第3讲不等式的性质、基本不等式课件-2026年广东省学考数学备考复习

第3讲　不等式的性质、 基本不等式 必备知识 1 考点精析 2 综合提升 3 必备知识 PART 01 第一部分 1．比较实数大小的基本事实 如果a－b是正数，那么a_____b；如果a－b等于0，那么a____b；如果a－b是负数，那么a____b.反过来也对． > ＝ < ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 2．不等式的性质 性质1　a＞b⇔b____a； 性质2　a＞b，b＞c⇒a____c； 性质3　如果a＞b，那么a＋c____b＋c； 性质4　如果a＞b，c＞0，那么ac____bc；如果a＞b，c＜0，那么ac____bc； 性质5　如果a＞b，c＞d，那么a＋c____b＋d； 性质6　如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac____bd； 性质7　如果a＞b＞0，那么an____bn(n∈N，n≥2). ＜ ＞ ＞ ＞ ＜ ＞ ＞ ＞ ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 3．基本不等式 如果a＞0，b＞0，则________________，当且仅当a＝b时，等号成立． 文字叙述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 4．基本不等式与最值 已知x＞0，y＞0，则 (1)若x＋y＝S(和为定值)，则当________时，积xy取得最大值________． (2)若xy＝P(积为定值)，则当________时，和x＋y取得最小值________． 记忆口诀：两正数的和定积最大，两正数的积定和最小． x＝y x＝y ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 考点精析 PART 02 第二部分 考点一　比较两个数(式)的大小 (1)设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是(　　) A．M>N B．M＝N C．M<N D．与x有关 √ ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 √ ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 归纳总结　比较大小的常用方法 (1)作差法： 一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差． (2)作商法： 一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论． (3)函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系． ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 考点二　不等式的性质 (1)已知a＋b<0，b>0，则下列大小关系正确的是(　　) A．－a>－b>b>a B．－a>b>－b>a C．－b>a>－a>b D．－b>－a>a>b 解析：由a＋b<0，得a<－b，b<－a.又因为b>0，所以－a>b>－b>a. √ ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 √ ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 √ ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 (4)已知－1<x<4，2<y<3，则x－y的取值范围是________，3x＋2y的取值范围是________． 解析：由题意得，－3<－y<－2， 所以－4<x－y<2. 因为－3<3x<12，4<2y<6，所以1<3x＋2y<18. (－4，2)　 (1，18) ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 归纳总结　解决此类问题常用两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除错误答案．利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件． ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 √ ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 √ ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 √ ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 √ ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 (3)已知正实数a，b满足a＋b＝2，则ab的最大值是________． 1 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 归纳总结　条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值． ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 (2)某高中准备设计一副宣传画，要求画面面积为4 840 cm2，画面高与宽的比为a(a<1)，画的上下部分各留出5 cm的空白，左右部分各留出8 cm的空白．   如何确定画面的高与宽，使得宣传画所用纸张的面积最小？并求出此时a的值． ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 归纳总结　(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解． (2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解． (3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围． ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 (4)利用基本不等式解决实际问题的策略 ①根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值； ②解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围； ③在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解． ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 综合提升 PART 03 第三部分 1．设a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，则(　　) A．a>b B．a<b C．a≥b D．a≤b 解析：a－b＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，所以a≥b. √ ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 √ ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 √ ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 4．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是____________． 30 ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 ＜ ‹#› 返回导航 2026年广东省学考数学 eq \r(ab) ≤ eq \f(a＋b,2) eq \f(S2,4) 2 eq \r(P) 1. eq \f(b,a) ＋ eq \f(a,b) ≥2(a，b同号). 2．ab≤( eq \f(a＋b,2) )2(a，b∈R). 3. eq \f(a2＋b2,2) ≥( eq \f(a＋b,2) )2(a，b∈R). 4. eq \r(\f(a2＋b2,2)) ≥ eq \f(a＋b,2) ≥ eq \r(ab) (a>0，b>0). 解析：由M－N＝x2＋x＋1＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2))) eq \s\up12(2) ＋ eq \f(3,4) >0，得M>N. (2)(2024·广东学考模拟)设a>b>1，y1＝ eq \f(a,b) ，y2＝ eq \f(3a＋1,3b＋1) ，y3＝ eq \f(2a－1,2b－1) ，则y1，y2，y3的大小关系是(　　) A．y1<y2<y3 B．y2<y1<y3 C．y3<y2<y1 D．y2<y3<y1 解析：由a>b>1，可得a－b>0，2b－1>0，3b＋1>0， 又y2－y1＝ eq \f(3a＋1,3b＋1) － eq \f(a,b) ＝ eq \f(b－a,b（3b＋1）) <0，可得y2＜y1； 又y1－y3＝ eq \f(a,b) － eq \f(2a－1,2b－1) ＝ eq \f(b－a,b（2b－1）) <0，可得y1<y3. 所以y2<y1<y3. (2)如果a＜b＜0，那么下列各式一定成立的是(　　) A．a－b＞0 B．ac2＜bc2 C．a2＞b2 D． eq \f(1,a) ＜ eq \f(1,b) 解析：因为a＜b＜0，所以a－b＜0，a＋b＜0， eq \f(1,a) ＞ eq \f(1,b) ，所以(a－b)·(a＋b)＝a2－b2＞0，即a2＞b2，C项正确，A，D两项不正确．当c＝0时，ac2＝bc2，B项不一定正确．故选C. (3)下列命题中，正确的是(　　) A．若a>b，c>d，则ac>bd B．若ac>bc，则a<b C．若a>b，c>d，则a－c>b－d D．若 eq \f(a,c2) < eq \f(b,c2) ，则a<b 解析：选项A中，若a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，满足a>b，c>d，但ac＝bd，故选项A错误； 选项B中，若c>0，则a>b，故选项B错误； 选项C中，若a＝3，b＝2，c＝2，d＝1，满足a>b，c>d，但a－c＝b－d，故选项C错误； 选项D中，若 eq \f(a,c2) < eq \f(b,c2) ，显然c≠0，c2>0，由不等式性质知不等式两边同乘一个正数c2，不等式不变号，即a<b，故选项D正确．故选D. 考点三　基本不等式 (1)对于任意的a，b∈R，下列不等式不正确的是(　　) A．a2＋b2≥2ab B．ab≤ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2))) eq \s\up12(2) C． eq \f(b,a) ＋ eq \f(a,b) ≥2 D． eq \f(a＋b,2) ≤ eq \r(\f(a2＋b2,2)) 解析：对于A，因为a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，所以a2＋b2≥2ab，故A正确；对于B，因为(a＋b)2－4ab＝(a－b)2≥0，所以4ab≤(a＋b)2，即ab≤( eq \f(a＋b,2) )2，故B正确；对于C，当a＝－1，b＝1时， eq \f(b,a) ＋ eq \f(a,b) ＝－2<2，故C不正确；对于D，因为a2＋b2≥2ab，所以2(a2＋b2)≥(a＋b)2，即 eq \f(a2＋b2,2) ≥( eq \f(a＋b,2) )2，所以| eq \f(a＋b,2) |≤ eq \r(\f(a2＋b2,2)) ，所以 eq \f(a＋b,2) ≤ eq \r(\f(a2＋b2,2)) ，故D正确，故选C. (2)下列几个不等式中，不能取到等号的是(　　) A． eq \r(x) ＋ eq \f(1,\r(x)) ≥2(x＞0) B．|x|＋ eq \f(2,|x|) ≥2 eq \r(2) (x≠0) C．－ eq \f(4,x) － eq \f(x,16) ≥1(x＜0) D． eq \r(x2＋5) ＋ eq \f(1,\r(x2＋5)) ≥2(x∈R) 解析：对于A，当且仅当 eq \r(x) ＝ eq \f(1,\r(x)) ，即x＝1时等号成立；对于B，当且仅当|x|＝ eq \f(2,|x|) ，即x＝± eq \r(2) 时等号成立；对于C，当且仅当－ eq \f(4,x) ＝－ eq \f(x,16) ，即x＝－8时等号成立；对于D，当且仅当 eq \r(x2＋5) ＝ eq \f(1,\r(x2＋5)) ，即x2＝－4时等号成立，无解，等号不成立．故选D. 考点四　利用基本不等式求最值 (1)已知x<1，则函数y＝x＋ eq \f(1,x－1) 的最大值是(　　) A．－1 B．2 C．－3 D．－2 解析：由x<1可得1－x>0，则y＝x＋ eq \f(1,x－1) ＝－(1－x＋ eq \f(1,1－x) )＋1≤－2＋1＝－1，当且仅当x＝0时取等号，故所求最大值为－1. (2)已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，则 eq \f(1,a) ＋ eq \f(2,b) 的最小值是(　　) A． eq \f(10,3) B．6 C．3＋2 eq \r(2) D．4 eq \r(2) 解析： eq \f(1,a) ＋ eq \f(2,b) ＝(a＋b) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(2,b))) ＝3＋ eq \f(2a,b) ＋ eq \f(b,a) ≥3＋2 eq \r(2) ，当且仅当 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝\r(2)a，,a＋b＝1，)) 即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\r(2)－1，,b＝2－\r(2))) 时取等号． 解析：由a>0，b>0，a＋b≥2 eq \r(ab) ，得(a＋b)2≥4ab，因为a＋b＝2，所以4ab≤4，即ab≤1.当且仅当a＝b＝1时等号成立．所以ab的最大值是1. 考点五　基本不等式的应用 (1)已知函数f(x)＝ eq \f(x2＋ax＋11,x＋1) (a∈R)，若对于任意x∈N*，f(x)≥3恒成立，则a的取值范围____________________． eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,3)，＋∞)) 解析：对任意x∈N*，f(x)≥3恒成立， 即 eq \f(x2＋ax＋11,x＋1) ≥3恒成立， 即知a≥－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(8,x))) ＋3. 设g(x)＝x＋ eq \f(8,x) ，x∈N*， 则g(2)＝6，g(3)＝ eq \f(17,3) . 因为g(2)>g(3)，所以g(x)min＝ eq \f(17,3) . 所以－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(8,x))) ＋3≤－ eq \f(8,3) . 所以a≥－ eq \f(8,3) ，即a的取值范围是 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,3)，＋∞)) . 解：设纸张的面积为S，画面的高为x cm(x＞0)，则宽为 eq \f(4 840,x) cm，根据题意得 S＝(x＋10)( eq \f(4 840,x) ＋16)＝5 000＋16x＋ eq \f(48 400,x) ≥5 000＋2 eq \r(16x·\f(48 400,x)) ＝6 760， 当且仅当16x＝ eq \f(48 400,x) ， 即x＝55时等号成立，所以画面的高为55 cm，宽为 eq \f(4 840,x) ＝88 cm时，宣传画所用纸张的面积最小，此时a＝ eq \f(55,88) ＝ eq \f(5,8) . 2．设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是(　　) A．a＜b＜ eq \r(ab) ＜ eq \f(a＋b,2) B．a＜ eq \r(ab) ＜ eq \f(a＋b,2) ＜b C．a＜ eq \r(ab) ＜b＜ eq \f(a＋b,2) D． eq \r(ab) ＜a＜ eq \f(a＋b,2) ＜b 解析：方法一：因为b＞a＞0， 所以 eq \f(a＋b,2) ＞ eq \r(ab) ，2b＞b＋a， 所以b＞ eq \f(a＋b,2) ， 所以a＜ eq \r(ab) ＜ eq \f(a＋b,2) ＜b. 方法二：取a＝2，b＝8，则 eq \r(ab) ＝4， eq \f(a＋b,2) ＝5， 所以a＜ eq \r(ab) ＜ eq \f(a＋b,2) ＜b. 3．若ab＞0， eq \f(3,b) ＋ eq \f(4,a) ＝1，则a＋b的最小值是(　　) A．4 eq \r(3) B．7＋4 eq \r(3) C．8 eq \r(3) D．7＋8 eq \r(3) 解析：由题意知a＞0，b＞0，所以a＋b＝(a＋b)· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,b)＋\f(4,a))) ＝3＋4＋ eq \f(3a,b) ＋ eq \f(4b,a) ≥7＋2 eq \r(\f(3a,b)·\f(4b,a)) ＝7＋4 eq \r(3) ，当且仅当b＝ eq \f(\r(3),2) a时取等号，故a＋b的最小值是7＋4 eq \r(3) .故选B. 解析：由题意可得，一年的总运费与总存储费用之和为 eq \f(600,x) ×6＋4x≥4×2× eq \r(\f(900,x)·x) ＝240，当且仅当x＝30时等号成立． 5．已知a，b为实数，且a≠b，a＜0，则a __________2b－ eq \f(b2,a) .(填“＞”“＜”或“＝”) 解析：因为a≠b，a＜0， 所以a－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2b－\f(b2,a))) ＝ eq \f(（a－b）2,a) ＜0， 所以a＜2b－ eq \f(b2,a) . $