18 专项突破二 等腰三角形的应用-【全程复习大考卷】2025-2026学年新教材七年级上册数学(鲁教版 五四学制2024)

∠BDA=∠AEC,∠ABD=∠CAE,AB=CA, 所以△ABC≌△EDC(ASA)。 所以△ABD≌△CAE(AAS)。 所以AB=ED=16m。 所以BD=AE,DA=CE。 因为AM=0.5m,BN=1.5m, 所以DE=AE+DA=BD+CE。 所以MN=16-0.5-1.5=14(m)。 (2)成立。理由如下： 20.1【解析】如图，过点A'作A'F⊥BD于点F, 因为∠BDA=∠AEC=∠BAC=a, 由题意得AC⊥BD,BD⊥DE,AB 所以∠BAD+∠CAE=180°-， =A'B, C 且∠DBA+∠BAD=180°-aO 所以点A'到地面DE的距离为 所以∠DBA=∠CAE。 DF的长， 地面 在△ABD和△CAE中， ∠ACB=∠BFA'=90°。 ∠BDA=∠AEC,∠DBA=∠EAC,AB=CA, 所以∠A'BF+∠BA'F=90°。 所以△ABD≌△CAE(AAS)。 因为A'B⊥AB, 所以BD=AE,CE=DA。 所以∠A'BF+∠ABC=90°。 所以DE=AE+DA=BD+CE。 所以∠ABC=∠BA'F。 17.3【解析】设出发x秒后，在线段MA上有一点C,使 在△ACB和△BFA'中， ∠ACB=∠BFA',∠ABC=∠BA'F,AB=BA', △CAP与△PBQ全等， 所以△ACB≌△BFA'(AAS)。 由题意知BP=xm,BQ=3xm,则AP=(12-x)m。 所以AC=BF。 当△APC≌△BQP时，AP=BQ, 所以DF=BD-BF=BD-AC=2.5-1.5=1(m)。 即12-x=3x,解得x=3; 21.解：(1)如图，即为所求作。 当△APC≌△BPQ时，AP=BP=2AB=6m, 北 所以此时所用时间是6秒，AC=BQ=18>MA,不合题 意，舍去。 综上所述，出发3秒后，在线段MA上有一点C,使 △CAP与△PBQ全等。 D (2)在△ACB和△DCE中， M ∠ACB=∠DCE,AC=DC,∠BAC=∠EDC, 所以△ACB≌△DCE(ASA)。 A 所以AB=DE=120-20-20=80(步)。 D 因为一步约0.5米，所以AB=80×0.5=40(米)。 18.解：因为AC=6cm,BC=8cm,点D以1cm/s的速度从 所以A,B两点间的距离约为40米。 点A出发，沿AC移动到点C,同时点E以3c/s的速度 专项突破二等腰三角形的应用 从点B出发，沿BC移动到点C,所以CD=(6-t)cm, 1.40°或80° CE=(8-3t)cm。 2.65°或25°小斗提示：当题目中没有图形时，要考虑图形可能 因为CD=CE,所以6-t=8-3t。所以t=1。 存在多种情况。 因为DM⊥PQ,EN⊥PQ,∠ACB=90° 【解析】如图1，当AB的垂直平分线与AC相交于点 所以∠DMC=∠CNE=90°. D时， 所以∠DCM+∠CDM=∠DCM+∠NCE。 因为∠ADE=40°，所以A=90°-40°=50°。 所以∠CDM=∠NCE。 因为AB=AC,所以∠B=∠C=(180°-50)÷2=65°； 又因为CD=EC,所以△DCM≌△CEN(AAS)。 19.14【解析】因为AB⊥BF,DE⊥BF, D 所以∠B=∠EDC=90°。 40 在△ABC和△EDC中， ∠B=∠EDC,BC=DC,∠BCA=∠DCE, 图1 图2 .68· ★全程复习大考卷·数学·七年级上册 如图2，当AB的垂直平分线与CA的延长线交于点D 因为7+6>7，符合构成三角形的条件， 时，因为∠ADE=40°，所以∠DAE=90°-40°=50°。 所以能围成底边长为6cm,腰长为7cm的等腰三角形； 所以∠BAC=180°-50°=130°。 当6cm是该等腰三角形的腰长时，设底边长为ycm, 因为AB=AC,所以∠B=∠C=(180°-130)÷2=25°。 根据题意，得6+6+y=20,解得y=8。 综上，∠C的度数为65°或25°。 此时所围成等腰三角形的三边长为6cm,6cm,8cm。 3.小斗提示：在等腰三角形中，没有具体说明角是顶角或底角时， 因为6+6>8，符合构成三角形的条件， 要分情况讨论。 所以能围成底边长为8cm,腰长为6cm的等腰三角形。 解：(1)设∠B=x°。 综上，能围成一条边长为6cm的等腰三角形。 因为三角形ABC是等腰三角形，∠A是顶角， 8.解：根据题意，得b-2=0,a-b-2=0, 所以∠B=∠C=x°。 解得b=2,a=4。 因为∠A=4∠B,所以6x°=180°。所以x=30。 所以腰长为4，底边长为2。 所以∠C的度数为30°。 所以等腰三角形的周长为4+4+2=10。 (2)设∠B=x°。 9.小斗分析：设AB=AC=2x,则AD=CD=x。根据题意，可知有两 因为三角形ABC是等腰三角形，∠A是底角， 种情况，AB+AD=12或AB+AD=10,从而根据等腰三角形的性 所以∠A=∠C=4x°。 质及三角形三边关系即可求出底边长。 所以9x°=180°。所以x=20。 所以∠C=4x°=80°。 解：设AB=AC=2x。 所以∠C的度数为80°。 因为BD为边AC上的中线，所以AD=CD=x。 4.A 当AB+AD=12时，2x+x=12,解得x=4。 5.解：当腰为3时，则三角形的三边长为3,3,7，无法构成 所以CD=4。 三角形；当底边为3时，则三角形的三边长为3,5,5，可 因为BC+CD=10,所以BC=10-CD=6; 以构成三角形。所以等腰三角形的底边为3。 当AB+40=10时，2x+x=10,解得x=号。 6.解：如图，过点C作DC⊥BA,交BA的延长线于点D。 -TD 所以cD-9。 因为BC+CD=12,所以BC=2-CD=约。 在△ABC中，CD⊥AB,AB=AC=20, 综上，底边5C的长为6或5。 所以∠B=∠ACB=15°。由三角形内角和以及平角的 定义， 10.解：设运动的时间为x秒。 得∠CAD=∠B+∠ACB=30°。 在△ABC中，BC=20cm,AC=18cm, CM=(18-2x)cm,CN =1.6x cmo 在Rt△ACD中，CD=4C=10, 当△CMN是等腰三角形时，CM=CN, 所以该等腰三角形腰上的高为10。 即18-2x=1.6x,解得x=5。 7.解：(1)设该等腰三角形的底边长为acm,则腰长是 所以CM=CW=18-2×5=8cm。 2a cmo 所以等腰三角形CMN的腰长为8cm。 根据题意，得2a+2a+a=20,解得a=4。所以2a=8。 11.25或65 此时该等腰三角形的三边长为8cm,8cm,4cm。 12.18°或36°或54°或72° 因为8+4>8，符合构成三角形的条件， 13.解：(1)508020 所以该等腰三角形的底边是4cm。 (2)能围成。理由如下： (2)当∠A是顶角时，∠B=1802-&=90°-受： 2 当6cm是该等腰三角形的底边长时，设腰长为xcm, 当∠A是底角，∠B是底角时，∠B=ax; 根据题意，得2x+6=20,解得x=7。 当∠A是底角，∠B是顶角时，∠B=180°-a-a= 此时所围成等腰三角形的三边长为7cm,7cm,6cm。 180°-2a。 14.解：如图所示。 设∠B=∠C=∠BAD=B,∠CAD=∠CDA=aO 之0 同①，得LADC=∠BAD+∠B,所以a=2B。 340° 40°220 ∠40°680° 因为3B+a=180°，所以5B=180°。 图1 图2 所以B=36°，a=72°。 15.解：(1)能。如图甲，将60角分成40°和20°两个角；如 所以∠BAC=a+B=108°。 图乙，将105°角分成35°和70°两个角。 综上，等腰三角形纸片的顶角的度数共有四种情况，分 40°9 别为36°或180或90°或108。 35o 709 40 809 17.解：能围成，底边长为9cm或7cm。理由如下， 35° 40° 甲 当底边长为9cm时，腰长为(25-9)÷2=8(cm), (2)如图1，当三角形是直角三角形时，斜边的中线能 因为8+8>9，所以能围成底边长为9cm的等腰三 将三角形分成两个等腰三角形；如图2，当三角形中一 角形； 个角是另一个角的2倍时，一定能分成两个等腰三角 当腰长为9cm时，底边长为25-9-9=7(cm), 形；如图3，当三角形中有一个角是另一个角的3倍时， 因为7+9>9，所以能围成腰长为9cm的等腰三角形。 一定能分成两个等腰三角形。 18.解：(1)△APB是直角三角形。理由如下： 因为AB=AC,∠B=30°， 所以∠C=∠B=∠APQ=30°。 因为PQ∥CA,所以∠BPQ=∠C=30°。 2a Ja 所以∠APB=∠BPQ+∠APQ=30°+30°=60°。 图1 图2 图3 所以∠BAP=180°-∠B-∠APB=180°-30°-60°= 16.解：有四种情况， 90°。所以△APB是直角三角形。 (2)当AQ=PQ时，∠QAP=∠APQ=30°， 由三角形的内角和以及平角的定义， 得∠BQP=∠QAP+∠APQ=30°+30°=60°； 2a B Ka B7 D 当AP=PQ时，∠AQP=∠PAQ=2x(180-∠APQ)= 图1 图2 图3 图4 ①如图1，因为AB=AC,AD=BD=BC, 2×(180°-30)=75°， 设∠A=,则LABD=a。 所以∠BQP=180°-∠AQP=180°-75°=105°； 因为∠BDC+∠ADB=180°，由△ADB内角和，得 当AQ=AP时，∠AQP=∠APQ=30°， ∠ADB=180°-∠A-∠ABD。 因为点P不与点B,C重合，所以此种情况不存在。 所以∠BDC=2a。 综上，∠BQP=60°或105°。 所以∠ABC=∠C=∠BDC=2a。 19.解：因为等腰三角形ABC是“倍长三角形”， 因为∠BDC=2∠A,所以∠ABC=2∠A。 所以AB=2BC或BC=2AB。 因为∠A+∠ABC+∠C=180°， 若AB=2BC=6,则△ABC三边分别是6,6,3，符合题 所以5a=180°，a=36°。 意，所以腰AB的长为6； 所以∠A=36°； 若BC=2AB=3,则AB=1.5, ②如图2，AD=BD,BC=CD, 此时△ABC三边分别是1.5,1.5,3， 设∠A=B,则∠ABD=B。同①，得∠1=2B=∠2。 因为1.5+1.5=3，所以此时不能构成三角形。 因为∠ABC=∠C,所以∠C=∠2+B。 综上，腰AB的长是6。 所以∠C=3B。所以7B=180°。 20.小斗分析：(1)根据三角形的“双等腰线”定义即可解决问题； 所以B=10,即∠A19； 7； (2)分两种情况：①当AD=BD,BD=BC时；②当AD=BD,BC= ③如图3，AD=DB=DC,则∠BAC=90°； CD时。设顶角为x,列方程即可解决问题；(3)运用三角形的 ④如图4，AB=AC=CD,AD=BD, “双等腰线”定义和等腰三角形性质即可求得答案。 解：(1)①如图1，在AB上取一点D,连接CD,使CD=BC, 所以∠C=∠DAC=33°，∠EAD=180°-∠B-∠C- 所以∠CDB=∠B=70°。 ∠DAC=114°-y,∠ADB=66°。 因为∠A=35°，由三角形的内角和以及平角的定义， 因为BE=DE,所以∠B=∠BDE=y。 得∠ACD=70°-35°=35°。 所以∠AED=2y,∠ADE=∠ADB-∠BDE=66°-y。 所以∠ACD=∠A。所以AD=CD=BC。 因为AD和DE是△ABC的“三等腰线”， 所以△ADC和△BCD是等腰三角形； 所以△ADB或△ADE是等腰三角形。 当AD=AB时，∠B=∠ADB,则∠B=y=66°。 5 D54° 又因为BE=DE,所以∠EDB=∠B。 A∠35°0902B 54 D A27 27T9B 所以∠EDB=∠ADB。 此时点E与点A重合，与题意矛盾； 图1 图2 当AD=BD时，∠EAD=∠B, ②如图2，作AB的垂直平分线DE,交AC于点D,交AB 则114°-y=y,解得∠B=y=57°； 于点E,连接BD, 当AB=BD时，∠EAD=∠ADB, 所以AD=BD。所以∠A=∠ABD=27°。 则114°-y=66°，解得∠B=y=48; 由三角形的内角和以及平角的定义，得∠CDB=54°。 当AD=DE时，∠EAD=∠AED, 因为∠ABC=81°， 则114°-y=2y,解得∠B=y=38°； 所以∠CBD=81°-27°=54°=∠BDC. 当AD=AE时，∠ADE=∠AED, 所以CD=BC。 则66°-y=2y,解得LB=y=22°； 所以△ADB和△BCD是等腰三角形。 当AE=DE时，∠EAD=∠ADE, (2)72或40° 【解析】根据题意，设∠A为顶角， 则114°-y=66°-y,无解。 综上，∠B的度数为57°或48°或38°或22°。 AB=AC,BD为“双等腰线”。 专项突破三利用轴对称解决最值问题 ①如图3，当AD=BD,BD=BC时， 1.D 设∠A=x,则∠ABD=x, 所以∠BDC=∠C=2x。所以LABC=∠C=2x。 2.6【解析】如图，由题意可知点B关 因为∠A+∠ABC+∠C=180°， 于直线AD的对称，点为C,连接CE,设 CE与直线AD的交点为P,则PB+PE 所以x+2x+2x=180°。 所以x=36°，2x=72°。所以∠C=72°； =CE,即当CE⊥AB时取得最小值。 因为△ABC是等边三角形， A 4 所以CE=AD=6。 3.B【解析】如图，连接CP, D x 因为EF垂直平分BC, 所以BP=CP。 图3 图4 所以AP+BP=AP+CP≥AC。 ②如图4，当AD=BD,BC=CD时， 所以当A,P,C三点共线时，AP+BPE 设∠A=x,则∠ABD=x, 的值最小。 所以∠BDC=∠CBD=2x。 因为AC=4,所以AP+BP的最小值为4。 所以∠ABC=∠C=3x。 4.6【解析】因为MN垂直平分AC, 因为∠A+∠ABC+∠C=180°， 所以MA=MC。 所以x+3x+3x=180°。 因为△BMC的周长是16，AB=10, 所以-180,3x-549。 7。所以LC=540° 所以BC=△BMC的周长-(MC+ 7。 MB)=16-(AM+MB)=16-AB= ,'M 筛上，底角庭载是72或50。 16-10=6。 ,点P在直线MN上，如图，连接PA, (3)设∠B=y, PC,PB 因为∠C=33°，AD=DC, ★全程复习大考卷·数学·七年级上册 ·69·专项突破二等腰三角形的应用 类型一利用等腰三角形的性质求角 1.在△ABC中，AB=AC,∠B的平分线与边AC所夹的锐角为60°，则∠C的度数为 2.新素养〔运算能力〕在△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线与边AC所在的直线相交所得的锐角为 40°，则∠C的度数为 0 ! 3.教改题在等腰三角形ABC中，∠A=4∠B。 (1)若∠A是顶角，求∠C的度数； (2)若∠A是底角，求∠C的度数。 办 类型二利用等腰三角形的性质求边（周长） 4.若实数x,y满足x2-10x+25+1y-101=0,则以x,y的值为两边长的等腰三角形的周长是（) A.25 B.20 C.16 D.20或25 5.新素养〔几何直观〕等腰三角形的周长为13，其中一边长为3，则三角形的底边为多少？ 救 6.如图，等腰三角形ABC的底角为15°，腰长为20，求腰上的高。 B 7.有一条长为20cm的细绳围成一个等腰三角形。 (1)如果腰长是底边长的2倍，那么底边长是多少？ (2)能围成一条边长为6cm的等腰三角形吗？请说明理由。 8.已知√a-b-2+（b-2)2=0,求腰长为a,底边长为b的等腰三角形的周长。 养 9.在△ABC中，AB=AC,BD为边AC上的中线，BD把△ABC的周长分成12和10两部分，求底边BC 的长。 10.如图，在△ABC中，AC=18cm,BC=20cm,点M从点A出发以每秒2cm的速度向点C运动，点N 从点C出发以每秒1.6c的速度向点B运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停 止运动，当△CMN是以MN为底的等腰三角形时，求等腰三角形CMN的腰长。 类型三等腰三角形形状的应用 主题情境建筑设计中的几何应用请完成第11~12题 在建筑设计中，设计师经常需要运用几何知识来解决问题。以下是几个等腰三角形相关的设计问 题，请帮助设计师更好地理解和运用几何原理。 11.原创题设计师在设计一个等腰三角形的屋顶时，发现等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是40°， 则这个等腰三角形的屋顶的底角度数为 12.新情境〔实际情境〕如图，设计师需要在三角形装饰图案ABC上进行调整，已知∠C=36°，设计师在 边AC上确定一点D,沿BD方向剪开三角形纸片后，发现所得的两个纸片均为等腰三角形，则∠A 的度数可以是 13.已知△ABC是等腰三角形。 (1)若∠A=80°，当∠A为顶角，∠B为底角时，∠B=°； 当∠A为底角，∠B为底角时，∠B= 当∠A为底角，∠B为顶角时，∠B= (2)若∠A=,求∠B的度数。（用含α的代数式表示） ★全程复习大考卷·数学·七年级上册 ·35· 类型四用等腰三角形的判定分割三角形 14.新考法〔拓展探究〕图1，图2均是三个角分别为20°，40°，120°的三角形。在图1，图2中，过三角形 的一个顶点作直线把此三角形分成两个等腰三角形（图1，图2中的分割线不同）。要求画出分割 线，并标出等腰三角形底角的度数。 图1 图2 15.新情境〔项目式学习〕剪等腰三角形。 【动手尝试】 (1)如图，有甲、乙两张三角形纸片，甲三角形纸片的内角分别为40°，60°，80°；乙三角形纸片的内角 分别为35°，40°，105°。你能把每一张三角形纸片剪成两个等腰三角形吗？若能，请画出剪痕并 标出各角的度数；若不能，请说明理由； 【项目研究】 (2)结合上述尝试，请思考归纳出一张三角形纸片能剪成两个等腰三角形需具备的条件，并画出相 应的示意图说明剪法。 60° 105° ∠40°80% 35° 40°入 分 乙 16.现有等腰三角形纸片，如果能从一个角的顶点出发，将原纸片一次剪成两个等腰三角形纸片，此时 的等腰三角形的顶角的度数是多少？只有一种情况吗？ 类型五等腰三角形存在性的识别 17.用一条长为25cm的细绳能围成有一边长为9cm的等腰三角形吗？如果能，请求出它的底边长。 ·36· ★全程复习大考卷·数学·七年级上册 18.在△ABC中，AB=AC,∠B=30°，点P在边BC上运动（点P不与点B,C重合），连接AP,作∠APQ= ∠B,PQ交AB于点Q。 (1)如图，当PQ∥CA时，判断△APB的形状并说明理由； (2)在点P的运动过程中，当△APQ的形状是等腰三角形时，请求出∠BQP的度数。 B C 备用图 郑 类型六等腰三角形与新定义相结合的应用 19.定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”。若等腰三角形 ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，求腰AB的长。 20.定义：如果一条线段将一个三角形分割成两个等腰三角形，我们把这条线段叫作这个三角形的“双 等腰线”；如果两条线段将一个三角形分成三个等腰三角形，我们把这两条线段叫作这个三角形的 “三等腰线”。补充说明：在几何中，三角形的外角是指一个内角的邻补角，即由三角形的一边和另 边的延长线组成的角。一个重要性质是三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和。这一性 质在分析等腰线或双等腰线分割后的角度关系时非常有用，请根据以上新定义和补充说明完成下 列问题。如图1，BE是△ABD的“双等腰线”，AD,BE是△ABC的“三等腰线”。 (1)请在图2中，作出△ABC的“双等腰线”，并标注相等角的度数； ①∠B=70°，∠A=35°；②∠B=81°，∠A=27°。 (2)如果一个顶角是锐角的等腰三角形有“双等腰线”，那么它的底角度数是 (3)已知在△ABC中，∠C=33°，AD和DE分别是△ABC的“三等腰线”，点D在边BC上，点E在边 AB上，且AD=DC,BE=DE,请求出∠B的度数。 30 30E 30 X60° B60 30°C D A A 图1 图2