精品解析：湖南省长沙市岳麓实验中学2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题

长沙市岳麓实验中学高三10月月考数学试卷 一、单选题 1. 已知集合 ，若 ，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 3. 已知向量，且，则（ ） A. 1 B. 5 C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 若将一个表面积为的铁球熔铸成一个高为9cm的实心圆锥（熔铸过程中损耗忽略不计），则该圆锥的底面半径为（ ） A. 2cm B. C. 3cm D. 6. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列命题正确的是（ ） A. 两个随机变量的线性相关性越强，则样本相关系数越接近于1 B. 对具有线性相关关系的变量，，有一组观测数据，其经验回归方程是，且，则实数的值是 C. 已知随机变量的方差为4，则的标准差是6 D. 已知随机变量，若，则 10. 已知函数是函数的一个极值点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数在区间上单调递减 C. 过点能作两条不同的直线与相切 D. 函数有5个零点 11. 已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，抛物线上一点到点的距离为，点，是抛物线上的两点，点是的中点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则点到轴的距离为 C. 若延长线交轴于，且是的中点，则 D. 当取最小值时， 三、填空题 12. 已知抛物线的准线为，点在上，直线，点到直线的距离与到直线的距离之和的最小值是_________. 13. 已知函数（为自然对数的底数），若在上恒成立，则实数的取值范围是__________. 14. 已知样本相关系数，则成对样本数据，，，，的相关系数为______. 四、解答题 15. 在中，内角，，的对边分别为，，，且，. （1）求角和； （2）已知，设、为线段上的两个动点（靠近点），且. ①若，求的周长； ②当为何值时，的面积最小，最小面积是多少？ 16. 已知椭圆上任意一点到的两个焦点的距离之和为. （1）求的方程； （2）已知直线与相交于A，B两点，若，求的值. 17. 如图，四棱锥的底面是矩形，平面，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知函数，． （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）求函数的单调增区间； （3）若存在极大值点，求证：． 19. 在数列中，，． （1）证明：数列是等差数列； （2）求的通项公式； （3）若，求数列的前项和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长沙市岳麓实验中学高三10月月考数学试卷 一、单选题 1. 已知集合 ，若 ，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式求得，由已知可得，进而可求实数 的取值范围. 【详解】由，可得，解得， 所以，由，可得， 又，所以， 所以实数 的取值范围是. 故选：A. 2. 已知，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的运算性质得到，再利用复数的模长公式求解即可. 【详解】由题意得， 由复数的模长公式得，故C正确. 故选：C 3. 已知向量，且，则（ ） A. 1 B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示解方程即可. 【详解】解：因为，所以， 因为， 所以，，解得． 故选：B． 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用诱导公式将目标式化为，再利用二倍角的余弦公式求解即可. 【详解】由题意结合诱导公式得， 由二倍角的余弦公式得，故B正确. 故选：B 5. 若将一个表面积为的铁球熔铸成一个高为9cm的实心圆锥（熔铸过程中损耗忽略不计），则该圆锥的底面半径为（ ） A. 2cm B. C. 3cm D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出铁球的半径，再结合等体积法即可求解. 【详解】设所求为，铁球的半径为，则，解得， 所以，解得. 故选：B. 6. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数以及幂函数的单调性，结合分界点处两函数的单调性与整体保持一致列不等式求解即可. 【详解】因为在上单调递增，所以只需要 解得． 故选：D． 7. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】正体代入利用正弦函数的单调性结合题意计算可得. 【详解】由，可得， 由题意可得，解得， 因为，所以，所以实数的取值范围是. 故选：A. 8. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过中间值即可比较大小. 【详解】易知， ， ， 所以， 故选：C 二、多选题 9. 下列命题正确的是（ ） A. 两个随机变量的线性相关性越强，则样本相关系数越接近于1 B. 对具有线性相关关系的变量，，有一组观测数据，其经验回归方程是，且，则实数的值是 C. 已知随机变量的方差为4，则的标准差是6 D. 已知随机变量，若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】由相关系数的性质可得A错误；由样本中心点计算相关系数可得B正确；由方差的性质可得C正确；由正态分布的对称性可得D错误. 【详解】对于A，两个随机变量的线性相关性越强，则样本相关系数的绝对值越接近于1．所以A错误； 对于B，，，所以，所以，B正确； 对于C，已知随机变量的方差为4，则的方差是，所以标准差为，故C正确； 对于D，由，由对称性可得， 所以，所以D错误. 故选：BC． 10. 已知函数是函数的一个极值点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数在区间上单调递减 C. 过点能作两条不同的直线与相切 D. 函数有5个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】首先根据函数的极值点求参数的值，再利用导数求函数的单调性，判断AB，利用导数的几何意义求过点的切线方程，根据切点的个数，判断切线的条数，判断C，首先根据，利用数形结合确定的范围，再结合图象确定的零点个数，即可判断D. 【详解】对于A中，由函数，可得， 因为是函数的一个极值点，可得， 解得，经检验适合题意，所以A正确： 对于B中，由，令，解得或， 当时，：当时，；当时，， 故在区间上递增，在区间上递减，在区间上递增，所以B正确： 对于C中，设过点且与函数相切的切点为， 则该切线方程为， 由于切点满足直线方程，则， 整理得，解得，所以只能作一条切线，所以C错误： 对于D中，令，则的根有三个，如图所示，， 所以方程有3个不同根，方程和均有1个根， 故有5个零点，所以D正确. 故选：ABD. 11. 已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，抛物线上一点到点的距离为，点，是抛物线上的两点，点是的中点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则点到轴的距离为 C. 若延长线交轴于，且是的中点，则 D. 当取最小值时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据抛物线的定义可求出的值可判断A；利用抛物线的定义转化为梯形中边之间的关系可判断B；根据是的中点求出的横坐标，结合抛物线的定义可判断C；利用抛物线的定义将取最小值转化为最大，即直线与抛物线相切，联立直线方程和抛物线方程，令，求解即可判断D. 【详解】过点分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为， 连接，如图： 对于A，由题知，，所以，，故A正确； 对于B，因为点是的中点，所以是梯形的中位线， 所以， 所以点到轴的距离为，故B错误； 对于C， ，设，， 因为是的中点，则， 所以，故C正确； 对于D，， 所以当最大时，即直线与抛物线相切时，取最小值， 易知直线的斜率不为0，， 设直线：， 则，消去得， 则，解得，， 所以当直线为或时，取最小值， 此时，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12. 已知抛物线的准线为，点在上，直线，点到直线的距离与到直线的距离之和的最小值是_________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据抛物线的定义，把问题转化为点到直线的距离求解. 【详解】由题意，抛物线的焦点为， 由抛物线的定义知，点到直线的距离等于点到点的距离， 因此点到直线的距离与到直线的距离之和的最小值， 即为点到直线的距离，即为. 故答案为：3 13. 已知函数（为自然对数的底数），若在上恒成立，则实数的取值范围是__________. 【答案】. 【解析】 【分析】根据题意得，令，求导求最值即可. 【详解】由已知在上恒成立， 所以在上恒成立， 故，其中， 令，则， 令，解得，令，解得， 故在上单调递减，在上单调递增， 故， 故.所以的取值范围是. 故答案为：. 14. 已知样本相关系数，则成对样本数据，，，，的相关系数为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据相关系数的计算公式分别计算数据即可. 【详解】因为，， 则， ， 所以. 故答案为：. 四、解答题 15. 在中，内角，，的对边分别为，，，且，. （1）求角和； （2）已知，设、为线段上的两个动点（靠近点），且. ①若，求的周长； ②当为何值时，的面积最小，最小面积是多少？ 【答案】（1）， （2）①；②当，的面积取最小值 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，即可求出，由余弦定理及已知条件得到，再由正弦定理将边化角，即可求出； （2）①利用余弦定理可求出的长，推导出，可求出、的长，即可得出的周长； ②设，由正弦定理得出，利用三角形的面积公式结合三角恒等变换、三角函数的基本性质可求出面积的最小值及其对应的值. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得， 又，所以，则，又，所以； 因为，由余弦定理可得, 即，由正弦定理可得， 所以， 则， 所以， 即，即，即， 又，所以，所以，则； 【小问2详解】 ①由（1）可知， 因为，由正弦定理，所以，， 在中，由余弦定理可得 ，则， 因为，所以， ∵，∴， ∴，∴的周长为. ②设， 在中，， 由正弦定理，得， 又在中，由正弦定理可得，得， 所以 ， 所以当且仅当，即时，的面积取最小值为. 16. 已知椭圆上任意一点到的两个焦点的距离之和为. （1）求的方程； （2）已知直线与相交于A，B两点，若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得到关于的方程组，解出即可； （2）先联立直线方程和椭圆方程，得出根与系数的关系，再结合弦长公式代入计算求解参数. 【小问1详解】 由题意可得，解得， 故的方程为. 【小问2详解】 联立，得. ，解得. 设，则， ， 解得，即的值为. 17. 如图，四棱锥的底面是矩形，平面，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明：因为，为的中点，所以， 因为四棱锥的底面是矩形，所以， 所以与相似，故， 因为，所以，故， 因为底面，底面，所以， 因为，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形相似证得，结合线面垂直的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，利用向量法求解夹角余弦值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，平面，所以，， 因为四棱锥的底面是矩形，所以. 以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，， 所以，，. 因为平面，所以平面的法向量为， 设平面的法向量为， 则即 令，则，，此时， 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 18. 已知函数，． （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）求函数的单调增区间； （3）若存在极大值点，求证：． 【答案】（1） （2） 当时，函数的单调增区间为和； 当时，函数的单调增区间为； 当时，函数的单调增区间为和 （3） 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减， 的极大值为； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减， 的极大值为， ，，，； 当时，在单调递增，此时无极值，不合题意； 综上，若存在极大值点，则． 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而可求出切线的方程； （2）求导，分情况讨论函数的单调递增区间； （3）利用函数的单调性求出函数的极大值，根据的取值范围进而可证明. 【小问1详解】 若，则，，， 曲线在处切线的斜率， 曲线在处的切线方程为； 【小问2详解】 ，定义域为， ， 当时，令，得或， 函数的单调增区间为和； 当时，，函数的单调增区间为； 当时，令，得或， 函数的单调增区间为和． 综上，当时，函数的单调增区间为和； 当时，函数的单调增区间为； 当时，函数的单调增区间为和； 【小问3详解】 略 19. 在数列中，，． （1）证明：数列是等差数列； （2）求的通项公式； （3）若，求数列的前项和． 【答案】（1） 因为，所以， 所以． 因为，所以， 所以数列是首项是，公差为1的等差数列． （2）． （3）． 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的定义进行运算证明即可； （2）根据（1）的结论，结合等差数列的通项公式进行求解即可； （3）利用分组求和法，结合等差数列和等比数列的前项和进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得， 则，故． 【小问3详解】 由（2）可得， 则 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $