7 第三章 勾股定理 学业水平测试-【全程复习大考卷】2025-2026学年新教材七年级上册数学(鲁教版 五四学制2024)

第三章学业水平测试 (时间：60分钟满分：100分) 题序 二 三 总分 得分 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分） 1.下列四组数据中，能作为直角三角形三边长的是 A.32,42,52 B.6,8,10 c写好5 D.7,12,13 p 2.两个边长分别为α，b的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成如图所示的图形，用 两种不同的计算方法计算这个图形的面积，则可得等式为 A.(a+b)2=c2 B.(a-b)2=c2 C.a2-b2=c2 D.a2+b2=c2 ⑩ ⑨ ⑧ D ⑦ ⑤ ④ 9 ① e 9 第2题图 第3题图 第4题图 第5题图 3.新考法〔数学文化〕如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形拼接 而成。若AB=17,AH=8,则正方形EFGH的边长是 ( A.5 B.6 C.7 D.8 4.如图，在长方形ABCD中，AB=3cm,AD=9cm,将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF,则 △ABE的面积为 A.3 cm2 B.4 cm2 C.6 cm2 D.12 cm2 5.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，在图中找出若干个图形，使得它们 的面积之和恰好等于①的面积，下列给出的方案中，错误的是 A.③④ B.②⑤⑥ C.④⑦⑨ D.③⑧0 6.如图，在△ABC中，AC=AD,BD=5,CD=4,记AB长为x,AC长为y。当x,y的值发生变化时，下列代 量 数式的值不变的是 A.x+y B.x-y C.2+y2 D.x2-Y2 B 第6题图 第7题图 第8题图 7.如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地ABCD,测得AB=9m,BC=12m,CD=8m,AD=17m, 且∠ABC=90°，这块菜地的面积是 () 料 A.48m2 B.114m2 C.122m2 D.158m2 8.如图，长方体的上下底面是正方形，底面边长为5，高AB为9。在其侧面从点A开始，绕侧面两周，嵌 入装饰彩条至点B停止，则彩条的最短长度为 () A.41 B.50 C.9 D.29 9.新情境〔实际情境〕松松学习了“勾股定理”之后，为了计算如图所示的风筝高度CE,测得如下数据： ①BD⊥CE,且BD的长度为12m;②风筝线BC的长度为15m;③松松身高AB为1.6m。若松松想 使风筝沿CD方向下降4m,则他应该往回收线 () A.2 m B.5 m C.5.4m D.3.6m B D C 第9题图 第10题图 10.新考法〔跨学科〕杜甫曾经哀叹“茅屋为秋风所破”，苦于杜甫不曾学过今日几何，不然也不会如此绝 望。如图是一个茅屋的屋顶剖面，它是等腰三角形，如果屋檐AB=AC=5米，横梁BC=8米，那么 从梁BC上的任意一点D要支一根木头顶住屋顶A处，这根木头的长度可能是 () A.2.5米 B.6米 C.4米 D.8米 二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分） 11.一个三角形的三边之比为8：15：17，这个三角形是 三角形。 主题情境航行中的勾股定理请完成第12~13题 12.如图，甲、乙两艘客轮同时离开港口A,航行的速度都是400m/min,甲客轮用15min到达点B,乙客 轮用20min到达点C。若B,C两点的直线距离为10000m,甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则 乙客轮的航行方向是 北 北 南 南 第12题图 第13题图 13.原创题如图，甲船从港口A出发向东北方向航行16海里到达B地，乙船同时从港口A出发向东南方 向航行12海里到达C地，此时两船之间的距离是 海里。 14.如图1是传统的手工推磨工具，根据它的原理设计了如图2的机械设备，磨盘半径0Q=25cm,用长 为125cm的连杆将点Q与动力装置P相连（∠OQP大小可变），点P在轨道AB上滑动，并带动磨 盘绕点O转动，OA⊥AB,OA=80cm。在磨盘转动过程中，点P到点A的最小距离为 cm。 0 P B 图1 图2 15.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8,BC=6,D为射线BC上一点，当△ABD是以BD为腰的等腰三 角形时，CD的长为 ★全程复习大考卷·数学·七年级上册 ·13· 三、解答题（本题共7个小题，共55分） 16.(6分)如图是某滑雪台的截面示意图，已知滑雪台的高度AC为7米，滑雪台的长度AB为25米，则 滑雪台水平距离BC为多少米？ A B 797777777777777777777分777 17.(6分)如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC,CD⊥AB,且CD=4cm,BD=3cm。 （1)求AD的长； (2)求△ABC的面积。 D B 18.(8分)某工厂的大门如图所示，其中下方是高为2.3米、宽为2米的长方形，上方是半径为1米的 半圆形。货车司机小王开着一辆高为3米、宽为1.6米的装满货物的卡车，能否进入该工厂大门？ 请说明你的理由。 1米 B A 米80 2.3米 A B 一2米 19.(8分)将四块全等的直角三角纸板拼成如图1所示的图案，你能由此确定出直角三角形三边长α， b,c之间的关系吗？试试看。 (1)大正方形的面积可以表示为 ,又可以表示为 ,从而可得到 (2)若将这四块纸板拼成如图2所示的图案，你能通过对比图1与图2，换一种方法验证勾股定 理吗？ e 图1 图2 20.（8分)新情境〔实际情境〕综合与实践：如图，某校园有一尊孔子雕像。 (1)孔子雕像底座正面是四边形ABCD,现提供一足够长的卷尺，请你设计一个方案检测雕像底座 正面的边AB是否垂直于边BC; 14· ★全程复习大考卷·数学·七年级上册 (2)若孔子雕像底座是个长方体，量得边AB=BC=80cm,边CE=70cm,一只蚂蚁从顶部点A沿长 方体的表面爬到底部点E,蚂蚁爬行的最短路程是多少？ 21.(9分)如图为一街区的店铺分布图，AC为一条笔直的公路，B,D分别为便利店和面馆，E为公路边 的公交站牌，站牌E在便利店B的正东方向，面馆D在便利店B的正南方向，已知A,D之间距离为 250米，且A在面馆D的正北方向，公交站牌E到便利店B的距离BE长为120米，到面馆的距离 DE长为150米。 (1)若小华和小丽分别从公交站牌E走到A处和面馆D处，那么两人的总路程为多少米？ (2)求面馆D到公路AC的距离。 北 十东 公路 B便利店 E公交站牌 C D面馆 22.(10分)对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD,对角 线AC,BD交于点O。 (1)若A0=2,B0=3,C0=4,D0=5,请求出AB2,BC,CD2,DA2的值； (2)若AB=6,CD=10,求BC2+AD2的值； (3)请根据(1)(2)题中的信息，写出关于“垂美”四边形关于边的一条结论。 D 0 B 选做题 有一个边长为1的正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上长出两个小正方形，其中，三个正 方形的三条边围成的三角形是直角三角形，再经过1次这样的“生长”后，变成了如图1所示的图形。 如果照此规律继续“生长”下去，它将变成如图2所示的“枝繁叶茂的勾股树”，那么“生长”了2025次 后形成的图形中所有正方形的面积和是 0 勾股树 图1 图28.C【解析】因为42+52≠62,62+82≠92,92+372≠ 所以△ABC是直角三角形，∠BAC=90°。 382,7+242=252,所以选项A,B,D不能组成直角三角 所以学生搭建的帐篷符合条件。 形，选项C能组成直角三角形。 14.解：(1)6【解析】当n=2时，a=4,b=3,c=5。 小斗总结 因为32+42=52，所以以a,b,c的值为三边长的三角形 判断三条线段首尾相连能否组成直角三角形，关键看两条较 短线段长的平方和是否等于最长线段长的平方。 是直角三角形，面积为3×3x4=6。 9.D小斗提示：满足a2+b2=c2的三个正整数是勾股数。 (2)小斗的猜想正确。理由如下： 【解析】因为12+22≠32；0.3,0.4,0.5不是整数； a2+b2=(2n)2+(n2-1)2=4n2+n-2n2+1=n4+ 132+142≠152,82+152=172，所以选项A,B,C都不是 2n2+1,c2=(n2+1)2=n+2n2+1,所以a2+b2=c2。 勾股数，选项D是勾股数。 所以当n取大于1的整数时，a,b,c为勾股数。 10.17【解析】当15为直角边长时，设斜边长为x,则152+ 所以小斗的猜想正确。 82=x2,解得x=17;当15为斜边长时，设另一直角边长 15.D【解析】因为AC=12米，BC=9米， 为x,则152=82+x2,解得x2=161,所以x不是整数。 所以AB2=AC2+BC2=122+92=225。 所以第三条线段的长为17。 所以AB=15米。 11.12小斗提示：先判定三角形是直角三角形，再根据面积法求 所以AC+BC-AB=12+9-15=6(米)。 16.2 斜边上的高。 17.0.8【解析】由题意知，AB=DE=2.5m,CD=2.4mo 【解析】如图，过点C作CD⊥AB于A 在Rt△CDE中，CE为直角边， 点D。 所以CE2=DE2-CD2=2.52-2.42=0.72。 因为AC2+BC2=152+202=625, 所以CE=0.7m。 AB2=252=625 因为BC=1.5m,所以BE=BC-CE=1.5-0.7=0.8(m)。 所以AC2+BC2=AB2。 所以梯子底部向墙边滑行了0.8m。 所以∠C=90°。 18.解：在Rt△ABC中，∠CAB=90°，BC=17米，AC=8米， 因为SAx=2AC,BC=2B·CD,所以AC·BC= 所以AB2=BC2-AC2=172-82=225。 AB·CD。所以15×20=25CD,解得CD=12。 所以AB=15米。 所以这个三角形最长边上的高为12。 因为CD=10米，所以AD2=CD2-AC2=102-82=36。 12.小斗提示：先根据勾股定理计算三边长的平方，再根据直角三角 所以AD=6米。所以BD=AB-AD=15-6=9(米)。 所以船向岸边移动了9米。 形的判定方法判定三角形是直角三角形。 19.解：(1)因为AC2+BC2=1602+1202=40000, 解：因为△ABC在边长为1的小正方形组成的网格中， AB2=2002=40000,所以AC2+BC2=AB2。 所以AB2=12+12=2,AC2=32+12=10,BC2=22+22=8。 所以△ABC是直角三角形，∠ACB=90°。 所以AB2+BC2=AC2。所以△ABC是直角三角形。 (2)当CD⊥AB时，铺设水管的长度最小。 所以∠ABC=90°。 13.解：学生搭建的帐篷符合要求。理由如下： 因为SAC=2AB·CD=2AC·BC, 在Rt△ACD中，CD=0.9m,AD=1.2m, 所以AB·CD=AC·BC。 所以AC2=AD2+CD2=1.22+0.92=2.25。 所以200CD=120×160,解得CD=96。 所以AC=1.5m。 所以铺设水管的最小长度为96米。 在Rt△ADB中，AB=2m,AD=1.2m, 20.50【解析】如图，将三棱柱沿AA'展开， 所以BD2=AB2-AD2=22-1.22=2.56。 10cm 所以BD=1.6m。 10cm 所以BC=BD+CD=1.6+0.9=2.5(m)。 10cm 因为AB2+AC2=22+1.52=6.25,BC2=2.52=6.25, 40cm 所以AB2+AC2=BC2。 根据勾股定理，得AA2=302+402=502。 ·58· ★全程复习大考卷·数学·七年级上册 所以AA'=50cm。 所以D=AD2-A=172-82=225。所以DH=15。 所以这一圈彩带的长度至少为50cm。 所以EH=DH-DE=15-8=7。 21.解：如图1，把长方体的右侧表面剪开，与前面这个侧面 所以正方形EFGH的边长是7。 所在的平面形成一个长方形，标注点D。 4.C小斗提示：折叠前后对应角相等，对应边相等。 B D 【解析】根据题意，得BE=DE。 因为AD=9cm=AE+DE=AE+BE,所以BE=9-AE。 根据勾股定理可知AB2+AE2=BE2, 所以32+AE2=(9-AE)2,解得AE=4。 图1 所以△ABE的面积为3×4÷2=6(cm2)。 因为长方体的宽为10cm,高为20cm,点B与点C之 5.B【解析】如图，设②的三边 0 间的距离是5cm, 长分别为a,b,c,则③的面积 ⑨ ⑥ 为a2,④的面积为b2,①的面 ⑤ ⑧ 所以BD=CD+BC=10+5=15(cm),AD=20cm。 ⑦ 积为c2。由勾股定理，得 ③a 6 根据勾股定理，得AB2=BD2+AD2=152+202=625, ② 所以AB=25cm; a2+b2=c2,所以③④的面积 c 如图2，把长方体的右侧表面剪开，与上面这个侧面所 和等于①的面积。故A不符 在的平面形成一个长方形，标注点D。 合题意；由勾股定理和正方 因为长方体的宽为10cm,高为20cm,点B与点C之 形的面积公式，得⑦⑨的面积和等于③的面积，⑧0的 间的距离是5cm, 面积和等于④的面积，所以④⑦⑨的面积和等于①的面 所以BD=CD+BC=20+5=25(cm),AD=20cm。 积，③⑧⑩的面积和等于①的面积。故C,D不符合题 根据勾股定理，得AB2=BD2+AD2=102+252=725; 意；由条件不能证明②⑤⑥的面积和等于①的面积。故 B符合题意。 6.D【解析】如图，过点A作AE⊥BC,垂足为E。 B D 图2 图3 因为AC=AD,CD=4,所以可以得到△ADC兰△ACE。 如图3，把长方体的上表面剪开，与后面这个侧面所在 所以DE=2CD=2,∠AED=90。 的平面形成一个长方形，标注点D。 因为长方体的宽为10cm,高为20cm,点B与点C之 因为BD=5,所以BE=BD+DE=5+2=7。 在Rt△ADE和Rt△ABE中，AB2-BE2=AD2-DE, 间的距离是5cm, 所以x2-72=y2-22。所以x2-y2=45。 所以AC=CD+AD=10+20=30(cm),BC=5cm。 根据勾股定理，得AB2=AC2+BC2=302+52=925。 7.B【解析】如图，连接AC。 因为625<725<925， 因为∠ABC=90°，AB=9m, BC=12 m, 所以蚂蚁爬行的最短距离是25cm。 所以AC=AB2+BC2=92+122=225。 第三章学业水平测试 1.B 所以AC=15m。 因为CD=8m,AD=17m, 2.D 【解析】根据题意，得S=(a+6)(a+b),S=20 2b￥ 所以AC2+CD2=152+82=289,AD2=172=289。 2b+2,所以宁a+b(a+)=b+b+2。 1 所以AC2+CD2=AD。所以△ACD是直角三角形。 所以∠ACD=90°。 整理，得a2+b2=c2。 3.C【解析】根据题意，得AD=AB=17,AH=8,∠AHD=90°， 所以S。w=SAM度+SA=2AB·BC+2AC.CD- 分×9x12+7×15x8=54+60=14(m2)。 由题意可知，AE≤AD<AC,即3米≤AD<5米， 故这根木头的长度可能是4米。 所以这块菜地的面积为114m2。 11.直角 小斗总结… 12.南偏东60°【解析】甲的路程为400×15=6000(m), 借助勾股定理求四边形的面积，通常连接对角线，把四边形分 乙的路程为400×20=8000(m)。 成两个三角形。 因为60002+80002=100002， 8.A【解析】如图，将长方体的侧面沿AB展开，取AB的 所以△ABC为直角三角形。所以∠BAC=90°。 中点C',取A'B'的中点C,连接B'C,AC,则AC+B'C即 因为甲客轮沿着北偏东30°的方向航行， 为所求的最短彩条长。 所以乙客轮的航行方向是南偏东60°。 B B 13.20【解析】因为两船行驶的方向分别是东北方向和东 南方向， C 所以∠BAC=90°。所以△ABC为直角三角形。 A 根据勾股定理，得BC2=AB2+AC2=162+122=400, 根据题意，得A'C=B'C=4.5,AA'=20, 所以BC=20海里。所以两船之间的距离是20海里。 根据勾股定理， 14.60小斗提示：解题的关键是确定0，P,Q三点共线时点P到 得ac=aM”+AC=20+(3-(, 点A的距离最小。 【解析】如图，当O,P,Q三，点共线时，点P到点A的距 所以4C-号。同里可得BC= 20 离最小。 所以AC+B'C'=41,即彩条的最短长度是41。 0 9.A【解析】因为BD⊥CE,所以∠BDC=90°。 由勾股定理，得CD2=BC2-BD2=152-122=81, 所以CD=9m。 A 如图，设风筝沿CD方向下降4m至点M,连接BM, 在Rt△A0P中，0A=80cm,OP=125-25=100(cm), C 由勾股定理，得AP2=0P2-0A2=1002-802=602, M 所以AP=60cm。 所以，点P到，点A的最小距离为60cm。 A E 则CM=4m,所以DM=CD-CM=9-4=5(m)。 14或好 小斗提示：本题答案不唯一，应注意分类讨论。 【解析】在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB=AC2+BC2= 所以BM2=BD2+DM2=122+52=132。 82+62=100,所以AB=10。 所以BM=13m。 如图1，当AB=BD=10时， 所以BC-BM=15-13=2(m), 则CD=BD-BC=10-6=4; 即松松应该往回收线2m。 小斗总结 解决此类问题的关键是从实际问题中建立直角三角形模型， 借助勾股定理列式计算。 10.C【解析】如图，过点A作AE1 A D BC于点E。 图1 图2 因为AB=AC=5米，BC=8米， B ED 如图2，当AD=BD时，设AD=BD=x,则CD=x-6。 所以BB=CB=6C=×8=4(来)。 在Rt△ACD中，AD2=CD2+AC2, 在Rt△ABE中， 即2=(x-6)2+82,解得x=25 由勾股定理，得AE2=AB2-BE2=52-42=9, 所以AE=3米。 所以0曾-6=子 7 综上，CD的长为4或了。 16.解：在Rt△ABC中，AB=25米，AC=7米， 80 cm 由勾股定理，得BC2=AB2-AC2=252-72=242。 80cm C 70cm 所以BC=24米。 答：滑雪台水平距离BC为24米。 在Rt△ABE中，AB=80cm,BE=80+70=150(cm)。 17.解：(1)设AD=xcm,则AB=AC=(x+3)cm。 由勾股定理，得AE2=AB2+BE=802+1502=28900, 因为CD⊥AB,所以∠CDA=90°。 所以AE=170cm。 在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD2+CD2=AC2, 所以蚂蚁爬行的最短路程是170cm。 即+4=(x+3)2,解得x=乙 21.小斗分析：(1)根据勾股定理求出BD的长，进而求出AB的长， 60 利用勾股定理求出AB的长。(2)根据直角三角形的判定方法 所以AD的长为名cm 得∠AED=90°，根据点到直线的距离解答即可。 (2)由(1)可知，4B=AC-名+3-名(cm): 解：(1)根据题意可知，∠ABE=∠DBE=90°。 在Rt△DBE中，DE=150米，BE=120米， 因为CD⊥AB, 由勾股定理，得BD2=DE2-BE2=1502-1202=902, 所以sx=34Bc0=7×2×4-3(em)。 所以BD=90米。 所以AB=AD-BD=250-90=160(米)。 所以△ABC的面积为号cm2。 所以AE2=AB2+BE2=1602+1202=2002。 所以AE=200米。 18.小斗提示：建立直角三角形模型，借助勾股定理求解。 所以两人的总路程为200+150=350（米）。 解：如图，设BB'与长方形的宽的交点为C。 (2)因为DE2+AE2=1502+2002=62500, 因为AB=1米，AC=0.8米， 1米 AD2=2502=62500, ∠ACB=90°， 所以DE2+AE2=AD2。所以LAED=90°。 所以BC2=AB2-AC2=12-0.82 因为DE=150米， 2.3米 =0.36。 所以面馆D到公路AC的距离为150米。 所以BC=0.6米。 A B -2米 22.解：(1)因为AC⊥BD,所以△AB0是直角三角形。 所以BB′=BC+B'C=0.6+2.3=2.9 所以AB2=A02+B02。 (米)。 同理可得BC2=B02+C02,CD2=C02+D02,AD2= 因为2.9米<3米， A02+D02。因为A0=2,B0=3,C0=4,D0=5, 所以不能通过。 所以AB2=13,BC2=25,CD2=41,AD2=29。 19.解：(1)(a+b)24×2ab+c2+b=c (2)由(1)，得BC2+AD2=(B02+C02)+(A02+D02) =(B02+A02)+(C02+D02)=AB2+CD2。 (2)能。理由如下： 因为AB=6,CD=10,所以BC2+AD2=62+102=136。 题图2中大正方形的面积为(a+b)2,两个小正方形的 (3)“垂美”四边形的两组对边的平方和相等。 面积之和为(a+b)2-2ab=a2+b2;题图1中小正方形 选做题 的面积为(a+b)2-4×分山=d2+6=2, 2026【解析】由勾股定理知，“生长”1次，“生长”出的两 个正方形面积和等于原来正方形的面积，所有正方形的面 所以题图2中两个小正方形的面积之和等于题图1中 积和为2；“生长”2次，“生长”出的四个正方形面积和等 小正方形的面积，用关系式可表示为a2+b=2。 于第1次“生长”出的两个正方形的面积和，所有正方形的 20.解：(1)分别测量AB,BC和AC的长度， 面积和为3；…经过n次“生长”后形成的图形中所有正 若AB2+BC2=AC2,则△ABC是直角三角形，∠ABC= 方形的面积和是n+1。所以经过2025次“生长”后形成的 90°，即AB⊥BC。 图形中所有正方形的面积和是2026。 (2)如图，将长方体的表面沿前面和右面剪开，得平面 期中综合水平测试 图形，则AE为蚂蚁爬行的最短路径。 1.C2.C3.D4.C5.B6.A7.B8.C ★全程复习大考卷·数学·七年级上册 ·59·