20 专项突破四 勾股定理及应用-【全程复习大考卷】2025-2026学年新教材七年级上册数学(鲁教版 五四学制2024)

专项突破四 勾股定理及应用 类型一 利用勾股定理求线段的长 1.新素养〔运算能力〕如图，在3×3的正方形网格中，A,B,C,D,E是格点，则下列线段最长的是（) A.AB B.AD C.AC D.AE 主题情境 装饰中的数学请完成第2~3题 孙 现在人们的居住条件好了，居住的房子要求装饰得既美观又舒服，某装饰公司遇到了下面的问题， 聪明的你帮助他们解决吧！ 2.新情境〔实际情境〕某房主要在房间内安放一座怀旧风格的时钟，如图，摆锤看作一个点，当摆锤静止 时，它离底座的垂直高度DE=6cm,当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度BF=8cm,此 时摆锤与静止位置时的水平距离BC=10cm,则钟摆AD的长度是 cmo 救 第2题图 第3题图 3.新考法〔数学文化〕某房间要设计一个三角形小饰品，根据清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》 中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程 中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，AD是锐角三角形ABC的高，则BD= BCA RAC BC 。当AB=7,BC=6,AC=5时，CD的值为 4.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC,垂足为D。已知BD=3,AB=5。设CD长为x。 (1)根据勾股定理，得AC2= ；(用含x的代数式表示，结果需化简) (2)求x的值。 量 5.新考法〔拓展探究〕如图，等腰三角形ABC的底边长为8cm,腰长为5cm,一动点P在底边上从点B 向点C以0.25cm/s的速度移动，请你探究：当点P运动多久时，点P与顶点A的连线PA与腰垂直？ 拼 类型二利用勾股定理求面积 6.新考法〔数学文化〕“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理。如图所示的“赵爽弦图”是由四 个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形。设直角三角形的两条直角边长分别为 m,n(m>n)。若小正方形面积为5，（m+n)2=21,则大正方形面积为 () A.12 B.13 C.14 D.15 D 街 住宅 道 K生b B街道C 第6题图 第7题图 第8题图 第9题图 7.新素养〔几何直观)我国古代称直角三角形为“勾股形”。如图，数学家刘徽（约公元225年一公元295 年)将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形。若α=10，b=2,则此勾股形的面积为 () A.28 B.30 C.32 D.36 8.教改题如图，BC长为3，AB长为4，AF长为12，正方形CDEF的面积为 9.如图，某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部 分)。已知AB=9m,BC=12m,CD=17m,AD=8m,技术人员通过测量确定了∠ABC=90°，则这片 绿地的面积是 m2。 10.新情境〔实际情境〕如图1是一扇窗户的示意图，所有窗框为铝合金材料，其下部由长为2α米、宽为 α米的两个长方形组成，上部是半径为a米的半圆形状，窗户都安装透明玻璃，现在按照图2的方 式，在阴影部分的位置上全部安装窗帘，图2中窗帘下部分是直角边为α米的两个等腰直角三角形 组成，没有窗帘的部分阳光可以照射进来。（本题中π取3) (1)一扇这样的窗户一共需要铝合金 米，需要玻璃 平方米；（用含a的代数式表 示，铝合金窗框宽度忽略不计) (2)当α=1时，请求出图2中窗帘部分的面积；（铝合金窗框宽度忽略不计） (3)在(2)的条件下，现某公司需要购进10扇这样的窗户，在同等质量的前提下，甲、乙两个厂商分 别给出如表报价： 铝合金/（元/米） 玻璃 窗帘/（元/平方米） 甲厂商 110 不超过50平方米的部分，90元/平方米，超过50平方米的 50 部分打八折 乙厂商 120 80元/平方米，每购一平方米玻璃送0.1米铝合金 30 若公司只能选择在其中一家厂商购买，问该公司在哪家厂商购买窗户合算？请说明理由。 图1 图2 ★全程复习大考卷·数学·七年级上册 ·39· 类型三利用勾股定理解决最值问题 11.新素养〔运算能力〕如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC交AC于点D,AB=12,BD=13,P 是线段BC上的一动点，则PD的最小值是 () A.6 B.5 C.13 D.12 40 第11题图 第12题图 12.新情境〔实际情境〕如图是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体 去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为40米的半圆，其边缘4B=CD=20米， 点E在CD上，CE=5米，一滑板爱好者从点A滑到点E,则他滑行的最短距离为 () A.25米 B.24米 C.26米 D.8r米 13.2025年9月22日是第八个中国农民丰收节，小彬用3D打印机制作了一个底面周长为30cm,高为 20c的圆柱粮仓模型。如图，BC是底面直径，AB是高。现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带， 使装饰带经过A,C两，点（接头不计），则装饰带的长度最短为 MK HN 第13题图 第14题图 14.如图，AB=1,以AB为斜边作Rt△ABC,以△ABC的各边为边分别向外作正方形，EM LKH于点M, GN⊥KH于点N,则图中阴影面积和的最大值为 15.如图，在正方形网格中，点A,B,C,M,N都在格点上。 (1)若网格中最小正方形的边长为1，求△ABC的面积； (2)在直线MN上找一点P,使PA+PC的值最小； (3)求出PA+PC的最小值的平方。 B }- 类型四利用勾股定理解决生活中的问题 16.新情境〔实际情境]如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB=2.1米，当人体进 入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开。一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离 门1.2米的地方时(BC=1.2米)，感应门自动打开，则该学生头顶离感应器的距离AD等于() A.1.2米 B.1.3米 C.1.5米 D.2米 ·40·★全程复习大考卷·数学·七年级上册 B 感应器，1A DO c△B 图1 图2 第16题图 第17题图 17.新情境〔实际情境〕如图1，在某居民小区内有一块近似长方形的草坪，有极少数人为了避开拐角走 “捷径”，在草坪内走出了一条“路”，仅仅少走了几步路，却踩伤了花草。如图2，经过测量AC=3米， AB=4米，假设1米为2步，则仅仅少走了 步。 数 18.如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.7m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A(AB= 4.7m),人只要移至距该门铃5m及5m以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”，一名身高1.7m 的学生走到D处(CD=1.7m),门铃恰好自动响起，即AC=5m,则该学生此时与超市门口的水平 距离BD的长为多少？ 4.7m 19.新考法〔跨学科〕物理课上，老师带着科技小组进行物理实验。同学们将一根不可拉伸的绳子绕过 定滑轮A,一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块 B的左右滑动来调节物体C的升降。实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到 滑块B的水平距离是6dm,物体C到定滑轮A的垂直距离是8dm。(实验过程中，绳子始终保持绷 紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计。) (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若物体C升高7dm,求滑块B向左滑动的距离。 B C B 图1 图217.6α【解析】如图，作 Q 点C关于OM的对称 点C',过点C作射线 D'A 、C 、B OP,则∠MOP=a,连 D 接CB,C'D,则C'B=O C CB,C'D=CD,作，点D 关于OP的对称点D',过点D'作射线OQ,则∠POQ= a,连接C'D',则C'D'=C'D=CD, 所以AB+BC+CD=AB+BC'+C'D'。 要使AB+BC+CD最小，需点A,B,C',D'在一条直线 上，且AD'⊥OQ, 因为a<30°，所以∠N0Q=3a<90°。 所以可以过点A作AD'⊥OQ,此时∠BCD=∠BC'D= 180°-(180°-∠D'0C'-∠C'0D)=2a=∠M0Q. 由平角性质及三角形内角和可知， ∠ABC=∠BCD+∠BC'D=4a。 所以当AB+BC+CD最小时，∠BCD+∠ABC=2a+ 4a=6a。 18.解：如图，分别以AP,AC为边作等边三角形APD,等边 三角形ACE,连接DE, 当B,P,D,E四点在同一直线上 时，PA+PB+PC取得最小值。 因为△APD是等边三角形， 所以∠APD=∠ADP=60°。 因为B,P,D,E四点在同一直B 线上， 所以∠APB=180°-∠APD=120°， ∠ADE=180°-∠ADP=120°。 因为∠PAD=∠CAE=60°， 所以∠PAC=∠DAE。 在△APC与△ADE中， AP=AD,∠PAC=∠DAE,AC=AE, 所以△APC≌△ADE(SAS)。 所以∠APC=∠ADE=120°。 所以∠CPB=360°-∠APB-∠APC=120°。 所以∠APB=∠APC=∠CPB=120°。 19.解：(1)6【解析】如图1，延长A0交BC于点D。 因为△ABC是等边三角形， 所以AB=BC,∠ABC=60°。 所以∠AB0+∠CB0=60°。 因为，点O是等边三角形ABC的费马点， 所以∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°。 所以∠BA0+∠AB0=60°。 所以∠BAO=∠CBO。 所以△OAB≌△OBC(AAS)。 所以OA=OB=OC。 所以点O是三边垂直平分线的交点。 所以∠OBC=∠OCB,∠OBA=∠OAB。 所以L0BC=7LABC=30. 因为OA+0B+0C=18, 所以0A=0B=0C=6。 D 图1 图2 (2)如图2，作AM⊥CD于点M,AN⊥BE于点N,设AB 与CD交点为G。 因为△ABD与△ACE都是等边三角形， 所以AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠EAC=60°。 所以∠CAD=∠EAB。 所以△CAD≌△EAB(SAS)。 所以∠ADC=∠ABE,CD=BE,S△CD=S△EABO 又因为∠DGA+∠AGP=180°，∠AGP+∠PGB=180°， 所以∠DGA=∠BMP。 所以∠ADC+∠DAG=∠ABE+∠GPB。 所以∠GPB=∠DAG=60°。 所以∠BPC=∠DPE=120°，∠EPC=60°。 因为S△GD=2 之CD·M,SAm=2BE·AW, 所以时cD·AM=BE·AW。 所以AM=AN。 所以PA平分∠DPE。所以∠APD=∠APE=60°。 所以∠APB=∠APC=120°=∠BPC。 所以点P是△ABC的费马点。 (3)能，分别以AB,AC为边向外作等边三角形ABD与 等边三角形ACE,线段CD,BE交于一点，由(2)知该点 是△ABC的费马点，即为所要建的污水处理站Q的 位置。 如图3，设点Q是△ABC内一点，连接QA,QB,QC,并 在QB同侧作等边三角形ABD与等边三角形QBK,连 接DK。 D 、K Q 图3 因为△ABD与△QBK都是等边三角形， 设点P运动时间为ts。 所以BA=BD,BQ=BK=QK,∠ABD=LQBK=60°。 如图1，当PA⊥AC时， 所以∠KBD=∠QBA。 因为PA2=PD2+AD2=PC2-AC2, 所以△KBD≌△QBA(SAS)。 所以PD2+32=(PD+4)2-52。所以PD=2.25。 所以∠DKB=∠AQB,DK=AQ。 所以PB=4-2.25=1.75=0.25t。所以t=7; 所以QA+QB+QC=DK+KQ+QC≥DC。 如图2，当PA⊥AB时，同理可得PD=2.25。 当点D,K,Q,C共线时，QA+QB+QC=DC为最小值。 所以PB=4+2.25=6.25=0.25t。所以t=25。 又因为∠BKQ=∠BQK=60°， 综上，点P运动的时间为7s或25s。 所以这时∠DKB=∠AQB=120°，∠CQB=120°。 6.B【解析】由题意，得中间小正方形的边长为m-n, 同理可得，∠AQC=120°。 所以(m-n)2=5,即m2+n2-2mn=5。 所以点Q是△ABC的费马点， 因为(m+n)2=21,所以m2+n2+2mn=21。 即当点Q是△ABC的费马点时，QA+QB+QC的值最小。 所以(m-n)2+(m+n)2=2(m2+n2)=26。 专项突破四勾股定理及应用 所以大正方形的面积为m2+n2=13。 1.c 7.B【解析】如图，设阴影部分的直角三角形的未知边长 2.26【解析】根据题意， 为x, 得CD=BF-DE=8-6=2(cm）,AD=AB。 设钟摆AD的长为xcm,则AC的长为(x-2)cm, 因为BC⊥AD,BC=10cm, 所以AC2+BC2=AB2,即(x-2)2+102=x2, 解得x=26,即钟摆AD的长为26cm。 31【解折1因方B0-(0C,C ,AB=7, 则BC=x+b,AC=x+a,BA=a+b。 由勾股定理，得(x+b)2+(a+b)2=(x+a)2。 72-52 BC=6,4C=5,所以BD=6+ 6 =5 因为a=10,b=2, 所以CD=BC-BD=6-5=1。 所以(x+2)2+(10+2)2=(x+10)2,解得x=3。 4.解：(1)16+x2【解析】因为AD LBC, 所以AB=10+2=12,BC=3+2=5。 所以∠ADB=∠ADC=90°。 所以△ABC的面积为3×12x5=30。 因为BD=3,AB=5, 所以AD2=AB2-BD2=52-32=42。所以AD=4。 8.169【解析】在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=32+42= 因为CD长为x,所以AC2=AD2+CD2=42+x2=16+x2。 25,在Rt△ACF中，FC2=AF2+AC2=122+25=169。 (2)因为BD=3,CD=x,所以BC=BD+CD=3+x。 所以正方形CDEF的面积=FC2=169。 因为∠BAC=90°， 9,114小斗分析：连接AC,先根据勾股定理求出AC的长，再根据 所以AC2=BC2-AB,AC2=16+x2,AB=5。 勾股定理逆定理求出△ACD为直角三角形，利用分割法求出绿 所以(3+)-52=16+，解得x=5。 地的面积即可。 【解析】如图，连接AC, 5.解：如图，作AD⊥BC,交BC于点D, ) 住宅 B街道C 图1 图2 因为△ABC是等腰三角形， 因为∠ABC=90°，AB=9m,BC=12m, 所以AC2=AB2+BC2。所以AC=15m。 所以BD=CD=2BC=4cm。 因为CD=17m,AD=8m,152+82=172, 在Rt△ABD中，因为AD+BD2=AB2, 所以AC2+AD2=CD2。 所以AD2=AB2-BD2=52-42=9。所以AD=3cm。 所以△ACD为直角三角形，∠DAC=90°。 ★全程复习大考卷·数学·七年级上册 ·71· 所以绿地的面积=2AB·BC+AD·AC 根据题意，得AB=A'B'=20cm, =7x9x12+7×8×15 1 Bc=B'C=7x30=l5(cm）. 因为∠B=∠B'=90°， =54+60 所以AC2=BA2+CB2=202+152=252。 =114(m2)。 所以AC=A'C=25cm。 10.小斗分析：(1)根据铝合金的长度等于所有边长之和、玻璃的面 所以AC+A'C=25+25=50(cm)。 积等于正方形加上半圆的面积即可求解；(2)计算半圆的面积与 所以装饰带的长度最短为50cm。 2个边为a米的等腰直角三角形的面积和，即可求解；(3)当a=1 1 14. 5 小斗提示：根据题意，作出合适的辅助线，即可表示出阴影 时，分别求出10扇窗户需要铝合金长度和玻璃的面积以及窗帘 部分的面积，然后计算出图中阴影面积和的最大值。 的面积，比较大小，即可求解。 【解析】如图，作CO⊥AB交AB于点O,延长AB交EM 解：(1)16a0【解折12ax5++3a10a+3a+ 于点P,交GN于点Q, 3a=16a(米)。 2a×2a+分×mx公=4+昌02-（平方米）。 1 40B (2)分m+2x3×-2+a=高0（平方米） 1 H N 当a=1时，原式=名（平方米）。 根据题意，得AC=EA,BC=GB,∠EPA=∠AOC= ∠COB=∠BQG=90°， (3)当a=1时，10扇这样的窗户需要的铝合金长度为 因为∠EAP+∠CAO=90°，∠EAP+∠AEP=90°， 16×1×10=160(米)，需要玻璃的面积为}x1×10= 所以∠CAO=AEP。 55(平方米)，需要窗帘的面积为3×10=25（平方米）。 r∠EPA=∠AOC, 在△EAP和△ACO中 ∠AEP=∠CAO, 甲厂商的报价为160×110+50×90+(55-50)×90× LAE=CA, 0.8+25×50=23710(元)。 所以△EAP≌△ACO(AAS)。所以AP=CO。 乙厂商的报价为(160-55×0.1)×120+80×55+ 同理可知，△COB≌△BQG(AAS),C0=BQ。 25×30=23690(元)。 所以阴影部分的面积=矩形APMK的面积+矩形 因为23710>23690，所以在乙厂商购买窗户合算。 BQNH的面积+△ABC的面积。 11.B 12.A【解析】如图，将U型池的侧面展开。 所以阴影部分的面积是AK·AP+B阻·BQ+2B· c0=1x4P+1×B0+2×c0=c0. 所以当C0取得最大值时，图中阴影面积和取得最 大值。 因为当△ACB是等腰直角三角形时，CO取得最大值， 根据题意，得4D=×T×0=20(来)，AB=CD T 所以C0的最大值为2。 20米，DE=CD-CE=20-5=15(米)， 因为AD2+DE2=AE2, 所以国中例彩西积和的最大值为子×了-子。 所以202+152=AE2。所以AE=25米。 13.50cm【解析】如图，将圆柱的侧面展开，是一个矩形。 15.解：(1)△MBC的面积=2x5-分×1×4-号×1×5- 2×1×2=4.5。 (2)如图，作点C关于直线MW的对称点D,连接AD交 直线MN于点P,则点P即为所求作。 ·72· ★全程复习大考卷·数学·七年级上册 所以△ABC是直角三角形； ②因为∠A:∠B:∠C=1:2:3, 3 所以∠C=1+2+3×180°=90。 所以△ABC是直角三角形； ③因为∠A=90°-∠B, (3)PA+PC的最小值的平方=AD2=52+52=50。 所以∠A+∠B=90°。 16.B 所以△ABC是直角三角形； 17.4 ④因为∠A=∠B=∠C,∠A+∠B+∠C=180°， 18.小斗分析：过点C作CE⊥AB于点E,根据题意，构造出直角三 所以∠A=∠B=∠C=60°。 角形，利用勾股定理解答即可。 所以△ABC不是直角三角形； 解：如图，过点C作CE⊥AB于点E。 ⑤因为∠A=2∠B=3∠C, 所以设∠A=,则∠B=之，∠C 3t。 因为∠A+∠B+∠C=180°， 所以x+2*+了x=180,解得x=1080° 11o 根据题意，得BE=CD=1.7m,AE=AB-BE=4.7- 1.7=3(m),AC=5m, 11,∠C=3600 、所以ㄥA=11,∠B=540° 110 由勾股定理，得CE2=AC2-AE2=52-32=42。 所以△ABC不是直角三角形。 所以BD=CE=4m。 所以能确定△ABC是直角三角形的有①②③，共3个。 所以该学生此时与超市门口的水平距离BD的长为4m。 3.直角 19.解：(1)根据题意，得AC=8dm,BC=6dm, 4.D ∠ACB=90°， 5.C【解析】因为小淇握住第7个结， 所以AB2=AC2+BC2=82+62=102。 所以小惠和小淇之间有6段。 所以AB=10dm。 因为6,8,10是一组勾股数，且6+8+10=24， 所以AB+AC=10+8=18(dm),即绳子的总长度为 所以小婷同学应该握住第15个结，拉紧绳子后才会得 18 dmo 到一个以第7个结为直角顶点的直角三角形。 (2)如图，标注点D,E。 6.C【解析】如图，过点B作BG∥CD,连接EG, '中C B E 根据题意，得∠ADB=90°，AD=8dm,CD=7dm, 因为BG∥CD,所以∠ABG=∠CFB=a。 所以AC=AD-CD=8-7=1(dm)。所以AB=17dm, 因为BG2=12+42=17,BE2=12+42=17, 所以BD2=AB2-AD2=172-82=152。 EG2=32+52=34, 所以BD=15dm。 所以BG+BE=EG2。所以△BEG是直角三角形。 所以BE=BD-DE=15-6=9(dm),即滑块B向左滑 所以∠GBE=90°。所以LABE=∠GBE+LABG=90°+a。 动的距离为9dm。 7.解：如图，连接AC, 专项突破五直角三角形的判定 因为∠B=90°，AB=BC=2, 1.B 所以AC2=22+22=8,∠BAC=45°。 2.C【解析】①因为∠A+∠B=∠C, 又因为CD=3,DA=1, ∠A+∠B+∠C=180°， 所以AC2+DA2=8+1=9,CD2=9。 所以2∠C=180°。所以∠C=90°。 所以AC2+DA2=CD2。