期中重难点检测卷（培优卷）（考试范围：10～12章 数的开方+整式的乘除+全等三角形全部内容）-2025-2026学年华东师大版八年级数学上册重难点专题提升精讲精练

期中重难点检测卷（培优卷） （满分120分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：10~ 12章（数的开方+整式的乘除+全等三角形全部内容）； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26八年级上·福建厦门·阶段练习）在实数（每两个1之间0的个数依次增加1）中，无理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题主要考查了无理数的定义．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．有限小数和无限循环小数是有理数而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：在实数 (每两个1之间0的个数依次增加1)中，无理数有 (每两个1之间0的个数依次增加1)，一共3个． 故选C． 2．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）计算的结果为（   ） A．2 B． C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根，根据算术平方根的定义进行解答即可． 【详解】解：， 故选：C． 3．（24-25八年级上·山西长治·期中）计算的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解以及有理数的乘方运算，熟练掌握提取公因式法因式分解和乘方的符号法则是解题的关键． 先将转化为，再提取公因式进行因式分解，计算即可得解． 【详解】解： ， 故选：A． 4．（2025八年级上·广西桂林·模拟预测）已知，则（   ） A．1 B．2021 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是幂的乘方逆运算、积的乘方的逆运算的应用及代数式求值，先得出，进而求出，再整体法代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：C． 5．（24-25八年级上·四川内江·期中）观察下图，有一边为m的三个长方形拼在一起，用不同的方法表示整个图形的面积，可以说明下列哪个等式成立（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了多项式乘法的几何背景，解题的关键是通过几何图形之间面积的数量进行求解． 用不同的方法表示长方形的面积即可得出结果． 【详解】解：∵长方形面积=三个小长方形面积的和， ∴， 故选：A． 6．（24-25八年级上·四川资阳·期中）下面是“作的平分线”的尺规作图过程：该尺规作图可直接利用三角形全等说明，其中三角形全等的依据是（ ） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【答案】A 【分析】本题考查了作图-基本作图，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 根据SSS证明三角形全等． 【详解】解：连接，， 由作图得：，，， ≌， ． 故选：． 7．（25-26八年级上·湖南衡阳·课后作业）如图，点E在外部，点D在BC边上，DE交AC于F，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题需要根据已知条件，利用三角形全等的判定定理证明三角形全等，再根据全等三角形的性质对各个选项进行判断。首先通过角的关系得到相等的角，再结合已知的边和角相等，证明三角形全等．本题考查了三角形全等的判定定理以及全等三角形的性质，掌握定理和全等三角形对应边相等的性质是解题的关键． 【详解】∵ ∴，即 ∵在和中： ∴ ∴，所以选项B成立，符合题意； 选项A：与不满足全等的条件，所以该选项错误； 选项C：仅根据已知条件无法得出，所以该选项错误； 选项D：与不满足相等的条件，所以该选项错误． 故选：B 8．（24-25八年级上·广西崇左·阶段练习）课堂上老师提出一个问题：“一个数是74088，它的立方根是多少？”小明脱口而出：“42”．老师十分惊奇，忙问计算的奥妙．小明给出以下方法： ①由103＝1000，1003＝1000000，能确定是两位数； ②由74088的个位上的数是8，因为，能确定的个位上的数是2； ③如果划去74088后面的三位088得到数74，而，由此能确定的十位上的数是4． （提示：） 已知为整数，请利用以上方法，则的每位数上的数字之和为（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】A 【分析】按照小明的计算方法解答即可． 本题考查了立方根的估算，熟练掌握估算方法是解题的关键． 【详解】解：为整数，根据题意，得 ①由103＝1000，1003＝1000000，能确定是两位数； ②由185193的个位上的数是3，因为，能确定的个位上的数是7； ③如果划去185193后面的三位193得到数185，而，由此能确定的十位上的数是5． 故， 由， 故选：A． 9．（2025八年级上·四川眉山·专题练习）如图，，是线段上的两点，，连接，则图中全等三角形共有（   ） A．4对 B．5对 C．6对 D．7对 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键． 根据全等三角形的判定和性质找出所有全等图形即可． 【详解】解：∵， ∴ ∵在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ∴， 同理可证 ∵在和中， ∴， ∴ 同理可证， ∴ ∵在和中， ∴， 则图中全等三角形共有6对， 故选：C． 10．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）表示由四个互不相等的正整数组成的数组，按以下规则生成新数组：第一个新数组为（相邻两项相乘，最后一项与第一项相乘），第二个新数组由第一个新数组按同样规则生成，以此类推．记，，…，第个新数组的四数之积为（为正整数）．现对于任意正整数，，下列说法： ①； ②当，，，时，在的所有因数中，能被整除但不能被整除的共有个； ③若，是大于的整数，则满足条件的的最小值为． 正确的有（    ）个 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方等．分别求出，，，以此类推即可判断①，求出，列出能被整除但不能被整除的因数，即可判断②，根据求出，结合题意即可求出满足条件的的最小值，判断③，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ， 以此类推，，故①说法错误； ∵，，，， ∴， ∴， 故能被整除但不能被整除的因数有：，，，共有个，故②说法错误； ∵，， ∴， 即， ∵是大于的整数， ∴， ∵，， ∴满足条件的的最小值为，③说法正确． 故选：B． 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（25-26八年级上·四川攀枝花·阶段练习）已知，则 ． 【答案】3 【分析】此题考查了算术平方根的非负性和立方根的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识．先运用算术平方根的非负性确定的值，再代入后运用立方根知识进行求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 解得， ∴ ∴， 故答案为：3． 12．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）把下列各式分解因式，要求直接写出结果 （1） ； （2） ； （3） ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解，即可求解； （2）提取公因式，即可求解； （3）直接利用平方差公式进行因式分解，即可求解． 【详解】解：（1） ， 故答案为：； （2） ， 故答案为：； （3） ， 故答案为：． 13．（24-25八年级上·四川眉山·期中）判断下列句子是否是命题： （1）0是偶数； ； （2）两个锐角的和是钝角； ； （3）画两个相等的角； ； （4）同旁内角互补； ； （5）所有的质数都是奇数吗？ ； （6）两条直线相交，只有一个交点． ， 【答案】 是命题 是命题 不是命题 是命题 不是命题 是命题 【分析】根据命题的定义，即能够判断真假的陈述句叫做命题，依次对每个句子进行判断，看是否符合命题的特征．本题主要考查了命题的定义，熟练掌握命题是能够判断真假的陈述句这一概念是解题的关键． 【详解】解：（1）0是偶数；是命题； （2）两个锐角的和是钝角；是命题； （3）画两个相等的角；不是命题； （4）同旁内角互补；是命题； （5）所有的质数都是奇数吗？不是命题； （6）两条直线相交，只有一个交点，是命题； 故答案为：（1）是命题；（2）是命题；（3）不是命题；（4）是命题；（5）不是命题；（6）是命题． 14．（24-25八年级上·四川内江·期中）规定用符号表示一个实数m的整数部分，表示一个实数m的小数部分，例如：，，按此规定的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查估算无理数的大小，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键．分别估算，的大小后即可求得，，然后将它们相加即可． 【详解】解：，， ，， ，， \=5，， 原式， 故答案为： 15．（24-25八年级上·四川巴中·单元测试）如图，长方体的高为x，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，单项式乘以多项式，正确进行因式分解是解题的关键． 分别对进行因式分解，确定长方体的长、宽、高，再由长方形面积公式求解即可． 【详解】解：由，， ∴长方体的宽为，高为，长为， 故， 故答案为：． 16．（25-26八年级上·陕西汉中·阶段练习）如图，在中，点D，E分别是上的点，连接，在外取一点F（图中的点均在同一平面内），连接，且，，若，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，可证明，得到，根据平角的定义可得的度数，进而可得的度数，再由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（9小题，共72分） 17．（25-26八年级上·吉林长春·阶段练习）把下列各数填到相应的集合里： ，，，，，，，，0，，， 正有理数集合 负分数集合 非负整数集合 【答案】见解析 【分析】此题考查了实数的分类，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．利用正有理数，负分数以及非负整数的定义判断即可得到结果． 【详解】正有理数集合 负分数集合 非负整数集合 18．（25-26八年级上·四川遂宁·课后作业）运用乘法公式计算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理得，根据平方差公式得，再结合完全平方公式进行展开，即可作答． （2）根据平方差公式得，再结合完全平方公式进行展开，合并同类项，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）如图，在中，，点D在的延长线上，且，过点B作，与的垂线交于点E．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理． 由题意得，，利用等量代换得，即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴． 20．（25-26八年级上·四川乐山·阶段练习）阅读材料，并解答问题． 例题：求多项式的最小值． 解：， ，， 多项式的最小值是． (1)请写出例题解答过程中因式分解运用的公式是________； 当取最小值时，______，______． (2)求多项式的最大值． 【答案】(1)完全平方公式，， (2)16 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式以及完全平方数的非负性是解题的关键． （1）观察例题分解过程，确定用到的公式，再根据完全平方数的非负性求出、的值； （2）通过配方法将多项式转化为含有完全平方的形式，再根据完全平方数的非负性求最大值． 【详解】（1）解：过程中使用了完全平方公式． 故答案为：完全平方公式． 原式， 当，时，式子取到最小值， 此时，，，； （2）解：原式 ， ，， ， 即所求最大值为，当且仅当时取到最大值． 21．（24-25八年级上·河南新乡·期中）阅读理解： 同学们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不能全部地写出来，于是小伟用来表示的小数部分，事实上，小伟的表示方法非常有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是的小数部分，又如：，即，的整数部分是2，小数部分是． 请参考小伟思考问题的方法解答： (1)的整数部分是_____，小数部分是______． (2)如果的小数部分是a，的整数部分是b，求的值． (3)已知m是的整数部分，n是其小数部分，直接写出的值． 【答案】(1)， (2)5 (3) 【分析】本题考查了估算无理数的大小和求代数式的值，能估算出无理数的大小是解此题的关键． （1）先估算出的范围，再求解即可； （2）先估算出和的范围，再求出、的值，最后求出代数式的值即可； （3）先求出的范围，再求出、的值，最后代入求出即可． 【详解】（1）解：， ， 的整数部分是3，小数部分是， 故答案为：3，； （2）解：，， ，， ，， ； （3）解：， ， ，， ． 22．（24-25八年级上·福建龙岩·期中）阅读以下材料：利用整式的乘法知识，我们可以证明以下有趣的结论：“将两个有理数的平方和与另两个有理数的平方和相乘，得到的乘积仍然可以表示成两个有理数的平方和” 设为有理数，则 请你解决以下问题 (1)填空：（ ） (2)根据阅读材料，仿照这个过程将820写成两个正整数的平方和 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据材料的变形过程可得结论； （2）根据材料的形式依次计算可得结论． 本题考查多项式乘以多项式和完全平方公式的计算，解答本题的关键是明确题意，找出题目中的式子的规律，写出相应的结论并进行验证． 【详解】（1）解： 故答案为：； （2）． 23．（24-25八年级上·四川眉山·单元测试）已知与均为等边三角形，点在的同侧．   (1)如图，点在上，写出线段之间的数量关系，并证明； (2)如图，若点在的延长线上，其他条件不变，直接写出之间的数量关系． 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】（）根据等边三角形的性质得到，，，，进而得到，再根据“”证明得到，进而根据线段的和差关系即可求证； （）同理（）解答即可求解； 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：，证明如下：   ∵为等边三角形， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， 即， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 和是等边三角形， ，，， ，即， ， ∴， ∴， ∴． 24．（25-26八年级上·河南南阳·阶段练习）【知识回顾】数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题。 【拓展探究】如图，图①是个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀将其均分成四个小长方形，然后按如图②的形状拼成一个正方形． （1）如图②，请用两种不同的方法表示阴影部分的面积： 方法1：，方法2：______，由此可以得出，，之间的等量关系是______； 如图③，请用两种不同的方法表示这个几何体的体积： 方法1：，方法2：____________，由此可得恒等式：______． 【迁移运用】（2）若，，求的值． （3）若，，求的值． 【答案】（1）；；；；；．（2）；（3） 【分析】考查完全平方公式以及多项式的乘法与图形面积，从整体和局部两种情况分析并写出面积以及体积的表达式是解题的关键， （1）依据图形的特点，分为两种方法，一种依据边长运用面积公式直接求面积，另一种用大正方形的面积减去四个小矩形的面积，再根据两种方法面积相等即可得到数量关系；方法1：根据正方体的体积公式，正方体的边长的立方就是正方体的体积；方法2：2个正方体和6个长方体的体积和就是大长方体的体积，由此即可得到结论： (2）根据进行求解即可; (3）根据进行求解即可. 【详解】（1）方法1：阴影部分是边长为的正方形，则其面积为； 方法2：阴影面积是大正方形面积减去四个长方形面积，则其面积为， ∵两种表示方法的面积相等，∴． 方法1：大正方体棱长为，∴其体积为， 方法2：大正方体体积是所有长方体和所有小正方体的体积和，即， ∴． 故答案为：；；；；；． （2）∵，，， ∴， ∴； （3）∵，，， ∴． 25．（25-26八年级上·四川遂宁·阶段练习）在学习角平分线性质的过程中，首先要探究角平分线的作图方法，请阅读下列材料，回答问题： （一）已知：为锐角三角形，求作：的平分线． 作法：①以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点； ②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点； ③画射线，则射线即为所求． （1）如图1，射线就是的角平分线的依据是______； A．   B．    C．    D． （2）课后老师留了一道思考题：在不限于圆规、直尺的条件下，思考还有没有其他作角平分线的方法？ 下面是两位同学给出的两种方法： ①甲同学：用三角板按下面方法画角平分线：如图2，在已知的边，上分别取，再分别过点，作，的垂线，两垂线交于点，画射线，则平分． 请你帮这位同学证明：平分； ②乙同学：用圆规和直尺按下面方法画角平分线：如图3，以点为圆心，以任意长为半径画弧与，分别交于点，，再以任意长为半径画弧与，分别交于点，，连接，交于点，画射线，则平分．你认为同学乙的这种作角平分线的方法是否正确：______（填“正确”或“错误”）． ③丙同学：如图4，把直尺的一边落在的边上，沿直尺的另一边画出直线，再把直尺的一边落在的边上，沿直尺的另一边画出直线；与相交于点，连接，则是的角平分线．你认为丙同学的这种作角平分线的依据是：______ （3）你还有什么作角平分线的方法（与以上作法原理不一样）？请用直尺和圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹，写出必要的文字说明． （二）请用直尺和圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．写出必要的文字说明 如图，在边上找一点，使点到点的距离等于点到边的距离． 【答案】（一）（1）C；（2）①见解析；②正确；③角平分线的判定定理；（3）见解析；（二） 【分析】（一）（1）连接，，由作图可得，，证明得出，即可得解； （2）①由作法可得，证明，得出，即可得证； ②由作法可得，，，从而得出，证明，得出证明，得出，最后证明，得出，即可得解； ③根据角平分线的判定进行求解即可； （3）以点O为圆心，任意长为半径画弧，交于点C，交于点D，连接，作线段的垂直平分线，交于点P，则过点O，即为的平分线； （二）延长，过点B作，交的延长线于点D，作的角平分线，交于点E，则点E即为所求作的点． 【详解】解：（一）（1）连接，， 由作法可得，， ∵， ∴， ∴， ∴射线就是的角平分线的依据是， 故选：C； （2）①证明：由作法可得，， ∵， ∴， ∴， ∴平分； ②正确，理由如下： 由作法可得，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即平分； ③根据作图可知：点P到的距离等于直尺的宽度，点P到的距离等于直尺的宽度， ∵直尺的宽度不变， ∴点P到的距离等于点P到的距离， ∵到角的两边距离相等的点在角的平分线上， ∴平分， 即丙同学的这种作角平分线的依据是角平分线的判定定理； （3）以点O为圆心，任意长为半径画弧，交于点C，交于点D，连接，作线段的垂直平分线，交于点P，则过点O，即为的平分线； 根据作图可知：，垂直平分， ∵到线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上， ∴此时的垂直平分线过点O， ∵，， ∴根据等腰三角形三线合一可知，平分． （二）如图，点E即为所求作的点． 根据作图可知：，平分， 因为角平分线上点到角的两边距离相等，所以点E到的距离等于点E到的距离， 即点E到点B的距离等于点E到的距离． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定、等腰三角形的性质，尺规作角平分线和垂直平分线，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中重难点检测卷（培优卷） （满分120分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：10~ 12章（数的开方+整式的乘除+全等三角形全部内容）； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26八年级上·福建厦门·阶段练习）在实数（每两个1之间0的个数依次增加1）中，无理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）计算的结果为（   ） A．2 B． C．4 D．8 3．（24-25八年级上·山西长治·期中）计算的结果是（ ） A． B． C． D． 4．（2025八年级上·广西桂林·模拟预测）已知，则（   ） A．1 B．2021 C． D． 5．（24-25八年级上·四川内江·期中）观察下图，有一边为m的三个长方形拼在一起，用不同的方法表示整个图形的面积，可以说明下列哪个等式成立（　　） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·四川资阳·期中）下面是“作的平分线”的尺规作图过程：该尺规作图可直接利用三角形全等说明，其中三角形全等的依据是（ ） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 7．（25-26八年级上·湖南衡阳·课后作业）如图，点E在外部，点D在BC边上，DE交AC于F，若，，，则（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·广西崇左·阶段练习）课堂上老师提出一个问题：“一个数是74088，它的立方根是多少？”小明脱口而出：“42”．老师十分惊奇，忙问计算的奥妙．小明给出以下方法： ①由103＝1000，1003＝1000000，能确定是两位数； ②由74088的个位上的数是8，因为，能确定的个位上的数是2； ③如果划去74088后面的三位088得到数74，而，由此能确定的十位上的数是4． （提示：） 已知为整数，请利用以上方法，则的每位数上的数字之和为（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 9．（2025八年级上·四川眉山·专题练习）如图，，是线段上的两点，，连接，则图中全等三角形共有（   ） A．4对 B．5对 C．6对 D．7对 10．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）表示由四个互不相等的正整数组成的数组，按以下规则生成新数组：第一个新数组为（相邻两项相乘，最后一项与第一项相乘），第二个新数组由第一个新数组按同样规则生成，以此类推．记，，…，第个新数组的四数之积为（为正整数）．现对于任意正整数，，下列说法： ①； ②当，，，时，在的所有因数中，能被整除但不能被整除的共有个； ③若，是大于的整数，则满足条件的的最小值为． 正确的有（    ）个 A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（25-26八年级上·四川攀枝花·阶段练习）已知，则 ． 12．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）把下列各式分解因式，要求直接写出结果 （1） ； （2） ； （3） ． 13．（24-25八年级上·四川眉山·期中）判断下列句子是否是命题： （1）0是偶数； ； （2）两个锐角的和是钝角； ； （3）画两个相等的角； ； （4）同旁内角互补； ； （5）所有的质数都是奇数吗？ ； （6）两条直线相交，只有一个交点． ， 14．（24-25八年级上·四川内江·期中）规定用符号表示一个实数m的整数部分，表示一个实数m的小数部分，例如：，，按此规定的值为 ． 15．（24-25八年级上·四川巴中·单元测试）如图，长方体的高为x，，则 ． 16．（25-26八年级上·陕西汉中·阶段练习）如图，在中，点D，E分别是上的点，连接，在外取一点F（图中的点均在同一平面内），连接，且，，若，，则的度数是 ． 三、解答题（9小题，共72分） 17．（25-26八年级上·吉林长春·阶段练习）把下列各数填到相应的集合里： ，，，，，，，，0，，， 正有理数集合 负分数集合 非负整数集合 18．（25-26八年级上·四川遂宁·课后作业）运用乘法公式计算． (1)； (2)． 19．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）如图，在中，，点D在的延长线上，且，过点B作，与的垂线交于点E．求证：． 20．（25-26八年级上·四川乐山·阶段练习）阅读材料，并解答问题． 例题：求多项式的最小值． 解：， ，， 多项式的最小值是． (1)请写出例题解答过程中因式分解运用的公式是________； 当取最小值时，______，______． (2)求多项式的最大值． 21．（24-25八年级上·河南新乡·期中）阅读理解： 同学们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不能全部地写出来，于是小伟用来表示的小数部分，事实上，小伟的表示方法非常有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是的小数部分，又如：，即，的整数部分是2，小数部分是． 请参考小伟思考问题的方法解答： (1)的整数部分是_____，小数部分是______． (2)如果的小数部分是a，的整数部分是b，求的值． (3)已知m是的整数部分，n是其小数部分，直接写出的值． 22．（24-25八年级上·福建龙岩·期中）阅读以下材料：利用整式的乘法知识，我们可以证明以下有趣的结论：“将两个有理数的平方和与另两个有理数的平方和相乘，得到的乘积仍然可以表示成两个有理数的平方和” 设为有理数，则 请你解决以下问题 (1)填空：（ ） (2)根据阅读材料，仿照这个过程将820写成两个正整数的平方和 23．（24-25八年级上·四川眉山·单元测试）已知与均为等边三角形，点在的同侧．   (1)如图，点在上，写出线段之间的数量关系，并证明； (2)如图，若点在的延长线上，其他条件不变，直接写出之间的数量关系． 24．（25-26八年级上·河南南阳·阶段练习）【知识回顾】数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题。 【拓展探究】如图，图①是个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀将其均分成四个小长方形，然后按如图②的形状拼成一个正方形． （1）如图②，请用两种不同的方法表示阴影部分的面积： 方法1：，方法2：______，由此可以得出，，之间的等量关系是______； 如图③，请用两种不同的方法表示这个几何体的体积： 方法1：，方法2：____________，由此可得恒等式：______． 【迁移运用】（2）若，，求的值． （3）若，，求的值． 25．（25-26八年级上·四川遂宁·阶段练习）在学习角平分线性质的过程中，首先要探究角平分线的作图方法，请阅读下列材料，回答问题： （一）已知：为锐角三角形，求作：的平分线． 作法：①以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点； ②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点； ③画射线，则射线即为所求． （1）如图1，射线就是的角平分线的依据是______； A．   B．    C．    D． （2）课后老师留了一道思考题：在不限于圆规、直尺的条件下，思考还有没有其他作角平分线的方法？ 下面是两位同学给出的两种方法： ①甲同学：用三角板按下面方法画角平分线：如图2，在已知的边，上分别取，再分别过点，作，的垂线，两垂线交于点，画射线，则平分． 请你帮这位同学证明：平分； ②乙同学：用圆规和直尺按下面方法画角平分线：如图3，以点为圆心，以任意长为半径画弧与，分别交于点，，再以任意长为半径画弧与，分别交于点，，连接，交于点，画射线，则平分．你认为同学乙的这种作角平分线的方法是否正确：______（填“正确”或“错误”）． ③丙同学：如图4，把直尺的一边落在的边上，沿直尺的另一边画出直线，再把直尺的一边落在的边上，沿直尺的另一边画出直线；与相交于点，连接，则是的角平分线．你认为丙同学的这种作角平分线的依据是：______ （3）你还有什么作角平分线的方法（与以上作法原理不一样）？请用直尺和圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹，写出必要的文字说明． （二）请用直尺和圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．写出必要的文字说明 如图，在边上找一点，使点到点的距离等于点到边的距离． 学科网（北京）股份有限公司 $