专题05 函数的基本性质（单调性、奇偶性、对称性、周期性）9考点复习指南（讲+练）-【题海探秘】2025-2026学年高一上学期数学期中考考点复习指南（人教A版2019必修第一册）

2025-2026高一上学期数学期中考考点复习指南（人教A版2019必修第一册） 专题05 函数的基本性质（单调性、奇偶性、对称性、周期性）9考点复习指南 知识1：函数的图象 1.1、函数图象的平移变换（左“+”右“-”；上“+”下“-”） ① ② ③ ④ 注：左右平移只能单独一个加或者减，注意当前系数不为1,需将系数提取到外面. 1.2、函数图象的对称变换 ①的图象的图象； ②的图象的图象； ③的图象的图象； 1.3、函数图象的翻折变换（绝对值变换） ①的图象的图象； （口诀；以轴为界，保留轴上方的图象；将轴下方的图象翻折到轴上方） ②的图象的图象. （口诀；以轴为界，去掉轴左侧的图象，保留轴右侧的图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧；本质是个偶函数） 知识回顾2：函数的单调性 2.1增函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有， 那么就称函数在区间上单调递增.（如图：图象从左到右是上升的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是增函数(increasing function). 2.2减函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有， 那么就称函数在区间上是单调递减.（如图：图象从左到右是下降的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是减函数(decreasing function). 知识回顾3：函数的奇偶性 3.1偶函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数. 3.2奇函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数. 知识回顾4：函数奇偶性的判断 4.1定义法： （1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称. （2）求，根据与的关系，判断的奇偶性： ①若是奇函数 ②若是偶函数 ③若既是奇函数又是偶函数 ④若既不是奇函数也不是偶函数 4.2图象法： （1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称. （2）若的图象关于轴对称是偶函数 （3）若的图象关于原点对称是奇函数 4.3性质法： ，在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 常用解题技巧 1.求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间. 2.（1）函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性. （2）函数y＝f（g（x））的单调性应根据外层函数y＝f（t）和内层函数t＝g（x）的单调性判断，遵循“同增异减”的原则. 易错警示　函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”或“和”连接，不要用“∪”. 3.函数最值的三种基本方法： （1）单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. （2）图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值. （3）基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. 4.函数单调性的应用： （1）比较函数值的大小时，转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决. （2）求解函数不等式时，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域. （3）利用单调性求参数的取值（范围）.根据其单调性直接构建参数满足的方程（组）（不等式（组））或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值. 5.判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件 （1）定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数． （2）判断f（x）与f（－x）是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式（f（x）＋f（－x）＝0（奇函数）或f（x）－f（－x）＝0（偶函数））是否成立． 6.奇偶性应用 （1）利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值． （2）利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题． 考点1函数图象识别 1．（2025高一·上海徐汇·期中）函数的图象不可能是（    ） A． B． C． D． 2．（2025高一·天津河北·期中）函数 的图象大致是（    ） A． B． C． D． 3．（2025高二·江苏常州·期中）函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 4．（2025高二·浙江温州·期中）函数（为自然常数）的大致图像是（   ） A．B． C．D． 5．（2025高二·湖北·期中）已知函数，则的图象大致为（   ） A． B． C． D． 考点2 判断并证明函数的单调性 6．（2025高一·广东汕头·期中）已知函数. (1)函数单调性的定义证明：函数在上单调递增； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 7．（2025高一·福建厦门·期中）函数是定义在上的奇函数，且 (1)求的解析式； (2)证明在上为增函数； (3)解不等式. 8．（2025高一·福建泉州·期中）已知函数． (1)求函数的定义域，判断并证明的奇偶性； (2)用单调性定义证明函数在其定义域上是增函数； (3)解不等式． 9．（2025高一·黑龙江佳木斯·期中）已知函数对任意的，都有，且当时，． (1)求证：是上的增函数； (2)若，解不等式． 考点3 求函数的单调区间 10．（2025高一·全国·课后作业）函数的单调增区间是（    ）. A． B． C． D．， 11．（2025高一·广东广州·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 12．（2025高三·江苏南通·阶段练习）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 13．（2025高一·吉林长春·期中）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 14．（2025高二·福建南平·期中）函数的单调递增区间是（    ） A． B．和 C． D．和 15．（2025高一·陕西西安·期中）已知函数，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C．和 D．和 16．（2025高一·广东广州·期中）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 考点4 根据函数单调性求参数 17．（2025高一·辽宁大连·期中）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 18．（2025高一·浙江杭州·期中）已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 19．（2025高一·云南德宏·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 20．（2025高三·陕西渭南·阶段练习）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 21．（2025高一·安徽·期中）函数是增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点5 判断函数的奇偶性 22．（2025高一·北京延庆·期中）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 23．（25-26高一·新疆·期中）设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 考点6 利用函数奇偶性求参数，求值 24．（2025高二·浙江金华·期中）已知是定义在上的偶函数，则 . 25．（2025高一·广东汕头·期中）设函数，且为奇函数，则 . 26．（2025高一·江西赣州·期中）若函数是奇函数，则 . 27．（2025高一·湖南·期中）已知是奇函数，则实数a的值是 ． 28．（2025高二·云南玉溪·期中）若函数为偶函数，则实数 . 29．（2025高一·广东惠州·期中）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则 . 30．（2025高一·云南昭通·期中）已知，其中为常数，若，则 . 31．（2025高一·重庆·期中）设函数（）的最大值为，最小值为，则= 考点7 利用函数奇偶性求解析式 32．（2025高一·北京·期中）偶函数在上满足，则当时， ． 33．（2025高三·辽宁丹东·期中）已知函数是偶函数，当时，，则当时， . 34．（2025高一·浙江杭州·期中）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则当时， . 35．（2025高一·天津滨海新·期中）函数是定义在R上的奇函数，当时，，则当时， . 36．（2025高一·上海徐汇·开学考试）设为实数，函数是奇函数，则 ． 37．（2025高一·江苏淮安·期中）已知函数分别为上的偶函数和奇函数，且，若对于任意，任意，使得成立，则的取值范围为 ． 考点8 利用函数的单调性和奇偶性解不等式和比较大小 38．（2025高一·广东江门·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且，若对于任意两个实数且，不等式恒成立，则不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 39．（2025高一·广西·期中）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 40．（2025高一·湖南·期中）已知函数，则使成立的x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 41．（25-26高一·内蒙古·期中）已知函数是定义在上的偶函数，在上有单调性，且，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 42．（2025高一·广东广州·期中）设是定义域为的偶函数，且在上单调递增，则（   ） A． B． C． D． 考点9 函数的对称性和周期性 43．（2025高一·辽宁鞍山·期中）已知定义域为的偶函数满足，则（    ） A．3 B．2 C．6 D．10 44．（25-26高一·云南·期中）已知是定义域为的奇函数，满足，若，则（ ） A． B．1 C．5 D． 45．（2026高三·全国·专题练习）已知函数是定义在上奇函数，且满足，当时，，则当时，的最大值为（   ） A． B． C．1 D．0 46．（2025·河南鹤壁·模拟预测）已知函数的定义域为，若为奇函数，且为偶函数，则（     ） A． B． C． D． 47．（2025高一·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知定义在上的函数满足，当时，.则（   ） A．5 B． C．2 D． 48．（2025高一·河北秦皇岛·期末）已知函数是定义在上周期为4的奇函数，若，则（   ） A．0 B． C． D． 49．（2025高二·辽宁鞍山·期中）已知函数，则函数的图像对称中心是（    ） A． B． C． D． 50．（2025高二·广东东莞·期中）已知定义在R上的函数满足，，当时，，则方程的根个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 51．（2025高二·湖南·期中）已知函数，的定义域均为，且，．若的图像关于直线对称，，则（   ） A．22 B． C． D．24 52．（2025·重庆·模拟预测）已知是定义在的奇函数，且．若，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 53．（2025高一·湖南·期中）已知定义在上的函数满足，若函数与的图象的交点为，，…，，则（    ） A． B．m C．2m D．4m 1．（2025高一·北京·期中）下列函数中为偶函数的是 （    ） A． B． C． D． 2．（2025高一·四川凉山·期末）如果函数在区间上单调递减，那么实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2025高一·云南曲靖·期末）我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的特征，如函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   4．（2025高一·江西抚州·期中）下列四个函数中是偶函数，且在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 5．（2025高一·江苏徐州·期中）设为奇函数，且当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 6．（2025高一·四川成都·期中）函数在区间上是减函数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 7．（2025高一·广东佛山·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用他的名字命名了“高斯函数”.设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，，已知函数，则下列选项中，正确的是（    ） A．的最大值为1，没有最小值 B．的最小值为0，没有最大值 C．没有最大值，没有最小值 D．的最大值为1，最小值为0 8．（2025高一·江苏南京·期末）已知是定义在上的偶函数，对任意，且，都有，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 9．【多选】（2025高一·甘肃庆阳·期中）已知函数在区间上单调，则实数m的值可以是（    ） A．2 B．7 C．14 D．20 10．【多选】（2025高一·广东湛江·期中）下列四个函数中，不具有奇偶性的是（    ） A． B． C． D． 11．【多选】（2025高一·江苏连云港·期中）已知函数为奇函数，且在区间上是增函数，若，则满足的是（    ） A． B． C． D． 12．（2025高一·江苏连云港·期中）函数的单调减区间是 ． 13．（2025高一·广东梅州·期中）函数y=f(x)满足（1）定义域为R；（2）偶函数；（3）在上为减函数.请写出满足上述三个条件的一个函数式 ．（开放题，答案不唯一，正确即可.） 14．（2025高一·吉林延边·期中）设是定义在上的奇函数，则 15．（2025高一·湖南株洲·期末）已知函数是奇函数． (1)求实数a的值； (2)证明在区间上单调递减； (3)解不等式. 16．（2025高一·广西崇左·期中）双碳战略之下，新能源汽车发展成为乘用车市场转型升级的重要方向．根据工信部最新数据显示，截至2022年一季度，我国新能源汽车已累计推广突破1000万辆大关．某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，每生产（千辆）获利（万元），；该公司预计2022年全年其他成本总投入为万元．由市场调研知，该种车销路畅通，供不应求．记2022年的全年利润为（单位：万元）． (1)求函数的解析式； (2)当2022年产量为多少千辆时，该企业利润最大？最大利润是多少？请说明理由． 17．（2025高一·安徽淮北·期中）已知函数，且其定义域为． (1)判定函数的奇偶性； (2)利用单调性的定义证明：在上单调递减； (3)解不等式． 18．（2025高一·福建泉州·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，. (1)求函数在上的解析式； (2)若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026高一上学期数学期中考考点复习指南（人教A版2019必修第一册） 专题05 函数的基本性质（单调性、奇偶性、对称性、周期性）9考点复习指南 知识1：函数的图象 1.1、函数图象的平移变换（左“+”右“-”；上“+”下“-”） ① ② ③ ④ 注：左右平移只能单独一个加或者减，注意当前系数不为1,需将系数提取到外面. 1.2、函数图象的对称变换 ①的图象的图象； ②的图象的图象； ③的图象的图象； 1.3、函数图象的翻折变换（绝对值变换） ①的图象的图象； （口诀；以轴为界，保留轴上方的图象；将轴下方的图象翻折到轴上方） ②的图象的图象. （口诀；以轴为界，去掉轴左侧的图象，保留轴右侧的图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧；本质是个偶函数） 知识回顾2：函数的单调性 2.1增函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有， 那么就称函数在区间上单调递增.（如图：图象从左到右是上升的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是增函数(increasing function). 2.2减函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有， 那么就称函数在区间上是单调递减.（如图：图象从左到右是下降的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是减函数(decreasing function). 知识回顾3：函数的奇偶性 3.1偶函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数. 3.2奇函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数. 知识回顾4：函数奇偶性的判断 4.1定义法： （1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称. （2）求，根据与的关系，判断的奇偶性： ①若是奇函数 ②若是偶函数 ③若既是奇函数又是偶函数 ④若既不是奇函数也不是偶函数 4.2图象法： （1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称. （2）若的图象关于轴对称是偶函数 （3）若的图象关于原点对称是奇函数 4.3性质法： ，在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 常用解题技巧 1.求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间. 2.（1）函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性. （2）函数y＝f（g（x））的单调性应根据外层函数y＝f（t）和内层函数t＝g（x）的单调性判断，遵循“同增异减”的原则. 易错警示　函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”或“和”连接，不要用“∪”. 3.函数最值的三种基本方法： （1）单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. （2）图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值. （3）基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. 4.函数单调性的应用： （1）比较函数值的大小时，转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决. （2）求解函数不等式时，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域. （3）利用单调性求参数的取值（范围）.根据其单调性直接构建参数满足的方程（组）（不等式（组））或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值. 5.判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件 （1）定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数． （2）判断f（x）与f（－x）是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式（f（x）＋f（－x）＝0（奇函数）或f（x）－f（－x）＝0（偶函数））是否成立． 6.奇偶性应用 （1）利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值． （2）利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题． 考点1函数图象识别 1．（2025高一·上海徐汇·期中）函数的图象不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用特殊值，分类讨论，借助反比例函数、对勾函数的图象与性质以及函数单调性的性质进行排除. 【详解】当a＝0时，，为反比例函数，对应D中图象， 当时，是对勾函数，函数为奇函数，且时，在上单调递减，在上单调递增，对应C中图象， 当时，为奇函数，且时，，均单调递减，故在单调递减，对应B中图象， 综上只有A不可能， 故选：A 2．（2025高一·天津河北·期中）函数 的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，求得函数为奇函数，其图象关于原点对称，再求得在上单调递增，在上单调递减，结合选项，即可求解. 【详解】由函数，可得函数的定义域为， 且满足， 所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，可排除A选项， 又由当时，，可得在上单调递增， 当时，，可得在上单调递减， 所以D选项符合题意. 故选：D 3．（2025高二·江苏常州·期中）函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算可得，从而知为偶函数，再由，得解． 【详解】解：函数的定义域为， ，所以为偶函数，排除选项D， 因为，所以选项C正确，AB错误． 故选：C. 4．（2025高二·浙江温州·期中）函数（为自然常数）的大致图像是（   ） A．B． C．D． 【答案】A 【分析】由函数的奇偶性可排除D；由，可排除B；当趋近正无穷时，趋近可排除C，即可得出答案. 【详解】因为的定义为， 所以，所以为奇函数，排除D， 又因为，所以排除B， 当趋近正无穷时，趋近，故C错误. 故选：A. 5．（2025高二·湖北·期中）已知函数，则的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合函数的定义域和的单调性判断即可. 【详解】由题意可得，解得且，即定义域为，可排除D， 设，则， 所以当时，；当时，，即， 所以当时，，可排除A；当，，可排除A， 综上，C为正确选项. 故选：C 考点2 判断并证明函数的单调性 6．（2025高一·广东汕头·期中）已知函数. (1)函数单调性的定义证明：函数在上单调递增； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)最大值为1，最小值为. 【分析】（1）任取，且，然后化简变形，判断符号，从而可得结论； （2）由（1）知在区间上单调递增，从而利用其单调性可求出其最值. 【详解】（1）证明：任取，且， 则 因为，，所以，，， 所以，即， 所以在上单调递增. （2）由（1）知在区间上单调递增， 所以，， 所以函数在区间上的最大值为1，最小值为. 7．（2025高一·福建厦门·期中）函数是定义在上的奇函数，且 (1)求的解析式； (2)证明在上为增函数； (3)解不等式. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据奇函数的定义求得，由求得，即可求解解析式； （2）根据单调性定义，按照步骤证明即可； （3）由奇函数、单调性解不等式得，求解即可. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以，即，解得，此时， 又，所以，解得， 所以； （2）任取，且，则， 因为，所以， 因为，所以，所以， 所以在上为增函数； （3）因为函数是定义在上的奇函数， 所以由，得， 又因为在上为增函数，所以，解得. 所以原不等式的解集为. 8．（2025高一·福建泉州·期中）已知函数． (1)求函数的定义域，判断并证明的奇偶性； (2)用单调性定义证明函数在其定义域上是增函数； (3)解不等式． 【答案】(1)是定义在上的奇函数，证明见解析 (2)证明见解析 (3)． 【分析】（1）利用函数奇偶性定义判断证明； （2）根据函数单调性的定义证明； （3）根据函数的奇偶性、单调性、得到关于的不等式，解不等式即可得结果． 【详解】（1）因为，，函数的定义域为，， 所以. 所以是定义在上的奇函数. （2）任取，且， 则， 因为，所以，又， 所以，即，所以函数在其定义域上是增函数. （3）由，得， 因为函数为奇函数，所以， 所以． 由（2）已证得函数在上是增函数， 所以， 所以. 所以不等式的解集为. 9．（2025高一·黑龙江佳木斯·期中）已知函数对任意的，都有，且当时，． (1)求证：是上的增函数； (2)若，解不等式． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由已知条件结合函数单调性的定义证明； （2）利用赋值法求得，再利用（1）求出的函数单调性解不等式． 【详解】（1）设，且，则，即， ∴， ∴，∴是上的增函数； （2）任意的，都有， 在上式中取，则有， ∵，∴， 于是不等式等价于， 又由（1）知是上的增函数， ∴，解得， ∴原不等式的解集为． 考点3 求函数的单调区间 10．（2025高一·全国·课后作业）函数的单调增区间是（    ）. A． B． C． D．， 【答案】D 【分析】首先求出函数的定义域，再根据反比例函数的性质及函数的变换规则判断即可. 【详解】函数的定义域为， 又的图象是由向右平移个单位而来， 的单调递增区间为，， 所以的单调递增区间为，. 故选：D 11．（2025高一·广东广州·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】现根据解析式有意义的条件求的定义域，然后在定义域内，利用复合函数的单调性法则求得结果. 【详解】要使函数有意义，则， 即，解得或， 函数定义域为. 令，则，在上单调递减， 对称轴为，开口向上， 在上单调递减，在上单调递增， 根据复合函数“同增异减”原则，可知的单调递减区间是. 故选：D. 12．（2025高三·江苏南通·阶段练习）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求得的定义域，利用复合函数的单调性，结合二次函数单调性可得答案. 【详解】函数中，，解得， 又的开口向下，对称轴方程为， 函数在上单调递减，在上单调递增，又在上单调递增， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间是. 故选：A 13．（2025高一·吉林长春·期中）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化函数为分段函数，再结合二次函数单调性求出单调递增区间. 【详解】函数， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递增区间为. 故选：A 14．（2025高二·福建南平·期中）函数的单调递增区间是（    ） A． B．和 C． D．和 【答案】D 【分析】作出的图象，结合图象可得单调区间. 【详解】因为， 作出的图象，如图所示， 由图象可知：函数的单调递增区间是和. 故选：D. 15．（2025高一·陕西西安·期中）已知函数，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C．和 D．和 【答案】C 【分析】作出函数的图象，可得出函数的单调递增区间. 【详解】因为函数的对称轴为直线， 由可得或，作出函数的图象如下图所示： 由图可知，函数的单调递增区间为和. 故选：C. 16．（2025高一·广东广州·期中）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数、二次函数单调性，结合复合函数单调性法则求解即得. 【详解】函数的定义域为R，函数在上单调递减，在单调递增， 而函数在R上单调递减，因此函数在上单调递增，在单调递减， 所以函数的单调递增区间是. 故选：A 考点4 根据函数单调性求参数 17．（2025高一·辽宁大连·期中）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意函数解析式可化为，利用反比例函数图象的平移和性质可得，解不等式即可得到结果. 【详解】由题意得，. ∵函数在区间上单调递减， ∴，解得，即的取值范围是. 故选：C. 18．（2025高一·浙江杭州·期中）已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质得到或，解得即可. 【详解】因为函数在上具有单调性， 所以或，解得或， 即实数的取值范围是. 故选：B 19．（2025高一·云南德宏·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的对称轴，根据函数得单调性求出的范围即可. 【详解】函数， 所以的单调递增区间是，依题意知，， 所以，即实数的取值范围是 故选：D． 20．（2025高三·陕西渭南·阶段练习）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复合函数的单调性，结合对数函数、二次函数的单调性即可求解. 【详解】由于在上单调递减，令，， 因为为减函数，又在区间上单调递增， 由复合函数的单调性法则可知，在上单调递减， 且在上恒成立，因为为二次函数，开口向下， 对称轴为，由在上单调递减，可得，解得， 由在上恒成立，即，， 可得在上恒成立，则， 综上，实数a的取值范围为 故选：D. 21．（2025高一·安徽·期中）函数是增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用一次函数和二次函数的图象和性质及分段函数的单调性求解即可. 【详解】由题意可知当时，单调递增，则①， 当时，是对称轴为，开口向下的抛物线，则②， 因为函数是增函数，所以③， 由①②③解得， 故选：C 考点5 判断函数的奇偶性 22．（2025高一·北京延庆·期中）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数奇偶性的定义判断奇偶性，由幂函数、指数函数、对数函数的单调性判断单调性. 【详解】A选项，，定义域为，关于原点对称， 又因为，所以是偶函数， 因为，由幂函数性质知在上单调递增， 又因为是偶函数，所以在上单调递减，不符合题意； B选项，，定义域为，关于原点对称， 又因为，所以是偶函数， 当时，， 因为，所以在上单调递减，不符合题意； C选项，定义域为，关于原点对称， 因为，所以不是偶函数，不符合题意； D选项，定义域为，关于原点对称， 因为，所以是偶函数， 当时，， 因为，所以在上单调递减， 又因为是偶函数，所以在上单调递增，符合题意. 故选：D. 23．（25-26高一·新疆·期中）设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，写出各项对应函数的解析式，利用函数奇偶性的定义依次判断各项对应函数的奇偶性. 【详解】因为， A：，而，显然不是奇函数，不符； B：，定义域为，显然不关于原点对称，不符； C：，其中且定义域为，易知为奇函数； D：，定义域为，显然不关于原点对称，不符； 故选：C 考点6 利用函数奇偶性求参数，求值 24．（2025高二·浙江金华·期中）已知是定义在上的偶函数，则 . 【答案】 【分析】由偶函数的定义域关于原点对称求出a的值，由偶函数的定义求出b的值，从而可得的值． 【详解】∵函数是定义在上的偶函数， ∴定义域关于原点对称，得，即， ∴，又函数是偶函数， ∴，即，即，可得． 故 故答案为：． 25．（2025高一·广东汕头·期中）设函数，且为奇函数，则 . 【答案】2 【分析】根据奇函数性质得到，代入化简得到答案. 【详解】若函数为奇函数， 则， 解得：. 故答案为：. 26．（2025高一·江西赣州·期中）若函数是奇函数，则 . 【答案】 【分析】根据奇函数的性质来建立关于的方程，进而求解的值. 【详解】已知是奇函数，则. 先求：将替换为，可得. 对进行化简： 因为，所以. 移项可得：. 可得. 故答案为：. 27．（2025高一·湖南·期中）已知是奇函数，则实数a的值是 ． 【答案】2 【分析】主要依据奇函数的性质得到等式，然后通过对数运算性质化简等式，最后求解方程并检验得到符合条件的的值. 【详解】因为为奇函数，所以，即， 化简得，解得或．检验知满足题意，故． 故答案为：2. 28．（2025高二·云南玉溪·期中）若函数为偶函数，则实数 . 【答案】 【分析】根据偶函数的定义，对于定义域内的任意，都有，通过这个等式来求解的值. 【详解】已知为偶函数，则，即. 对进行化简： 将其代入可得： 得到：,可得： 因为上式对于定义域内的任意都成立，所以，解得. 故答案为：. 29．（2025高一·广东惠州·期中）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义求出函数值. 【详解】依题意，. 故答案为： 30．（2025高一·云南昭通·期中）已知，其中为常数，若，则 . 【答案】2 【分析】利用函数的解析式特征，推出，再代值计算即得. 【详解】， . 故答案为：2. 31．（2025高一·重庆·期中）设函数（）的最大值为，最小值为，则= 【答案】4048 【分析】将函数（），化简为（），构造函数（），判断奇偶性，根据奇函数的性质，即可求得答案. 【详解】由题意得 ， 令，（） 则，即为奇函数， 则， 又函数，（）的最大值为，最小值为， 得，则， 故答案为：4048. 考点7 利用函数奇偶性求解析式 32．（2025高一·北京·期中）偶函数在上满足，则当时， ． 【答案】 【分析】利用偶函数的定义求出函数解析式. 【详解】偶函数在上满足， 当时，，所以. 故答案为： 33．（2025高三·辽宁丹东·期中）已知函数是偶函数，当时，，则当时， . 【答案】 【分析】首先设，，根据偶函数的性质，结合的函数的解析式，即可求解. 【详解】当时，可得， 又因为当时，，所以， 因为是偶函数，所以， 所以当时，. 故答案为：. 34．（2025高一·浙江杭州·期中）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则当时， . 【答案】 【分析】根据题意结合奇函数定义求解即可. 【详解】若，则，可得， 又因为函数是定义在R上的奇函数， 所以. 故答案为：. 35．（2025高一·天津滨海新·期中）函数是定义在R上的奇函数，当时，，则当时， . 【答案】 【分析】利用奇函数性质求函数解析式. 【详解】令，则，故， 又，即时. 故答案为： 36．（2025高一·上海徐汇·开学考试）设为实数，函数是奇函数，则 ． 【答案】 【分析】根据定义在上的奇函数的性质可得，进而结合奇函数的定义求解即可. 【详解】由题意，函数在上为奇函数，， 所以，即， 则时，， 所以时，，则，即， 即. 故答案为：. 37．（2025高一·江苏淮安·期中）已知函数分别为上的偶函数和奇函数，且，若对于任意，任意，使得成立，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据题意，由函数的奇偶性可得，的解析式，然后对的范围进行分类讨论，将不等式问题转化为函数最值问题，从而求解. 【详解】由①可得， 又函数分别为上的偶函数和奇函数， 则，， 则②， ①②可得，则， ①②可得，则， 当时，， 当且仅当时，即时，等号成立， 当时，， 其中在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增， 则， ，即， 由任意，使得成立， 当时，则，此时满足对于任意，任意， 使得成立， 当时，可得，即，解得，即， 综上，所以的取值范围为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键在于将的范围分类讨论，转化为函数最值问题. 考点8 利用函数的单调性和奇偶性解不等式和比较大小 38．（2025高一·广东江门·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且，若对于任意两个实数且，不等式恒成立，则不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，确定函数在上单调性，再利用函数的性质求解不等式. 【详解】对于且， 不等式恒成立， 得在上单调递增，又是定义在上的奇函数， 且，则在上单调递增且， 解不等式，得或，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：D 39．（2025高一·广西·期中）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】当时，利用函数的单调性解不等式，再利用是偶函数解不等式即可. 【详解】由对数函数和一次函数的单调可得是增函数，且， 所以当时，的解集为， 因为是奇函数，易知是偶函数，当时，可得， 根据偶函数知：当时，可得， 故选：A. 40．（2025高一·湖南·期中）已知函数，则使成立的x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断函数为偶函数，再由换元法令结合对勾函数的单调性计算可得. 【详解】易知是偶函数， 当时，令，则可转化为， 因为函数在上单调递增，函数是上的增函数， 所以在上单调递增． 由，得，解得． 故选：D 41．（25-26高一·内蒙古·期中）已知函数是定义在上的偶函数，在上有单调性，且，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合函数的奇偶性以及在上有单调性，且，判断函数在上单调递增，由此一一判断各选项，即得答案. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，所以， 由，得，又在上有单调性， 所以在上有单调性，且为严格单调递增， 对于A：由，则，不正确； 对于B：由题意知，且，故，正确； 对于C：由于，，故，不正确； 对于D：由题意知，且，，所以，不正确； 故选：B． 42．（2025高一·广东广州·期中）设是定义域为的偶函数，且在上单调递增，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据偶函数性质得，然后结合指数函数单调性及对数函数的性质得，最后利用的单调性比较大小即可. 【详解】由于为偶函数，则， 因为和为R上的减函数，为上的增函数， 所以， 又，所以， 由于在上单调递增，所以， 即. 故选：D 考点9 函数的对称性和周期性 43．（2025高一·辽宁鞍山·期中）已知定义域为的偶函数满足，则（    ） A．3 B．2 C．6 D．10 【答案】A 【分析】先利用偶函数性质和已知等式得到函数的周期，再根据周期和已知等式计算. 【详解】因为是定义域为的偶函数，所以. 已知，将换为，可得，又因为，所以. 由和可得. 令，则，那么，又因为，所以， 即，所以函数的周期是，所以. 在中，令，可得，即，解得，所以. 故选：A. 44．（25-26高一·云南·期中）已知是定义域为的奇函数，满足，若，则（ ） A． B．1 C．5 D． 【答案】B 【分析】根据已知条件分析出是周期为8的周期函数，然后利用周期性可得，结合已知函数值可求结果. 【详解】因为，所以， 又因为是定义域为的奇函数，所以，且, 所以，则， 所以，则是周期为8的周期函数， 所以，， 因为，所以， 因为， 所以. 故选：B. 45．（2026高三·全国·专题练习）已知函数是定义在上奇函数，且满足，当时，，则当时，的最大值为（   ） A． B． C．1 D．0 【答案】D 【分析】根据条件可得，得到函数的周期，然后得到当时的表达式，最后判断即可. 【详解】由， 因此可以得到：，所以函数的周期为4， 当时，， 故当时， 当时，，所以， 显然当或时，函数的最大值为0. 故选：D 46．（2025·河南鹤壁·模拟预测）已知函数的定义域为，若为奇函数，且为偶函数，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用奇偶函数得到周期为8，且，即可求得结果. 【详解】因为为奇函数，， 令，则，即：①； 令，得到； 因为为偶函数，， ②；结合①②得到：， ，， 所以，所以函数的周期为8， . 故选：A. 47．（2025高一·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知定义在上的函数满足，当时，.则（   ） A．5 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】先求出周期，再利用周期代入即可求值. 【详解】因为，所以, 所以的周期为4，则，又，令得：， 因为当时，，所以，所以. 故选：D 48．（2025高一·河北秦皇岛·期末）已知函数是定义在上周期为4的奇函数，若，则（   ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数周期性及奇偶性可得，由周期性可得，据此可得答案. 【详解】由函数的周期为4，有.又由函数奇函数， 有.可得，故， 又由，可得. 故选：D. 49．（2025高二·辽宁鞍山·期中）已知函数，则函数的图像对称中心是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】任意取函数上的一点，逐项写出其中心对称点，代入函数检验，可得答案. 【详解】任意取函数上一点，则， 对于A，点关于点成中心对成的点为点， ，故A错误； 对于B，点关于点成中心对成的点为点， ，故B错误； 对于C，点关于点成中心对成的点为点， ，故C正确； 对于D，点关于点成中心对成的点为点， ，故D错误. 故选：C. 50．（2025高二·广东东莞·期中）已知定义在R上的函数满足，，当时，，则方程的根个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】根据给定条件，探讨函数的性质，在同一坐标系内画出函数与函数的图象，确定两个图象的交点个数即可． 【详解】由，得函数的图象关于点对称， 由，得，则函数的图象关于直线对称， 且有，则，于是是以4为周期的周期函数， 又当时，，即函数在上单调递增， 又，根据对称性可知，函数在上单调递增， 则在上单调递增，在上单调递减，所以， 由，得， 则方程的根即为函数的图象与直线交点的横坐标， 而直线关于点对称，即函数的图象与直线都关于点对称， 在同一坐标系内作出函数的图象与直线，如图所示： 所以共有5个交点. 故选：A. 51．（2025高二·湖南·期中）已知函数，的定义域均为，且，．若的图像关于直线对称，，则（   ） A．22 B． C． D．24 【答案】C 【分析】根据对称性和已知条件得到，从而得到，，然后根据条件得到的值，再由题意得到从而得到的值即可求解. 【详解】因为的图像关于直线对称， 所以， 因为，所以，即， 因为，所以， 代入得，即， 所以， . 因为，所以，即，所以. 因为，所以，又因为， 联立得，， 所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为， 所以 因为，所以. 所以. 故选：C 52．（2025·重庆·模拟预测）已知是定义在的奇函数，且．若，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】C 【分析】分析可知函数的一个周期为4，结合奇函数可得，，进而可得，，再根据周期性即可得结果. 【详解】因为，可得， 可知函数的一个周期为4， 又因为是定义在的奇函数，则， 则，即， 令，可得； 令，可得，即， 则， 所以. 故选：C. 53．（2025高一·湖南·期中）已知定义在上的函数满足，若函数与的图象的交点为，，…，，则（    ） A． B．m C．2m D．4m 【答案】B 【分析】根据题意，推得函数和的图象都关于点中心对称，得到函数和的图象的交点也关于点对称，得到两个对称点的纵坐标之和为，即可求解. 【详解】由函数满足，可得函数的图象关于点中心对称， 又由函数，可得， 则，所以的图象也关于点中心对称， 所以两个函数和的图象的交点也关于点对称， 则两个对称点的纵坐标之和为，可得. 故选：B. 1．（2025高一·北京·期中）下列函数中为偶函数的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用偶函数的定义，逐项判断即得. 【详解】对于A，函数的定义域为，关于数0不对称，是非奇非偶函数，A不是； 对于B，函数的定义域为，是奇函数，B不是； 对于C，函数的定义域为，，是偶函数，C是； 对于D，函数的定义域为，是奇函数，D不是. 故选：C 2．（2025高一·四川凉山·期末）如果函数在区间上单调递减，那么实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用二次函数的单调性列式计算即得. 【详解】函数的单调递减区间是，依题意，，则，解得， 所以实数k的取值范围是. 故选：D 3．（2025高一·云南曲靖·期末）我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的特征，如函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】判断出函数的奇偶性，排除CD，再利用特殊点的函数值得到正确答案. 【详解】的定义域为R，且， 故为偶函数，排除CD； 又，B错误，A正确. 故选：A 4．（2025高一·江西抚州·期中）下列四个函数中是偶函数，且在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇偶性的定义和单调性的定义求解. 【详解】对于A，是偶函数，当时是增函数； 对于B，是偶函数，当时是增函数； 对于C，，不是偶函数； 对于D，设，则，， 当时，，，是偶函数， 当时，，是对称轴，开口向上的抛物线，是减函数； 故选：D. 5．（2025高一·江苏徐州·期中）设为奇函数，且当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】时函数解析式已知，利用函数为奇函数有，求时的解析式. 【详解】为奇函数，当时，， 则当时，，. 故选：D 6．（2025高一·四川成都·期中）函数在区间上是减函数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的单调性可得最值. 【详解】由函数在区间上是减函数， 可知当时，函数取最小值为， 故选：B. 7．（2025高一·广东佛山·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用他的名字命名了“高斯函数”.设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，，已知函数，则下列选项中，正确的是（    ） A．的最大值为1，没有最小值 B．的最小值为0，没有最大值 C．没有最大值，没有最小值 D．的最大值为1，最小值为0 【答案】B 【分析】先进行分段化简函数，并画函数图象，再结合图象判断最值情况即可. 【详解】由高斯函数的定义可得： 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 易见该函数具有周期性，绘制函数图象如图所示， 观察可得函数有最小值0，没有最大值. 故选：B. 8．（2025高一·江苏南京·期末）已知是定义在上的偶函数，对任意，且，都有，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断出函数在上的单调性以及函数值正负情况，结合奇偶性，可判断函数在上的单调性，以及函数值的正负情况，由此可得不等式的解集. 【详解】由题意知对任意，且，都有，， 则在上单调递减，且当时，；当时，； 又是定义在上的偶函数，则在上单调递增，， 且当时，；当时，； 不妨画出图象示意图如图： 则不等式的解集是， 故选：A 9．【多选】（2025高一·甘肃庆阳·期中）已知函数在区间上单调，则实数m的值可以是（    ） A．2 B．7 C．14 D．20 【答案】AD 【分析】利用二次函数的性质求解. 【详解】的对称轴为， 因为函数在区间上单调， 所以或，解得或． 故选：AD 10．【多选】（2025高一·广东湛江·期中）下列四个函数中，不具有奇偶性的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用奇偶性的判定方法来判断选项中的函数是具有奇偶性即可． 【详解】对于A，函数，所以是定义在R上的偶函数； 对于B，函数，所以是非奇非偶的函数； 对于C，函数，所以是定义在R上的奇函数； 对于D，函数，所以是非奇非偶的函数． 故选：BD． 11．【多选】（2025高一·江苏连云港·期中）已知函数为奇函数，且在区间上是增函数，若，则满足的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】分析函数的单调性，可得出，然后分、解不等式，综合可得出原不等式的解集. 【详解】因为函数为奇函数，且在区间上是增函数，故函数在上也为增函数， 且， 由可知，当时，，可得； 当时， ，可得. 综上所述，不等式的解集为. 故选：BC. 12．（2025高一·江苏连云港·期中）函数的单调减区间是 ． 【答案】 【分析】画出函数图象，数形结合得到答案. 【详解】画出函数的图象，如下：    故单调递减区间为. 故答案为： 13．（2025高一·广东梅州·期中）函数y=f(x)满足（1）定义域为R；（2）偶函数；（3）在上为减函数.请写出满足上述三个条件的一个函数式 ．（开放题，答案不唯一，正确即可.） 【答案】(答案不唯一) 【分析】根据题设函数的性质写出一个函数即可. 【详解】由关于轴对称且定义域为，在上为减函数， ∴满足题设. 故答案为：.(答案不唯一) 14．（2025高一·吉林延边·期中）设是定义在上的奇函数，则 【答案】 【分析】根据奇函数的性质可得，求出，利用，求出，最后代值即可. 【详解】是定义在的奇函数， ， 即， ，且， 解得，或 当时，定义域为，不合题意，舍去； 当时，定义域为，合题意， ， . 故答案为：. 15．（2025高一·湖南株洲·期末）已知函数是奇函数． (1)求实数a的值； (2)证明在区间上单调递减； (3)解不等式. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得，即可得到结果； （2）根据题意，由定义法即可证明函数的单调性； （3）根据题意，结合函数的单调性，即可求解不等式. 【详解】（1）∵是奇函数， ∴，则，经验证此时为奇函数. （2）∵，∴， 设，则， ， ∵，∴，，则， 则，则， 即在区间上单调递减. （3）， ∵在区间上单调递减， ∴不等式等价为， 即，解得或， 即不等式的解集为. 16．（2025高一·广西崇左·期中）双碳战略之下，新能源汽车发展成为乘用车市场转型升级的重要方向．根据工信部最新数据显示，截至2022年一季度，我国新能源汽车已累计推广突破1000万辆大关．某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，每生产（千辆）获利（万元），；该公司预计2022年全年其他成本总投入为万元．由市场调研知，该种车销路畅通，供不应求．记2022年的全年利润为（单位：万元）． (1)求函数的解析式； (2)当2022年产量为多少千辆时，该企业利润最大？最大利润是多少？请说明理由． 【答案】(1) (2)产量为5千辆时，该企业利润最大，最大利润是380万元 【分析】（1）利用，求出函数解析式； （2）分和，根据函数单调性求出最大值，得到答案. 【详解】（1）由已知，， 又 整理得 （2）当时，，则当时，； 当时，， 即时，， ，的最大值为380， 故当2022年产量为5千辆，该企业利润最大，最大利润是380万元． 17．（2025高一·安徽淮北·期中）已知函数，且其定义域为． (1)判定函数的奇偶性； (2)利用单调性的定义证明：在上单调递减； (3)解不等式． 【答案】(1)奇函数 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）检验与的关系即可判断; （2）任取，然后利用作差法比较与的大小即可判断; （3）结合函数的单调性及奇偶性即可求解不等式. 【详解】（1）为奇函数，理由如下： 因为，且函数定义域为，关于原点对称， 所以为奇函数. （2）任取， 所以，， 则， 所以， 故在上单调递减； （3）可转化为， 则，所以，解得， 故的范围为. 18．（2025高一·福建泉州·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，. (1)求函数在上的解析式； (2)若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用奇函数的定义求出解析式. （2）利用单调性定义证明在上单调递增，再利用单调性及奇偶性脱去法则，转化为恒成立求解. 【详解】（1）任取，则，， 当时，，而符合上式， 所以函数在上的解析式. （2）任取且， ， 由，得，，，， 则，即，因此在上单调递增， 而是奇函数，原不等式化为， 于是，即，依题意，对，恒成立， 而，当且仅当时取等号，从而， 所以实数的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $