21 专项突破五 直角三角形的判定-【全程复习大考卷】2025-2026学年新教材七年级上册数学(鲁教版 五四学制2024)

专项突破五 直角三角形的判定 类型一利用角判断直角三角形 1.下列条件中，可以确定△ABC是直角三角形的是 A.∠A+∠B+∠C=180° B.∠A+∠B=∠C C.∠A=∠B=∠C D.∠A=∠B=2∠C 2.新素养〔运算能力〕下列条件：①∠A+∠B=∠C;②∠A:∠B:∠C=1:2:3;③∠A=90°-∠B;④∠A= ∠B=∠C;⑤∠A=2∠B=3∠C。其中能确定△ABC是直角三角形的有 A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 办 3.若三角形三个内角的比为1：2：3，则这个三角形是 三角形。 类型二利用勾股定理的逆定理判断直角三角形 4.下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是 A.2,4,5 B.4,6,9 C.7,9,10 D.9,12,15 5.新情境〔趣味情境)小惠用25个等距离的结把一根绳子分成等长的24段，她同时握住第1个结和第 25个结，小淇握住第7个结，这时小婷应该握住第 个结，拉紧绳子后才会得到一个以第7个 结为直角顶点的直角三角形 () A.13 B.14 C.15 D.16 9 6.新素养〔几何直观〕如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，点A,B,C,D,E 均在小正方形方格的顶点上，线段AB,CD交于点F。若∠CFB=,则∠ABE等于 A.180°-a B.180°-2a C.90°+a D.90°+2a 7.如图，在四边形ABCD中，AB=BC=2,CD=3,DA=1,且∠B=90°，求∠DAB的度数。 D 量 8.如图，在△ABC中，AB=10,BC=12,AD为边BC上的中线，且AD=8,过点D作DE⊥AC于点E。请 求出线段DE的长。 拼 9.如图，在△ABC中，D为边BC上的一点，AB=13,AD=12,AC=15,BD=5。 (1)试说明：AD⊥BC; (2)求△ABC的面积。 类型三利用角和边判断直角三角形 10.△ABC的三边长分别为a,b,c,下列条件中不能判断△ABC是直角三角形的是 A.∠A=∠B-∠C B.∠A:∠B:∠C=3:4:5 C.a2=(b+c)(b-c) D.a:b:c=5:12:13 11.△ABC的三边长分别为a,b,c,下列条件中不能判定△ABC是直角三角形的是 A.a=32,b=42,c=52 B.∠A+∠B=90° C.a=6,b=8,c=10 D.a=5,b=12,c=13 12.下列条件中，可以判断△ABC是直角三角形的是 A.AB:BC:AC=3:4:5 B.AB+BC>AC C.∠A=65°，∠B=35° D.∠A:∠B:∠C=3:4:5 类型四直角三角形的判定及应用 13.若三角形的三边长分别是6,8,10，则这个三角形的面积为 A.24 B.30 C.40 D.48 14.如图，每个小正方形的边长为1，A,B,C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为 15.新素养〔几何直观〕如图，在“4×4”的正方形网格中，∠1+∠2的度数为 16.如图，在△ABC中，AB=3,AC=4,BC=5,AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC于点E,则DE的长度是 0 B D ★全程复习大考卷·数学·七年级上册 ·41· 17.新情境〔实际情境〕一块三角形草坪的形状如图，经管理人员测量，这块草坪的三条边AB=8m, BC=15m,AC=17m。求这块草坪的面积。 8m 17m 15m 18.如图，广场有一块三角形空地ABC,社区计划将这块三角形空地分割成四边形ABDE和△EDC两部 分，分别种植两种不同的花卉。经测量，∠EDC=90°，DC=8m,CE=10m,BD=7m,AB=9m, AE=2m,求四边形ABDE的面积。 D ·42· ★全程复习大考卷·数学·七年级上册 主题情境生活中处处有数学请完成第19~20题 刚上初中的小红，发现生活中处处有数学，她用一双智慧的眼睛在超市中发现了一些数学问题，请 你完成小红发现的问题。 19.小红陪妈妈在超市购物，如图1是超市的儿童玩具购物车，图2为其侧面简化示意图。测得支架 AC=24cm,CB=18cm,两轮中心的距离AB=30cm。 (1)连接AB,则△ABC是 三角形，请写出推理过程； (2)点C到AB的距离是 cm。 郑 A( B 图1 图2 20.小红看到超市的包装盒，如图，四边形ABCD是一个盒子的面，小红想知道边AB是否垂直于底边 BC。她利用卷尺量得AB=5cm,BC=12cm,A,C两点的距离是13cm,由此判断出边AB垂直于边 BC。你知道这是为什么吗？ B所以绿地的面积=2AB·BC+AD·AC 根据题意，得AB=A'B'=20cm, =7x9x12+7×8×15 1 Bc=B'C=7x30=l5(cm）. 因为∠B=∠B'=90°， =54+60 所以AC2=BA2+CB2=202+152=252。 =114(m2)。 所以AC=A'C=25cm。 10.小斗分析：(1)根据铝合金的长度等于所有边长之和、玻璃的面 所以AC+A'C=25+25=50(cm)。 积等于正方形加上半圆的面积即可求解；(2)计算半圆的面积与 所以装饰带的长度最短为50cm。 2个边为a米的等腰直角三角形的面积和，即可求解；(3)当a=1 1 14. 5 小斗提示：根据题意，作出合适的辅助线，即可表示出阴影 时，分别求出10扇窗户需要铝合金长度和玻璃的面积以及窗帘 部分的面积，然后计算出图中阴影面积和的最大值。 的面积，比较大小，即可求解。 【解析】如图，作CO⊥AB交AB于点O,延长AB交EM 解：(1)16a0【解折12ax5++3a10a+3a+ 于点P,交GN于点Q, 3a=16a(米)。 2a×2a+分×mx公=4+昌02-（平方米）。 1 40B (2)分m+2x3×-2+a=高0（平方米） 1 H N 当a=1时，原式=名（平方米）。 根据题意，得AC=EA,BC=GB,∠EPA=∠AOC= ∠COB=∠BQG=90°， (3)当a=1时，10扇这样的窗户需要的铝合金长度为 因为∠EAP+∠CAO=90°，∠EAP+∠AEP=90°， 16×1×10=160(米)，需要玻璃的面积为}x1×10= 所以∠CAO=AEP。 55(平方米)，需要窗帘的面积为3×10=25（平方米）。 r∠EPA=∠AOC, 在△EAP和△ACO中 ∠AEP=∠CAO, 甲厂商的报价为160×110+50×90+(55-50)×90× LAE=CA, 0.8+25×50=23710(元)。 所以△EAP≌△ACO(AAS)。所以AP=CO。 乙厂商的报价为(160-55×0.1)×120+80×55+ 同理可知，△COB≌△BQG(AAS),C0=BQ。 25×30=23690(元)。 所以阴影部分的面积=矩形APMK的面积+矩形 因为23710>23690，所以在乙厂商购买窗户合算。 BQNH的面积+△ABC的面积。 11.B 12.A【解析】如图，将U型池的侧面展开。 所以阴影部分的面积是AK·AP+B阻·BQ+2B· c0=1x4P+1×B0+2×c0=c0. 所以当C0取得最大值时，图中阴影面积和取得最 大值。 因为当△ACB是等腰直角三角形时，CO取得最大值， 根据题意，得4D=×T×0=20(来)，AB=CD T 所以C0的最大值为2。 20米，DE=CD-CE=20-5=15(米)， 因为AD2+DE2=AE2, 所以国中例彩西积和的最大值为子×了-子。 所以202+152=AE2。所以AE=25米。 13.50cm【解析】如图，将圆柱的侧面展开，是一个矩形。 15.解：(1)△MBC的面积=2x5-分×1×4-号×1×5- 2×1×2=4.5。 (2)如图，作点C关于直线MW的对称点D,连接AD交 直线MN于点P,则点P即为所求作。 ·72· ★全程复习大考卷·数学·七年级上册 所以△ABC是直角三角形； ②因为∠A:∠B:∠C=1:2:3, 3 所以∠C=1+2+3×180°=90。 所以△ABC是直角三角形； ③因为∠A=90°-∠B, (3)PA+PC的最小值的平方=AD2=52+52=50。 所以∠A+∠B=90°。 16.B 所以△ABC是直角三角形； 17.4 ④因为∠A=∠B=∠C,∠A+∠B+∠C=180°， 18.小斗分析：过点C作CE⊥AB于点E,根据题意，构造出直角三 所以∠A=∠B=∠C=60°。 角形，利用勾股定理解答即可。 所以△ABC不是直角三角形； 解：如图，过点C作CE⊥AB于点E。 ⑤因为∠A=2∠B=3∠C, 所以设∠A=,则∠B=之，∠C 3t。 因为∠A+∠B+∠C=180°， 所以x+2*+了x=180,解得x=1080° 11o 根据题意，得BE=CD=1.7m,AE=AB-BE=4.7- 1.7=3(m),AC=5m, 11,∠C=3600 、所以ㄥA=11,∠B=540° 110 由勾股定理，得CE2=AC2-AE2=52-32=42。 所以△ABC不是直角三角形。 所以BD=CE=4m。 所以能确定△ABC是直角三角形的有①②③，共3个。 所以该学生此时与超市门口的水平距离BD的长为4m。 3.直角 19.解：(1)根据题意，得AC=8dm,BC=6dm, 4.D ∠ACB=90°， 5.C【解析】因为小淇握住第7个结， 所以AB2=AC2+BC2=82+62=102。 所以小惠和小淇之间有6段。 所以AB=10dm。 因为6,8,10是一组勾股数，且6+8+10=24， 所以AB+AC=10+8=18(dm),即绳子的总长度为 所以小婷同学应该握住第15个结，拉紧绳子后才会得 18 dmo 到一个以第7个结为直角顶点的直角三角形。 (2)如图，标注点D,E。 6.C【解析】如图，过点B作BG∥CD,连接EG, '中C B E 根据题意，得∠ADB=90°，AD=8dm,CD=7dm, 因为BG∥CD,所以∠ABG=∠CFB=a。 所以AC=AD-CD=8-7=1(dm)。所以AB=17dm, 因为BG2=12+42=17,BE2=12+42=17, 所以BD2=AB2-AD2=172-82=152。 EG2=32+52=34, 所以BD=15dm。 所以BG+BE=EG2。所以△BEG是直角三角形。 所以BE=BD-DE=15-6=9(dm),即滑块B向左滑 所以∠GBE=90°。所以LABE=∠GBE+LABG=90°+a。 动的距离为9dm。 7.解：如图，连接AC, 专项突破五直角三角形的判定 因为∠B=90°，AB=BC=2, 1.B 所以AC2=22+22=8,∠BAC=45°。 2.C【解析】①因为∠A+∠B=∠C, 又因为CD=3,DA=1, ∠A+∠B+∠C=180°， 所以AC2+DA2=8+1=9,CD2=9。 所以2∠C=180°。所以∠C=90°。 所以AC2+DA2=CD2。 所以△ACD是直角三角形。 15.45° 所以∠CAD=90°。所以∠DAB=45°+90°=135°。 16号 【解析】如图，作DH⊥AB于点H。 8.解：因为BC=12,AD为边BC上的中线， 所以BD=DC=28BC=6。 因为AD=8,AB=10,所以BD2+AD2=AB。 所以∠ADB=90°，即AD⊥BC。 B 因为AD⊥BC,AD为边BC上的中线， 因为AD平分∠BAC,DE⊥AC于点E,所以DH=DE。 所以AB=AC。 因为AC=4,AB=3,CB=5,32+42=52 因为AB=10,所以AC=10。 所以AB2+AC2=BC。 因为△ADC的面积=2AD·DC=24C·DE, 所以△ACB为直角三角形，∠BAC=90°。 所以3×8x6=分×10×DE,解得DE=48。 所以2DE·AC+2DH,AB=2AC·AB, 9.解：(1)因为AB=13,AD=12,BD=5, 中205x4+DE×3=7×4x3. 所以AD2+BD2=12+52=144+25=169 所以DB=DH-号 AB2=132=169。 所以AB2=AD2+BD。所以△ABD为直角三角形。 17.解：因为AB=8m,BC=15m,AC=17m, 所以AD⊥BC。 所以AB2+BC2=82+152=289,AC2=172=289。 (2)因为△ABD为直角三角形，所以LADC=90°。 所以AB2+BC=AC2。 因为CD2=AC2-AD2=152-122=92,所以CD=9。 所以∠ABC=90°。 所以BC=CD+BD=9+5=14。 所以S6ae=7AB.BC=分×8x15-60(m)。 所以△ABC的面积=2BC·AD=7×14×12=84。 答：这块草坪的面积是60m。 10.B11.A 18.解：因为DC=8m,CE=10m,BD=7m,AB=9m, 12.A【解析】设AB=3k,则BC=4k,AC=5k,因为(3k)2+ AE=2 m, (4k)2=(5k)2,所以AB2+BC2=AC。所以△ABC是直 所以AC=AE+CE=2+10=12(m), 角三角形。故A符合题意；由AB+BC>AC,不能判断 BC=BD+DC=7+8=15(m)。 △ABC是直角三角形。故B不符合题意；因为∠A= 因为∠EDC=90°， 65°，∠B=35°，∠A+∠B+∠C=180°，所以∠C=80°。 所以DE2=CE2-CD2=102-82=62。所以DE=6m。 所以△ABC不是直角三角形。故C不符合题意；因为 因为92+122=152，所以AB2+AC2=BC2。 ∠A:∠B:∠C=3:4:5,∠A+∠B+∠C=180°，所以 所以△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°。 ∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°。所以△ABC不是直角 所以S四边形ABDE=SAABG-S△BEDC 三角形。故D不符合题意。 -2AB-AC-2DE.DG 13.A 1 14.45°小斗分析：连接AC,利用勾股定理求出AC,BC,AB,再利 3x9x12-分x6x8 用勾股定理的逆定理说明△ABC是等腰直角三角形即可。 =30(m2)。 【解析】如图，连接AC, 所以四边形ABDE的面积为30m2。 19.解：(1)直角。推理过程如下， 在△ACB中，AC2+BC2=242+182=302=AB2, 所以△ACB为直角三角形，边AB所对的角是直角。 由勾股定理，得AC2=22+12=5,BC2=22+12=5, (2)号【解析】设点C到AB的距高是Acm, AB2=32+12=10,所以AC=BC,AC2+BC2=5+5= 因为AC=24cm,CB=18cm,AB=30cm, 10=AB2。所以△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB= 90°。所以∠ABC=45°。 所以宁4C0B=4B.A,即24×18=306，解件A-号。 20.解：如图，连接AC。 所以，点A26在第一象限。 观察图形，可知，点A2的坐标为(1,1)，点A6的坐标为 （2,2),点A10的坐标为(3,3)… B 所以第一象限，点的横纵坐标数字隐含规律为，点的横纵 因为AB=5cm,BC=12cm,AC=13cm, 所以AB2+BC2=52+122=169,AC2=132=169。 坐标均等于“牛子(a为角标)。 所以AB2+BC2=AC2。所以∠B=90°。 所以，点A26的坐标为(507,507)。 所以边AB与边BC垂直。 10.-1 专项突破六平面直角坐标系中点的 11.m,n同为奇数或m,n同为偶数【解析】观察图形，A 坐标变化及规律探究 型地砖在列数为奇数，行数也为奇数的位置上或列数 为偶数，行数也为偶数的位置上，若(m,n)位置恰好为 1.c A型地砖，正整数m,n须满足的条件为m,n同为奇数 2.B【解析】点P(-2,1)关于x轴的对称，点P1的坐标为 或m,n同为偶数。 （-2,-1),点P1关于y轴的对称点P2的坐标为(2，-1)。 12.解：由题意可知，第1次从原点运动到点(1,1)， 3.A【解析】因为x轴是△AOB的对称轴，所以，点A与点 第2次接着运动到点(2,0)， B关于x轴对称。因为点A的坐标为(1,2)，所以点B 第3次接着运动到点(3,2)， (1,-2)。因为y轴是△B0C的对称轴，所以，点B与，点 第4次接着运动到点(4,0)， C关于y轴对称。所以点C(-1,-2)。 第5次接着运动到点(5,1)， 4.解：因为点P(a,3)与点Q(-2,b)关于y轴对称， 所以a=2,b=3。所以(a-b)2s=(2-3)26=1。 第6次接着运动到点(6,0)， 5.解：因为点P(a,b)在第四象限，且Ial-3=0,b2-2= 第4n次接着运动到点(4n,0), 0,所以a=3,b=-√2。 第(4n+1)次接着运动到点(4n+1,1), 所以点P的坐标为(3，-√2)。 第(4n+2)次接着运动到点(4n+2,0), 所以点P关于y轴的对称点P的坐标是(-3，-√2)。 第(4n+3)次接着运动到点(4n+3,2), 6.解：因为点A(1,-2)和点A'(-3,-2)是这个图形上的 因为2027÷4=4×5063， 一对对称点，所以对称轴是直线x=-1。 所以第2027次接着运动到点(2027,2)。 所以点(-3,3)的对称点B'的坐标为（分，3） 13.解：由题意可得0P。=√2,0P1=2×√2=2×√2， 0P2=2×2×V2=22×2, 7.D 8.B【解析】因为三角形OAA1是等边三角形， 0P3=2×22×2=23×2, 所以0A1=0A=2,∠A0A1=60°。所以∠010A1=30°。 0P4=2×23×√2=24×2， 在Rt△010A1中，因为∠001A1=90°，∠010A1=30°，所 中年中e 以04，=01，=1，即点A,的纵坐标为1。 0P20=2a0×2, 因为每一次都旋转45°，360°÷45°=8， 同理，04=204-（分，0,4，=204=(， 所以每8次变化为一个循环组。 因为2030÷8=2536， 即点的纵坐标为)，点的纵坐标为分广… 所以点P2是第254组的第六次变换对应的点，与点 所以点的数坐标为} P。在同一象限内，即第四象限。 所以点P200的坐标为(2200，-2200)。 9.C【解析】由题可知， 14.解：因为点A1的坐标为(3,2)， 第一象限的点：A2,A6,A10,…,角标除以4余数为2； 所以点A2的坐标为(-1,4)，点A的坐标为(-3,0)， 第二象限的点：A3,A7,A11,…,角标除以4余数为3； 点A4的坐标为(1，-2)，点A的坐标为(3,2)。 第三象限的点：A4,Ag,A12,…,角标除以4余数为0； 所以每连续的四个点为一个循环。 第四象限的点：A5,Ag,A13,…,角标除以4余数为1； 因为2026÷4=506…2， 由上规律可知2026÷4=506…2， 所以点A226的坐标与点A2的坐标相同，为(-1,4)。 ★全程复习大考卷·数学·七年级上册 ·73·