6 第三章 勾股定理 考点梳理与复习-【全程复习大考卷】2025-2026学年新教材七年级上册数学(鲁教版 五四学制2024)

因为BD是△ABC的角平分线， 18.解：因为BD平分∠ABC,∠ABD=25°， DE⊥AB,DF⊥BC, 所以∠CBD=∠ABD=25°。 所以DF=DE=2。 所以∠ABC=50°。 所以Sac=2×AB×DE+7×BC×DF=12。 。1 因为∠A=70°， 所以∠ACB=180°-∠ABC-∠A=180°-50°-70°=60°。 所以7×7x2+7xBCx2=12。所以BC=5。 因为EF是BC的垂直平分线， 14.50°【解析】设∠0=x°， 所以BF=CF。 因为OC=CD=DE, 所以∠FCE=∠CBD=25°。 所以∠0=∠CD0=x°，∠DCE=∠DEC。 所以∠ACF=∠ACB-∠FCE=60°-25°=35°。 又因为∠0CD+∠0+∠CD0=180°，∠0CD+∠DCE=19.解：(1)如图1，直线l即为所求作。 180°， 所以∠DEC=∠DCE=∠0+∠CD0=2x°。 同理可得，∠BDE=∠0+∠DEC=x°+2x°=3x°=75°。 所以x°=25°。所以∠DCE=2x°=50°。 15.16【解析】由作图可得AD=AC=7,MN垂直平 分BD, N 所以EB=ED。所以△ADE的周长为AE+DE+AD= AE+BE+AD=AB+AD=16。 图1 图2 16.80°或110°【解析】因为AB=AC,所以∠B=∠C=40°。 (2)图中的对应线段所在的直线不一定相交；如果相 所以∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-40°-40°=100°。 交，交点在对称轴上；如果不相交，这组对应线段所在 因为△ACD为等腰三角形， 的直线与对称轴平行。 所以当AD=CD时，∠C=∠CAD=40°。 由此得出结论：如果两个图形关于某直线对称，则对应 所以∠ADC=180°-∠C-∠CAD=180°-40°-40°=100°。 线段所在的直线要么平行于对称轴，要么相交，且交点 所以∠ADB=180°-∠ADC=80°。 在对称轴上。 当AD=AC时，∠C=∠ADC=40°，此时点D与点B重 (3)如图2，直线1即为所求作。 合，不符合题意。 20.解：(1)如图，BD即为所求作。 当CD=AC时，∠C=40°，所以∠ADC=∠CAD。 所以∠4DC=180°2LC=70°。 2 所以∠ADB=180°-∠ADC=110°。 综上，∠ADB的度数为80°或110°。 D 17.解：(1)如图，△A'B'C即为所求作。 (2)如图，作DH⊥AB于点H。 (2)如图，连接AB',交直线1于点P,连接BP, 因为BD平分∠ABC,DC⊥BC,DH⊥AB, 则PA+PB=PA+PB'=AB',为最小值，则点P即为 所以CD=DH=3。 所求。 所以S AARG=S△BGD+S△ABD =BC.CD+AB·DH 1 1 =2×3×BC+2×3×AB 1 =2×3X(BC+AB) =×3x16 =24。 21.解：(1)如图1，直线a即为所求作。 所以∠BAE+∠DAH=∠CAH+∠DAH, 即∠EAH=∠BAC。 因为AE=AH, 所以∠ABC=LAD=2(180-∠BA)=7(180- ∠BAC)。 所以∠AEC=∠ABC。 图1 图2 第三章考点梳理与复习 (2)如图2。 1.D ①连接AC; 2.12小斗提示：借助大正方形的面积和勾股定理可得m2+2=25。 ②作线段AC的垂直平分线，即为对称轴b; 【解析】因为大正方形的面积是25， ③作点B关于直线b的对称点D; 所以根据勾股定理，得m2+n2=25。 ④连接CD即为所求作。 因为小正方形的面积是1，即(m-n)2=1, (3)如图3，连接BD;作线段BD的垂直平分线，即为对 所以m2-2mn+n2=1。所以25-2mn=1。 称轴c;作点C关于直线c的对称点E;连接BE;作 所以2mn=24,解得mn=12。 ∠ABE的平分线所在直线d,即为对称轴。 3.<【解析】根据勾股定理，得a2=22+22=8,b2=32= 故其中一条线段作2次的轴对称即可使它们重合。 9,c2=52+22=29。 因为8+9<29，所以a2+b2<c2。 4.解：(1)S水正方形=(b-a)2=a2-2ab+b2, SE6=62-4x2ab=c2-2ab, 所以a2-2ab+b2=c2-2ab。所以a2+b2=c2。 图3 (2)根据题意，得AB+BC=80÷4=20,OH=0B=5。 22.解：(1)因为∠BEC+∠BDE+∠EBA=180°，∠BAC+ 设AH=BC=x,则AB=20-x,OA=5+x。 ∠ADC+∠DCA=180°， 在Rt△A0B中，由勾股定理，得OA2+OB2=AB2, 所以LBEC+∠BDE+∠EBA=∠BAC+LADC+∠DCA。 即(5+x)2+52=(20-x)2,解得x=7。 因为∠BDE+∠ADE=180°，∠CDA+∠ADE=180°， 所以该图形的面积为7×5×12×4=120。 所以∠BDE=∠ADC。 又因为∠BEC=∠BAC,所以∠EBA=∠DCA。 5.B【解析】在Rt△ABC中，∠C=90°， (2)在线段CE上取一点H,使得CH=BE,连接AH, 所以AB是斜边，AC和BC是直角边。 如图。 由勾股定理可得AB2-BC2=AC。 因为AC=4,所以AB2-BC2=AC2=16。 6.C小斗提示：13可能是直角边的长，也可能是斜边的长。 【解析】当第三边是直角边时，第三边的平方是132- 52=144；当第三边是斜边时，第三边的平方是52+ 132=194。 因为AB=AC, 7.解：根据题意，得∠A=∠BDC=90°。 所以LABC=LACB=2(1S0°-∠BAC). 因为AB=4,AD=3, 所以BD2=AD2+AB2=32+42=25。所以BD=5。 由(1)可知，∠EBA=∠HCA, 又因为BC=13, 在△ABE和△ACH中， 所以CD2=BC2-BD2=132-52=144。所以CD=12。 AB=AC,∠EBA=∠HCA,BE=CH, 所以S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD 所以△ABE≌△ACH(SAS)。 所以AE=AH,∠BAE=∠CAH。 =3x3x4+分×12x5=36。 ★全程复习大考卷·数学·七年级上册 ·57· 8.C【解析】因为42+52≠62,62+82≠92,92+372≠ 所以△ABC是直角三角形，∠BAC=90°。 382,7+242=252,所以选项A,B,D不能组成直角三角 所以学生搭建的帐篷符合条件。 形，选项C能组成直角三角形。 14.解：(1)6【解析】当n=2时，a=4,b=3,c=5。 小斗总结 因为32+42=52，所以以a,b,c的值为三边长的三角形 判断三条线段首尾相连能否组成直角三角形，关键看两条较 短线段长的平方和是否等于最长线段长的平方。 是直角三角形，面积为3×3x4=6。 9.D小斗提示：满足a2+b2=c2的三个正整数是勾股数。 (2)小斗的猜想正确。理由如下： 【解析】因为12+22≠32；0.3,0.4,0.5不是整数； a2+b2=(2n)2+(n2-1)2=4n2+n-2n2+1=n4+ 132+142≠152,82+152=172，所以选项A,B,C都不是 2n2+1,c2=(n2+1)2=n+2n2+1,所以a2+b2=c2。 勾股数，选项D是勾股数。 所以当n取大于1的整数时，a,b,c为勾股数。 10.17【解析】当15为直角边长时，设斜边长为x,则152+ 所以小斗的猜想正确。 82=x2,解得x=17;当15为斜边长时，设另一直角边长 15.D【解析】因为AC=12米，BC=9米， 为x,则152=82+x2,解得x2=161,所以x不是整数。 所以AB2=AC2+BC2=122+92=225。 所以第三条线段的长为17。 所以AB=15米。 11.12小斗提示：先判定三角形是直角三角形，再根据面积法求 所以AC+BC-AB=12+9-15=6(米)。 16.2 斜边上的高。 17.0.8【解析】由题意知，AB=DE=2.5m,CD=2.4mo 【解析】如图，过点C作CD⊥AB于A 在Rt△CDE中，CE为直角边， 点D。 所以CE2=DE2-CD2=2.52-2.42=0.72。 因为AC2+BC2=152+202=625, 所以CE=0.7m。 AB2=252=625 因为BC=1.5m,所以BE=BC-CE=1.5-0.7=0.8(m)。 所以AC2+BC2=AB2。 所以梯子底部向墙边滑行了0.8m。 所以∠C=90°。 18.解：在Rt△ABC中，∠CAB=90°，BC=17米，AC=8米， 因为SAx=2AC,BC=2B·CD,所以AC·BC= 所以AB2=BC2-AC2=172-82=225。 AB·CD。所以15×20=25CD,解得CD=12。 所以AB=15米。 所以这个三角形最长边上的高为12。 因为CD=10米，所以AD2=CD2-AC2=102-82=36。 12.小斗提示：先根据勾股定理计算三边长的平方，再根据直角三角 所以AD=6米。所以BD=AB-AD=15-6=9(米)。 所以船向岸边移动了9米。 形的判定方法判定三角形是直角三角形。 19.解：(1)因为AC2+BC2=1602+1202=40000, 解：因为△ABC在边长为1的小正方形组成的网格中， AB2=2002=40000,所以AC2+BC2=AB2。 所以AB2=12+12=2,AC2=32+12=10,BC2=22+22=8。 所以△ABC是直角三角形，∠ACB=90°。 所以AB2+BC2=AC2。所以△ABC是直角三角形。 (2)当CD⊥AB时，铺设水管的长度最小。 所以∠ABC=90°。 13.解：学生搭建的帐篷符合要求。理由如下： 因为SAC=2AB·CD=2AC·BC, 在Rt△ACD中，CD=0.9m,AD=1.2m, 所以AB·CD=AC·BC。 所以AC2=AD2+CD2=1.22+0.92=2.25。 所以200CD=120×160,解得CD=96。 所以AC=1.5m。 所以铺设水管的最小长度为96米。 在Rt△ADB中，AB=2m,AD=1.2m, 20.50【解析】如图，将三棱柱沿AA'展开， 所以BD2=AB2-AD2=22-1.22=2.56。 10cm 所以BD=1.6m。 10cm 所以BC=BD+CD=1.6+0.9=2.5(m)。 10cm 因为AB2+AC2=22+1.52=6.25,BC2=2.52=6.25, 40cm 所以AB2+AC2=BC2。 根据勾股定理，得AA2=302+402=502。 ·58· ★全程复习大考卷·数学·七年级上册 所以AA'=50cm。 所以D=AD2-A=172-82=225。所以DH=15。 所以这一圈彩带的长度至少为50cm。 所以EH=DH-DE=15-8=7。 21.解：如图1，把长方体的右侧表面剪开，与前面这个侧面 所以正方形EFGH的边长是7。 所在的平面形成一个长方形，标注点D。 4.C小斗提示：折叠前后对应角相等，对应边相等。 B D 【解析】根据题意，得BE=DE。 因为AD=9cm=AE+DE=AE+BE,所以BE=9-AE。 根据勾股定理可知AB2+AE2=BE2, 所以32+AE2=(9-AE)2,解得AE=4。 图1 所以△ABE的面积为3×4÷2=6(cm2)。 因为长方体的宽为10cm,高为20cm,点B与点C之 5.B【解析】如图，设②的三边 0 间的距离是5cm, 长分别为a,b,c,则③的面积 ⑨ ⑥ 为a2,④的面积为b2,①的面 ⑤ ⑧ 所以BD=CD+BC=10+5=15(cm),AD=20cm。 ⑦ 积为c2。由勾股定理，得 ③a 6 根据勾股定理，得AB2=BD2+AD2=152+202=625, ② 所以AB=25cm; a2+b2=c2,所以③④的面积 c 如图2，把长方体的右侧表面剪开，与上面这个侧面所 和等于①的面积。故A不符 在的平面形成一个长方形，标注点D。 合题意；由勾股定理和正方 因为长方体的宽为10cm,高为20cm,点B与点C之 形的面积公式，得⑦⑨的面积和等于③的面积，⑧0的 间的距离是5cm, 面积和等于④的面积，所以④⑦⑨的面积和等于①的面 所以BD=CD+BC=20+5=25(cm),AD=20cm。 积，③⑧⑩的面积和等于①的面积。故C,D不符合题 根据勾股定理，得AB2=BD2+AD2=102+252=725; 意；由条件不能证明②⑤⑥的面积和等于①的面积。故 B符合题意。 6.D【解析】如图，过点A作AE⊥BC,垂足为E。 B D 图2 图3 因为AC=AD,CD=4,所以可以得到△ADC兰△ACE。 如图3，把长方体的上表面剪开，与后面这个侧面所在 所以DE=2CD=2,∠AED=90。 的平面形成一个长方形，标注点D。 因为长方体的宽为10cm,高为20cm,点B与点C之 因为BD=5,所以BE=BD+DE=5+2=7。 在Rt△ADE和Rt△ABE中，AB2-BE2=AD2-DE, 间的距离是5cm, 所以x2-72=y2-22。所以x2-y2=45。 所以AC=CD+AD=10+20=30(cm),BC=5cm。 根据勾股定理，得AB2=AC2+BC2=302+52=925。 7.B【解析】如图，连接AC。 因为625<725<925， 因为∠ABC=90°，AB=9m, BC=12 m, 所以蚂蚁爬行的最短距离是25cm。 所以AC=AB2+BC2=92+122=225。 第三章学业水平测试 1.B 所以AC=15m。 因为CD=8m,AD=17m, 2.D 【解析】根据题意，得S=(a+6)(a+b),S=20 2b￥ 所以AC2+CD2=152+82=289,AD2=172=289。 2b+2,所以宁a+b(a+)=b+b+2。 1 所以AC2+CD2=AD。所以△ACD是直角三角形。 所以∠ACD=90°。 整理，得a2+b2=c2。 3.C【解析】根据题意，得AD=AB=17,AH=8,∠AHD=90°， 所以S。w=SAM度+SA=2AB·BC+2AC.CD-第三章考点梳理与复习 考点一 勾股定理 【训练目的】掌握勾股定理的内容，能运用勾股定理由已知两边长求第三边长（仅限 于勾股数)。 1.如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为 6 64 训 A.25 B.49 C.81 D.100 2.新考法〔数学文化〕我国是最早了解勾股定理的国家之一，在《周髀算经》中记载了勾股定理的公式与 证明，相传是由商高发现，故又称之为“商高定理”。如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角 形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角 形的两条直角边长分别为m,n,则mn= 9 第2题图 第3题图 3.原创题小智在11×12的正方形（每个小正方形的边长为1）网格中画出了如图所示的图形，根据图形 猜想钝角三角形三边长a,b,c满足关系：a2+b2 62。(填“>”“=”或“<”) 蟹 4.用四个全等的直角三角形拼成如图1所示的大正方形，中间也是一个正方形，它是美丽的弦图，其中 四个直角三角形的直角边长分别为a,b(a<b),斜边长为c。 (1)请利用图1验证：a2+b2=2; (2)如图2，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形ABCDEFGH,若该图 形的周长为80，OB=5,求该图形的面积。 拼 图1 图2 5.在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=4,则AB2-BC2等于 A.4 B.16 C.20 D.25 6.已知一个直角三角形的两条边长分别为5和13，则第三边的平方是 A.12 B.169 C.144或194 D.144或169 7.如图，在四边形ABCD中，AD⊥AB,BD⊥CD,AD=3,AB=4,BC=13,求四边形ABCD的面积。 B 4 13 3 D 考点二直角三角形的判定 【训练目的】掌握勾股定理的逆定理，认识并准确识别勾股数。 8.下列长度的三条线段首尾相连能组成直角三角形的是 A.4,5,6 B.6,8,9 C.7,24,25 D.9,37,38 9.下列各组数，是勾股数的是 A.1,2,3 B.0.3,0.4,0.5 C.13,14,15 D.8,15,17 10.已知两条线段的长分别为15和8，则当第三条线段的长取整数 时，这三条线段能组成一个 直角三角形。 11.一个三角形的三边长分别为15,20,25，则这个三角形最长边上的高为 12.如图是由边长为1的小正方形组成的正方形网格，△ABC的顶点都在格点（正方形的顶点）上。试 说明：∠ABC=90°。 'K 13.新情境〔实际情境〕在学校组织的研学活动中，需要学生自己搭建帐篷。如图是搭建帐篷的示意图。 在△ABC中，支架AD从帐篷顶点A支撑在水平的支架BC上，且AD⊥BC于点D,经测量得AB= 2m,AD=1.2m,CD=0.9m。按照要求，帐篷支架AB与AC所夹的角需为直角，请通过计算说明学 生搭建的帐篷是否符合条件。 ★全程复习大考卷·数学·七年级上册 ·11· 14.已知a=2n,b=n2-1,c=n2+1。 (1)当n=2时，则以a,b,c的值为三边长的三角形面积为 (2)小斗猜想：当n取大于1的整数时，a,b,c为勾股数，你认为小斗的猜想正确吗？请说明理由。 考点三勾股定理的实际应用 【训练目的】能运用勾股定理及其逆定理解决一些简单的实际问题。 15.新情境〔实际情境〕如图是一块长方形草坪，AB是一条被踩踏的小路，AC=12米，BC=9米。为了避 免行人继续踩踏草坪（走线段AB),小梅分别在A,B处各挂了一块下面的牌子，则牌子上“？”处是 () 少走？米 踏之何忍！ A.3 B.4 C.5 D.6 主题情境梯子靠墙请完成第16~17题 16.原创题如图，小斗把一架2.5m长的梯子AB,斜靠在竖直的墙AC上，这时梯子的底部B到墙底端C 的距离为1.5m,则梯子的顶端距地面 D hgB 第16题图 第17题图 17.原创题如图，小斗把这架梯子挪动了一下角度，使得梯子的顶端上升了0.4m,则梯子底部向墙边滑 行了 mo 18.如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船 到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了多少米。 8米 A ·12. ★全程复习大考卷·数学·七年级上册 19.某村有如图所示的一条笔直公路AB,水源C处与公路之间有小片沼泽地，为方便公路上的人用水， 拟从C处铺设水管到公路上。已知AB=200米，AC=160米，BC=120米。 (1)求∠ACB的大小； (2)求铺设水管的最小长度。 B 20.如图，某校“灯谜节”的奖品是一个底面为等边三角形的三棱柱型灯笼，在灯笼的侧面上，从顶点A 到顶点A'缠着一圈彩带，已知此灯笼的高为40cm,底面边长为10cm,则这一圈彩带的长度至少为 cmo 21.如图，长方体的长、宽、高分别为15cm,10cm,20cm,点B与点C之间的距离是5cm,一只蚂蚁沿着 长方体的表面从点A爬到点B,求蚂蚁需要爬行的最短路程是多少。 5 cm B 20 cm A 总 10 cm 15 cm