期中重难点检测卷（提高卷）（考试范围：10～12章 数的开方+整式的乘除+全等三角形全部内容）-2025-2026学年华东师大版七年级数学上册重难点专题提升精讲精练

期中重难点检测卷（提高卷） （满分120分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：10~ 12章（数的开方+整式的乘除+全等三角形全部内容）； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25八年级上·河南新乡·期中）若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，依次按键，对应的计算是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用计算器求立方根．根据题目中的运算程序，可以计算出式子的运算结果． 【详解】 解：依次按键，对应的计算是． 故选：A． 2．（25-26八年级上·广西桂林·阶段练习）计算， 结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查多项式除以单项式，根据多项式除以单项式的法则，进行求解即可． 【详解】解：； 故选A． 3．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）平面内到不在同一条直线的三个点的距离相等的点有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质. 根据线段垂直平分线的性质可知平面内到不在同一条直线的三个点的距离相等的点有1个． 【详解】解：到距离相等的点在的垂直平分线上， 到距离相等的点在的垂直平分线上， 到距离相等的点在的垂直平分线上， 而三角形三边的垂直平分线交于一点． 故选A． 4．（25-26八年级上·四川宜宾·阶段练习）数轴上表示，的点分别为，，点是的中点，则点所表示的数是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴，用到的知识点为：求数轴上两点间的距离就让右边的数减去左边的数．知道两点间的距离，求较小的数，就用较大的数减去两点间的距离．首先根据数轴上1，的对应点分别是点A和点B，可以求出线段AB的长度，然后根据中点的性质即可解答． 【详解】解：∵数轴上1，的对应点分别是点A和点B， ∴， ∵是线段的中点， ∴， ∴点C表示的数为：． 故选：C． 5．（24-25八年级上·山西长治·期中）在多项式中添加一个单项式，使得到的多项式能运用完全平方公式分解因式，嘉嘉和琪琪的做法如下： 嘉嘉：添加，得到； 琪琪：添加，得到． 则下列判断正确的是（   ） A．只有嘉嘉的做法正确 B．只有琪琪的做法正确 C．嘉嘉和琪琪的做法都正确 D．嘉琪和琪琪的做法都不正确 【答案】C 【分析】本题考查了利用公式法因式分解，利用完全平方公式分解即可． 【详解】解：添加，，故嘉嘉的做法正确； 添加，，故琪琪的做法正确， 故选：C． 6．（2025八年级上·四川眉山·专题练习）如图，已知，分别是的中线和高，且，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟悉掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 利用等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，为的中线， ∴平分， ∵是上的高，， ∴， ∴， 故选：B． 7．（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）下面是课堂投影屏上显示的抢答题，需要回答横线上序号处缺少的内容．下列回答错误的是（    ） 分解因式：． 解：原式 = A．①填 B．②填 C．该过程用到了提公因式法 D．该过程用到了公式法 【答案】B 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故①填，②填，同时用到了提公因式法和公式法， 故选：B． 8．（24-25八年级上·四川内江·期中）用表示距离最近的正整数．（n为正整数），比如：表示距离最近的正整数，；表示距离最近的正整数，；表示距离最近的正整数，……利用这些发现得到以下结论：①；②；③时，n的值有4个； 三个结论中正确的结论有（   ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查无理数的估算，数字规律探索问题．利用，m为整数，且，可知，，所以的个数为个，根据此规律分析各个结论即可． 【详解】解：由题意可知：设，m为整数，且， ∴， 当时，， ∴，故①正确； 由①可知：， ∴， ∵，均为整数，，均不为整数，且， ∴的个数为个， ∴的个数为4个，故②正确； 由②可知的个数为个， ∴，故③正确； 综上所述：正确的有①②③． 故选：D． 9．（25-26八年级上·四川眉山·阶段练习）如图，，分别是的高和角平分线，与相交于G，平分交于E，交于M，连接交于H，且．有下列结论：①；②是等边三角形；③；④其中，正确的结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】解题时，首先针对每个结论，结合已知条件逐步分析： ①利用“是高”得直角三角形两锐角互余，再结合角平分线定义，求出的度数，最后根据三角形内角和定理算出，判断结论①错误． ②根据现有条件，没有足够依据证明三边相等，所以判定不是等边三角形． ③延长构造全等三角形和，得出，将转化为，再利用三角形外角性质和“大角对大边”，得出，从而判断结论③错误． ④证明，得到面积相等关系，再结合和是角平分线的性质，对三角形面积进行转化，得出，判定结论④正确．通过这样逐一分析每个结论，最终确定正确结论的个数． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∴， ∵是的角平分线，平分， ∴，， ∴， ∴，故①错误； ∵是的高，， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴为等腰三角形，条件不足，无法得到为等边三角形，故②错误； 如图，延长交于点， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故③错误； 在和中， ∴， ∴， ∵，平分， ∴，， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有④，共个， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的高、角平分线的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定（、）及性质，三角形外角性质，“大角对大边”定理，三角形面积的计算与转化．解题思想方法有转化思想（将角的关系、面积的关系进行转化），数形结合思想（结合图形分析角和线段的关系）．解题关键为熟练运用全等三角形的判定与性质，结合角平分线、高的性质，对三角形的角、边、面积进行分析转化．易错点是在分析角的关系时，容易忽略三角形外角性质或“大角对大边”的应用条件；证明三角形全等时，易找错对应角或对应边． 10．（24-25八年级上·四川乐山·期中）“杨辉三角”（如图），是中国古代数学无比睿智的成就之一．用“杨辉三角”可以解释（n为非负整数）计算结果的各项系数规律，如的系数1，2，1恰好对应“杨辉三角”中第3行的3个数，的系数1，3，3，1恰好对应“杨辉三角”中第4项的4个数……，某数学兴趣小组经过仔细观察，还发现（n为非负整数）计算结果的各项次数规律以及其他规律下列结论： ①的计算结果中项的系数为； ②的计算结果中各项系数的绝对值之和为； ③当时，的计算结果为； ④当，除以2024，余数为2023． 上述结论正确的是（   ） A．②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查多项式乘多项式中的规律型问题，幂的乘方．根据“杨辉三角”得出展开式中各项系数的特点，逐项判断即可求解． 【详解】解：由题意知， 的计算结果中项的系数为“杨辉三角”第2026行第2个数与的积，即， 故结论①正确； 的计算结果中各项系数的之和为，因此的计算结果中各项系数的绝对值之和为， 故结论②正确； 当时，， 故结论③正确； 当，，展开式中最后一项为，其余各项的因数均包括2024，因此除以2024，余数为，即2023． 故结论④正确； 故选D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（24-25八年级上·河南周口·期中）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，多项式相等的条件，代数式求值，先利用多项式乘以多项式的运算法则展开左式，再根据多项式相等的条件求出的值，进而代入代数式计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 12．（25-26八年级上·吉林长春·阶段练习）对于实数、，定义一种运算：．例如，则求的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了新定义，理解新定义是解答本题的关键． 根据新定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：5． 13．（24-25八年级上·四川眉山·单元测试）某同学在利用完全平方公式进行整式乘法计算时，不小心将墨水滴在了结果上，那么结果“”中被墨水遮住的部分可能是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查完全平方公式，熟记完全平方公式是解题的关键．运用完全平方公式求出对照求解即可． 【详解】解：由， ∴被墨水遮住的部分为， 故答案为：． 14．（24-25八年级上·四川乐山·期中）如图，在中，，分别垂直平分边，，交于点，，如果，那么的周长为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解决本题的关键． 利用线段垂直平分线的性质来求解的周长即可． 【详解】解：和分别为、的垂直平分线， ，， 的周长， 故答案为：． 15．（24-25八年级上·四川资阳·期中）将1，，，按如图方式排列，若规定表示第排从左向右第个数，则与表示的两数之差是 . 【答案】 【分析】此题主要考查了数字的变化规律，实数的减法运算，找准数字变化规律是关键． 根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…第排有个数，从第一排到排共有：个数，根据数的排列方法，每四个数一个轮回，根据题目意思找出第排第个数到底是哪个数后再计算． 【详解】解：根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…第排有个数，从第一排到排共有：个数，根据数的排列方法，每四个数一个轮回， 表示第5排从左向右第4个数是， ∵前11排共有 (个)数， 表示第12排第4个数即第70个数， ， 表示的数是， 与表示的两数之差是， 故答案为：． 16．（25-26八年级上·四川巴中·期中）在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为的正方形，，是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这张的方格纸中，找出格点，使，则满足条件的格点有 个． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．结合网格，画出的垂直平分线，由此即可得． 【详解】解：如图，满足，在的垂直平分线上且在格点上的点有个． 故答案为：5． 三、解答题（9小题，共72分） 17．（25-26八年级上·河南驻马店·阶段练习）利用因式分解计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1) (2)4 (3)0 (4) 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式、提公因式法进行简便计算，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键． （1）根据完全平方公式进行计算即可； （2）根据完全平方公式进行计算即可； （3）利用提公因式法进行计算即可； （4）整理后，利用提公因式法进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 18．（2025八年级上·河南周口·专题练习）已知：如图，在中，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．过点作，结合可证，利用全等三角形的性质即可证． 【详解】证明：过点作交于点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 19．（24-25八年级上·四川攀枝花·期中）观察下表： 0.0001 0.01 1 100 10000 0.01 0.1 1 10 100 (1)由上表你发现了什么规律？请用语言叙述这个规律：__________________； (2)根据你发现的规律填空：已知． 则___________，___________； 若，则___________； (3)拓展提升： ①已知，则___________； ②已知，则___________． 【答案】(1)被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就向左或向右移动一位 (2)，， (3)①；② 【分析】本题考查算术平方根、立方根定义和性质，掌握其性质是解题的关键． （1）由于被开方数的小数点每移动两位，相应的算术平方根的小数点相应移动一位，由此即可解决问题； （2）利用（1）中发现的规律进而分别得出各数据答案； （3）①、②被开方数每移动三位，立方根就相应移动一位．利用此规律即可求解． 【详解】（1）解： 由表格可以发现：被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就向左或向右移动一位．或者：被开方数扩大或缩小百倍，它的算术平方根就扩大或缩小十倍． 故答案为：被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就向左或向右移动一位； （2）解：∵． ∴，； 若，则， 故答案为：，，； （3）解：①∵知， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴， 故答案为：． 20．（25-26八年级上·河南南阳·阶段练习）阅读下列两则材料，解决问题： 材料一：比较和的大小． 解：∵，且 ∴，即． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 材料二：比较和的大小 解：∵，且， ∴，即． 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小， 【方法运用】 (1)比较______的大小（填“＞”或者“＜”）； (2)已知，，比较a、b的大小； (3)比较与的大小． 【答案】(1)＞ (2) (3) 【分析】本题考查幂的乘方与积的乘方、实数的大小比较，解答本题的关键是明确实数的大小比较方法． （1）由，，再比较大小即可； （2）由，，再仿照材料中的例题，比较大小即可； （3）由，，再比较大小即可． 【详解】（1）解：，， ∵， ∴，即， 故答案为：＞． （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由题意得，， ∴， 又∵， ∴． （3）解：， ， ∵， ∴， 即． 21．（25-26八年级上·四川宜宾·阶段练习）老师给出了下面的题目：如图，在中，，点在上，作，，，垂足分别为、、． (1)求证：． (2)如图，将“在中，，点在上”改成“为等边三角形内一点”，作，，，，垂足分别为、、、有类似结论吗？请写出结论并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查的知识点有三角形面积公式（，a为底，h为高）、等腰三角形的性质（）、等边三角形的性质（三边相等）．解题用到的思想是转化思想，通过将三角形的面积进行分割转化，把线段和的关系转化为面积的关系来证明．方法是利用面积法，借助不同的三角形面积组合来推导线段之间的等量关系．解题关键是正确连接辅助线（如连接、、），将大三角形的面积拆分为几个小三角形的面积之和．易错点在于对三角形面积公式的应用不熟练，以及在分割面积时遗漏或错误选取三角形，导致推导错误． （1）要证明，思路是利用面积法．连接，把的面积拆分为和的面积之和，然后根据三角形面积公式分别表示出这三个三角形的面积，再结合的等腰三角形性质，通过等式变形得出． （2）对于等边三角形内一点的情况，猜想有类似结论．证明思路同样是面积法，连接、、，把的面积拆分为、和的面积之和，再根据等边三角形三边相等的性质，结合三角形面积公式，通过等式变形得出． 【详解】（1）连接． ， ． 又， ． （2）．理由如下： 连接、、． ， 由于是等边三角形，所以， ． 22．（24-25八年级上·四川遂宁·阶段练习）数学阅读是学生个体根据已有的知识经验，通过阅读数学材料建构数学意义和方法的学习活动，是学生主动获取信息，汲取知识，发展数学思维，学习数学语言的途径之一．请你先阅读下面的材料，然后再根据要求解答提出的问题： 问题情境：设a，b是有理数，且满足，求的值． 解：由题意得， ∵a，b都是有理数， ∴也是有理数， ∵是无理数， ∴， ∴， ∴ 解决问题：设x，y都是有理数，且满足，求的值． 【答案】8或0 【分析】根据题目中例题的方法，对所求式子进行变形，求出x、y的值，从而可以求得x+y的值． 【详解】解：∵， ∴（x2-2y-8）+（y-4）=0， ∴x2-2y-8=0，y-4=0， 解得，x=±4，y=4， 当x=4，y=4时，x+y=4+4=8， 当x=-4，y=4时，x+y=（-4）+4=0， 即x+y的值是8或0． 【点睛】本题考查实数的运算，解题的关键是明确题目中例题的解答方法，然后运用类比的思想解答所求式子的值． 23．（25-26八年级上·四川眉山·课后作业）【问题提出】倍长中线法是一种重要的解题方法，如图①，在中，是边上的中线，若延长至点E，使，连接，可根据“”证明，则． 【解决问题】如图②，已知和中，，连接是的中点，连接，求证：． 【答案】见解析． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握倍长中线法构造全等三角形，是解题的关键．延长至点F，使得，连接，证明，得到，再证明得到，即可得证． 【详解】证明：如图，延长至点F，使得，连接． 是的中点， ． 在和中， ， ， ， ． ， ． 在和中， ． ． 24．（25-26八年级上·河南鹤壁·阶段练习）如图，已知和都是等边三角形． (1)观察发现：如图①，若点，，在同一条直线上，为线段，的交点，则线段与之间的数量关系为 ； ． (2)如图②，若点，，在同一条直线上，为线段，的交点，为线段，的交点，连接，猜想与的位置关系，并证明． (3)深入探究：如图③，若点，，不在同一条直线上，为线段，的交点．中的结论仍成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． (4)连接，求证：平分． 【答案】(1) ； (2)，见解析 (3)成立．证明见解析 (4)见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理． （1）根据等边三角形的性质得到，证明，即可得到，进而根据三角形内角和计算即可； （2）同（1）可证，得到，进而证明，根据等边三角形的判定和性质求出，得到，即可证明； （3）如图，设与交于点O．根据等边三角形的性质得到，进而得到，证明，得到，进而计算即可； （4）连接，过点C作，垂足分别为M，N， 由（3）得，进而得到，即，得到，根据角平分线的判定定理即可证明． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 在和中，， ∴ ()， ∴ ， ∴ ， 故答案为： ；； （2）同（1）可证， ∴． 在和中， ， ∴ ()， ∴． ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴； （3）成立．证明：如图，设与交于点O． ∵和都是等边三角形， ∴， ∴， 即． 在和中， ， ∴ ()， ∴． ∵， ∴． （4）证明：连接，过点C作，垂足分别为M，N，如图． 由（3）得， ∴， ∴， ∴， ∴平分． 25．（24-25八年级上·四川简阳·阶段练习）【知识回顾】 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值．通常的解题思路是：把x、y看作字母，看作系数，合并同类项．因为代数式的值与的取值无关具体解题过程是：原式， 代数式的值与的取值无关， ，解得． 【理解应用】 （1）若关于的多项式的值与的取值无关，求的值； （2）已知，，且的值与的取值无关，求的值. 【能力提升】 （3）7张如图1的小长方形，长为，宽为，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与的等量关系． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了多项式乘多项式，整式的混合运算，解题关键是掌握整式的相关运算法则． （1）把看作字母，看作系数，合并同类项．得，再令x的系数为0，即可求出的值； （2）根据整式的混合运算法则，先将A、B的代数式代入式子，再进行化简，合并同类项得，然后根据的值与的取值无关，令的系数为0，即可求出的值； （3）设，由图可得，，即可得到关于x的代数式，根据其值不变，令x的系数为0 ，即可求得与的关系． 【详解】解：（1） ， 多项式的值与的取值无关， ∴， 解得； （2）∵，， ∴ ， ∵的值与的取值无关， ∴， 解得； （3）设，由图可知，， ∴， ， ∵当的长变化时，的值始终保持不变． ∴取值与x无关， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中重难点检测卷（提高卷） （满分120分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：10~ 12章（数的开方+整式的乘除+全等三角形全部内容）； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25八年级上·河南新乡·期中）若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，依次按键，对应的计算是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·广西桂林·阶段练习）计算， 结果是（     ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）平面内到不在同一条直线的三个点的距离相等的点有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（25-26八年级上·四川宜宾·阶段练习）数轴上表示，的点分别为，，点是的中点，则点所表示的数是(　　) A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·山西长治·期中）在多项式中添加一个单项式，使得到的多项式能运用完全平方公式分解因式，嘉嘉和琪琪的做法如下： 嘉嘉：添加，得到； 琪琪：添加，得到． 则下列判断正确的是（   ） A．只有嘉嘉的做法正确 B．只有琪琪的做法正确 C．嘉嘉和琪琪的做法都正确 D．嘉琪和琪琪的做法都不正确 6．（2025八年级上·四川眉山·专题练习）如图，已知，分别是的中线和高，且，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）下面是课堂投影屏上显示的抢答题，需要回答横线上序号处缺少的内容．下列回答错误的是（    ） 分解因式：． 解：原式 = A．①填 B．②填 C．该过程用到了提公因式法 D．该过程用到了公式法 8．（24-25八年级上·四川内江·期中）用表示距离最近的正整数．（n为正整数），比如：表示距离最近的正整数，；表示距离最近的正整数，；表示距离最近的正整数，……利用这些发现得到以下结论：①；②；③时，n的值有4个； 三个结论中正确的结论有（   ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 9．（25-26八年级上·四川眉山·阶段练习）如图，，分别是的高和角平分线，与相交于G，平分交于E，交于M，连接交于H，且．有下列结论：①；②是等边三角形；③；④其中，正确的结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（24-25八年级上·四川乐山·期中）“杨辉三角”（如图），是中国古代数学无比睿智的成就之一．用“杨辉三角”可以解释（n为非负整数）计算结果的各项系数规律，如的系数1，2，1恰好对应“杨辉三角”中第3行的3个数，的系数1，3，3，1恰好对应“杨辉三角”中第4项的4个数……，某数学兴趣小组经过仔细观察，还发现（n为非负整数）计算结果的各项次数规律以及其他规律下列结论： ①的计算结果中项的系数为； ②的计算结果中各项系数的绝对值之和为； ③当时，的计算结果为； ④当，除以2024，余数为2023． 上述结论正确的是（   ） A．②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（24-25八年级上·河南周口·期中）若，则的值为 ． 12．（25-26八年级上·吉林长春·阶段练习）对于实数、，定义一种运算：．例如，则求的值为 ． 13．（24-25八年级上·四川眉山·单元测试）某同学在利用完全平方公式进行整式乘法计算时，不小心将墨水滴在了结果上，那么结果“”中被墨水遮住的部分可能是 ． 14．（24-25八年级上·四川乐山·期中）如图，在中，，分别垂直平分边，，交于点，，如果，那么的周长为 ． 15．（24-25八年级上·四川资阳·期中）将1，，，按如图方式排列，若规定表示第排从左向右第个数，则与表示的两数之差是 . 16．（25-26八年级上·四川巴中·期中）在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为的正方形，，是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这张的方格纸中，找出格点，使，则满足条件的格点有 个． 三、解答题（9小题，共72分） 17．（25-26八年级上·河南驻马店·阶段练习）利用因式分解计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 18．（2025八年级上·河南周口·专题练习）已知：如图，在中，，求证：． 19．（24-25八年级上·四川攀枝花·期中）观察下表： 0.0001 0.01 1 100 10000 0.01 0.1 1 10 100 (1)由上表你发现了什么规律？请用语言叙述这个规律：__________________； (2)根据你发现的规律填空：已知． 则___________，___________； 若，则___________； (3)拓展提升： ①已知，则___________； ②已知，则___________． 20．（25-26八年级上·河南南阳·阶段练习）阅读下列两则材料，解决问题： 材料一：比较和的大小． 解：∵，且 ∴，即． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 材料二：比较和的大小 解：∵，且， ∴，即． 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小， 【方法运用】 (1)比较______的大小（填“＞”或者“＜”）； (2)已知，，比较a、b的大小； (3)比较与的大小． 21．（25-26八年级上·四川宜宾·阶段练习）老师给出了下面的题目：如图，在中，，点在上，作，，，垂足分别为、、． (1)求证：． (2)如图，将“在中，，点在上”改成“为等边三角形内一点”，作，，，，垂足分别为、、、有类似结论吗？请写出结论并证明． 22．（24-25八年级上·四川遂宁·阶段练习）数学阅读是学生个体根据已有的知识经验，通过阅读数学材料建构数学意义和方法的学习活动，是学生主动获取信息，汲取知识，发展数学思维，学习数学语言的途径之一．请你先阅读下面的材料，然后再根据要求解答提出的问题： 问题情境：设a，b是有理数，且满足，求的值． 解：由题意得， ∵a，b都是有理数， ∴也是有理数， ∵是无理数， ∴， ∴， ∴ 解决问题：设x，y都是有理数，且满足，求的值． 23．（25-26八年级上·四川眉山·课后作业）【问题提出】倍长中线法是一种重要的解题方法，如图①，在中，是边上的中线，若延长至点E，使，连接，可根据“”证明，则． 【解决问题】如图②，已知和中，，连接是的中点，连接，求证：． 24．（25-26八年级上·河南鹤壁·阶段练习）如图，已知和都是等边三角形． (1)观察发现：如图①，若点，，在同一条直线上，为线段，的交点，则线段与之间的数量关系为 ； ． (2)如图②，若点，，在同一条直线上，为线段，的交点，为线段，的交点，连接，猜想与的位置关系，并证明． (3)深入探究：如图③，若点，，不在同一条直线上，为线段，的交点．中的结论仍成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． (4)连接，求证：平分． 25．（24-25八年级上·四川简阳·阶段练习）【知识回顾】 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值．通常的解题思路是：把x、y看作字母，看作系数，合并同类项．因为代数式的值与的取值无关具体解题过程是：原式， 代数式的值与的取值无关， ，解得． 【理解应用】 （1）若关于的多项式的值与的取值无关，求的值； （2）已知，，且的值与的取值无关，求的值. 【能力提升】 （3）7张如图1的小长方形，长为，宽为，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与的等量关系． 学科网（北京）股份有限公司 $