2025-2026学年华东师大版九年级数学上册重难点专题提升精讲精练

期中重难点检测卷（培优卷） （满分120分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：21~ 23章（二次根式+一元二次方程+图形的相似全部内容）； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25九年级上·全国·单元测试）观察下列每组图形，相似图形是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·四川内江·阶段练习）若二次根式有意义，的值可以是（   ） A．28 B．23 C．8 D．0 3．（24-25九年级上·四川巴中·阶段练习）方程经过配方法化为的形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·全国·单元测试）按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为，则最后输出的t值为（   ） A． B． C．6 D．41 5．（24-25九年级上·四川遂宁·阶段练习）如图，已知，那么下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·湖南衡阳·阶段练习）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（　　） A． B．且 C． D．且 7．（24-25九年级上·四川简阳·阶段练习）将进货价格为35元的商品按单价40元售出时．能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元．其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨x元时，获得的利润为1870元，则下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·陕西汉中·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，以原点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，若点A、B的对应点在第一象限，则点A的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·重庆巫山·阶段练习）例如：．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫做分母有理化．则下列结论正确的有（    ）个 ①若是的小数部分，则；②比较大小：；③变形：；④计算： A．1 B．2 C．3 D．4 10．（25-26九年级上·四川眉山·阶段练习）如图，已知线段，连接，，分别是边，的中点，连接，且，，则的长为（   ） A．8 B．12 C．15 D．18 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（25-26九年级上·河南新乡·阶段练习）若最简根式与是同类根式，则 ． 12．（25-26九年级上·河南周口·阶段练习）定义：若一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的整数倍，则称该方程是“一元二次倍根方程”．例如：方程的两个根为，因为是的3倍，所以方程是“一元二次三倍根方程”．若关于的一元二次方程是“一元二次三倍根方程”，则的值为 ． 13．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）形如的化简，只要我们找到两个正数、，使得，，即有，，那么． 例如：． 根据上述材料中例题的方法，化简： ． 14．（24-25九年级上·山西长治阶段练习）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法：①方程是倍根方程；②若是倍根方程，则；③若，则关于x的方程是倍根方程；④若方程是倍根方程，且，则方程的一个根为1．其中正确的是 ．（写出所有正确说法的序号） 15．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）2024年6月30日，中国音乐小金钟全国二胡展演河南选拔活动在郑州市虹韵音乐厅成功举行．音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处（黄金分割：短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长的比，该比值为）时，奏出来的音调最和谐、悦耳．如图，一把二胡的琴弦的长为，千斤线绑在点处（点为线段上靠近点的黄金分割点），则的长为 ． 16．（25-26九年级上·四川宜宾·阶段练习）如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简易刻度尺与地面垂直放置，其中与“0”刻度线重合，点落在“3”刻度线上，与“5”刻度线重合，若测得，则的长是 ． 三、解答题（9小题，共72分） 17．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 18．（24-25九年级上·四川乐山·期中）选用适当的方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 19．（24-25九年级上·四川眉山·阶段练习）已知，线段a，b，c，且． (1)求的值． (2)设，线段a，b，c满足，求k的值． 20．（25-26九年级上·山西临汾·阶段练习）佳佳在解一元二次方程时出现错误，解答过程如下： 解： 移项，得．……① 配方，得．……② 即．……③ 解得，．……④ (1)上述解答过程中，从第______步开始出现了错误；（填序号） (2)写出正确的解答过程． 21．（24-25九年级上·四川遂宁·阶段练习）某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． (1)求二、三这两个月的月平均增长率； (2)从四月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量在400件的基础上增加5件，当商品降价多少元时，超市获利4250元？ 22．（24-25九年级上·河南驻马店·阶段练习）聪聪在解方程时采用了下面的方法： 由， 又有①，可得②， 将得：且，将两边平方可解得， 经检验是原方程的解．请你学习聪聪的方法，解下面的方程： (1)方程的解是____________； (2)方程的解是____________； (3)解方程． 23．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）【知识技能】 材料：若关于的一元二次方程的两个根为，，则，． 材料：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为，，∴，， 则． 【数学理解】 （1）一元二次方程的两个根为，，则_____，______． 【拓展探索】 （2）已知一元二次方程的两根分别为，，求的值． （3）已知实数，满足，，且，求的值． 24．（2025·河南周口·模拟预测）2025年是红旗渠通水60周年，这条“人工天河”是39万河南林县农民用双手砸出的“世界第八大奇迹”，更是一座镌刻着“自力更生、艰苦创业、团结协作、无私奉献”的精神丰碑．红旗渠是完全依靠重力作用实现的自流灌溉水利工程，全长1500公里，总干渠必须确保8公里渠道只能有1米落差才能顺利通过分水闸，因此精准测量尤为重要．智慧的河南林县人，创造了盆面测量法，又称“水鸭子”测量法．简单地说，就是在一个洗脸盆中盛上半盆水，再在盆里倒放上一只板凳，在木凳两端连接细线，与对面持木棍的人相互配合，通过木棍两端的点和要测定的点共三个点连成一条线，来找到水平面． 如图，小聪同学在处放一“水鸭子”，测得点、标杆上的点、大树底部点都在同一水平线上．而小聪视线从点处向上看时，发现点、标杆上的点、大树顶端点恰在同一直线上．接着，小聪往后退3米到点处，利用“水鸭子”使点、、共线，此时发现点、标杆上的点、大树顶端点也恰在同一直线上．测量得到米，米，米．你能据此算出大树的高度吗？（大树和标杆均与水平面垂直） 25．（24-25九年级上·山西长治·期中）阅读与思考 几何透视几何透视是一种在二维平面表现三维空间的方法，能使观察者产生空间感和深度感．其基本原理是根据近大远小的视觉规律，平行于观察者视线方向的线条都汇聚于消失点．几何透视主要分为一点透视、两点透视和三点透视． 一点透视，又叫平行透视．适用于物体正面与画面平行的场景，只有一个消失点．如图1，视线，汇聚（相交）于视平线的点O处（消失点O），． 两点透视，又叫成角透视．适用于物体与画面成一定角度的情况，有两个消失点．如图2，视线与汇聚（相交）于视平线的点M处（消失点M），视线与视线汇聚（相交）于视平线的点N处（消失点N），． 三点透视，适用于俯瞰或仰视场景，有三个消失点．如图3，视线与汇聚（相交）于视平线的点M处（消失点M），视线与视线汇聚（相交）于视平线的点N处（消失点N），视线，，汇聚（相交）于视平线垂直方向上的点P处（消失点P）． 任务： (1)如图1，根据上述信息可知，一点透视运用的数学原理是________．（只有一个选项符合题意） A．平行投影    B．位似    C．图形的全等 (2)如图2，两点透视画法中，若，，，求的长． (3)如图4，是三点透视（图3）中的部分平面图形，若，，，猜想与的数量关系，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中重难点检测卷（培优卷） （满分120分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：21~ 23章（二次根式+一元二次方程+图形的相似全部内容）； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25九年级上·全国·单元测试）观察下列每组图形，相似图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似图形的定义，形状相同，可得出答案． 【详解】解：A、两图形形状不同，故不是相似图形； B、两图形形状不同，故不是相似图形； C、两图形形状不同，故不是相似图形； D、两图形形状相同，故是相似图形； 故选D． 【点睛】本题主要考查相似图形的定义，掌握相似图形形状相同是解题的关键． 2．（25-26九年级上·四川内江·阶段练习）若二次根式有意义，的值可以是（   ） A．28 B．23 C．8 D．0 【答案】A 【分析】本题考查二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，可得的取值范围，即可求解． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， ∵， ∴选项A符合题意， ∵， ∴选项B不符合题意， ∵， ∴选项C不符合题意， ∵， ∴选项D不符合题意， 故选：A． 3．（24-25九年级上·四川巴中·阶段练习）方程经过配方法化为的形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．先将方程变形为，再两边同时加上1，利用完全平方公式进行配方即可得． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A． 4．（25-26九年级上·全国·单元测试）按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为，则最后输出的t值为（   ） A． B． C．6 D．41 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，根据程序图列出算式是关键，根据程序图把代入计算，即可求解． 【详解】解：把代入计算： 第一次：， 第二次：， 则最后输出的t值为， 故选：B． 5．（24-25九年级上·四川遂宁·阶段练习）如图，已知，那么下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选项B，C，D错误， 故选：A． 6．（24-25九年级上·湖南衡阳·阶段练习）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（　　） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式求参数的取值范围．先根据一元二次方程的判别式求出k的取值范围，再结合一元二次方程的定义确定不能为0，从而得出k的最终取值范围． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，， 解得：，． 故选：D． 7．（24-25九年级上·四川简阳·阶段练习）将进货价格为35元的商品按单价40元售出时．能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元．其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨x元时，获得的利润为1870元，则下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据总利润=销售量×每个利润．设涨价x元能赚得1870元的利润，即售价定为每个元，销售量为个，结合获得的利润为1870元，可列方程． 【详解】解：根据题意可得：， 即： 故选：A． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解“单价每上涨1元，其销售量就减少5个”． 8．（24-25九年级上·陕西汉中·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，以原点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，若点A、B的对应点在第一象限，则点A的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求位似图形的对应坐标，根据位似比以及相应的象限求出对应点的坐标即可． 【详解】解：，位似比为， 则点A的对应点的横坐标为，纵坐标为， 又位于第一象限， ． 故选：D． 9．（24-25九年级上·重庆巫山·阶段练习）例如：．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫做分母有理化．则下列结论正确的有（    ）个 ①若是的小数部分，则；②比较大小：；③变形：；④计算： A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了分母有理化的应用，解题的关键是熟练运用分母有理化的方法对式子进行变形、计算和比较． 依次对四个结论进行分析，通过分母有理化、根式的性质及大小比较方法来判断对错． 【详解】①由题意，，则．分子分母同乘，得：等式成立，①正确； ②     因为，根据分子相同，分母越大分数越小， 所以，即， ②错误； ③交叉相乘验证等式：左边，右边．展开后合并同类项得，等式不成立，③错误； ④每一项可以表示为：， ， ， ④错误． 综上，仅①正确， 故答案为：A． 10．（25-26九年级上·四川眉山·阶段练习）如图，已知线段，连接，，分别是边，的中点，连接，且，，则的长为（   ） A．8 B．12 C．15 D．18 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中位线定理和勾股定理，作出辅助线，构造出直角三角形是解决此题的关键．连接，取中点，连接，，根据三角形中位线定理求得，的值，证得，然后利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：连接，取中点，连接，，如图所示： 分别是边，的中点， 是的中位线， ， ， ， ， 分别是边，的中点， 是的中位线， ， ， ， ，， ， ， 故选：C． 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（25-26九年级上·河南新乡·阶段练习）若最简根式与是同类根式，则 ． 【答案】/0.75 【分析】本题考查同类根式，根据两个最简根式的根指数相同，被开方数相同，这两个根式是同类根式，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 整理，得， ∴； 故答案为： 12．（25-26九年级上·河南周口·阶段练习）定义：若一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的整数倍，则称该方程是“一元二次倍根方程”．例如：方程的两个根为，因为是的3倍，所以方程是“一元二次三倍根方程”．若关于的一元二次方程是“一元二次三倍根方程”，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，用因式分解法求解方程得出，，再根据 “倍根方程”的定义，即可求解． 【详解】解：， ， 或， 解得：，， 方程是“一元二次三倍根方程” 当时，则， 当时，则（舍去）， 综上，． 故答案为：． 13．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）形如的化简，只要我们找到两个正数、，使得，，即有，，那么． 例如：． 根据上述材料中例题的方法，化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了完全平方公式的变形，二次根式的性质，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 利用完全平方公式变形运算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 14．（24-25九年级上·山西长治阶段练习）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法：①方程是倍根方程；②若是倍根方程，则；③若，则关于x的方程是倍根方程；④若方程是倍根方程，且，则方程的一个根为1．其中正确的是 ．（写出所有正确说法的序号） 【答案】②③④ 【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程根与系数的关系，解本题的关键在理解题意，正确作出判断． 通过解出一元二次方程，结合“倍根方程”的定义，即可判断说法①；根据解方程，得出，，再结合“倍根方程”的定义，得出或，进而得出或，然后再用十字相乘法分解，再把，代入，即可判断说法②；通过解出一元二次方程，结合“倍根方程”的定义，即可判断说法③；根据“倍根方程”的定义，设，再根据一元二次方程根与系数的关系，得出，进而得出，解出即可判断说法④． 【详解】解：①解方程得：， ∴方程不是倍根方程，故①不正确； ②∵是倍根方程，且，， ∴或， ∴或， ∴，故②正确； ③∵， 解方程得：，， ∴，故③正确； ④∵方程是倍根方程， ∴设， ∵，即， ∴， ∴， ∴，即方程的一个根为1． 故④正确． 综上所述，说法正确的为：②③④． 故答案是：②③④ 15．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）2024年6月30日，中国音乐小金钟全国二胡展演河南选拔活动在郑州市虹韵音乐厅成功举行．音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处（黄金分割：短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长的比，该比值为）时，奏出来的音调最和谐、悦耳．如图，一把二胡的琴弦的长为，千斤线绑在点处（点为线段上靠近点的黄金分割点），则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割中线段的比例关系是解题的关键． 根据黄金分割的定义，已知点为线段上靠近点的黄金分割点，即为长段，利用黄金分割比例关系求出的长度． 【详解】解：∵点是线段上靠近点的黄金分割点， ∴． ∵， ∴． 故答案为： 16．（25-26九年级上·四川宜宾·阶段练习）如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简易刻度尺与地面垂直放置，其中与“0”刻度线重合，点落在“3”刻度线上，与“5”刻度线重合，若测得，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．证明，根据相似三角形的性质“相似三角形对应高的比等于相似比”列式计算即可求解． 【详解】解：根据题意得， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题（9小题，共72分） 17．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查二次根式的混合运算，零指数幂，绝对值，解题关键在于掌握运算法则. （1）首先对二次根式进行化简，然后合并同类项即可解答； （2）首先对二次根式进行化简，然后合并同类项即可解答； （3）利用完全平方公式和二次根式的乘法法则计算，然后合并同类项即可； （4）计算零指数幂，去掉绝对值符号，然后合并同类项即可解答. 【详解】（1）原式 （2）原式 （3）原式 （4）原式 18．（24-25九年级上·四川乐山·期中）选用适当的方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4) 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、公式法、换元法、因式分解法等）是解题关键． （1）方程可以变形为，利用直接开平方法解方程即可得； （2）方程可以变形为，利用直接开平方法解方程即可得； （3）方程利用平方差公式变形为，利用因式分解法解方程即可得； （4）方程利用完全平方公式变形为，利用直接开平方法解方程即可得． 【详解】（1）解：， ， ， ， 所以方程的解为，． （2）解：， ， 或， 或， 所以方程的解为，． （3）解：， ， ， ， 或， 或， 所以方程的解为，． （4）解：， ， ， 所以方程的解为． 19．（24-25九年级上·四川眉山·阶段练习）已知，线段a，b，c，且． (1)求的值． (2)设，线段a，b，c满足，求k的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】此题主要考查了比例的性质，解题的关键是熟练掌握其性质，以及换元法； （1）根据比例的性质得出，即可得出的值； （2）根据，则，利用求出k的值即可得出答案． 【详解】（1）解：， ， ， （2）解：设， 则， ， ． 20．（25-26九年级上·山西临汾·阶段练习）佳佳在解一元二次方程时出现错误，解答过程如下： 解： 移项，得．……① 配方，得．……② 即．……③ 解得，．……④ (1)上述解答过程中，从第______步开始出现了错误；（填序号） (2)写出正确的解答过程． 【答案】(1)② (2)见解析 【分析】本题考查解一元二次方程-配方法解，解题的关键是掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤． （1）观察解答过程可得答案； （2）用配方法解方程即可． 【详解】（1）解：从第②步开始出现了错误，发生错误的原因是：等号右边没有加9； 故答案为：②； （2）解：移项得：， 配方得：，即， 开平方，得． 解得，． 21．（24-25九年级上·四川遂宁·阶段练习）某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． (1)求二、三这两个月的月平均增长率； (2)从四月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量在400件的基础上增加5件，当商品降价多少元时，超市获利4250元？ 【答案】(1)二、三这两个月的月平均增长率为； (2)当商品降价5元时，商场获利4250元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设二、三这两个月的月平均增长率为，利用该商品三月份的销售量该商品一月份的销售量二、三这两个月的月平均增长率，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，根据超市获利4250元，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设二、三这两个月的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：二、三这两个月的月平均增长率为； （2）解：设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：当商品降价5元时，超市获利4250元． 22．（24-25九年级上·河南驻马店·阶段练习）聪聪在解方程时采用了下面的方法： 由， 又有①，可得②， 将得：且，将两边平方可解得， 经检验是原方程的解．请你学习聪聪的方法，解下面的方程： (1)方程的解是____________； (2)方程的解是____________； (3)解方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题主要考查了二次根式在解方程中的应用，平方差公式的应用，解答此题的关键是在解决实际问题的过程中能熟练应用有关二次根式的概念、性质和运算的方法． （1）参照题中给出的解题方法，按步骤进行解题即可． （2）参照题中给出的解题方法，按步骤进行解题即可． （3）参照题中给出的解题方法，按步骤进行解题即可． 【详解】（1）， 又①， ②， 得，， 将两边平方可解得，经检验，是原方程的解， 方程的解是． （2）， 又①， ②， 得，， 将两边平方整理得，解得，经检验是原方程的解． 方程的解是． （3） ， ， ， 又①， ②， 整理得， 将两边平方整理得，经检验，是原方程的解． 方程的解为． 23．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）【知识技能】 材料：若关于的一元二次方程的两个根为，，则，． 材料：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为，，∴，， 则． 【数学理解】 （1）一元二次方程的两个根为，，则_____，______． 【拓展探索】 （2）已知一元二次方程的两根分别为，，求的值． （3）已知实数，满足，，且，求的值． 【答案】（），；（）；（）． 【分析】本题考查了根与系数的关系，通过完全平方公式进行变形求值，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （）利用根与系数的关系即可求解； （）根据根与系数的关系得，，由，再代入即可求解； （）根据题意可得、可看作方程的两根，则，，由，再代入即可求解． 【详解】解：（）根据根与系数的关系得，； 故答案为：，； （）根据根与系数的关系得，， ∴ ； （）∵实数，满足，，且， ∴、可看作方程的两根， ∴，， ∴ ， ∴． 24．（2025·河南周口·模拟预测）2025年是红旗渠通水60周年，这条“人工天河”是39万河南林县农民用双手砸出的“世界第八大奇迹”，更是一座镌刻着“自力更生、艰苦创业、团结协作、无私奉献”的精神丰碑．红旗渠是完全依靠重力作用实现的自流灌溉水利工程，全长1500公里，总干渠必须确保8公里渠道只能有1米落差才能顺利通过分水闸，因此精准测量尤为重要．智慧的河南林县人，创造了盆面测量法，又称“水鸭子”测量法．简单地说，就是在一个洗脸盆中盛上半盆水，再在盆里倒放上一只板凳，在木凳两端连接细线，与对面持木棍的人相互配合，通过木棍两端的点和要测定的点共三个点连成一条线，来找到水平面． 如图，小聪同学在处放一“水鸭子”，测得点、标杆上的点、大树底部点都在同一水平线上．而小聪视线从点处向上看时，发现点、标杆上的点、大树顶端点恰在同一直线上．接着，小聪往后退3米到点处，利用“水鸭子”使点、、共线，此时发现点、标杆上的点、大树顶端点也恰在同一直线上．测量得到米，米，米．你能据此算出大树的高度吗？（大树和标杆均与水平面垂直） 【答案】大树的高度为米． 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，先证明，，再利用相似三角形的性质建立方程求解即可． 【详解】解：∵大树和标杆均与水平面垂直， ∴， ∵，， ∴，， ∴，即， ∴，即， 把整理， 得①， 把整理， 得②， 联立， 解得， 答：大树的高度为米． 25．（24-25九年级上·山西长治·期中）阅读与思考 几何透视几何透视是一种在二维平面表现三维空间的方法，能使观察者产生空间感和深度感．其基本原理是根据近大远小的视觉规律，平行于观察者视线方向的线条都汇聚于消失点．几何透视主要分为一点透视、两点透视和三点透视． 一点透视，又叫平行透视．适用于物体正面与画面平行的场景，只有一个消失点．如图1，视线，汇聚（相交）于视平线的点O处（消失点O），． 两点透视，又叫成角透视．适用于物体与画面成一定角度的情况，有两个消失点．如图2，视线与汇聚（相交）于视平线的点M处（消失点M），视线与视线汇聚（相交）于视平线的点N处（消失点N），． 三点透视，适用于俯瞰或仰视场景，有三个消失点．如图3，视线与汇聚（相交）于视平线的点M处（消失点M），视线与视线汇聚（相交）于视平线的点N处（消失点N），视线，，汇聚（相交）于视平线垂直方向上的点P处（消失点P）． 任务： (1)如图1，根据上述信息可知，一点透视运用的数学原理是________．（只有一个选项符合题意） A．平行投影    B．位似    C．图形的全等 (2)如图2，两点透视画法中，若，，，求的长． (3)如图4，是三点透视（图3）中的部分平面图形，若，，，猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)B (2) (3) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，位似； （1）由得到，即可说明一点透视运用的数学原理是位似； （2）由结合得到，再由得到，结合求出 （3）过作交于，于，先根据等腰三角形和平行线得到，即可得到，再由得到，结合得到，即可求出． 【详解】（1）解：∵图1，视线，汇聚（相交）于视平线的点O处（消失点O），， ∴， ∴一点透视运用的数学原理是位似， 故选：B； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵，，即， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； （3）解：，理由如下： 如图，过作交于，于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $